2024屆新高考一輪復(fù)習(xí)人教A版 第一章 第3節(jié) 不等式的性質(zhì)、一元二次不

第3節(jié)不等式的性質(zhì)、一元二次不等式[課程標(biāo)準(zhǔn)要求]1.梳理不等式的性質(zhì),理解不等式的性質(zhì),掌握不等式的性質(zhì).2.會(huì)結(jié)合一元二次函數(shù)的圖象,判斷一元二次方程實(shí)根的存在性及實(shí)根的個(gè)數(shù),了解函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系.3.經(jīng)歷從實(shí)際背景中抽象出一元二次不等式的過(guò)程,了解一元二次不等式的現(xiàn)實(shí)意義,能借助一元二次函數(shù)的圖象求解一元二次不等式,并能用集合表示一元二次不等式的解集.4.借助一元二次函數(shù)的圖象,了解一元二次不等式相應(yīng)的函數(shù)、方程的聯(lián)系.必備知識(shí)·課前回顧回顧教材,夯實(shí)四基1.兩個(gè)實(shí)數(shù)大小比較的基本事實(shí)a-b>0?a

b(a,b∈R),a-b=0?a

b(a,b∈R),a-b<0?a

b(a,b∈R).2.不等式的基本性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)內(nèi)容特別提醒性質(zhì)1(對(duì)稱性)a>b?

.?性質(zhì)2(傳遞性)a>b,b>c?a>c?性質(zhì)3(可加性)a>b?a+c>b+c?>=<b<aac>bcac<bca+c>b+dac>bd>0an>bn3.一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)及一元二次方程的關(guān)系如表所示{x|x<x1或x>x2}1.(必修第一冊(cè)P53練習(xí)T1改編)不等式-x2-5x+6≥0的解集為(

)A.{x|-6≤x≤1} B.{x|2≤x≤3}C.{x|x≥3或x≤2} D.{x|x≥1或x≤-6}解析:不等式-x2-5x+6≥0可化為x2+5x-6≤0,即(x+6)(x-1)≤0,解得-6≤x≤1,所以不等式的解集為{x|-6≤x≤1}.ADABC4.已知-1<x<4,2<y<3,則x-2y的取值范圍是

,3x+4y的取值范圍是

.

解析:因?yàn)?1<x<4,2<y<3,所以-6<-2y<-4,所以-7<x-2y<0.由-1<x<4,2<y<3,得-3<3x<12,8<4y<12,所以5<3x+4y<24.答案:(-7,0)

(5,24)關(guān)鍵能力·課堂突破類分考點(diǎn),落實(shí)四翼不等式的性質(zhì)及應(yīng)用DD4.已知-1≤x+y≤1,1≤x-y≤3,則3x-2y的取值范圍是

.

答案:[2,8](1)根據(jù)不等式的性質(zhì)判斷不等式是否成立的方法主要是利用不等式的性質(zhì)或特殊值法,而對(duì)于待比較的不等式的兩端可以化為相同的函數(shù)的形式,可以利用構(gòu)造函數(shù),利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷.(2)當(dāng)兩個(gè)數(shù)(或式子)的正負(fù)未知且為多項(xiàng)式時(shí),用作差法,作差時(shí)要注意變形技巧.(3)已知x,y的范圍,求由ax,by(ab≠0)通過(guò)加、減、乘、除構(gòu)成的運(yùn)算式子的范圍時(shí),可利用不等式的性質(zhì)直接求解.(4)已知由ax,by(ab≠0)通過(guò)加、減、乘、除構(gòu)成的運(yùn)算式子的范圍,求解形如cx±dy(cd≠0)的范圍問(wèn)題時(shí),要利用待定系數(shù)法,將cx±dy用已知條件的關(guān)系式整體代換.此種類型中不要直接求出x,y的范圍后求cx±dy的范圍,由于a>b,c>d?a+c>b+d不是可逆的,因此容易出現(xiàn)錯(cuò)解.一元二次不等式的解法及應(yīng)用一元二次不等式與一元二次方程的關(guān)系(1)一元二次方程的根就是相應(yīng)一元二次函數(shù)的零點(diǎn),也是相應(yīng)一元二次不等式解集的端點(diǎn)值.(2)給出一元二次不等式的解集,相當(dāng)于知道了相應(yīng)二次函數(shù)圖象的開(kāi)口方向及與x軸的交點(diǎn),可以利用代入根或根與系數(shù)的關(guān)系求待定系數(shù).含參數(shù)一元二次不等式的解法[例2]解關(guān)于x的不等式ax2-(a+1)x+1<0(a>0).對(duì)含參的不等式,應(yīng)對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論,常見(jiàn)的分類有:(1)根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)為正、負(fù)及零進(jìn)行分類.(2)根據(jù)判別式Δ與0的關(guān)系判斷根的個(gè)數(shù).(3)有兩個(gè)根時(shí),有時(shí)還需根據(jù)兩根的大小進(jìn)行討論.一元二次不等式恒成立問(wèn)題一元二次不等式在R上的恒成立問(wèn)題一元二次不等式恒成立的條件[例4]若對(duì)任意的x∈[-1,2],都有x2-2x+a≤0(a為常數(shù)),則a的取值范圍是(

)A.(-∞,-3] B.(-∞,0]C.[1,+∞) D.(-∞,1]一元二次不等式在給定區(qū)間上的恒成立問(wèn)題一元二次不等式在給定區(qū)間上的恒成立問(wèn)題的求解方法(1)最值轉(zhuǎn)化法:若f(x)>0在集合A中恒成立,則函數(shù)y=f(x)在集合A中的最小值大于0.(2)分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域問(wèn)題,即已知函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇m,n],則f(x)≥a恒成立?f(x)min≥a,即m≥a;f(x)≤a恒成立?f(x)max≤a,即n≤a.一元二次不等式在給定參數(shù)范圍上的恒成立問(wèn)題[例5](2023·江蘇宿遷模擬)若不等式x2+px>4x+p-3,當(dāng)0≤p≤4時(shí)恒成立,則x的取值范圍是(

)A.[-1,3]B.(-∞,-1]C.[3,+∞)D.(-∞,-1)∪(3,+∞)給定參數(shù)范圍的恒成立問(wèn)題,一般采用變換主元法,即求誰(shuí)的范圍,誰(shuí)就是參數(shù).[針對(duì)訓(xùn)練]1.(2023·北京模擬)已知不等式x2+ax+4≥0的解集為R,則a的取值范圍是(

)A.[-4,4]B.(-4,4)C.(-∞,-4]∪[4,+∞)D.(-∞,-4)∪(4,+∞)解析:不等式x2+ax+4≥0的解集為R,所以Δ=a2-4×1×4≤0,解得-4≤a≤4.所以a的取值范圍是[-4,4].故選A.2.已知a∈[-1,1]時(shí),不等式x2+(a-4)x+4-2a>0恒成立,則x的取值范圍為(

)A.(-∞,2)∪(3,+∞)B.(-∞,1)∪(2,+∞)C.(-∞,1)∪(3,+∞)D.(1,3)3.(2023·浙江寧波模擬)若對(duì)任意的t∈[1,2],函數(shù)f(x)=t2x2-(t+1)x+a總有零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的