有限單元法綜述

有限單元法開展與趨勢(shì)綜述摘要：本文簡(jiǎn)述了有限單元法的提出過(guò)程，開展歷史及根本思想，重點(diǎn)論述了有限單元法的根本解題步驟及有限單元法的開展趨勢(shì)。文章最后介紹了一個(gè)基于ANSYS軟件運(yùn)用有限單元法分析某隧道的實(shí)例關(guān)鍵詞：有限單元法；開展趨勢(shì)；ANSYS；隧道ReviewoftheFiniteElementMethod’sDevelopmentsandTrendsAbstract：Thispaperbrieflydiscussestheproposedprocessofthefiniteelement(FEM),thedevelopmentoftheFEMandthebasicideaoftheFEM,withemphasisonthebasicproblem-solvingstepsoftheFEMandthedevelopmenttrendoftheFEM.Finally,thepaperanalyzesatunnelproblembyusingtheFEM,whichisbasedontheANSYSsoftwareplatform.Keywords：thefiniteelement；developmenttrends；ANSYS；tunnel引言隨著現(xiàn)代工業(yè)、生產(chǎn)技術(shù)的開展，不斷要求設(shè)計(jì)高質(zhì)量、高水平的大型、復(fù)雜和精密的機(jī)械及工程結(jié)構(gòu)。為此目的，人們必須預(yù)先通過(guò)有效的計(jì)算手段，確切的預(yù)測(cè)即將誕生的機(jī)械和工程結(jié)構(gòu)，在未來(lái)工作時(shí)所發(fā)生的應(yīng)力、應(yīng)變和位移。但是傳統(tǒng)的一些方法往往難以完成對(duì)工程實(shí)際問(wèn)題的有效分析。彈性力學(xué)的經(jīng)典理論，由于求解偏微分方程邊值問(wèn)題的困難，只能解決結(jié)構(gòu)形狀和承受載荷較簡(jiǎn)單的問(wèn)題，對(duì)于幾何形狀復(fù)雜、不規(guī)那么邊界、有裂縫或厚度突變，以及幾何非線性、材料非線性等問(wèn)題往往遇到很多麻煩，試圖按經(jīng)典的彈性力學(xué)方法獲得解析解是十分困難的，甚至是不可能的。因此，需要尋求一種簡(jiǎn)單而又精確的數(shù)值分析方法。有限單元法正是適應(yīng)這種要求而產(chǎn)生和開展起來(lái)的一種十分有效的數(shù)值計(jì)算方法。有限單元法概述有限單元法早在40年代初期就已有人提出，但當(dāng)時(shí)由于沒有計(jì)算工具而擱置，一直到50年代中期，高速數(shù)字電子計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)和開展為有限單元法的應(yīng)用提供了重要的物質(zhì)條件，才使有限單元法得以迅速開展。，R.W.Clough,H.C.Martin和L.J.Topp等人于1956年發(fā)表了一篇題為《復(fù)雜結(jié)構(gòu)的剛度和撓度分析》一文，此文提出了計(jì)算復(fù)雜結(jié)構(gòu)剛度影響系數(shù)的方法，說(shuō)明了如何利用計(jì)算機(jī)進(jìn)行分析。美國(guó)教授R.W.Clough于1960年在一篇介紹平面應(yīng)力分析的論文中，首次提出了有限單元法的名字。1965年英國(guó)的Zienliewice教授及其合作者解決了將有限元應(yīng)用于所有場(chǎng)的問(wèn)題，使有限單元法的應(yīng)用范圍更加廣泛。有限單元法的優(yōu)點(diǎn)很多，其中最突出的優(yōu)點(diǎn)是應(yīng)用范圍廣。開展至今，不僅能解決靜態(tài)的、平面的、最簡(jiǎn)單的桿系結(jié)構(gòu)，而且還可以解決空間問(wèn)題、板殼問(wèn)題、結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性問(wèn)題、動(dòng)力學(xué)問(wèn)題、彈塑性問(wèn)題和粘彈性問(wèn)題、疲勞和脆性斷裂問(wèn)題以及結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題。而且不管物體的結(jié)構(gòu)形式和邊界條件如何復(fù)雜，也不管材料的性質(zhì)和外載荷的情況如何，原那么上都能應(yīng)用。有限單元法的根本思想有限單元法的根本思想，是在力學(xué)模型上將一個(gè)原來(lái)連續(xù)的物體離散成為有限個(gè)具有一定大小的的單元，這些單元僅在有限個(gè)節(jié)點(diǎn)上相連接，并在節(jié)點(diǎn)上引進(jìn)等效力以代替實(shí)際作用于單元上的外力。對(duì)于每個(gè)單元，根據(jù)分塊近似的思想，選擇一種簡(jiǎn)單的函數(shù)來(lái)表示單元內(nèi)位移的分布規(guī)律，并按彈性理論中的能量原理〔或用變分原理〕建立單元節(jié)點(diǎn)力和節(jié)點(diǎn)位移之間的關(guān)系。最后，把所有的單元的這種關(guān)系式集合起來(lái)，就得到一組以節(jié)點(diǎn)位移為未知量的代數(shù)方程組，解這些方程組就可以求出物體上有限個(gè)離散節(jié)點(diǎn)上的位移。有限單元法的根本步驟有限單元法分析計(jì)算的根本步驟可歸納為以下五點(diǎn)：1.結(jié)構(gòu)的離散化結(jié)構(gòu)的離散化是有限單元法分析的第一步，它是有限元法的根底。將某個(gè)機(jī)械結(jié)構(gòu)劃分為由各種單元組成的計(jì)算模型，這一步稱作單元?jiǎng)澐?。離散后單元與單元之間利用單元的節(jié)點(diǎn)相互連接起來(lái)，將求解區(qū)域變成為用點(diǎn)、線或面劃分的有限數(shù)目的單元組合成的集合體。單元的形狀原那么上是任意的。例如，在平面問(wèn)題中通常采用三角形單元，有時(shí)也采用矩形或任意四邊形單元。在空間問(wèn)題中，可以采用四面體、長(zhǎng)方體或任意六面體單元?？梢?，不管單元取什么樣的形狀，在一般情況下，單元的便捷總不可能與求解區(qū)域的真實(shí)邊界完全吻合，這就帶來(lái)了有限元法的一個(gè)根本近似性——幾何近似。在一個(gè)具體的結(jié)構(gòu)中，確定單元的類型和數(shù)目以及哪些部位的單元可以取得大一些，哪些部位單元應(yīng)該取得小一些，需要由經(jīng)驗(yàn)來(lái)做出判斷。單元?jiǎng)澐衷郊?xì)那么描述變形情況越精確，即越接近實(shí)際變形，但計(jì)算量越大。所以有限元法中分析的結(jié)構(gòu)已不是原有的物體或結(jié)構(gòu)物，而是同樣材料的眾多單元以一定方式連接成的離散物體。這樣，用有限元分析計(jì)算所得的結(jié)果只是近似的。如果劃分單元數(shù)目非常多而又合理，那么所獲得的計(jì)算結(jié)果就越逼近實(shí)際情況。1)網(wǎng)格劃分根底與劃分原那么復(fù)雜結(jié)構(gòu)的離散是有限元分析的根底，也決定著計(jì)算結(jié)果的精確度。一個(gè)復(fù)雜的結(jié)構(gòu)總可以離散為一維、二維、三維的小單元。當(dāng)然對(duì)二維和三維單元，其離散后的形狀可以為任意的，但是為了計(jì)算的方便性和精確性的結(jié)合，二維單元一般采用三角形和四邊形，而三維單元那么采用四面體和六面體。簡(jiǎn)單的說(shuō)，復(fù)雜結(jié)構(gòu)的離散就是網(wǎng)格的劃分。有限元網(wǎng)格[3]的劃分有很多原那么，一是網(wǎng)格數(shù)量，網(wǎng)格數(shù)量直接影響計(jì)算精度和計(jì)算時(shí)耗,網(wǎng)格數(shù)量增加會(huì)提高計(jì)算精度,但同時(shí)計(jì)算時(shí)耗也會(huì)增加。當(dāng)網(wǎng)格數(shù)量較少時(shí)增加網(wǎng)格計(jì)算精度可明顯提高,但計(jì)算時(shí)耗不會(huì)有明顯增加;當(dāng)網(wǎng)格數(shù)量增加到一定程度后,再繼續(xù)增加網(wǎng)格時(shí)精度提高就很小,而計(jì)算時(shí)耗卻大幅度增加。所以在確定網(wǎng)格數(shù)量時(shí)應(yīng)權(quán)衡這兩個(gè)因素綜合考慮。二是網(wǎng)格密度，為了適應(yīng)應(yīng)力等計(jì)算數(shù)據(jù)的分布特點(diǎn),在結(jié)構(gòu)不同部位需要采用大小不同的網(wǎng)格。如在孔的附近有集中應(yīng)力，因此網(wǎng)格需要加密，周邊應(yīng)力梯度相對(duì)較小，網(wǎng)格劃分較稀。該網(wǎng)格反映了疏密不同的網(wǎng)格劃分原那么：在計(jì)算數(shù)據(jù)變化梯度較大的部位。為了較好地反映數(shù)據(jù)變化規(guī)律，需要采用比擬密集的網(wǎng)格；而在計(jì)算數(shù)據(jù)變化梯度較小的部位，為減小模型規(guī)模，網(wǎng)格那么應(yīng)相對(duì)稀疏。三是單元階次，單元階次與有限元的計(jì)算精度有著密切的關(guān)聯(lián)，單元一般具有線性、二次和三次等形式，其中二次和三次形式的單元稱為高階單元。高階單元的曲線或曲面邊界能夠更好地逼近結(jié)構(gòu)的曲線和曲面邊界，且高次插值函數(shù)可更高精度地逼近復(fù)雜場(chǎng)函數(shù)，所以增加單元階次可提高計(jì)算精度。但增加單元階次的同時(shí)網(wǎng)格的節(jié)點(diǎn)數(shù)也會(huì)隨之增加，在網(wǎng)格數(shù)量相同的情況下由高階單元組成的模型規(guī)模相對(duì)較大,，因此在使用時(shí)應(yīng)權(quán)衡考慮計(jì)算精度和時(shí)耗。四是網(wǎng)格形狀，網(wǎng)格單元形狀的好壞對(duì)計(jì)算精度有著很大的影響，單元形狀太差的網(wǎng)格甚至?xí)兄褂?jì)算。在網(wǎng)格劃分時(shí)應(yīng)保證合理的單元形狀，即使只有一個(gè)單元形狀很差或畸形時(shí),也可能給計(jì)算結(jié)果帶來(lái)很大的誤差，甚至使得計(jì)算無(wú)法進(jìn)行下去。2〕對(duì)網(wǎng)格的評(píng)價(jià)單元形狀評(píng)價(jià)一般有以下幾個(gè)指標(biāo)：(1)單元的邊長(zhǎng)比、面積比或體積比以正三角形、正四面體、正六面體為參考基準(zhǔn)，理想單元的邊長(zhǎng)比為一,線性單元可接受的邊長(zhǎng)比小于三,二次單元小于十。(2)扭曲度:單元面內(nèi)的扭轉(zhuǎn)和面外的翹曲程度。(3)節(jié)點(diǎn)編號(hào):節(jié)點(diǎn)編號(hào)對(duì)于求解過(guò)程中總剛矩陣的帶寬和波前因數(shù)有較大的影響,從而影響計(jì)算時(shí)耗和存儲(chǔ)容量的大小。因此合理的節(jié)點(diǎn)編號(hào)有利于剛度矩陣對(duì)稱、帶狀分布等求解效率,從而提高計(jì)算速度。3〕不同維數(shù)模型劃分介紹我們對(duì)各維模型的單元?jiǎng)澐肿龊?jiǎn)要的介紹。一維單元可分為兩種。一類是單元的節(jié)點(diǎn)參數(shù)中只包含場(chǎng)函數(shù)的節(jié)點(diǎn)值C0型，另一類是單元的節(jié)點(diǎn)參數(shù)中，除場(chǎng)函數(shù)的結(jié)點(diǎn)值外，還包含場(chǎng)函數(shù)導(dǎo)數(shù)的節(jié)點(diǎn)值的C1型單元。這分別是拉格朗日單元和Hermite單元。也就是說(shuō)拉格朗日是一次插值單元，而后者是二次插值，這樣就能保證導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性，也就是能保證在連接處除了位移連續(xù)，連接的交點(diǎn)也是光滑的。對(duì)二維單元，可以采用三角形和四邊形單元。對(duì)三角形單元，如同一維單元的情形，可以利用總體笛卡爾坐標(biāo)，也可以利用無(wú)量綱的局部自然坐標(biāo)以構(gòu)造三角形單元的插值函數(shù)。利用總體笛卡爾坐標(biāo)構(gòu)造三結(jié)點(diǎn)三角形單元的差值函數(shù)較復(fù)雜，更普遍采用的是局部自然坐標(biāo)來(lái)直接構(gòu)造一般三角行單元的差值函數(shù)，這時(shí)運(yùn)算比擬簡(jiǎn)單。三角形單元的插值一般采用面積坐標(biāo)，把一個(gè)三角形用線段分成等分塊，由插值函數(shù)的性質(zhì)等可以推導(dǎo)出差值函數(shù)。通常情況下，采用矩形單元比三角形單元更為方便而有效。其差值函數(shù)的推導(dǎo)和一維情況也很相似，也可以構(gòu)造二維的拉格朗日矩形單元和Hermite矩形單元。此時(shí)后者的精度同樣比拉格朗日單元的精度要高。由于有時(shí)四邊形單元的節(jié)點(diǎn)在矩形內(nèi)部，所以一個(gè)偶然的發(fā)現(xiàn)，Serendipity四邊形單元被發(fā)現(xiàn)，這個(gè)單元有很多優(yōu)勢(shì)，一方面由于在實(shí)際用用中優(yōu)勢(shì)希望統(tǒng)一單元的不同邊界有不同數(shù)目的節(jié)點(diǎn)，這樣可以實(shí)現(xiàn)不同階次單元之間的過(guò)渡，從而可能在求解的不同區(qū)域采用不同精度的單元，另一方面通過(guò)它闡述構(gòu)造單元插值函數(shù)的一般方法。三維單元可能有的幾何形狀要比二維單元多得多，在應(yīng)用中只討論幾種常用的形狀，又因?yàn)闃?gòu)造其插值函數(shù)的方法只是二維的推廣，所以其形式是很容易構(gòu)造出來(lái)的。其四面體單元也可以用體積坐標(biāo)，同時(shí)也存在Serendipity單元。2.單元分析1〕選擇位移模式位移模式是表示單元內(nèi)任意點(diǎn)的位移隨位置變化的函數(shù)式，由于所采用的函數(shù)是一種近似的試函數(shù)，一般不能精確地反映單元中真實(shí)的位移分布，這就帶來(lái)了有限元法的另一種根本近似性。采用位移法時(shí)，物體或結(jié)構(gòu)物離散化之后，就可把單元中的一些物理量如位移、應(yīng)變和應(yīng)力等由節(jié)點(diǎn)位移來(lái)表示。這時(shí)可以對(duì)單元中位移的分布采用一些能逼近原函數(shù)的近似函數(shù)予以描述。通常，有限單元法中我們將位移表示為坐標(biāo)變量的簡(jiǎn)單函數(shù)，這種函數(shù)稱為位移模式或位移函數(shù)，如式中，是待定系數(shù)；是與坐標(biāo)有關(guān)的某種函數(shù)。2〕建立單元?jiǎng)偠染仃囘x定單元的類型和位移模式以后，就可按虛功原理或最小勢(shì)能原理建立單元?jiǎng)偠确匠?，它?shí)際上是單元各個(gè)節(jié)點(diǎn)的平衡方程，其系數(shù)矩陣稱為單元?jiǎng)偠染仃囀街校瑸閱卧幪?hào)；為單元的節(jié)點(diǎn)位移向量；為單元的節(jié)點(diǎn)力向量；為單元?jiǎng)偠染仃?，它的每一個(gè)元素都反映了一定的剛度特性。根據(jù)單元的材料性質(zhì)、形狀、尺寸、節(jié)點(diǎn)數(shù)目、位置及其含義等，找出單元節(jié)點(diǎn)力和節(jié)點(diǎn)位移的關(guān)系式，這是單元分析中的關(guān)鍵一步。此時(shí)需要應(yīng)用彈性力學(xué)中的幾何方程和物理方程來(lái)建立力和位移的方程式，從而導(dǎo)出單元?jiǎng)偠染仃嚕@是有限元法的根本步驟之一。3〕計(jì)算等效節(jié)點(diǎn)力物體離散化后，假定力是通過(guò)節(jié)點(diǎn)從一個(gè)單元傳遞到另一個(gè)單元。但是，對(duì)于實(shí)際的連續(xù)體，力是從單元的公共邊界傳遞到另一個(gè)單元中去的。因而，這種作用在單元邊界的外表力、體積力或集中力都需要等效的移到節(jié)點(diǎn)上去，也就是用等效的節(jié)點(diǎn)力來(lái)代替所有作用在單元上的力。3.整體分析有限元法的分析過(guò)程就是先分后合，即先進(jìn)行單元分析，在建立了單元?jiǎng)偠确匠桃院?，再進(jìn)行整體分析，把這些方程集成起來(lái)，形成求解區(qū)域的剛度方程，稱為有限元位移法根本方程。集成所遵循的原那么是各相鄰單元在共同節(jié)點(diǎn)處具有相同的位移。利用結(jié)構(gòu)力的平衡條件和邊界條件把各個(gè)單元按原來(lái)的結(jié)構(gòu)重新連接起來(lái)；形成整體的有限元方程式中，K為整體結(jié)構(gòu)的剛度矩陣；為整體節(jié)點(diǎn)位移向量；F為整體載荷向量。4.求解方程，得出節(jié)點(diǎn)位移解有限元方程式得出位移、這里，可以根據(jù)方程組的具體特點(diǎn)來(lái)選擇適宜的計(jì)算方法。有限元方程是一組方程組，方程在經(jīng)歷平衡問(wèn)題中就是以節(jié)點(diǎn)位移為根本未知量的系統(tǒng)結(jié)點(diǎn)平衡方程。有限元求解的效率及計(jì)算結(jié)果的精確很大成都上取決于線性代數(shù)方程組的解法。特別是隨著研究對(duì)象的更加復(fù)雜，有限元分析需要采用更多單元的離散模型來(lái)近似實(shí)際結(jié)構(gòu)或力學(xué)問(wèn)題的幾何構(gòu)形時(shí)，線性代數(shù)方程租的階數(shù)就愈來(lái)愈高。因而，線性方程組采用何種有限的方法求解，以保證求解的效率和精度就稱為更加重要的問(wèn)題。不僅在線性靜力分析中，求解代數(shù)方程組的時(shí)間在整個(gè)解題時(shí)間中占有很大比重，而且在動(dòng)力分析和非線性分析中這局部比重也是相當(dāng)大的。假設(shè)不采用適當(dāng)?shù)那蠼夥椒?，不僅計(jì)算費(fèi)用大量增加，嚴(yán)重時(shí)可能導(dǎo)致求解過(guò)程的不穩(wěn)定和求解的失敗。線性代數(shù)方程組的解法可以分為兩大類，即直接解法和迭代解法。直接解法的特點(diǎn)是，選定某種形式的直接解法以后，對(duì)于一個(gè)給定的線性代數(shù)方程組，事先可以按規(guī)定的算法步驟計(jì)算出它所需要的算數(shù)運(yùn)算操作數(shù)，直接給出最后的結(jié)果。迭代解法的特點(diǎn)是，對(duì)于一個(gè)給定的線性代數(shù)方程租，首先假設(shè)一個(gè)初始解，然后按一定的算法共識(shí)進(jìn)行迭代。在每次迭代過(guò)程中對(duì)解的誤差進(jìn)行檢查，并通過(guò)增加迭代次數(shù)不斷降低解的誤差，直至滿足解的精度要求，并輸出最后的解答。迭代解法的優(yōu)點(diǎn)之一是，它不要求保存洗漱矩陣中高度輪廓線以下的零元素，并且不對(duì)它們進(jìn)行運(yùn)算，即它們保持為零不變。這樣一來(lái)，計(jì)算機(jī)只需存儲(chǔ)洗漱矩陣的非零元素以及記錄它們位置的輔助數(shù)組。這不僅可以最大限度地節(jié)約了存儲(chǔ)空間，而且提高了計(jì)算效率。另一方面，迭代解法在計(jì)算過(guò)程中可以對(duì)解的誤差進(jìn)行檢查，并通過(guò)增加迭代次數(shù)來(lái)降低誤差，直至滿足解的精度要求。其缺乏之處是，每一種迭代算法可能只適合某一類問(wèn)題，常缺乏通用的有效性，如使用不當(dāng)，可能會(huì)出現(xiàn)迭代收斂很慢，甚至不收斂的情況。5.由節(jié)點(diǎn)位移計(jì)算單元的應(yīng)變與應(yīng)力解出節(jié)點(diǎn)位移以后，根據(jù)需要，可由彈性力學(xué)的幾何方程和物理方程來(lái)計(jì)算應(yīng)變和應(yīng)力。通過(guò)上述分析，可以看出，有限單元法的根本思想是“一分一合”，化整為零，集零為整，把復(fù)雜的結(jié)構(gòu)看成由有限個(gè)單元組成的整體。有限單元法的開展趨勢(shì)有限單元法已經(jīng)成為現(xiàn)代力學(xué)領(lǐng)域分析問(wèn)題的一個(gè)最重要的途徑，為了方便用戶的使用和適應(yīng)問(wèn)題復(fù)雜性的要求，目前有限單元法開展方向主要集中在以下幾個(gè)方面：更為強(qiáng)大的網(wǎng)格處理能力有限元法求解問(wèn)題的根本過(guò)程主要包括：分析對(duì)象的離散化、有限元求解、計(jì)算結(jié)果的后處理三局部。由于結(jié)構(gòu)離散后的網(wǎng)格質(zhì)量直接影響到求解時(shí)間及求解結(jié)果的正確性與否，近年來(lái)各軟件開發(fā)商都加大了其在網(wǎng)格處理方面的投入，使網(wǎng)格生成的質(zhì)量和效率都有了很大的提高，但在有些方面卻一直沒有得到改良，如對(duì)三維實(shí)體模型進(jìn)行自動(dòng)六面體網(wǎng)格劃分和根據(jù)求解結(jié)果對(duì)模型進(jìn)行自適應(yīng)網(wǎng)格劃分，除了個(gè)別商業(yè)軟件做得較好外，大多數(shù)分析軟件仍然沒有此功能。自動(dòng)六面體網(wǎng)格劃分是指對(duì)三維實(shí)體模型程序能自動(dòng)的劃分出六面體網(wǎng)格單元，現(xiàn)在大多數(shù)軟件都能采用映射、拖拉、掃略等功能生成六面體單元，但這些功能都只能對(duì)簡(jiǎn)單規(guī)那么模型適用，對(duì)于復(fù)雜的三維模型那么只能采用自動(dòng)四面體網(wǎng)格劃分技術(shù)生成四面體單元。對(duì)于四面體單元，如果不使用中間節(jié)點(diǎn)，在很多問(wèn)題中將會(huì)產(chǎn)生不正確的結(jié)果，如果使用中間節(jié)點(diǎn)將會(huì)引起求解時(shí)間、收斂速度等方面的一系列問(wèn)題，因此人們迫切的希望自動(dòng)六面體網(wǎng)格功能的出現(xiàn)。自適應(yīng)性網(wǎng)格劃分是指在現(xiàn)有網(wǎng)格根底上，根據(jù)有限元計(jì)算結(jié)果估計(jì)計(jì)算誤差、重新劃分網(wǎng)格和再計(jì)算的一個(gè)循環(huán)過(guò)程。對(duì)于許多工程實(shí)際問(wèn)題，在整個(gè)求解過(guò)程中，模型的某些區(qū)域?qū)?huì)產(chǎn)生很大的應(yīng)變，引起單元畸變，從而導(dǎo)致求解不能進(jìn)行下去或求解結(jié)果不正確，因此必須進(jìn)行網(wǎng)格自動(dòng)重劃分。自適應(yīng)網(wǎng)格往往是許多工程問(wèn)題如裂紋擴(kuò)展、薄板成形等大應(yīng)變分析的必要條件。由單一結(jié)構(gòu)場(chǎng)求解開展到耦合場(chǎng)問(wèn)題的求解有限元分析方法最早應(yīng)用于航空航天領(lǐng)域，主要用來(lái)求解線性結(jié)構(gòu)問(wèn)題[5]，實(shí)踐證明這是一種非常有效的數(shù)值分析方法。而且從理論上也已經(jīng)證明，只要用于離散求解對(duì)象的單元足夠小，所得的解就可足夠逼近于精確值?，F(xiàn)在用于求解結(jié)構(gòu)線性問(wèn)題的有限元方法和軟件已經(jīng)比擬成熟，開展方向是結(jié)構(gòu)非線性、流體動(dòng)力學(xué)和耦合場(chǎng)問(wèn)題的求解。例如由于摩擦接觸而產(chǎn)生的熱問(wèn)題，金屬成形時(shí)由于塑性功而產(chǎn)生的熱問(wèn)題,需要結(jié)構(gòu)場(chǎng)和溫度場(chǎng)的有限元分析結(jié)果交叉迭代求解，即"熱力耦合"的問(wèn)題。當(dāng)流體在彎管中流動(dòng)時(shí)，流體壓力會(huì)使彎管產(chǎn)生變形，而管的變形又反過(guò)來(lái)影響到流體的流動(dòng)，這就需要對(duì)結(jié)構(gòu)場(chǎng)和流場(chǎng)的有限元分析結(jié)果交叉迭代求解，即所謂"流固耦合"的問(wèn)題。由于有限元的應(yīng)用越來(lái)越深入，人們關(guān)注的問(wèn)題越來(lái)越復(fù)雜，耦合場(chǎng)的求解必定成為有限元的開展方向。由求解線性問(wèn)題開展到求解非線性問(wèn)題隨著科學(xué)技術(shù)的開展，線性理論已經(jīng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)不能滿足設(shè)計(jì)的要求，許多工程問(wèn)題如材料的破壞與失效、裂紋擴(kuò)展等僅靠線性理論根本不能解決，必須進(jìn)行非線性分析求解，例如薄板成形就要求同時(shí)考慮結(jié)構(gòu)的大位移、大應(yīng)變〔幾何非線性〕和塑性〔材料非線性〕；而對(duì)塑料、橡膠、陶瓷、混凝土及巖土等材料進(jìn)行分析或需考慮材料的塑性、蠕變效應(yīng)時(shí)那么必須考慮材料非線性。眾所周知，非線性問(wèn)題的求解是很復(fù)雜的，它不僅涉及到很多專門的數(shù)學(xué)問(wèn)題，還必須掌握一定的理論知識(shí)和求解技巧，學(xué)習(xí)起來(lái)也較為困難。為此國(guó)外一些公司花費(fèi)了大量的人力和物力開發(fā)非線性求解分析軟件，如ADINA、ABAQUS等。它們的共同特點(diǎn)是具有高效的非線性求解器、豐富而實(shí)用的非線性材料庫(kù)，ADINA還同時(shí)具有隱式和顯式兩種時(shí)間積分方法。程序面向用戶的開放性隨著商業(yè)化的提高，各軟件開發(fā)商為了擴(kuò)大自己的市場(chǎng)份額，滿足用戶的需求，在軟件的功能、易用性等方面花費(fèi)了大量的投資，但由于用戶的要求千差萬(wàn)別，不管他們?cè)鯓优σ膊豢赡軡M足所有用戶的要求，因此必須給用戶一個(gè)開放的環(huán)境，允許用戶根據(jù)自己的實(shí)際情況對(duì)軟件進(jìn)行擴(kuò)充，包括用戶自定義單元特性、用戶自定義材料本構(gòu)、用戶自定義邊界條件、用戶自定義結(jié)構(gòu)斷裂判據(jù)和裂紋擴(kuò)展規(guī)律等等。與圖形軟件如CAD軟件的無(wú)縫集成當(dāng)今有限元分析軟件的一個(gè)開展趨勢(shì)是與通用CAD軟件的集成使用，即在用CAD軟件完成部件和零件的造型設(shè)計(jì)后，能直接將模型傳送到CAE軟件中進(jìn)行有限元網(wǎng)格劃分并進(jìn)行分析計(jì)算，如果分析的結(jié)果不滿足設(shè)計(jì)要求那么重新進(jìn)行設(shè)計(jì)和分析，直到滿意為止，從而極大地提高了設(shè)計(jì)水平和效率。為了滿足工程師快捷地解決復(fù)雜工程問(wèn)題的要求，許多商業(yè)化有限元分析軟件都開發(fā)了和著名的CAD軟件的接口。基于ANSYS的計(jì)算實(shí)例分析題目:某雙線鐵路隧道，長(zhǎng)700米，除進(jìn)出口洞段〔約2100m〕巖體為碎石狀松散結(jié)構(gòu)體，巖體級(jí)別為V級(jí)外，其余500m洞段主要為塊碎石狀鑲嵌結(jié)構(gòu)體，巖體級(jí)別為IV級(jí)，埋深50m~150m不等。現(xiàn)根據(jù)《鐵路隧道設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)》(TB10003—2005)規(guī)定，IV級(jí)巖體段隧道襯砌采用復(fù)合襯砌，其中的初期支護(hù)及二次襯砌采用工程類比法進(jìn)行設(shè)計(jì)，并通過(guò)數(shù)值方法進(jìn)行驗(yàn)算。初襯和二襯設(shè)計(jì)參數(shù)見表1，圍巖及支護(hù)結(jié)構(gòu)物理力學(xué)參數(shù)見表2。表1鐵路雙線隧道IV級(jí)圍巖復(fù)合式襯砌設(shè)計(jì)參數(shù)圍巖級(jí)別初期支護(hù)二次襯砌(C30)噴射混凝土(C20)厚度(cm)錨桿(直徑25mm)鋼筋網(wǎng)鋼架拱、墻(cm)仰拱(cm)拱、墻仰拱位置長(zhǎng)度(m)間距(m)IV2020拱、墻3.01.0拱、墻、仰拱@2525—4045表2圍巖及支護(hù)結(jié)構(gòu)根本物理力學(xué)參數(shù)工程密度/kg/m3彈性(變形)模量/GPa泊松比內(nèi)摩擦角/粘聚力/MPaIV級(jí)圍巖22003.20.32350.5C20噴砼2500210.2——C30混凝土2500300.2——錨桿78002000.3——圖1隧道開挖輪廓為兩段圓弧(見圖1)，頂拱及邊墻段圓弧圓心在隧道軸線上，半徑5.5m，圓心角約223；仰拱段圓弧由頂拱及邊墻段圓弧的兩個(gè)角點(diǎn)及仰拱頂點(diǎn)組成，仰拱頂點(diǎn)位于頂拱及邊墻段圓弧圓心以下3.8m處。施工采用CRD工法。計(jì)算當(dāng)隧道埋深分別為50m、100m和150m〔至隧道軸線〕時(shí)，初襯內(nèi)力和圍巖的應(yīng)力分布特征，并進(jìn)行比擬。計(jì)算方法:對(duì)于雙線鐵路隧道，采用CRD工法施工，其襯砌包括初期支護(hù)和二次襯砌。本次計(jì)算中采用開挖數(shù)值模擬〔地層結(jié)構(gòu)模型〕來(lái)分別計(jì)算隧道埋深為50m，100m，150m時(shí)初襯內(nèi)力和圍巖的應(yīng)力分布。地層結(jié)構(gòu)模型需要用到ansys軟件中平面單元〔Plane42〕模擬圍巖和桿單元〔Link〕模擬錨桿，采用Beam3單元模擬噴射混凝土和鋼筋網(wǎng)。錨桿布置于邊墻軸線以上的局部，噴混凝土為封閉結(jié)構(gòu)，不考慮鋼筋網(wǎng)對(duì)噴砼的加強(qiáng)作用。計(jì)算過(guò)程:荷載計(jì)算：隧道埋深分別為50m，100m，150m時(shí)，模擬面均取為50m埋深。100m，150m時(shí)模擬面以上的巖體以荷載形式施加，頂面垂直荷載為上部巖體〔未模擬局部〕自重，側(cè)邊水平荷載，按彈性力學(xué)方法計(jì)算，等于垂直荷載乘側(cè)壓力系數(shù)μ/(1-μ)，此題中側(cè)壓力系數(shù)為0.4706。由于該鐵路隧道地下水不豐富，按水土合算側(cè)壓力。模擬的地層范圍，橫向兩端延伸至4倍洞徑即44m，高度為埋深50m，隧道底下3倍洞高即31.7m。整個(gè)模擬地層為99m×81.7m?！?〕．前處理主要包括材料、實(shí)常數(shù)和單元類型定義，建立幾何模型和單元網(wǎng)格劃分。具體見命令流。生成的關(guān)鍵點(diǎn)，生成的線