2024年山東省德州市齊河縣中考數(shù)學一練試卷（含解析）

2024年山東省德州市齊河縣中考數(shù)學一練試卷一、選擇題：本大題共12小題，在每小題給出的四個選項中，只有一項是正確的，請把正確的選項選出來，每小題選對得4分，選錯、不選或選出的答案超過一個均記零分。1．（4分）下列實數(shù)中，比﹣5小的數(shù)是（）A．﹣6 B．﹣ C．0 D．2．（4分）在下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．3．（4分）2024年春節(jié)文旅消費“熱辣滾燙”．文旅部公布的數(shù)據(jù)顯示，2024年春節(jié)假期，全國旅游人次達4.74億，實現(xiàn)旅游收入6326.87億元，同比增長47.3%．其中6326.87億用科學記數(shù)法可表示為（）A．6.32687×1011 B．0.632687×1012 C．63.2687×1010 D．6.32687×10134．（4分）在我國古代建筑中經(jīng)常使用榫卯構件，如圖是某種榫卯構件的示意圖，其中卯的俯視圖是（）A． B． C． D．5．（4分）下列計算正確的是（）A．3x+2x2＝5x3 B．（a﹣b）2＝a2﹣b2 C．（﹣x3）2＝x6 D．3x2?4x3＝12x66．（4分）如圖，在?ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，E是邊CD的中點，連接OE．若∠ABC＝50°，∠BAC＝80°，則∠1的度數(shù)為（）A．60° B．50° C．40° D．25°7．（4分）雪上項目占據(jù)了2022年北京冬奧會的大部分比賽項目，有自由式滑雪、越野滑雪、跳臺滑雪、無舵雪橇、有舵雪橇、高山滑雪等．如圖，某滑雪運動員在坡度為5：12的雪道上下滑65m，則該滑雪運動員沿豎直方向下降的高度為（）A．13m B．25m C．m D．156m8．（4分）如圖，在平面直角坐標系中，矩形ABCD的對角線AC經(jīng)過坐標原點O，矩形的邊分別平行于坐標軸，點B在函數(shù)（k≠0，x＞0）的圖象上，點D的坐標為（﹣3，1），則k的值為（）A． B．﹣3 C．3 D．9．（4分）如圖，AB是⊙O的直徑，延長AB至C，CD切⊙O于點D，過點D作DE∥AB交⊙O于點E，連接BE．若AB＝12，∠ABE＝15°，則BC的長為（）A．3 B．4 C．6 D．4﹣610．（4分）小明上月在某文具店正好用20元錢買了幾本筆記本，本月再去買時，恰遇此文具店搞優(yōu)惠酬賓活動，同樣的筆記本，每本比上月便宜1元，結果小明只比上次多用了4元錢，卻比上次多買了2本．若設他上月買了x本筆記本，則根據(jù)題意可列方程（）A．＝1 B．＝1 C．＝1 D．＝111．（4分）如圖，已知銳角∠AOB，按如下步驟作圖：（1）在射線OA上取一點C，以點O為圓心，OC長為半徑作，交射線OB于點D，連接CD；（2）分別以點C，D為圓心，CD長為半徑作弧，交于點M，N；（3）連接OM，MN，ND．根據(jù)以上作圖過程及所作圖形，下列結論中錯誤的是（）A．∠COM＝∠COD B．若OM＝MN，則∠AOB＝30° C．MN∥CD D．∠MOD＝2∠MND12．（4分）如圖，在矩形ABCD中，，，點P在AC上從點A運動到點C后，停止運動，連接BP，DP．設點P的運動距離為x，y＝BP2+DP2，則y關于x的函數(shù)圖象大致為（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，共24分，只要求填寫最后結果，每小題填對得4分，填錯或不填均記零分。13．（4分）分解因式：8m2+2m＝．14．（4分）等腰三角形的周長為16，其一邊長為6，則該等腰三角形的底邊長為．15．（4分）“二十四節(jié)氣”是中華上古農(nóng)耕文明的智慧結晶，被國際氣象界譽為“中國第五大發(fā)明”．小文購買了“二十四節(jié)氣”主題郵票，他要將“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四張郵票中的兩張送給好朋友小樂．小文將它們背面朝上放在桌面上（郵票背面完全相同），讓小樂從中隨機抽取一張（不放回），再從中隨機抽取一張，則小樂抽到的兩張郵票恰好是“立春”和“立夏”的概率是．16．（4分）已知（1，3）是反比例函數(shù)圖象和正比例函數(shù)y2＝k2x圖象的交點．若y1＞y2，則x的取值范圍是．17．（4分）若整數(shù)a既使得關于x的分式方程有整數(shù)解，又使得關于x，y的方程組的解為正數(shù)，則a＝．18．（4分）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝5，∠BAC＝120°，以CA為邊在∠ACB的另一側作∠ACM＝∠ACB，點D為邊BC（不含端點）上的任意一點，在射線CM上截取CE＝BD，連接AD，DE，AE．設AC與DE交于點F，則線段CF的最大值為．三、解答題：本大題共7小題，共78分。解答要寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟。19．（8分）（1）計算：；（2）解不等式組：，并寫出所有整數(shù)解．20．（10分）某學校八、九年級各有學生200人，為了提高學生的身體素質，學校開展了主題為“快樂運動，健康成長”的系列體育健身活動．為了了解學生的運動狀況，從八、九年級各隨機抽取40名學生進行了體能測試，獲得了他們的成績（百分制），并對數(shù)據(jù)（成績）進行了整理、描述和分析．下面給出了部分信息．（說明：成績80分及以上為優(yōu)秀，70～79分為良好，60～69分為合格，60分以下為不合格）a．八年級學生成績的頻數(shù)分布直方圖如圖（數(shù)據(jù)分為五組：50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）b．八年級學生成績在70≤x＜80這一組的是：70717373737476777879c．九年級學生成績的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、優(yōu)秀率如下：平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)優(yōu)秀率79768440%根據(jù)以上信息，回答下列問題：（1）在此次測試中，小騰的成績是74分，在年級排名是第17名，由此可知他是年級的學生（填“八”，或“九”）；（2）根據(jù)上述信息，推斷年級學生運動狀況更好，理由為；（至少從兩個不同的角度說明推斷的合理性）（3）假設八、九年級全體學生都參加了此次測試，①預估九年級學生達到優(yōu)秀的約有人；②如果年級排名在前70名的學生可以被評選為“運動達人”，預估八年級學生至少要達到分才可以入選．21．（10分）如圖是某種云梯車的示意圖，云梯OD升起時，OD與底盤OC夾角為α，液壓桿AB與底盤OC夾角為β．已知液壓桿AB＝3m，當α＝37°，β＝58°時．（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）（1）求液壓桿頂端B到底盤OC的距離BE的長；（2）求AO的長．22．（12分）某校組織初二年級380名學生到廣東南路革命化州紀念館研學活動，已知用3輛小客車和1輛大客車每次可運送學生130人，用1輛小客車和2輛大客車每次可運送學生110人．（1）每輛小客車和每輛大客車各能坐多少名學生？（2）若計劃租小客車m輛，大客車n輛，一次送完，且恰好每輛車都坐滿：①請你設計出所有的租車方案；②若小客車每輛租金200元，大客車每輛租金300元．請選出最省錢的租車方案、并求出最少租金．23．（12分）如圖，ABC是等腰三角形，AB＝AC，以AC為直徑的⊙O與BC交于D，DE⊥AB，垂足為點E，ED的延長線與AC的延長線交于點F．（1）求證：DE是⊙O的切線；（2）若⊙O的半徑為2，BE＝1，求cos∠A的值．24．（12分）拋物線y＝ax2+bx+3過點A（﹣1，0），點B（3，0），頂點為C，與y軸相交于點D．點P是該拋物線上一動點，設點P的橫坐標為m（0＜m＜3）．（1）求拋物線的表達式及點C的坐標；（2）如圖1，連接BD，PB，PD，若△PBD的面積為3，求m的值；（3）連接AC，過點P作PM⊥AC于點M，是否存在點P，使得PM＝2CM．如果存在，請求出點P的坐標；如果不存在，請說明理由．25．（14分）某校數(shù)學興趣學習小組在一次活動中，對一些特殊幾何圖形具有的性質進行了如下探究：（1）發(fā)現(xiàn)問題：如圖1，在等腰△ABC中，AB＝AC，點M是邊BC上任意一點，連接AM，以AM為腰作等腰△AMN，使AM＝AN，∠MAN＝∠BAC，連接CN．求證：∠ACN＝∠ABM；（2）類比探究：如圖2，在等腰△ABC中，∠B＝30°，AB＝BC，AC＝8，點M是邊BC上任意一點，以AM為腰作等腰△AMN，使AM＝MN，∠AMN＝∠B．在點M運動過程中，AN是否存在最小值？若存在，求出最小值，若不存在，請說明理由；（3）拓展應用：如圖3，在正方形ABCD中，點E是邊BC上一點，以DE為邊作正方形DEFG，H是正方形DEFG的中心，連接CH，DH．若正方形DEFG的邊長為8，，求△CDH的面積．

2024年山東省德州市齊河縣中考數(shù)學一練試卷參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共12小題，在每小題給出的四個選項中，只有一項是正確的，請把正確的選項選出來，每小題選對得4分，選錯、不選或選出的答案超過一個均記零分。1．【分析】根據(jù)實數(shù)的大小做出判斷即可．【解答】解：∵﹣6＜﹣5，﹣＞﹣5，0＞﹣5，＞﹣5，∴A選項符合題意，故選：A．【點評】本題主要考查實數(shù)大小的比較，根據(jù)實數(shù)的大小做出正確的判斷是解題的關鍵．2．【分析】如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形；把一個圖形繞某一點旋轉180°，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形．【解答】解：A、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；B、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故此選項不合題意；C、既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故此選項符合題意；D、不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；故選：C．【點評】本題考查了中心對稱圖形和軸對稱圖形的定義，能熟記中心對稱圖形和軸對稱圖形的定義是解此題的關鍵．3．【分析】科學記數(shù)法的表現(xiàn)形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同，當原數(shù)絕對值大于等于10時，n是正整數(shù)，當原數(shù)絕對值小于1時，n是負整數(shù)；由此進行求解即可得到答案．【解答】解：因為6326.87億＝632687000000，所以6326.87億用科學記數(shù)法可表示為6.32687×1011．故選：A．【點評】本題主要考查了科學記數(shù)法的表示方法，熟練掌握科學記數(shù)法的表示方法是解題的關鍵．4．【分析】找到從上面看所得到的圖形即可，注意所有的看到的棱都應表現(xiàn)在俯視圖中．【解答】解：從上面看，可得俯視圖：．故選：C．【點評】本題考查了簡單組合體的三視圖，俯視圖是從物體的上面看得到的視圖．5．【分析】根據(jù)完全平方公式，冪的乘方的性質，單項式的乘法法則，同底數(shù)冪的乘法的性質對各選項分析判斷后利用排除法求解．【解答】解：A、3x與2x2不是同類項，不能合并，故本選項錯誤；B、應為（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故本選項錯誤；C、（﹣x3）2＝x3×2＝x6，正確；D、應為3x2?4x3＝3×4×（x2?x3）＝12x5，故本選項錯誤．故選：C．【點評】本題比較簡單，主要考查了冪的乘方的性質，單項式的乘法的法則，完全平方公式．6．【分析】直接利用三角形內角和定理得出∠BCA的度數(shù)，再利用三角形中位線定理結合平行線的性質得出答案．【解答】解：∵∠ABC＝50°，∠BAC＝80°，∴∠BCA＝180°﹣50°﹣80°＝50°，∵對角線AC與BD相交于點O，E是邊CD的中點，∴EO是△DBC的中位線，∴EO∥BC，∴∠1＝∠ACB＝50°．故選：B．【點評】此題主要考查了三角形內角和定理、三角形中位線定理等知識，得出EO是△DBC的中位線是解題關鍵．7．【分析】依據(jù)題意畫出圖形，再根據(jù)坡比可得BC的高度，【解答】解：如圖，由題意得，AB＝65m，BC⊥AC于C，∵斜坡AB的坡比是5：12，∴設BC＝5a，則AC＝12a，由勾股定理可得AB＝＝13a，∴13a＝65，解得a＝5，∴BC＝5a＝25，故選：B．【點評】本題考查解直角三角形的實際應用，根據(jù)題意畫出圖形構造直角三角形是解題關鍵．8．【分析】根據(jù)矩形的性質得：矩形DEOF的面積＝矩形BGOH的面積，則矩形BGOH的面積為3，從而得出k的值．【解答】解：∵矩形ABCD的對角線AC經(jīng)過坐標原點O，∴△ACD＝S△ABC，S△AOE＝S△AOG，S△COF＝S△COH，∴矩形DEOF的面積＝矩形BGOH的面積，∵點D的坐標為（﹣3，1），∴矩形DEOF的面積為3，∴矩形BGOH的面積為3，∵點B在第四象限，∴k＝﹣3，故選：B．【點評】本題主要考查了矩形的性質，反比例函數(shù)的性質等知識，明確k的幾何意義是解題的關鍵．9．【分析】連接OD，利用平行線的性質和圓周角定理得到∠DOC＝30°，利用切線的性質定理得到OD⊥BC，在Rt△ODC中，利用直角三角形的邊角關系定理求得OC，則BC＝OC﹣OB．【解答】解：連接OD，如圖，∵DE∥AB，∴∠E＝∠ABE＝15°，∴∠DOC＝2∠E＝30°．∵CD切⊙O于點D，∴OD⊥CD．∵AB＝12，AB是⊙O的直徑，∴OD＝OB＝AB＝6，在Rt△ODC中，∵cos∠DOC＝，∴，∴OC＝，∴BC＝OC﹣OB＝4﹣6．故選：D．【點評】本題主要考查了圓的有關性質，圓周角定理，圓的切線的性質定理，直角三角形的性質，直角三角形的邊角關系定理，連接經(jīng)過切點的半徑是解決此類問題常添加的輔助線．10．【分析】由設他上月買了x本筆記本，則這次買了（x+2）本，然后可求得兩次每本筆記本的價格，由等量關系：每本比上月便宜1元，即可得到方程．【解答】解：設他上月買了x本筆記本，則這次買了（x+2）本，根據(jù)題意得：﹣＝1，即：﹣＝1．故選：B．【點評】此題考查了分式方程的應用．注意準確找到等量關系是關鍵．11．【分析】由圓周角定理，圓心角、弧、弦的關系，平行線的判定，即可解決問題．【解答】解：A、∵CD＝MC，∴＝，∴∠COD＝∠MOC，故A不符合題意；B、連接ON，由OM＝ON＝MN，得到∠MON＝60°，∵＝＝，∴∠AOB＝∠MON＝20°，故B符合題意；C、連接MD，ND，∵＝，∴∠MDC＝∠DMN，MN∥CD，故C不符合題意；D、由圓周角定理得到∠MOD＝2∠MND，故D不符合題意．故選：B．【點評】此題考查了圓周角定理，熟記圓周角定理是解題的關鍵．12．【分析】分別過點B、D作BE⊥AC于點E，DF⊥AC于點F，由矩形性質可得AC＝1，運用面積法求得BE＝，再運用三角函數(shù)定義及勾股定理即可求得答案．【解答】解：如圖，分別過點B、D作BE⊥AC于點E，DF⊥AC于點F，∵四邊形ABCD是矩形，∴BC＝AD＝，CD＝AB＝，∠ABC＝∠ADC＝90°，∴AC＝＝＝1，∵BE⊥AC，∴AC?BE＝AB?BC，即1×BE＝×，∴BE＝，∵tan∠BAC＝＝＝＝，∴AE＝BE＝×＝，同理可得CF＝，DF＝，∴AF＝AC﹣CF＝1﹣＝，由題意得AP＝x，則PE＝﹣x，PF＝﹣x，在Rt△BPE中，BP2＝BE2+PE2＝（）2+（﹣x）2＝x2﹣x+，在Rt△DPF中，DP2＝DF2+PF2＝（）2+（﹣x）2＝x2﹣x+，∴y＝BP2+DP2＝x2﹣x++x2﹣x+＝2x2﹣2x+1＝2（x﹣）2+，故選：C．【點評】本題考查了動點問題的函數(shù)圖象，矩形性質，三角函數(shù)，勾股定理，找出y關于x的函數(shù)關系式是解題的關鍵．二、填空題：本大題共6小題，共24分，只要求填寫最后結果，每小題填對得4分，填錯或不填均記零分。13．【分析】直接提取公因式2m，進而分解因式得出答案．【解答】解：8m2+2m＝2m（4m+1）．故答案為：2m（4m+1）．【點評】此題主要考查了提取公因式法分解因式，正確找出公因式是解題關鍵．14．【分析】此題分為兩種情況：6是等腰三角形的底邊或6是等腰三角形的腰．然后進一步根據(jù)三角形的三邊關系進行分析能否構成三角形．【解答】解：當腰為6時，則底邊4，此時三邊滿足三角形三邊關系；當?shù)走厼?時，則另兩邊長為5、5，此時三邊滿足三角形三邊關系；故答案為：6或4．【點評】本題考查了等腰三角形的性質及三角形的三邊關系，解題的關鍵是能夠分類討論，難度不大．15．【分析】根據(jù)題意，可以畫出相應的樹狀圖，從而可以得到小樂抽到的兩張郵票恰好是“立春”和“立夏”的概率．【解答】解：設立春用A表示，立夏用B表示，秋分用C表示，大寒用D表示，畫樹狀圖如下，由圖可得，一共有12種等可能性的結果，其中小樂抽到的兩張郵票恰好是“立春”和“立夏”的可能性有2種，∴小樂抽到的兩張郵票恰好是“立春”和“立夏”的概率是，故答案為：．【點評】本題考查列表法與畫樹狀圖法求概率，解答本題的關鍵是明確題意，畫出相應的樹狀圖．16．【分析】將點（1，3）分別代入解析式得到一次函數(shù)和反比例函數(shù)解析式，聯(lián)立方程組求出交點的橫坐標即可得到不等式的解集．【解答】解：∵（1，3）是反比例函數(shù)圖象和正比例函數(shù)y2＝k2x圖象的交點．∴k1＝3，k2＝3，∴反比例函數(shù)解析式為y＝；正比例函數(shù)解析式為y＝3x，聯(lián)立方程組得，解得x1＝1，x2＝﹣1，∵y1＞y2，∴0＜x＜1或x＜﹣1．故答案為：0＜x＜1或x＜﹣1．【點評】本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題，交點坐標滿足兩個函數(shù)解析式．17．【分析】先解分式方程得x關于a的代數(shù)式，根據(jù)分式方程有整數(shù)解和不能為增根，求出a的取值，再解方程組，根據(jù)方程組的解為正數(shù)，列出a的不等式組求得a的取值范圍，進而綜合求得a的取值個數(shù)．【解答】解：解方程得，x＝，∵分式方程有整數(shù)解，且x≠1，∴a﹣3＝﹣4或﹣2或﹣1或1或2或4，且a≠7，∴a＝﹣1或1或2或4或5，解方程組得，，∵方程組的解為正數(shù)，∴，解得a＞4，綜上，a＝5．故答案為：5．【點評】本題主要考查了解分式方程，二元一次方程組，解不等式組，整數(shù)解的應用，容易忽略分式方程增根的限制條件．18．【分析】利用SAS定理證明△ABD≌△ACE，根據(jù)全等三角形的性質得到AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，根據(jù)AA證明△ADF∽△ACD，根據(jù)相似三角形的性質得到AF＝，求出AD的最小值，得到AF的最小值，求出CF的最大值．【解答】解：∵∠BAC＝120°，AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝30°．∵∠ACM＝∠ACB，∴∠B＝∠ACM＝30°．在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS）．∴AD＝AE，∠BAD＝∠CAE．∴∠CAE+∠DAC＝∠BAD+∠DAC＝∠BAC＝120°．即∠DAE＝120°．∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝30°；∵∠ADE＝∠ACB＝30°且∠DAF＝∠CAD，∴△ADF∽△ACD．∴＝．∴AD2＝AF?AC．∴AD2＝5AF．∴AF＝．∴當AD最短時，AF最短、CF最長．∵當AD⊥BC時，AF最短、CF最長，此時AD＝AB＝．∴AF最短＝＝．∴CF最長＝AC﹣AF最短＝5﹣＝．故答案為：．【點評】本題考查的是相似三角形的判定和性質、全等三角形的判定和性質，掌握相似三角形的判定定理和性質定理是解題的關鍵．三、解答題：本大題共7小題，共78分。解答要寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟。19．【分析】（1）先化簡二次根式、代入三角函數(shù)值、去絕對值符號、計算零指數(shù)冪，再去括號、計算加減即可；（2）分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小無解了確定不等式組的解集．【解答】解：（1）原式＝2﹣﹣（2﹣）+1＝2﹣﹣2++1＝2﹣1；（2）由3（x﹣1）≤2x得：x≤3，由＞x得：x＞﹣1，則不等式組的解集為﹣1＜x≤3．所以不等式組的整數(shù)解為0、1、2、3．【點評】本題考查的是實數(shù)的運算和解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎，熟知“同大取大；同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關鍵．20．【分析】（1）求出八年級學生成績的中位數(shù)，根據(jù)小騰的成績和在年級的名次，確定是哪個年級的；（2）從優(yōu)秀率、中位數(shù)上分析可以得出九年級成績較好，理由為；①九年級的優(yōu)秀率為40%，可以求出九年級的優(yōu)秀人數(shù)，②九年級中位數(shù)為76，八年級為72，說明九年級一半的同學測試成績高于76，而八年級一半同學的測試成績僅高于72．（3）年級排名在前70名的學生可以被評選為“運動達人”，因此“運動達人”占＝35%，進而得出抽樣中獲“運動達人”的有40×35%＝14人，根據(jù)直方圖和70≤x＜80中學生的成績，得出最少為78分．【解答】解：（1）八年級學生成績的中位數(shù)為＝72分；小騰的成績是74分，在年級排名是第17名，可知其中位數(shù)應該不大于74，因此他應該在八年級，故答案為：八；（2）九；理由：①九年級優(yōu)秀率40%，八年級優(yōu)秀率30%，說明九年級體能測試優(yōu)秀人數(shù)更多；②九年級中位數(shù)為76，八年級為72，說明九年級一半的同學測試成績高于76，而八年級一半同學的測試成績僅高于72．（3）①200×40%＝80；②總體中“運動達人”占＝35%，可得樣本中“運動達人”有40×35%＝14人，80≤x＜90的有9人，而90≤x≤100的有3人，因此再從70≤x＜80成績中，從大到小找出第2個即可．故答案為：78．【點評】考查頻數(shù)分布表、頻數(shù)分布直方圖的意義和制作方法，理解中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)的意義是正確解答的前提．21．【分析】（1）由銳角三角函數(shù)可求解；（2）利用銳角三角函數(shù)可求AE，OE的長，即可求解．【解答】解：（1）∵sinβ＝sin58°＝，∴0.85≈，∴BE＝2.55m；（2）∵tanα＝tan37°＝，∴0.75≈，∴OE＝3.4m，∵tanβ＝tan58°＝，∴≈1.60，∴AE≈1.59m，∴OA＝OE﹣AE＝1.81m．【點評】本題考查了解直角三角形的應用，熟練運用銳角三角函數(shù)求線段的長是解題的關鍵．22．【分析】（1）設每輛小客車能坐x名學生，每輛大客車能坐y名學生，根據(jù)“用3輛小客車和1輛大客車每次可運送學生130人，用1輛小客車和2輛大客車每次可運送學生110人”，即可得出關于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結論；（2）①根據(jù)一次運送學生380名，即可得出關于m，n的二元一次方程，結合m，n均為整數(shù)，即可得出各租車方案；②利用總租金＝每輛車的租金×租車輛數(shù)，可分別求出3個租車方案所需費用，比較后即可得出結論．【解答】解：（1）設每輛小客車能坐x名學生，每輛大客車能坐y名學生，依題意得：，解得：．答：每輛小客車能坐30名學生，每輛大客車能坐40名學生．（2）①依題意得：30m+40n＝380，∴n＝．又∵m，n均為整數(shù)，∴或或，∴共有3種租車方案，方案1：租小客車2輛，大客車8輛；方案2：租小客車6輛，大客車5輛；方案3：租小客車10輛，大客車2輛．②方案1所需租金為200×2+300×8＝2800（元）；方案2所需租金為200×6+300×5＝2700（元）；方案3所需租金為200×10+300×2＝2600（元）．∵2800＞2700＞2600，∴最省錢的租車方案是方案3租小客車10輛，大客車2輛，最少租金為2600元．【點評】本題考查了二元一次方程組的應用以及二元一次方程的應用，解題的關鍵是：（1）找準等量關系，正確列出二元一次方程組；（2）①找準等量關系，正確列出二元一次方程；②利用總租金＝每輛車的租金×租車輛數(shù)，分別求出3個租車方案所需費用．23．【分析】（1）連接OD，AD，由AC為圓的直徑，利用直徑所對的圓周角為直角及垂直的定義得到AD垂直于BC，利用三線合一得到D為BC中點，再由O為AC的中點，得到OD為三角形ABC的中位線，利用中位線性質得到OD與AB平行，進而得到OD垂直于DE，即可得證；（2）由半徑的長求出AB與AC的長，根據(jù)BE的長，由AB﹣BE求出AE的長，由平行得相似，相似得比例，設CF＝x，根據(jù)題意列出關于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可確定出所求．【解答】（1）證明：連接OD，AD，∵AC為圓的直徑，∴∠ADC＝90°，AD⊥BC，∵AB＝AC，∴點D為BC的中點，∵點O為AC的中點，∴OD∥AB，∵DE⊥AB，∠AED＝90°，∴∠ODE＝90°，∴OD⊥DE，則DE為圓O的切線；（2）解：∵r＝2，∴AB＝AC＝2r＝4，∵BE＝1，∴AE＝AB﹣BE＝3，∵OD∥AB，∴△FOD∽△FAE，∴＝＝，設CF＝x，則有OF＝x+2，AF＝x+4，∴＝，解得：x＝2，∴AF＝6，在Rt△AEF中，∠AEF＝90°，則cosA＝＝．【點評】此題考查了相似三角形的判定與性質，等腰三角形的性質，圓周角定理，以及解直角三角形，熟練掌握相似三角形的判定與性質是解本題的關鍵．24．【分析】（1）利用待定系數(shù)法可以確定拋物線的解析式，利用配方法可得拋物線的頂點坐標；（2）利用待定系數(shù)法求出直線BD解析式為y＝﹣x+3，過點P作PQ∥y軸交BD于點Q，設點P（m，﹣m2+2m+3），點Q（m，﹣m+3），根據(jù)△PBD的面積為3，可得出關于m的方程，解方程即可得到m的值；（3）設AC交y軸于點F，延長CP交x軸于G，連接GF，過點C作CE⊥x軸于點E，可得tan∠MCP＝tan∠CAE，則∠MCP＝∠CAE，△GAC是等腰三角形，證明△AFO∽△FGO，根據(jù)相似三角形的性質可得OG＝4，G（4，0），求出直線CG的解析式為為y＝﹣x+，聯(lián)立得方程組，解方程組即可求得點P的坐標．【解答】解：（1）將點A（﹣1，0），點B（3，0）代入y＝ax2+bx+3得：，解得．∴拋物線的表達式為y＝﹣x2+2x+3．∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴頂點C（1，4）；（2）∵y＝﹣x2+2x+3，令x＝0，則y＝4，∴點D（0，3），設直線BD的解析式為y＝sx+t，∵點B（3，0），∴，解得．∴直線BD解析式為y＝﹣x+3，過點P作PQ∥y軸交BD于點Q，設點P（m，﹣m2+2m+3），點Q（m，﹣m+3），∴S△PBD＝×PQ×OB＝×3（﹣m2+2m+3+m﹣3）＝+，∵△PBD的面積為3，∴﹣+m＝3，∴m1＝1，m2＝2，∴m的值為1或2；（3）∵在Rt△CMP中，PM＝2CM，∴tan∠MCP＝＝2，設AC交y軸于點F，延長CP交x軸于G，連接GF，過點C作CE⊥x軸于點E，如圖3，∵A（﹣1，0），C（1，4），∴AE＝2，CE＝4，∴OA＝1，OE＝1，CE＝4．∴