2023-2024學(xué)年河南省平頂山市汝州市八年級（下）月考數(shù)學(xué)試卷（3月份）（含解析）

2023-2024學(xué)年河南省平頂山市汝州市八年級（下）月考數(shù)學(xué)試卷（3月份）一、選擇題（每小題3分，共30分）1．（3分）下列是不等式的是（）A．x+y B．3x＞7 C．2x+3＝5 D．x3y22．（3分）如果a＞b，那么下列結(jié)論一定正確的是（）A．a(chǎn)﹣3＜b﹣3 B．﹣＜﹣ C．a(chǎn)+3＜b+3 D．﹣3a＞﹣3b3．（3分）如圖，△ABC中，AB＝AC，D是BC的中點，∠BAC＝50°，則∠BAD的度數(shù)為（）A．25° B．50° C．65° D．100°4．（3分）五根小棒的長度（單位：cm）分別為6，7，8，9，10，現(xiàn)從中選擇三根，將它們首尾相接擺成三角形，其中能擺成直角三角形的是（）A．6，7，8 B．6，8，10 C．7，8，9 D．7，9，105．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD是斜邊AB上的高，BD＝2，那么AD的長為（）A．2 B．4 C．6 D．86．（3分）以下命題的逆命題為真命題的是（）A．對頂角相等 B．同旁內(nèi)角互補，兩直線平行 C．若a＝b，則a2＝b2 D．若a＞0，b＞0，則a2+b2＞07．（3分）用反證法證明命題“三角形中必有一個內(nèi)角小于或等于60°”時，首先應(yīng)假設(shè)這個三角形中（）A．每一個內(nèi)角都大于60° B．每一個內(nèi)角都小于60° C．有一個內(nèi)角大于60° D．有一個內(nèi)角小于60°8．（3分）下列命題：①同旁內(nèi)角互補，兩直線平行；②若a2＝b2，則a＝b；③銳角與鈍角互為補角；④相等的角是對頂角．它們的逆命題是真命題的個數(shù)是（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個9．（3分）如圖，AD是△ABC中∠BAC的平分線，DE⊥AB，交AB于點E，DF⊥AC，交AC于點F，若DE＝2，AC＝4，則△ADC的面積是（）A．4 B．6 C．8 D．1010．（3分）在Rt△ABC中，∠A＝90°，有一個銳角為60°，BC＝6，若點P在直線AC上（不與點A、C重合），且∠ABP＝30°，則CP的長為（）A．6或 B．6或 C．或 D．6或或二、填空題（每小題3分，共15分）11．（3分）用不等式表示：x與5的差不大于x的2倍：．12．（3分）如圖，已知AD⊥BC，若用HL判定△ABD≌△ACD，只需添加的一個條件是．13．（3分）如圖，DE，MN分別垂直平分AB，AC，且BC＝10cm，則△ADM的周長為．14．（3分）如圖，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，垂足為E，若CD＝6，則AC＝．15．（3分）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AB＝2+2，點M，N分別是邊AB，AC上的動點，沿MN所在直線折疊△ABC，使點A的對應(yīng)點A′始終落在邊BC上，若△MA′B為直角三角形，則BM的長為．三、解答題（共8題，共75分）16．（9分）如圖，已知在△ABC中，CD⊥AB于點D，AC＝20，BC＝15，DB＝9，（1）求DC的長．（2）求證：△ABC是直角三角形．17．（9分）證明命題：“一條直角邊相等且另一條直角邊上的中線相等的兩個直角三角形全等”，要根據(jù)題意，畫出圖形，并用符號表示已知和求證，寫出證明過程．下面是小穎根據(jù)題意畫出的圖形，并寫出了不完整的已知和求證．已知：在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠C＝∠C'＝90°，AC＝A'C'，AD與A'D'分別為BC，B'C'邊上的中線且．求證：．請補全已知和求證部分，并寫出證明過程．18．（9分）如圖所示，在△ABC中，BE平分∠ABC，DE∥BC．（1）求證：△BDE是等腰三角形；（2）若∠A＝35°，∠C＝70°，求∠BDE的度數(shù)．19．（9分）如圖，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝40°．（1）尺規(guī)作圖：①作邊AB的垂直平分線交BC于點D；②連接AD，作∠CAD的平分線交BC于點E；（要求：保留作圖痕跡，不寫作法）（2）在（1）所作的圖中，求∠DAE的度數(shù)．20．（9分）如圖，正方形網(wǎng)格中的每個小正方形邊長都是1，每個小格的頂點叫做格點，以格點為頂點分別按下列要求畫三角形．（1）在圖1中，畫一個三角形，使它的三邊長都是有理數(shù)；（2）在圖2中，畫一個直角三角形，使它們的三邊長都是無理數(shù)；（3）在圖3中，畫一個正方形，使它的面積是10．21．（10分）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，點P在AC上運動，點D在AB上運動，PD始終保持與PA相等，BD的垂直平分線交BC于點E，交BD于點F，連接DE．（1）判斷DE與PD的位置關(guān)系，并說明理由；（2）若AC＝10，BC＝12，PA＝3，求線段DE的長．22．（10分）如圖，在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，AC＝6cm，點D從點A出發(fā)以1cm/s的速度向點C運動，同時點E從點C出發(fā)以2cm/s的速度向點B運動，運動的時間為t秒，解決以下問題：（1）當t為何值時，△DEC為等邊三角形；（2）當t為何值時，△DEC為直角三角形．23．（10分）（1）操作實踐：△ABC中，∠A＝90°，∠B＝22.5°，請畫出一條直線把△ABC分割成兩個等腰三角形，并標出分割成兩個等腰三角形底角的度數(shù)；（要求用兩種不同的分割方法）（2）分類探究：△ABC中，最小內(nèi)角∠B＝24°，若△ABC被一直線分割成兩個等腰三角形，請畫出相應(yīng)示意圖并寫出△ABC最大內(nèi)角的所有可能值；（3）猜想發(fā)現(xiàn)：若一個三角形能被一直線分割成兩個等腰三角形，需滿足什么條件？（請你至少寫出兩個條件，無需證明）

2023-2024學(xué)年河南省平頂山市汝州市八年級（下）月考數(shù)學(xué)試卷（3月份）參考答案與試題解析一、選擇題（每小題3分，共30分）1．【分析】根據(jù)不等式的定義，逐項判斷即可．【解答】解：A、x+y是代數(shù)式，不是不等式，故此選項不符合題意；B、3x＞7是不等式，故此選項符合題意；C、2x+3＝5是等式，故此選項不符合題意；D、x3y2是代數(shù)式，不是不等式，故此選項不符合題意．故選：B．【點評】此題主要考查了不等式的定義．解題的關(guān)鍵是掌握不等式的定義．用“＞”或“＜”號表示大小關(guān)系的式子，叫做不等式，用“≠”號表示不等關(guān)系的式子也是不等式．2．【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)逐項分析即可．【解答】解：A、不等式兩邊加﹣3，不等號的方向不變，故本選項錯誤，不符合題意；B、不等式兩邊乘﹣，不等號的方向改變，故本選項正確，符合題意；C、不等式兩邊加3，不等號的方向不變，故本選項錯誤，不符合題意；D、不等式兩邊乘﹣3，不等號方向改變，故本選項錯誤，不符合題意．故選：B．【點評】本題主要考查不等式的性質(zhì)：（1）不等式兩邊加（或減）同一個數(shù)（或式子），不等號的方向不變；（2）不等式兩邊乘（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變；（3）不等式兩邊乘（或除以）同一個負數(shù)，不等號的方向改變．3．【分析】根據(jù)已知的AB＝AC得到三角形ABC為等腰三角形，再根據(jù)AD是BC邊上的中線，利用等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)得到AD平分∠BAC，進而根據(jù)已知的∠BAC＝50°，利用角平分線的定義即可求出∠BAD的度數(shù)．【解答】解：∵AB＝AC，D是BC的中點，∠BAC＝50°，∴AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠BAC＝×50°＝25°．故選：A．【點評】此題考查了等腰三角形的性質(zhì)，以及角平分線的定義，根據(jù)已知的AD為等腰三角形底邊上的高，利用等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)得到AD也為頂角的角平分線是解本題的關(guān)鍵．4．【分析】先分別求出兩小邊的平方和和最長邊的平方，看看是否相等即可．【解答】解：A．∵62+72＝36+49＝85，82＝64，∴62+72≠82，∴以6，7，8為邊不能組成直角三角形，故本選項不符合題意；B．∵62+82＝36+64＝100，102＝100，∴62+82＝102，∴以6，8，10為邊能組成直角三角形，故本選項符合題意；C．∵72+82＝49+64＝113，92＝81，∴72+82≠92，∴以7，8，9為邊不能組成直角三角形，故本選項不符合題意；D．∵72+92＝49+81＝130，102＝100，∴72+92≠102，∴以7，9，10為邊不能組成直角三角形，故本選不符合題意；故選：B．【點評】本題考查了勾股定理的逆定理，能熟記掌握勾股定理的逆定理是解此題的關(guān)鍵，如果一個三角形的兩邊a、b的平方和等于第三邊c的平方，那么這個三角形是直角三角形．5．【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和求出∠B，根據(jù)余角的定義求出∠BCD，根據(jù)含30度角的直角三角形性質(zhì)求出BC＝2AD，AB＝2BC，求出AB即可．【解答】解：∵CD⊥AB，∠ACB＝90°，∴∠BDC＝90°＝∠ACB，∵∠A＝30°，∴∠B＝90°﹣∠A＝60°，∴∠BCD＝90°﹣∠B＝30°，∵BD＝2，∴BC＝2BD＝4，∴AB＝2BC＝8，∴AD＝AB﹣BD＝8﹣2＝6，故選：C．【點評】本題主要考查的是含30度角的直角三角形性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是求出BC＝2BD，AB＝2BC．6．【分析】根據(jù)逆命題與原命題的關(guān)系，先寫出四個命題的逆命題，然后依次利用對頂角的定義、平行線的性質(zhì)、有理數(shù)的性質(zhì)進行判斷．【解答】解：A、對頂角相等逆命題為相等的角為對頂角，此逆命題為假命題，故A選項錯誤；B、同旁內(nèi)角互補，兩直線平行的逆命題為兩直線平行，同旁內(nèi)角互補，此逆命題為真命題，故B選項正確；C、若a＝b，則a2＝b2的逆命題為若a2＝b2，則a＝b，此逆命題為假命題，故C選項錯誤；D、若a＞0，b＞0，則a2+b2＞0的逆命題為若a2+b2＞0，則a＞0，b＞0，此逆命題為假命題，故D選項錯誤．故選：B．【點評】本題考查了命題與定理：判斷事物的語句叫命題；正確的命題稱為真命題，錯誤的命題稱為假命題；經(jīng)過推理論證的真命題稱為定理．考查逆命題是否為真命題，關(guān)鍵先找出逆命題，再進行判斷．7．【分析】熟記反證法的步驟，然后進行判斷即可．【解答】解：用反證法證明“三角形中必有一個內(nèi)角小于或等于60°”時，應(yīng)先假設(shè)三角形中每一個內(nèi)角都不小于或等于60°，即都大于60°．故選：A．【點評】此題主要考查了反證法，反證法的步驟是：（1）假設(shè)結(jié)論不成立；（2）從假設(shè)出發(fā)推出矛盾；（3）假設(shè)不成立，則結(jié)論成立．在假設(shè)結(jié)論不成立時要注意考慮結(jié)論的反面所有可能的情況，如果只有一種，那么否定一種就可以了，如果有多種情況，則必須一一否定．8．【分析】根據(jù)所學(xué)的公理定理對各小題進行分析判斷，然后再計算真命題的個數(shù)．【解答】解：①同旁內(nèi)角互補，兩直線平行的逆命題是兩直線平行，同旁內(nèi)角互補是真命題；②若a2＝b2，則a＝b的逆命題是若a＝b，則a2＝b2是真命題；③銳角與鈍角互為補角的逆命題是互補的角是銳角與鈍角，是假命題；④相等的角是對頂角的逆命題是對頂角相等，是真命題；故選：B．【點評】此題主要考查了命題與定理，正確把握相關(guān)性質(zhì)是解題關(guān)鍵．9．【分析】先根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到DF＝DE＝2，再利用三角形面積公式即可求解．【解答】解：∵AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DF＝DE，∵DE＝2，∴DF＝2，∴S△ADC＝AC×DF＝×4×2＝4，故選：A．【點評】本題考查了角平分線的性質(zhì)，熟記角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．10．【分析】根據(jù)點P在直線AC上的不同位置，∠ABP＝30°，利用特殊角的三角函數(shù)進行求解．【解答】解：如圖1：當∠C＝60°時，∠ABC＝30°，與∠ABP＝30°矛盾；如圖2：當∠C＝60°時，∠ABC＝30°，∵∠ABP＝30°，∴∠CBP＝60°，∴△PBC是等邊三角形，∴CP＝BC＝6；如圖3：當∠ABC＝60°時，∠C＝30°，∵∠ABP＝30°，∴∠PBC＝60°﹣30°＝30°，∴PC＝PB，∵BC＝6，∴AB＝3，∴如圖4：當∠ABC＝60°時，∠C＝30°，∵∠ABP＝30°，∴∠PBC＝60°+30°＝90°，∴．故選：D．【點評】本題考查利用特殊角的三角函數(shù)值求線段的長，解題的關(guān)鍵是確定點P在直線AC上的不同位置．二、填空題（每小題3分，共15分）11．【分析】x與5的差為x﹣5，不大于即小于等于，x的2倍為2x，據(jù)此列不等式．【解答】解：由題意得：x﹣5≤2x；故答案為：x﹣5≤2x【點評】本題考查了由實際問題抽象出一元一次不等式，解答本題的關(guān)鍵是把文字語言的不等關(guān)系轉(zhuǎn)化為用數(shù)學(xué)符號表示的不等式，注意抓住關(guān)鍵詞語，弄清不等關(guān)系．12．【分析】根據(jù)斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等（可以簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”）可得需要添加條件AB＝AC．【解答】解：還需添加條件AB＝AC，∵AD⊥BC于D，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，在Rt△ABD和Rt△ACD中，，∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL），故答案為：AB＝AC．【點評】此題主要考查了直角三角形全等的判定，關(guān)鍵是正確理解HL定理．13．【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】解：∵DE，MN分別垂直平分AB，AC，∴AD＝DB，AM＝CM，∴△ADM的周長＝AD+DM+AM＝BD+DM+CM＝BC＝10cm，故答案為：10cm．【點評】本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)，熟知線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等的性質(zhì)，等邊對等角的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．14．【分析】根據(jù)角平分線性質(zhì)得出CD＝DE＝6，求出BE＝DE，根據(jù)勾股定理求出BD，即可求出答案．【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝BC∴∠B＝∠CAB＝45°，AC⊥BC，∵AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，∴CD＝DE＝6，∠AED＝90°，∴∠DEB＝90°，∠EDB＝45°＝∠B，∴DE＝BE＝6，在△DEB中，由勾股定理得：BD＝＝6，∵AC＝BC，∴AC＝CD+BD＝6+6，故答案為：6+6．【點評】本題考查角平分線性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的計算能力．15．【分析】①如圖1，當∠A′MB＝90°，A′與C重合，M是AB的中點，于是得到結(jié)論；②如圖2，當∠MA′B＝90°，推出△BMA′是等腰直角三角形，得到BM＝MA′，列方程即可得到結(jié)論．【解答】解：①如圖1，當∠A′MB＝90°，A′與C重合，M是AB的中點，∴BM＝AB＝（2+2）＝；②如圖2，當∠MA′B＝90°，∵∠C＝90°，AC＝BC，∴∠B＝45°，∴△BMA′是等腰直角三角形，∴BM＝MA′，∵沿MN所在直線折疊△ABC，使點A的對應(yīng)點A′，∴AM＝A′M，∴BM＝AM，∵BC＝2+2，∴BM+AM＝AM+AM＝2+2，∴AM＝2，∴BM＝2，綜上所述，若△MA′B為直角三角形，則BM的長為2或+1，故答案為：2或+1．【點評】本題考查了翻折變換﹣折疊問題，等腰直角三角形的性質(zhì)，正確的作出圖形是解題的關(guān)鍵．三、解答題（共8題，共75分）16．【分析】（1）直接根據(jù)勾股定理求出CD的長；（2）根據(jù)勾股定理的逆定理即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）∵CD⊥AB∴∠CDB＝∠CDA＝90°，在Rt△CDB中，∵BC＝15，DB＝9，∴根據(jù)勾股定理，得CD＝＝12，（2）證明：在Rt△CDA中，CD2+AD2＝AC2∴122+AD2＝202∴AD＝16，∴AB＝AD+BD＝16+9＝25∴AC2+BC2＝202+152＝625＝AB2，∴△ABC是直角三角形．【點評】本題考查了勾股定理，勾股定理逆定理，求出AB是解本題的關(guān)鍵．17．【分析】利用HL證明Rt△ADC≌Rt△A'D'C'可得CD＝C'D'，結(jié)合中線的定義可得BC＝B'C'，再利用SAS可證明Rt△ABC≌Rt△A'B'C'．【解答】解：AD＝A'D'；Rt△ABC≌Rt△A'B'C'（寫成△ABC≌△A'B'C'也對）；證明：∵∠C＝∠C'＝90°，AD＝A'D'，AC＝A'C'，∴Rt△ADC≌Rt△A'D'C'（HL），∴CD＝C'D'．∵AD與A'D'分別為BC與B'C'邊上的中線，∴點D和點D'分別是BC與B'C'的中點，∴BC＝2CD，B'C'＝2C'D'，∴BC＝B'C'，在△ABC和△A'B'C'中，，∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C'（SAS）．【點評】本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)，利用HL證明Rt△ADC≌Rt△A'D'C'是解題的關(guān)鍵．18．【分析】（1）先根據(jù)角平分線的定義得到∠DBE＝∠CBE，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠DEB＝∠CBE，所以∠DBE＝∠DEB，從而得到結(jié)論；（2）先利用三角形內(nèi)角和計算出∠ABC＝75°，再利用兩直線平行，同旁內(nèi)角互補計算出∠BDE的度數(shù)．【解答】（1）證明：∵BE平分∠ABC，∴∠DBE＝∠CBE，∵DE∥BC，∴∠DEB＝∠CBE，∴∠DBE＝∠DEB，∴DB＝DE，∴△BDE是等腰三角形；（2）解：∵∠A＝35°，∠C＝70°，∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣35°﹣70°＝75°，∵DE∥BC，∴∠BDE+∠DBC＝180°，∴∠BDE＝180°﹣75°＝105°．【點評】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)：等腰三角形提供了好多相等的線段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是證明線段相等、角相等的重要手段．也考查了平行線的性質(zhì)．19．【分析】（1）利用尺規(guī)作出線段AB的垂直平分線DF，交CB于D，交AB于F，連接AD；作∠CAD的角平分線交BC于E，點D，射線AE即為所求．（2）首先證明DA＝DB，推出∠DAB＝∠B＝30°，利用三角形內(nèi)角和定理求出∠BAC，∠DAC即可解決問題．【解答】解：（1）如圖，點D，射線AE即為所求．（2）∵DF垂直平分線段AB，∴DB＝DA，∴∠DAB＝∠B＝30°，∵∠C＝40°，∴∠BAC＝180°﹣30°﹣40°＝110°，∴∠CAD＝110°﹣30°＝80°，∵AE平分∠DAC，∴∠DAE＝∠DAC＝40°．【點評】本題考查作圖﹣基本作圖，線段的垂直平分線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．20．【分析】（1）利用勾股定理，找長為有理數(shù)的線段，畫三角形即可．（2）畫一個邊長，2，的三角形即可；（3）畫一個邊長為的正方形即可．【解答】解：（1）三邊分別為：3、4、5（如圖1）；（2）三邊分別為：、2、（如圖2）；（3）畫一個邊長為的正方形（如圖3）．【點評】考查了格點三角形的畫法．本題需仔細分析題意，結(jié)合圖形，利用勾股定理和正方形的性質(zhì)即可解決問題．21．【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠A＝∠PDA，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到EB＝ED，于是得到結(jié)論；（2）連接PE，設(shè)DE＝x，則EB＝ED＝x，CE＝8﹣x，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．【解答】解：（1）DE⊥PD，理由如下：∵PD＝PA，∴∠PDA＝∠A，∵EF垂直平分BD，∴ED＝EB，∴∠EDB＝∠B，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∴∠PDA+∠EDB＝90°，∴∠PDE＝90°∴DE⊥PD；（2）連接PE，如圖所示：∵AC＝10，BC＝12，PA＝3，∴CP＝AC﹣PA＝7，PD＝PA＝3，設(shè)DE＝BE＝x，則CE＝12﹣x，在Rt△PEC中，根據(jù)勾股定理，得PE2＝72+（12﹣x）2，