高中數(shù)學(xué)湘教版2019選擇性必修第一冊(cè)課件第1章數(shù)列求和

培優(yōu)課數(shù)列求和第1章內(nèi)容索引01重難探究?能力素養(yǎng)全提升02學(xué)以致用?隨堂檢測(cè)全達(dá)標(biāo)課標(biāo)要求1.掌握數(shù)列求和的方法;2.能夠根據(jù)給定的數(shù)列,選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蠛?重難探究?能力素養(yǎng)全提升探究點(diǎn)一公式法求和【例1】

(2022天津河?xùn)|高二期末)已知數(shù)列{bn}滿足b1=1,bn+1=bn.(1)求{bn}的通項(xiàng)公式;(2)求b2+b4+b6+…+b2n的值.分析

根據(jù)題意,判斷出數(shù)列{bn}是等比數(shù)列,然后根據(jù)等比數(shù)列求和公式直接求解.規(guī)律方法

公式法求和主要是利用以下兩個(gè)基本公式:(1)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式變式訓(xùn)練1在等差數(shù)列{an}中,公差d>0,其前n項(xiàng)和為Sn,且a2a3=45,a1+a4=14.(1)求Sn;探究點(diǎn)二裂項(xiàng)相消法求和【例2】

已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,2Sn=+an-2(n∈N+).(1)求證:數(shù)列{an}為等差數(shù)列;(2)記,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.分析

(1)利用an=Sn-Sn-1(n≥2),即可證明數(shù)列{an}為等差數(shù)列;(2)結(jié)合(1)中結(jié)論,利用裂項(xiàng)相消法即可求解.規(guī)律方法

裂項(xiàng)相消法求和裂項(xiàng)相消法求和的實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中的項(xiàng)分解,然后重新組合,使之能消去一些項(xiàng),最終達(dá)到求和的目的,其解題的關(guān)鍵就是準(zhǔn)確裂項(xiàng)和消項(xiàng).(1)裂項(xiàng)原則:一般是前邊裂幾項(xiàng),后邊就裂幾項(xiàng),直到發(fā)現(xiàn)被消去項(xiàng)的規(guī)律為止.(2)消項(xiàng)規(guī)律:消項(xiàng)后前邊剩幾項(xiàng),后邊就剩幾項(xiàng);前邊剩第幾項(xiàng),后邊就剩倒數(shù)第幾項(xiàng).(3)常見的裂項(xiàng)方法

解

(1)因?yàn)镾n+1-Sn=an+1=an+2,所以an+1-an=2,即{an}是等差數(shù)列,且公差d=2.又a2+a4=2a1+4d=10,所以a1=1,所以an=1+2(n-1)=2n-1,即an=2n-1.探究點(diǎn)三分組求和法【例3】

已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列,且a8=1,S16=24.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an;(2)若等比數(shù)列{bn}是遞增數(shù)列,且b1+b4=9,b2b3=8,求(a1+b1)+(a3+b3)+(a5+b5)+…+(a2n-1+b2n-1).分析

設(shè)數(shù)列{an}的公差為d,根據(jù)已知條件列關(guān)于a1和d的方程組,解方程組可得a1和d的值,即可得{an}的通項(xiàng)公式an;由等比數(shù)列的性質(zhì)求得b1和b4的值,進(jìn)而可得數(shù)列{bn}的公比和通項(xiàng)公式,最后分組求和.規(guī)律方法

分組求和法的解題策略當(dāng)一個(gè)數(shù)列本身不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列,但如果它的通項(xiàng)公式可以拆分為幾項(xiàng)的和,而這些項(xiàng)又構(gòu)成等差數(shù)列或等比數(shù)列時(shí),就可以用分組求和法,即原數(shù)列的前n項(xiàng)和等于拆分成的每個(gè)數(shù)列前n項(xiàng)和的和.變式訓(xùn)練3在等差數(shù)列{an}中,a2+a6=-20,前10項(xiàng)和S10=-145.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;(2)若數(shù)列{an+bn}是首項(xiàng)為1,公比為2的等比數(shù)列,求{bn}的前8項(xiàng)和.

探究點(diǎn)四并項(xiàng)轉(zhuǎn)化法求和【例4】

已知數(shù)列-1,4,-7,10,…,(-1)n·(3n-2),…,求其前n項(xiàng)和Sn.分析

該數(shù)列中正負(fù)項(xiàng)交替出現(xiàn),且各項(xiàng)的絕對(duì)值構(gòu)成等差數(shù)列,故可用并項(xiàng)轉(zhuǎn)化法求和.規(guī)律方法

并項(xiàng)轉(zhuǎn)化法求和的解題策略(1)一般地,當(dāng)數(shù)列中的各項(xiàng)正負(fù)交替,且各項(xiàng)的絕對(duì)值成等差數(shù)列時(shí),可以采用并項(xiàng)轉(zhuǎn)化法求和.(2)在利用并項(xiàng)轉(zhuǎn)化法求和時(shí),因?yàn)閿?shù)列的各項(xiàng)是正負(fù)交替的,所以一般需要對(duì)項(xiàng)數(shù)n進(jìn)行分類討論,最終的結(jié)果往往可以用分段形式來表示.變式探究本例中,將條件改為“已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=1-5+9-13+…+(-1)n-1·(4n-3)”,求S15+S22-S31的值.探究點(diǎn)五分類討論法求解分段表示的數(shù)列的和分析

數(shù)列的通項(xiàng)公式為分段函數(shù)的形式,因此該數(shù)列的奇、偶項(xiàng)呈現(xiàn)不同的規(guī)律,奇數(shù)項(xiàng)是首項(xiàng)為1,公差為4的等差數(shù)列,偶數(shù)項(xiàng)為首項(xiàng)為9,公比為9的等比數(shù)列,在求和時(shí),應(yīng)對(duì)奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別求和.規(guī)律方法

分段表示的數(shù)列的和的求法分段表示的數(shù)列求和的技巧性很強(qiáng),一般是轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列與等比數(shù)列求解.解題時(shí)需要對(duì)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)進(jìn)行分類討論.需要特別說明的是在分段表示的數(shù)列中,規(guī)律是隔項(xiàng)成等差數(shù)列或成等比數(shù)列,因此數(shù)列的公差或公比與平時(shí)的公差、公比有所不同,解題時(shí)要特別留意.變式訓(xùn)練4已知正項(xiàng)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,S3=7a1,且a1,a2+2,a3成等差數(shù)列.(1)求{an}的通項(xiàng)公式;解

(1)設(shè)公比為q,因?yàn)镾3=7a1,所以a1(1+q+q2)=7a1,又因?yàn)閍1>0,所以1+q+q2=7,解得q=2或q=-3(舍).因?yàn)閍1,a2+2,a3成等差數(shù)列,所以2(a2+2)=a1+a3,即2(2a1+2)=a1+4a1,解得a1=4.所以{an}的通項(xiàng)公式為an=4×2n-1=2n+1.學(xué)以致用?隨堂檢測(cè)全達(dá)標(biāo)1.數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,已知Sn=1-2+3-4+…+(-1)n-1·n,則S27=(

)A.-13 B.13 C.14 D.-14答案

C解析

S27=1-2+3-4+5-6+…+25-26+27=(1-2)+(3-4)+(5-6)+…+(25-26)+27=27-13=14.答案

B答案

C4.已知在數(shù)列{an}中,a1=1,an=an-1+(n≥2),則數(shù)列{an}的前9項(xiàng)和S9等于

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答案

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5.(2022陜西西安閻良高二期末)在各項(xiàng)都是正數(shù)的等比數(shù)列{an}中,a1=1,a