高鐵梅老師的EVIEWS教學(xué)課件第二十二章-狀態(tài)空間模型和卡爾曼濾波

第二十二章

狀態(tài)空間模型和卡爾曼濾波State

Space

Models

and

Kalman

Filter上世紀(jì)60年代初，由于工程控制領(lǐng)域的需要，產(chǎn)生了卡爾曼濾波

(Kalman

Filtering)。進(jìn)入70年代初，人們明確提出了狀態(tài)空間模型的標(biāo)準(zhǔn)形式，并開始將其應(yīng)用到經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域。80年代以后，狀態(tài)空間模型已成為一種有力的建模工具。許多時(shí)間序列模型，包括典型的線性回歸模型和ARIMA模型都能作為特例寫成狀態(tài)空間的形式，并估計(jì)參數(shù)值。在計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)文獻(xiàn)中，狀態(tài)空間模型被用來估計(jì)不可觀測的時(shí)間變量：理性預(yù)期，測量誤差，長期收入，不可觀測因素（趨勢和循環(huán)要素）。狀態(tài)空間模型在經(jīng)濟(jì)計(jì)量學(xué)領(lǐng)域其他方面的大量應(yīng)用請參見Hamilton（1994）和Harvey（1989）。在一般的統(tǒng)計(jì)模型中出現(xiàn)的變量都是可以觀測到的，這些模型以反映過去經(jīng)濟(jì)變動的時(shí)間序列數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，利用回歸分析或時(shí)間序列分析等方法估計(jì)參數(shù)，進(jìn)而預(yù)測未來的值。狀態(tài)空間模型的特點(diǎn)是提出了“狀態(tài)”這一概念。而實(shí)際上，無論是工程控制問題中出現(xiàn)的某些狀態(tài)（如導(dǎo)彈軌跡的控制問題）還是經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)所存在的某些狀態(tài)都是一種不可觀測的變量，正是這種觀測不到的變量反映了系統(tǒng)所具有的真實(shí)狀態(tài)，所以被稱為狀態(tài)向量。這種含有不可觀測變量的模型被稱為UC模型(Unobservable

Component

Model)，UC模型通過通常的回歸方程式來估計(jì)是不可能的，必須利用狀態(tài)空間模型來求解。狀態(tài)空間模型建立了可觀測變量和系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)之間的關(guān)系，從而可以通過估計(jì)各種不同的狀態(tài)向量達(dá)到分析和觀測的目的。EViews狀態(tài)空間對象對單方程或多方程動態(tài)系統(tǒng)提供了一個(gè)直接的、易于使用的界面來建立、估計(jì)及分析方程結(jié)果。它提供了大量的建立、平滑、濾波及預(yù)測工具，幫助我們利用狀態(tài)空間形式來分析動態(tài)系統(tǒng)。利用狀態(tài)空間形式表示動態(tài)系統(tǒng)主要有兩個(gè)優(yōu)點(diǎn)：第一，狀態(tài)空間模型將不可觀測的變量(狀態(tài)變量)并入可觀測模型并與其一起得到估計(jì)結(jié)果；其次，狀態(tài)空間模型是利用強(qiáng)有效的遞歸算法——卡爾曼濾波來估計(jì)的?？柭鼮V波可以用來估計(jì)單變量和多變量的ARMA模型、MIMIC（多指標(biāo)和多因果）模型、馬爾可夫轉(zhuǎn)換模型以及變參數(shù)模型?！?2.1

狀態(tài)空間模型理論及方法(22.1)(22.2)

t

t

tt

tt

v

G

Q

H

Gt

var式中，

t

為m

1

維不可觀測的狀態(tài)向量，

t

,vt

是服從于零均值正態(tài)分布的擾動向量。不可觀測的狀態(tài)向量假定服從于一階向量自回歸過程。我們將第一個(gè)方程稱為“信號”或“量測”方程，第二個(gè)方程稱為“狀態(tài)”或

“轉(zhuǎn)移”方程。擾動向量

t

,vt

的同一時(shí)刻的協(xié)方差矩陣為：(22.3)在本節(jié)中，我們僅就如何定義并預(yù)測一個(gè)線性狀態(tài)空間模型做以簡要的討論，更為詳細(xì)的內(nèi)容可以查詢Hamilton（1994）、Harvey（1993）。一、模型表示k

1維向量yt

的動態(tài)線性狀態(tài)空間表示可通過下面的方程組給出：yt

c

t

Z

t

t

t

t

dt

Tt

t

1

vtZt

，Tt

，Ht

，Qt

和ct

，dt

被稱為系統(tǒng)矩陣或向量。系統(tǒng)矩陣Zt，Tt，Ht

，Qt

可以依賴于一個(gè)未知參數(shù)的集合。狀態(tài)空間模型的一個(gè)主要的任務(wù)就是估計(jì)這些參數(shù)，如例1和例2中MA(1)和AR(2)模型的MA和AR參數(shù),是未知的。為了和模型中的其它參數(shù)，如ct

或dt

相區(qū)別，這些參數(shù)將通過

向量表示，并被稱為超參數(shù)(Hyperparameters)。超參數(shù)確定了模型的隨機(jī)性質(zhì)，而在ct

和dt

中出現(xiàn)的參數(shù)僅影響確定性的可觀測變量和狀態(tài)的期望值。在狀態(tài)空間模型中可以引入外生變量做為解釋變量，也可以引入yt

的延遲變量，這些都可以放到ct

中去。如果ct或dt是未知參數(shù)的一個(gè)線性函數(shù)，這些參數(shù)也可以作為超參數(shù)的一部分元素。[

例

1]一階移動平均模型MA(1)(22.4)量測方程(22.5)狀態(tài)方程(22.6)這種形式的特點(diǎn)是不存在量測方程噪聲。yt

t

t

1t

1,

,

T通過定義狀態(tài)向量

t

(yt

,

t

)

可以寫成狀態(tài)空間形式y(tǒng)t

(1,

0

)

t

1

0

0

0

1

t

t

1

t(22.7)式中， 。相應(yīng)的量測方程是(22.8)對于任何特殊的統(tǒng)計(jì)模型，狀態(tài)向量

t的定義是由結(jié)構(gòu)確定的。它的元素一般包含具有實(shí)際解釋意義的成分，例如趨勢或季節(jié)要素。狀態(tài)空間模型的目標(biāo)是，所建立的狀態(tài)向量

t

包含了系統(tǒng)在時(shí)刻t的所有有關(guān)信息，同時(shí)又使用盡可能少的元素。所以如果狀態(tài)空間模型的狀態(tài)向量具有最小維數(shù)，則稱為最小實(shí)現(xiàn)(Minimal

Realization)。對一個(gè)好的狀態(tài)空間模型，最小實(shí)現(xiàn)是一個(gè)基本準(zhǔn)則。然而對于任一特殊問題的狀態(tài)空間模型的表示形式卻不是惟一的，這一點(diǎn)很容易驗(yàn)證?？紤]通過定義一個(gè)任意的非奇異矩陣B，得到

B

，為t

t新的狀態(tài)向量。用B矩陣左乘狀態(tài)方程(22.2)，得到t

t

T

BT

B1式中Z

Z

B

1

。t

tt

t

t

t，d

Bd

v

Bv

y

c

Z

t

t

t

t

t

d

T

v

t

t

t

t

1

t[

例2]對二階自回歸模型AR(2)(22.9)(22.10)(22.11)換一種形式(22.12)[

例3]

由于各種各樣的外界沖擊和政策變化等因素的影響，經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)不斷發(fā)生變化，用OLS等固定參數(shù)模型表現(xiàn)不出來這種經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)的變化，因此，需要考慮采用變參數(shù)模型(Time-varyingParameter

Model)。下面利用狀態(tài)空間模型來構(gòu)造變參數(shù)模型。yt

1

yt

1

2

yt

2

t

,

t

1,,T考慮兩個(gè)可能的狀態(tài)空間形式(k1,m

2)是

yt

0

0

t

t

1

t

1

1

1

2

yt

1

2

t

yt

1

0

t

1

t

2

1

yt

1

1

0

y

(1

,

0)

t

tyt

(1,

0

)t量測方程：(22.13)狀態(tài)方程：(22.14)(22.15)和協(xié)方差矩陣為Q的正態(tài)分布。yt

xt

zt

t

tt

t

Q

,

t

1,,T

0

(,

v

)

～

N

,

0

0

0

2

t

t

1

vt在(22.13)式中，xt

是具有固定系數(shù)

的解釋變量的集合，zt

是有隨機(jī)系數(shù)

t

的解釋變量集合，隨機(jī)系數(shù)向量

t

是對應(yīng)于(22.1)中的狀態(tài)向量，稱為可變參數(shù)。變參數(shù)

t

是不可觀測變量，必須利用可觀測變量yt

和xt

來估計(jì)。在(22.14)式中假定變參數(shù)

t

的變動服從于AR(1)模型（也可以簡單地?cái)U(kuò)展為AR(p)模型），擾動向量

t

,vt

假定為相互獨(dú)立的，且服從均值為0，方差

為2二、濾波

(

Filte

ring

)考慮狀態(tài)向量

t

在時(shí)刻s的條件分布，我們可以定義條件分布的均值和方差矩陣：（22.16）（22.17）a

t

sPtsE

s

(t

)E

s

[(t

a

t

s

)(t

a

t

s

)

]期望算子的下標(biāo)表示條件分布期望作用的期間。令s

t

1

則可得到一個(gè)重要的條件分布，即可以得到狀態(tài)向量

t

的向前一步均值a

t

t

1

和向前一步方差Pt

t

1

。（22.18）（22.19）（22.20）（22.21）（22.22）當(dāng)給定a

t

1

和Pt

1

時(shí)，

t

的條件分布的均值和估計(jì)誤差的協(xié)方差矩陣由下式給定，即：Tt

a

t

1

d

tTt

Pt

1Tt

Qta

t

t

1Pt

t

1P

Z

F

1

Z

Pt

t

1

t

t

t

t

t

1Pt

Pt

t

1上面的兩個(gè)方程稱為預(yù)測方程（Prediction

Equations）。當(dāng)?shù)玫叫碌挠^測值yt

，就能夠修正

t

的估計(jì)a

t

t

1

，更新方程（UpdatingEquations）是：ta

a

P

Z

F

1

(

y

Z

a

c

)t

t

1

t

t

t

t

t

t

1

tt

t

1Ft

Zt

Pt

t

1

Zt

Ht上述的(22.18)～

(22.22)一起構(gòu)成Kalman濾波的公式。

t

的條件分布的均值a

t

是

t

在最小均方誤差意義下的最優(yōu)估計(jì)量。給出一步向前狀態(tài)條件均值，我們還可以得到y(tǒng)t的一步向前(線性)最小均方誤差估計(jì)：（22.23）一步向前預(yù)測誤差可以通過下面的公式得到：（22.24）預(yù)測誤差的方差被定義為；（22.25）卡爾曼濾波是在給出新的信息條件下更新狀態(tài)向量的向前一步預(yù)測均值和方差的連續(xù)遞歸算法，具體的遞歸步驟如上所示。只要給出狀態(tài)向量初值

0

=a0

和協(xié)方差矩陣的初值P0

，以及系統(tǒng)矩陣Zt

，Tt

，Ht

，Qt

，ct

，dt

的值和yt

的觀測值，就可以利用卡爾曼濾波計(jì)算出狀態(tài)向量和最小，同期的或“濾波”的狀態(tài)向量和方差為t

1

)

ct

Zt

a

t

t

1E

t

1

(

yt

)

E

(

yt

a

t~yt

t

1yt

~y

~t

t

1

t

t

1F

t

t

1var(

~

)

Zt

P

Z

Ht

t

1

t

t

1

t

t均方誤差矩陣的{估a計(jì)tt

1

,

Pt

t

1

}差}方差t

t

1{at

,

Pt}，向前一步預(yù)測、預(yù)測誤{差~y

、,預(yù)

~

測,誤Ft

t

1

t

t

1三、平滑

(

S

moothing

)假設(shè)對一段期間為T的時(shí)間序列觀測數(shù)據(jù)，使用期間T的所有信息，對期間內(nèi)狀態(tài)向量的估計(jì)過程，我們稱之為固定期間平滑。存在著多種形式的平滑方法（如：固定點(diǎn)平滑、固定延遲平滑等等），在這里我們使用固定期間平滑方法。平滑使用所有的樣本信息得到狀態(tài)向量的平滑估計(jì)為

ㄏta

t

T

E

T

(t

)狀態(tài)向量方差的平滑估計(jì)為Vt

varT(t

)

。矩陣Vt

也被解釋為狀態(tài)平滑估計(jì)

ㄏt

的均方誤差。四、預(yù)測

(

Fore

ca

s

ting

)對狀態(tài)空間模型有很多種預(yù)測方法。這些方法的不同點(diǎn)主要在于使用什么樣的信息和怎樣使用信息。我們將主要講解EViews支持的三種預(yù)測方法。1、n

步向前預(yù)測前面我們考察了一步向前預(yù)測的概念。現(xiàn)在，我們來考察多步向前預(yù)測的概念，在這里，我們利用給定期間內(nèi)的可利用信息，對表達(dá)式（22.16）—（22.17）進(jìn)行少量的變動，就可以得到n步向前狀態(tài)條件均值和方差：（22.29）（22.30）（22.31）相應(yīng)的n步向前預(yù)測的最小均方誤差矩陣為：（22.32）E

t

(t

n

)a

t

n

t

)

]a

t

n

tPt

n

tE

t

[(t

n

a

t

n

t

)(t

nE

t

(

yt

n

)

ct

Zt

a

t

n

tn步向前預(yù)測：~yt

n

tt

Zt

nt

nt

t

n

t

t

nF

t

n~MSE

(

y

)

Z

P

H

t對于n=1,2,?，同前面一樣，在時(shí)刻t的可利用信息的基礎(chǔ)上，a

t

n

t

仍然可以被解釋為

t

n

的最小均方誤差估計(jì)，Pt

nt

是誤差協(xié)方差矩陣的最小均方估計(jì)值。n步向前預(yù)測可以通過少量地改變卡爾曼遞歸算法計(jì)算出來（Harvey1989）。對于在s=t+n期間的預(yù)測，使用時(shí)刻t的信息，利用狀態(tài)向量和狀態(tài)協(xié)方差陣的預(yù)測值只需初始化時(shí)刻t+1的卡爾曼濾波，對每一期s預(yù)測樣本進(jìn)行重復(fù)操作，s=t+1,?,t+n*。2、動態(tài)預(yù)測動態(tài)預(yù)測的概念和其他EViews估計(jì)對象的概念相似。在動態(tài)預(yù)測中，我們從時(shí)刻t的預(yù)測樣本開始，對于預(yù)測間隔的每一期n=1,?,n*

計(jì)算完整的一組n期向前預(yù)測。這樣，如果我們希望從第t期開始動態(tài)地預(yù)測到第t+n*

期，則對第t+1期我們計(jì)算一步向前預(yù)測，對第t+2期計(jì)算2步向前預(yù)測，持續(xù)下去，直到對第t+n*

期計(jì)算n*

步向前預(yù)測。這表明對n步向前預(yù)測，我們只需初始化時(shí)刻t+1的卡爾曼濾波，并且運(yùn)用期內(nèi)信息對期外進(jìn)行濾波。然而對于動態(tài)預(yù)測，要求計(jì)算所有的預(yù)測值，因?yàn)閺念A(yù)測期開始信息系統(tǒng)沒有被更新。3、平滑預(yù)測相應(yīng)地，我們可以計(jì)算平滑預(yù)測，就是使用預(yù)測樣本的所有可利用信息，計(jì)算平滑值（例如a

t

n

t

n*

）。這些向前預(yù)測值可以通過初始化預(yù)測期間的初始狀態(tài)求得，使用所有相關(guān)的信號數(shù)據(jù)對整個(gè)預(yù)測期間進(jìn)行卡爾曼平滑濾波。這個(gè)技術(shù)對于設(shè)置信號的信息被用來對全部預(yù)測樣本插值時(shí)是很有用的。（22.33）EViews利用數(shù)值微分和標(biāo)準(zhǔn)迭代技術(shù)求解帶有未知參數(shù)的似然函數(shù)。我們解釋一下上面描述的預(yù)測方法。對于傳統(tǒng)的n步向前預(yù)測和動態(tài)預(yù)測，在預(yù)測窗口的開始處，通常利用一步向前預(yù)測的狀態(tài)向量和方差初始化狀態(tài)向量。對于平滑預(yù)測，一般使用狀態(tài)向量和方差的相應(yīng)的平滑值進(jìn)行預(yù)測的初始化。對某些情況，預(yù)測濾波和平滑可以選擇初始值的不同設(shè)置。

EViews的預(yù)測程序提供了可控的初始設(shè)置（在“狀態(tài)空間”過程中敘述）。然而，如果選擇了不同的設(shè)置，根據(jù)可利用信息，預(yù)測的解釋將發(fā)生變化。五、估計(jì)未知參數(shù)在應(yīng)用卡爾曼濾波時(shí)，我們必須先把系統(tǒng)矩陣中的未知元素

用它們的估計(jì)值代替。在

t

和vt

服從正態(tài)分布條件下，樣本的對數(shù)似然函數(shù)為：~

~2

2

2ttttt()F

()

()1

T

1

1log

L()

log

2

log

F

()

其中

~

y

~yt

t

t，F(xiàn)t

var(~

)Z

P

Z

H

。t

t

t

t

t六、初始條件卡爾曼濾波、平滑和預(yù)測過程的估計(jì)都要求給出狀態(tài)向量的初值

0

和狀態(tài)協(xié)方差矩陣的初值P0

。對于一些固定參數(shù)模型，其穩(wěn)定狀態(tài)條件允許我們利用系統(tǒng)矩陣去解

0

和P0

的值。對另一些模型，在估計(jì)不確定性的同時(shí)，我們可以得到

0

的初步估計(jì)。但在許多情況中，我們關(guān)于初始條件可能沒有任何信息，而采用擴(kuò)散先驗(yàn)?！?2.2

在EViews中定義狀態(tài)空間模型EViews可以處理大量的單方程和多方程狀態(tài)空間模型，提供了指定系統(tǒng)方程、協(xié)方差矩陣和初始條件控制的詳細(xì)方法。在定義和估計(jì)一個(gè)狀態(tài)空間模型時(shí)，第一步是創(chuàng)建一個(gè)狀態(tài)空間對象。從主菜單中選擇Objects/New

Object/Sspace，或在命令窗口鍵入命令sspace。EViews將創(chuàng)建一個(gè)狀態(tài)空間對象，并打開一個(gè)空的狀態(tài)空間說明窗口。有兩種方法定義一個(gè)狀態(tài)空間模型，最簡單的方法就是利用EViews中的“自動指定”功能引導(dǎo)狀態(tài)空間模型的標(biāo)準(zhǔn)形式。這種方式只需在狀態(tài)空間過程Procs中選擇DefineStateSpace功能，就可以彈出定義對話框，指導(dǎo)創(chuàng)建一個(gè)狀態(tài)空間的過程。這一方式的詳細(xì)介紹見“自動定義”一節(jié)。描述狀態(tài)空間模型的更一般方法是使用關(guān)鍵字和文本來描述量測方程、狀態(tài)方程、誤差結(jié)構(gòu)、初始條件和待估參數(shù)的初值。下面來介紹描述狀態(tài)空間對象的一般語法。一、模型指定的語句1、量測方程作為缺省，如果一個(gè)方程通過關(guān)鍵字“@

SIGNAL”來明確定義，或沒有用關(guān)鍵字，EViews將把其作為量測方程處理。要注意以下幾點(diǎn)：量測方程的因變量可以包含表達(dá)式。量測方程中不能包含量測變量的當(dāng)期和未來值，在量測方程中任何滯后量測變量都被看作多步向前預(yù)測的預(yù)測值看待。量測方程必須是同期狀態(tài)向量的線性方程。狀態(tài)向量的非線性或存在超前或滯后狀態(tài)變量將導(dǎo)致錯(cuò)誤的信息。量測方程中可以包含外生變量和未知參數(shù)，也可以是這些元素的非線性形式。量測方程可以包含誤差或誤差方差指定的選項(xiàng)，如果方程中不包含誤差或誤差方差，方程是確定性的。狀態(tài)空間模型中誤差指定的詳細(xì)內(nèi)容參看后面的“誤差和方差”。例子：下面是有效的量測方程的定義（注：下面量測方程中的sv1,sv2,sv3,sv4是狀態(tài)向量）@

signal

y

=sv1+sv2*

x1+sv3*

x2+sv4*

y(-1)+[var=exp(c(1))]log(p)=

sv1

+

c(1)

+

c(3)*

x

+

sv2*

yz

=

c(1)

+

sv1+sv2*

x1+sv3*

x2

+

[var=exp(c(2))]下面是不正確的方程的指定：@

signal

y=sv1*

sv2*

x1+[var=exp(c(1))]log(p)=c(1)+c(3)*

x+sv1(-1)z

=

sv1+sv2*

x1+

c(3)*

z(1)+c(1)+[var=exp(c(2))]因?yàn)樗鼈冎辽龠`背了上面描述條件中的一個(gè)條件（其順序是：狀態(tài)向量的非線性、狀態(tài)向量的滯后、量測向量的超前）。1、狀態(tài)方程狀態(tài)方程的定義必須包含關(guān)鍵字“@

STATE”，后面跟隨一個(gè)有效的狀態(tài)方程。必須注意以下幾點(diǎn)：每一個(gè)狀態(tài)方程必須有一個(gè)唯一的因變量名，不允許使用表達(dá)式。因?yàn)镋Views對狀態(tài)方程不能自動建立工作文件序列。狀態(tài)方程中不能包含量測方程的因變量，或因變量的超前和滯后變量。每一個(gè)狀態(tài)方程必須是狀態(tài)變量一期滯后的線性方程。如果在狀態(tài)方程中存在狀態(tài)變量的非線性關(guān)系、同期、超前或多期滯后將產(chǎn)生錯(cuò)誤信息。需要強(qiáng)調(diào)的是，在狀態(tài)方程中一期滯后約束條件不是限定的，因?yàn)楦唠A的滯后被當(dāng)作新的狀態(tài)變量。關(guān)于這種情況的例子在后面的AR(2)模型中提供。狀態(tài)方程中可以包含外生變量和未知參數(shù)，可以是它們的非線性形式。在狀態(tài)方程中還包含誤差或誤差方差指定選項(xiàng)。如果在方程中不包含誤例子：下面兩個(gè)狀態(tài)方程定義了一個(gè)服從AR(2)過程的不可觀測誤差:@

state

sv1=c(2)*

sv1(-1)+c(3)*

sv2(-1)+[var=exp(c(5))]@

state

sv2=sv1(-1)第一個(gè)關(guān)于sv1的方程，根據(jù)AR(1)的系數(shù)c(2)，和AR(2)的系數(shù)c(3)，確定AR(2)模型的參數(shù)。誤差方差的指定在方框中給出。sv2的狀態(tài)方程定義為變量sv1的一步滯后，所以sv2(-1)表示sv1的兩步滯后。下面是不正確的狀態(tài)方程：@

state

exp(sv1)=sv1(-1)+[var=exp(c(3))]@

state

sv2=log(sv2(-1))+[var=exp(c(3))]@

state

sv3=c(1)+c(2)*

sv3(-2)+[var=exp(c(3))]因?yàn)樗鼈冎辽龠`背了上面描述條件中的一個(gè)條件（其次序是：狀態(tài)方程因變量是表示式，狀態(tài)變量是非線性的，出現(xiàn)狀態(tài)變量的多期滯后）。3、誤差與方差在誤差項(xiàng)的處理中，狀態(tài)空間對象方程的指定在某種程度上是唯一的。

EViews總是把一個(gè)隱含的誤差項(xiàng)加到一個(gè)方程或系統(tǒng)對象的各個(gè)方程中去。但如不特殊指定，狀態(tài)空間量測或狀態(tài)方程中不能包含誤差項(xiàng)。誤差項(xiàng)必須被加到（在方括號中）指定方程的后面。把一個(gè)誤差項(xiàng)加到狀態(tài)空間方程中去的最簡單的方法是指定誤差項(xiàng)的方差。即加一個(gè)誤差表達(dá)式到已存在的方程中去。誤差表達(dá)式由關(guān)鍵字“var”和一個(gè)賦值語句組成（用方括號括起）。@

signal

y=c(1)+sv1+sv2+[var=1]@

state

sv1=sv1(-1)+[var=exp(c(2))]@

state

sv2=c(3)+c(4)*

sv2(-1)+[var=exp(c(2)*

x)]指定的方差可以是已知常數(shù)值，也可以是包含待估計(jì)未知參數(shù)的表達(dá)式。還可以在方差中使用序列表達(dá)式建立時(shí)變參數(shù)模型。這種方差的直接指定方法不允許不同方程的誤差之間存在相關(guān)關(guān)系。作為默認(rèn)，EViews假定誤差項(xiàng)之間的協(xié)方差為零。如果指定誤差項(xiàng)間存在相關(guān)關(guān)系，需要使用“命名誤差”方法指定它們間的關(guān)系?！懊`差”方法包括兩部分：首先，必須通過加一個(gè)由關(guān)鍵字“ename”后接等號和變量名的誤差表達(dá)式為方程中的殘差序列命名。y

=c(1)+sv1*

x1+[ename=e1]@

state

sv1=sv1(-1)+[ename=e2]其次，需要鍵入由關(guān)鍵字“@

evar”后接一個(gè)誤差的方差或兩個(gè)誤差之間的協(xié)方差的賦值語句。@

evar

cov(e1,e2)=c(2)@

evar

var(e1)=exp(c(3))@

evar

var(e2)=exp(c(4))*

x可以在單個(gè)狀態(tài)空間方程中合并命名誤差和直接方差表達(dá)式：@

state

sv1=sv1(-1)+[ename=e1,var=exp(c(3))]@

evar

cov(e1,e2)=c(4)@

evar方程的語句結(jié)構(gòu)可以進(jìn)行自我辨別。簡單的辨別有：該項(xiàng)是方差還是協(xié)方差，指定誤差，記入方差和協(xié)方差的指定。在每一個(gè)希望指定的命名誤差方差或協(xié)方差之間要分行指定。如果誤差項(xiàng)被命名，但沒有相應(yīng)的“var=”或@

evar說明，分別地，缺少的方差或協(xié)方差的默認(rèn)值為“NA”或

“0”。用“ename=”語句定義的誤差項(xiàng)只能存在于@

evar賦值語句中，而不能直接進(jìn)入狀態(tài)或量測方程中。二、模型指定的例子下面的例子描述一個(gè)解釋變量帶有隨機(jī)系數(shù)sr1和遞歸系數(shù)sr2的模型，sr1和因變量cp的誤差項(xiàng)間存在相關(guān)關(guān)系(22-1/cp_y)：例1

量測方程：狀態(tài)方程：cpt

c1

1t

yt

2

t

rt

2

t

t1

t1

1

v1t

2

t

2

t

1

t

v

t

v

0

gg

2

0

2

~

N

,

在方程中，cp(實(shí)際消費(fèi))，y

(實(shí)際收入)，r

(利率)。cp

=c(1)+sr1*

y+sr2*

r(-2)+[ename=e1,var=exp(c(2))]@

state

sr1=sr1(-1)+[ename=e2,var=exp(c(3))]@

state

sr2=sr2(-1)@

evar

cov(e1,e2)=c(4)模型的方差

2

、

2

和協(xié)方差g由參數(shù)c(2)、c(3)和c(4)確定，cp和sr1的方

v差被限制為參數(shù)的非負(fù)函數(shù)。1、指定未知參數(shù)（超參數(shù)）的初始值上例中c(1),c(2),c(3),c(4)的初值分別為3.88,0.165,0.001,0.28。除非另外指定，否則EViews將用相應(yīng)系數(shù)向量的當(dāng)前值初始化所有參數(shù)?？梢酝ㄟ^在狀態(tài)空間形式指定中使用PARAM或@

PARAM語句來明確指定合適的參數(shù)值。例：param

c(1)3.88

c(2)0.165

c(3)0.001

c(4)0.282、指定狀態(tài)向量和方差矩陣的初始條件缺省時(shí)，EViews將自動處置初始條件。對一些平穩(wěn)模型，其穩(wěn)定狀態(tài)條件使我們能夠解出

0

和P0

的值。當(dāng)不能解出初始條件時(shí)，

EViews將把初始值處理為擴(kuò)散的，設(shè)置

0

=0，給P0一個(gè)任意大的正數(shù)乘單位矩陣代表其值的不確定性?？赡苡?/p>

0

和P0

的先驗(yàn)信息，這樣，可以使用關(guān)鍵字@

mprior或

@

vprior創(chuàng)建一個(gè)包含適當(dāng)值的向量或矩陣。設(shè)置初始狀態(tài)值

時(shí)，鍵入“@

mprior”，后接向量對象名。向量對象的長度必須與狀態(tài)空間的維數(shù)相匹配。其元素的順序要與指定窗口中狀態(tài)向量的順序相一致。@

mprior

v1@

vprior

m1要設(shè)置狀態(tài)向量方差矩陣P的初始值，鍵入“@

vprior”后接一個(gè)標(biāo)志對象名（表示這是一個(gè)標(biāo)志對象，而不是一個(gè)普通的矩陣對象）。標(biāo)志的維數(shù)必須與狀態(tài)空間的維數(shù)相匹配，其順序要與指定的狀態(tài)向量的順序相一致。如果你想設(shè)置一個(gè)元素為擴(kuò)散的，只需把該元素設(shè)置為“NA”缺省值。EViews將重新設(shè)置所有相應(yīng)的方差和協(xié)方差是擴(kuò)散的。例如，假設(shè)有一個(gè)2個(gè)方程的名字為SS

1的狀態(tài)空間模型，要設(shè)置狀態(tài)向量與狀態(tài)向量方差矩陣的初值如下：，（22.17）首先，創(chuàng)建一個(gè)向量對象，命名為a0，輸入初始值。操作步驟如下：按下Objects/New

object按鈕，選擇Matric-Vector-Coef并鍵入文件名a0。按

OK鍵，選擇Vector類型，并指定向量的維數(shù)（在這里是2）。當(dāng)按下OK鍵后，EViews將顯示向量a0的空白窗口。按Edit+/-按鈕，轉(zhuǎn)換到編輯模式，輸入合適的值。然后再創(chuàng)建一個(gè)矩陣對象，命名為p0，創(chuàng)建的方式類似。

SV

2

0

SV1

1

2

0

.5

SV

2

0

.5

var

SV1

1相比較，會發(fā)現(xiàn)使用命令創(chuàng)建和初始化向量和矩陣更容易一些。可以在命令窗口中鍵入下面的命令：vector(2)

a0a0.fill

1,0matrix(2,2)

p0p0.fill(b=c)

1,0.5,0.5,2然后在編輯狀態(tài)空間模型指定窗口，可以把下面兩行加到狀態(tài)空間對象中去：@

mprior

a0@

vprior

p0同樣，也可以在命令窗口鍵入下面的命令：

ss1.append

@

mprior

a0ss1.append

@

vprior

p0關(guān)于矩陣對象與填加“fill”或追加“append”命令的詳細(xì)說明，參見命令與程序指南“Comma

nd

and

Programming

Reference”。三、模型定義視窗狀態(tài)空間模型是比較復(fù)雜的。為了幫助檢驗(yàn)?zāi)Ｐ投x，EViews提供了視窗功能，允許在交互方式下查看文本指定，在當(dāng)前參數(shù)值下檢驗(yàn)系統(tǒng)估計(jì)矩陣估計(jì)值。點(diǎn)擊View菜單選擇Specification?，不管狀態(tài)空間模型是否被估計(jì)，下面的指定窗口都可以被使用。（1）文本窗口

這是一個(gè)常見的模型指定的文本視窗。當(dāng)創(chuàng)建或編輯狀態(tài)空間模型指定時(shí)，可以使用這個(gè)窗口。文本窗口也可以通過點(diǎn)擊狀態(tài)空間工具欄的Spec按鈕進(jìn)入。（3）協(xié)方差描述

狀態(tài)空間模型協(xié)方差矩陣的文本描述。例如，例1模型有下面的協(xié)方差描述視圖。（2）系數(shù)描述

狀態(tài)空間模型指定結(jié)構(gòu)的文本描述。左邊的變量yt和

t被表示為狀態(tài)向量和殘差項(xiàng)的線性函數(shù)。矩陣的元素是相應(yīng)的系數(shù)。例如，例1模型的系數(shù)描述視圖如下：系數(shù)值

用當(dāng)前參數(shù)估計(jì)的量測方程和狀態(tài)方程結(jié)構(gòu)的數(shù)字描述。如果系統(tǒng)系數(shù)矩陣是時(shí)變的，EViews將提示對矩陣估計(jì)選擇一個(gè)日期/觀測值。協(xié)方差值

用當(dāng)前參數(shù)估計(jì)的狀態(tài)空間模型指定結(jié)構(gòu)的數(shù)值描述。如果系統(tǒng)協(xié)方差矩陣是時(shí)變參數(shù)的，EViews將提示對矩陣估計(jì)選擇日期/觀測值。四、自動指定為了幫助創(chuàng)建一個(gè)狀態(tài)空間模型，EViews提供了一個(gè)“自動指定”工具欄，可以在對話框中為模型創(chuàng)建一個(gè)文本表示。如果模型是具有固定參數(shù)、遞歸參數(shù)、及不同的隨機(jī)系數(shù)，或者誤差項(xiàng)有一般ARMA結(jié)構(gòu)的標(biāo)準(zhǔn)回歸模型，這個(gè)工具是非常有用的。在狀態(tài)空間過程procs中，選擇Procs/Define

State

Space?。EViews將打開一個(gè)三標(biāo)簽的對話框。第一個(gè)標(biāo)簽對話框Basic

Regression被用來描述模型的基本回歸部分。鍵入因變量和帶有固定或遞歸系數(shù)的回歸變量。在建立指定時(shí)EViews使用COEF對象代表未知參數(shù)。在底部，可以指定誤差項(xiàng)一個(gè)ARMA結(jié)構(gòu)。在這里，我們?yōu)樯厦娴睦又付ㄒ粋€(gè)說明。第二個(gè)標(biāo)簽對話框Stochastic

Regressors被用來加帶有隨機(jī)系數(shù)的回歸變量。在四個(gè)編輯區(qū)域中鍵入合適的回歸變量。EViews允許定義具有如下四項(xiàng)組合的回歸變量：固定均值系數(shù)、AR(1)系數(shù)、隨機(jī)游動系數(shù)、帶有漂移的隨機(jī)游動系數(shù)。最后，EViews允許選擇狀態(tài)空間模型的基本方差結(jié)構(gòu)。點(diǎn)擊第三個(gè)標(biāo)簽對話框VarianceSpecification，為量測方程或狀態(tài)方程選擇方差矩陣類型：單位矩陣（Identity）、共同對角矩陣（Common

Diagonal，對角元素是共同的方差）、一般對角矩陣（Diagonal）、無限制矩陣（Unrestricted）。對話框還允許為量測方程和狀態(tài)方程選擇非零的誤差協(xié)方差陣。需要強(qiáng)調(diào)指出的是，狀態(tài)空間模型可以不必被對話框提供的選擇限制。如果發(fā)現(xiàn)自動指定對話框的限制了模型指定，可以簡單地使用它建立一個(gè)基本的指定，然后利用更一般的文本工具描述模型。五、估計(jì)狀態(tài)空間模型一旦已經(jīng)指定了一個(gè)狀態(tài)空間模型，并且驗(yàn)證模型定義是正確的，打開估計(jì)對話框估計(jì)模型，點(diǎn)擊工具菜單的Esimate按鈕或者選擇Procs/Estimate?。和其他估計(jì)對象一樣，EViews允許選擇估計(jì)樣本區(qū)間，循環(huán)的最大次數(shù)，收斂值，估計(jì)算法，導(dǎo)數(shù)計(jì)算設(shè)置和是否顯示初始值。對大部分問題，缺省設(shè)置提供一個(gè)好的初始設(shè)置。在進(jìn)行模型估計(jì)時(shí)要注意下面兩點(diǎn)：盡管EViews中卡爾曼濾波程序可以自動處理樣本中的缺省值，但

EViews要求估計(jì)樣本必須是連續(xù)的，連續(xù)的觀測值之間不能有缺口。如果模型定義中有未知系數(shù)，為用卡爾曼濾波估計(jì)狀態(tài)空間模型，需要指定初值。六、解釋估計(jì)結(jié)果在選擇方差選項(xiàng)并點(diǎn)擊OK以后，EViews在狀態(tài)空間窗口顯示估計(jì)結(jié)果。例2

建立變參數(shù)的IS模型：@

s

ta

te@

s

ta

tes

v1

=s

v1

(-1

)

+

[va

r=a

bs

(c(2

))]s

v2

=c(1

)*s

v2

(-1

)

+

[va

r=a

bs

(c(3

))]pa

ra

m

c(1

)

0

.94

c(2

)

3

.5

c(3

)

0

.00001

c(4

)

81估計(jì)這個(gè)模型，EViews將打開估計(jì)輸出視窗：GDPt

Pt

0

,t

1

,t

rt

3

0

,t

0

,t

1

v1t

1,t

c1

1,t

1

v2

t其中GDP/P是實(shí)際收入，r

是利率，則自發(fā)支出

0

用狀態(tài)變量s

v1表示，

1

用狀態(tài)變量s

v2表示，1/

1

（即s

v2的倒數(shù)）是IS曲線的斜率，隨著時(shí)間的推移，可以觀察IS曲線的變化，是越來越陡峭還是越來越平坦，從而看出貨幣政策的有效性。(22_1/i

s)：y

=s

v1

+s

v2

*r(-3

)

+

[va

r=a

bs

(c(4

))]對角線元素的平方根。視窗的底部描述了最大對數(shù)似然估計(jì)值，估計(jì)參數(shù)的數(shù)目，以及相關(guān)的信息準(zhǔn)則。對于狀態(tài)向量和協(xié)方差矩陣整個(gè)路徑的設(shè)置，EViews提供了一系列視窗和過程來檢驗(yàn)狀態(tài)結(jié)果。輸出視窗與其他EViews估計(jì)對象相似。上面的信息描述估計(jì)的基本信息：狀態(tài)空間對象名、估計(jì)方法、估計(jì)的時(shí)間和日期、樣本區(qū)間、包含的樣本數(shù)、收斂信息和系數(shù)估計(jì)。還顯示最終的狀態(tài)向量的一步向前

預(yù)T測1

值TT和誤差協(xié)方差矩PT陣1§22.3

狀態(tài)空間模型的視窗和過程EViews提供了一系列專門的工具用來指定和檢驗(yàn)狀態(tài)空間模型。與其他的估計(jì)對象相比較，狀態(tài)空間對象提供了附加的視窗和過程來檢驗(yàn)估計(jì)結(jié)果，處理推斷和指定檢驗(yàn)，并且提取結(jié)果到其他EViews對象中去。一、狀態(tài)空間視窗

1、一般視窗許多狀態(tài)空間視窗與前面討論的相似：模型定義視窗（Specification）查看模型文本定義，系數(shù)和協(xié)方差定義。僅看文本窗口還可以點(diǎn)擊系統(tǒng)工具條的“Spec”。估計(jì)結(jié)果（Estimation

Output）還可以點(diǎn)擊系統(tǒng)工具條的“S

tats”，顯示估計(jì)結(jié)果。梯度視窗（Gr

adients

and

Der

ivatives）

和其他的估計(jì)對象視窗相似，如果狀態(tài)空間包含待估參數(shù)，該視窗提供了被估計(jì)參數(shù)（已估計(jì)）的對數(shù)似然估計(jì)的梯度的簡要可視信息或當(dāng)期參數(shù)值。實(shí)際值、擬合值和殘差（Actual,

Pr

edicted,ResidualGr

aph）用圖表的方式顯示量測方程因變量實(shí)際值和一步向前擬合值，和一步向前標(biāo)準(zhǔn)殘差。估計(jì)系數(shù)協(xié)方差矩陣（Coefficient

Covar

iance

Matr

ix）Wald檢驗(yàn)（Wald

Coefficient

Tests）

允許做估計(jì)系數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)。（7）L

abel

視窗

允許為狀態(tài)空間對象做注釋。注意，除了Label和模型定義（Specification）視窗之外，其余的視窗只有在狀態(tài)空間模型被正確估計(jì)的情況下才可以使用。2、量測視窗當(dāng)點(diǎn)擊View/Signal

Views，EViews顯示一個(gè)包含視窗選擇的次級菜單?！鳤ctual

SignalTable和ActualSignalGraph顯示量測方程因變量的表和圖的形式。如果有多個(gè)量測方程，Eviews將按其順序顯示多個(gè)序列。在狀態(tài)空間模型沒有被估計(jì)的條件下，這兩個(gè)選項(xiàng)也是可以利用的?！鳪raph

Signal

Series?，可以打開一個(gè)對話框，選擇顯示結(jié)果。對話框，相應(yīng)的一步預(yù)測t

t

1允許在下列選項(xiàng)中做出選擇：量測變量一步向前預(yù)測~y殘差

~

，標(biāo)準(zhǔn)化的一步殘差

e~t

t

1

t

t

1t，平滑的量測變量yㄏ，平滑的量測方程擾動項(xiàng)

ㄏt

，或標(biāo)準(zhǔn)平滑的量測方程擾動項(xiàng)eㄏt

。加上2倍的標(biāo)準(zhǔn)誤差的點(diǎn)線圖?！鳶

Td.Residual

Correlation

Matrix和Std.Residual

Covariance

Matrix顯示量測方程一步向前預(yù)測標(biāo)準(zhǔn)差的相關(guān)陣和協(xié)方差陣。3、狀態(tài)視窗為了檢驗(yàn)不可觀測的狀態(tài)變量，點(diǎn)擊View/State

Views顯示狀態(tài)方程子菜單。EViews允許檢驗(yàn)狀態(tài)變量的初值和終值，或者畫狀態(tài)向量的各種平滑和濾波序列圖。在估計(jì)前后，視窗中有兩個(gè)選項(xiàng)是可利用的：▲Initial

State

Vector和InitialState

Covariance

Matrix顯示狀態(tài)向量的初始值

0

，和協(xié)方差陣P0

。如果未知參數(shù)已被估計(jì)，EViews將使用估計(jì)值計(jì)算初始條件。如果狀態(tài)空間模型沒有被估計(jì)，使用當(dāng)期系數(shù)值來估計(jì)初始條件。在EViews正在利用系統(tǒng)矩陣的當(dāng)前值求解初始條件時(shí)，這個(gè)信息是特別有意義的。在開始估計(jì)有困難的情況下，可以從任意初始參數(shù)值出發(fā)來估計(jì)初始條件。窗口中的其他選項(xiàng)，只對已成功估計(jì)的模型有效：▲Final

State

Vetor和Final

State

Covariance

Matrix，顯示狀態(tài)向量終值

T

，和協(xié)方差矩陣終值PT

，在對參數(shù)估計(jì)后估計(jì)得到。▲Graph

State

Series?菜單，顯示包含狀態(tài)向量信息選項(xiàng)的對話框。可以畫t

1

，經(jīng)過濾波得到的同期狀態(tài)下列變量的線性圖：狀態(tài)向量的一步向前預(yù)測a

t向量a

t

，平滑的狀態(tài)向量估計(jì)

ㄏt

，平滑的狀態(tài)擾動項(xiàng)的估計(jì)

ㄏt

，標(biāo)準(zhǔn)的平滑狀態(tài)擾動項(xiàng)

ㄏt

。在每一線性圖中，顯示數(shù)據(jù)被包在其倍的標(biāo)準(zhǔn)差帶中。二、狀態(tài)空間過程可以使用Eviews過程創(chuàng)建、估計(jì)、預(yù)測狀態(tài)空間模型和從指定的狀態(tài)空間模型生成數(shù)據(jù)。1、自動指定狀態(tài)空間模型（Define

State

Space?）激活自動指定對話框?？梢栽诮换サ姆绞较轮付顟B(tài)空間模型。2、估計(jì)（Estimate）估計(jì)指定模型的參數(shù)（22-1/I

S）。上面兩項(xiàng)功能在模型估計(jì)前后都可以使用。自動指定工具將代替存在的狀態(tài)空間指定和清除任何結(jié)果。估計(jì)將替代已存在的結(jié)果。3、預(yù)測如果已經(jīng)對狀態(tài)空間模型進(jìn)行了估計(jì)，EViews提供生成數(shù)據(jù)的其他工具：預(yù)測允許利用選擇的預(yù)測方法和初始化方法，來產(chǎn)生狀態(tài)變量、量測變量和聯(lián)合標(biāo)準(zhǔn)誤差的預(yù)測。(1)

選擇預(yù)測方法

可以在動態(tài)預(yù)測，平滑預(yù)測和n期向前預(yù)測三種方法中選擇其一。注意，任何在量測方程右邊的延遲內(nèi)生變量都被做為外生變量的看待。(2)

預(yù)測結(jié)果輸出EViews允許在工作文件中以序列形式存儲預(yù)測輸出結(jié)果。只須點(diǎn)擊輸出框，在相應(yīng)的編輯區(qū)域指定序列名。可以指定一列變量名或一個(gè)通配符表達(dá)式。如果選擇列變量名，變量名的數(shù)目必須與指定的量測變量的數(shù)目相匹配。如果輸出序列的名字已經(jīng)在工作文件中存在，EViews將全部覆蓋序列的內(nèi)容。如果使用一個(gè)通配符表達(dá)式，EViews將利用通配符表達(dá)式在適當(dāng)?shù)奈恢锰娲恳粋€(gè)量測變量的名字。例如，如果有一個(gè)具有量測變量y1、y2的模型，選擇通配符“*

F”存儲一步預(yù)測的結(jié)果，EViews將使用序列名y1F和y2F存貯輸出結(jié)果。對該功能有兩點(diǎn)限制：一是不能使用通配符表達(dá)式“*”存儲量測變量的結(jié)果，因?yàn)檫@將導(dǎo)致對原始量測數(shù)據(jù)的覆蓋。二是當(dāng)量測方程因變量通過表達(dá)式指定，或量測變量出現(xiàn)在多個(gè)方程中，不能使用通配符。對于這兩點(diǎn)，EViews將不能產(chǎn)生新的序列，只產(chǎn)生錯(cuò)誤信息。需要注意的是，如果量測方程的因變量是一個(gè)表達(dá)式，EViews將只提供表達(dá)式的預(yù)測，因此，如果量測變量是log(y)，EViews將只預(yù)測y的對數(shù)。我們分別利用動態(tài)預(yù)測，平滑預(yù)測和1(n=1)期向前預(yù)測三種方法在期間

1993：1至2000：4進(jìn)行預(yù)測，分別得到預(yù)測結(jié)果YF、YF1、YF2。下面是3個(gè)預(yù)測值和實(shí)際值Y畫在一起的圖形，可以看出動態(tài)預(yù)測YFD和平滑預(yù)測YFS的結(jié)果重合了。1期向前預(yù)測YF1與實(shí)際值接近。（3）設(shè)置初始條件

有幾個(gè)選項(xiàng)是可以選用的?？梢允褂脿顟B(tài)變量和狀態(tài)協(xié)方差的One-stepahead預(yù)測或Smoothed預(yù)測估計(jì)值做為預(yù)測的初始值。這兩種初始化方法在使用估計(jì)樣本的信息數(shù)量上是不同的。一步向前預(yù)測使用直到預(yù)測期開始的信息，平滑預(yù)測使用全部估計(jì)期的信息。相應(yīng)地，還可以使用EViews計(jì)算初始條件。在預(yù)測開始時(shí)，EViews將求解Riccati代數(shù)方程，獲得狀態(tài)向量和狀態(tài)向量協(xié)方差的初始值。如果不能得到初始狀態(tài)