高等數(shù)學(xué)練習(xí)試卷14(題后含答案及解析)

高等數(shù)學(xué)練習(xí)試卷(題后含答案及解析)題型有：1.選擇題2.填空題3.解答題4.綜合題5.證明題選擇題1．則常數(shù)k等于()．A．1B．2C．4D．任意實(shí)數(shù)正確答案：B解析：由題意可知，x=2時(shí)，x2－3x+k=0k=2·2．下列命題中正確的是()．A．若x0是f(x)的極值點(diǎn)，則必有f’(x0)=0B．若f(x)在(a，b)內(nèi)有極大值也有極小值，則極大值必大于極小值C．若f’(x0)=0，則x0是f(x)的極值點(diǎn)D．若f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，且點(diǎn)x0是f(x)的極值點(diǎn)，則必有f’(x0)=0正確答案：D3．若x=2是函數(shù)的可導(dǎo)極值點(diǎn)，則常數(shù)a值為()．A．－1B．C．D．1正確答案：C解析：由題意得f’(2)=0，可知4．若y=arctanex，則dy=()．A．B．C．D．正確答案：B解析：5．是級(jí)數(shù)收斂的()條件．A．充分B．必要C．充分必要D．既非充分又非必要正確答案：B6．設(shè)函數(shù)f(x)=x(x－1)(x－2)(x－3)，則方程f’(x)=0的實(shí)根個(gè)數(shù)為()．A．1B．2C．3D．4正確答案：C解析：由于f(x)是四次多項(xiàng)式，故f’(x)=0是三次方程，有3個(gè)實(shí)根·填空題7．則a=____________，b=______________．正確答案：－4，3解析：并且x2+ax+b=0，所以a=－4，b=3．8．u=f(xy，x2+2y2)，其中f為可微函數(shù)，則正確答案：yf1’+2xf2解析：令w=xy，v=x2+y2，則u=f(w，v)9．已知函數(shù)f(x)=alnx+bx2+x在x=1與x=2處有極值，則a=_________，b=____________．正確答案：解析：由題意可知：f’(1)=0，f’(2)=010．a(chǎn)，b為兩個(gè)非零向量，λ為非零常數(shù)，若向量a+λb垂直于向量b，則λ等于___________．正確答案：解析：a+λb垂直于向量11．已知f(cosx)=sin2x,則正確答案：解析：12．已知f(x)=ex2，f[φ(x)]=1－x，且φ(x)≥0，則φ(x)的定義域?yàn)開(kāi)_____________．正確答案：x≤0解析：f[φ(x)]=eφ2(x)=1－x=eln(1－x)，所以于是1－x≥1，即x≤0.解答題13．求正確答案：14．求正確答案：設(shè)arctanx=t，x=tant，則：15．已知z=(x+y)exy，求dz．正確答案：因?yàn)樗詃z=(1+xy+y2)exydx+(1+xy+x2)exydy．16．求正確答案：17．求y’－(cosz)y=esinx滿足y(0)=1的解．正確答案：這是一階線性非齊次微分方程，其中P(x)=－cosx，Q(x)=esins.于是方程的通解為：由y(0)=1，得C=1，故所求解為：y=esinx(x+1).18．設(shè)z=xf(x2，xy)，其中f(u，v)的二階偏導(dǎo)數(shù)存在，求正確答案：19．求函數(shù)y=x－ln(x+1)的單調(diào)區(qū)間，極值及其曲線的凹凸區(qū)間．正確答案：①函數(shù)的定義域?yàn)?－1，+∞)；令y’=0，德駐點(diǎn)x=0.又x∈(－1，+∞)于是函數(shù)的曲線恒為凹的曲線弧，即凹區(qū)間為：(－1，+∞)；③又－1＜x＜0時(shí)，y’＜0，函數(shù)遞減；0＜x＜+∞時(shí)，y’＞0，函數(shù)遞增，故函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間為：(－1,0)；遞增區(qū)間為：(0，+∞)；且函數(shù)在x=0處取得一極小值f(0)=0.20．求冪級(jí)數(shù)的收斂域．正確答案：令x－5=t，則收斂半徑為：當(dāng)t=1時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散；當(dāng)t=－1時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散.所以級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)閇－1,1)，那么級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)閇4,6).綜合題21．求函數(shù)f(x)=x3－3x+1的單調(diào)區(qū)間和極值．正確答案：函數(shù)的定義域?yàn)?－∞，+∞)，f’(x)=3x2-3，令f’(x)=0，得駐點(diǎn)x1=-1，x2=1，列表得：函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，－1)和(1，+∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為[－1,1].f(－1)=3為極大值，f(1)=－1為極小值.已知一平面圖形由拋物線yy=x2，y=x2+8圍成．22．求此平面圖形的面積；正確答案：用定積分求面積和體積，如圖，所求平面圖形的面積為23．求此平面圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體的體積．正確答案：此平面圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所成旋轉(zhuǎn)體的體積為已知某廠生產(chǎn)x件產(chǎn)品的成本C=25000+2x+x2(單位：元)．試問(wèn)：24．要使平均成本最小，應(yīng)生產(chǎn)多少件產(chǎn)品?正確答案：設(shè)平均成本為y，則令y’=0，得x=1000，此即為所求.25．若產(chǎn)品以每件500元售出，要使利潤(rùn)最大，應(yīng)生產(chǎn)多少件產(chǎn)品?正確答案：設(shè)利潤(rùn)為L(zhǎng)，則L=500x－(25000+200x+x2)，L’=500－200－x.令L’=0，得x=6000，此即為所求．證明題26．求出滿足下列條件的最低次多項(xiàng)式：當(dāng)x=1時(shí)有極大值6，當(dāng)x=3時(shí)有極小值2．正確答案：對(duì)于多項(xiàng)式有兩個(gè)極值，則該多項(xiàng)式的最低次數(shù)為三次．不妨設(shè)所求多項(xiàng)式為y=ax3+bx2+cx+d，則y’=3ax2+2bx+c，因?yàn)楫?dāng)x=1時(shí)有極大值6，當(dāng)x=3時(shí)有極小值2，所以y(1)=6，y(3)=2，y’(1)=0，y’(3)=0．則解得27．設(shè)曲線求過(guò)曲線(2，2)點(diǎn)處