第一節(jié)數(shù)學(xué)期望

一、隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望三、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)二、隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望四、小結(jié)第一節(jié)數(shù)學(xué)期望引例1

分賭本問題(產(chǎn)生背景)

A,B兩人賭技相同,各出賭金100元,并約定先勝三局者為勝,取得全部200元.由于出現(xiàn)意外情況,在A勝2局B勝1局時(shí),不得不終止賭博,如果要分賭金,該如何分配才算公平?1.1數(shù)學(xué)期望的概念

A勝2局B勝1局前三局:后二局:把已賭過的三局(A勝2局B勝1局)與上述結(jié)果相結(jié)合,即A、B賭完五局,AAAB

BABBA勝B勝分析假設(shè)繼續(xù)賭兩局,則結(jié)果有以下四種情況:AAA

B

BABB因此,A能“期望”得到的數(shù)目應(yīng)為故有,在賭技相同的情況下,A,B最終獲勝的可能性大小之比為即A應(yīng)獲得賭金的而B只能獲得賭金的因而A期望所得的賭金即為X的“期望”值,等于X

的可能值與其概率之積的累加.即為若設(shè)隨機(jī)變量X為:在A勝2局B勝1局的前提下,繼續(xù)賭下去A最終所得的賭金.則X所取可能值為:其概率分別為:

設(shè)某射擊手在同樣的條件下,瞄準(zhǔn)靶子相繼射擊90次,(命中的環(huán)數(shù)是一個(gè)隨機(jī)變量).射中次數(shù)記錄如下引例2

射擊問題試問:該射手每次射擊平均命中靶多少環(huán)?命中環(huán)數(shù)k命中次數(shù)頻率解平均射中環(huán)數(shù)設(shè)射手命中的環(huán)數(shù)為隨機(jī)變量Y.平均射中環(huán)數(shù)頻率隨機(jī)波動(dòng)隨機(jī)波動(dòng)隨機(jī)波動(dòng)穩(wěn)定值“平均射中環(huán)數(shù)”的穩(wěn)定值“平均射中環(huán)數(shù)”等于射中環(huán)數(shù)的可能值與其概率之積的累加1.離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望關(guān)于定義的幾點(diǎn)說明:

(1)E(X)是一個(gè)實(shí)數(shù),而非變量,它是一種加權(quán)平均,與一般的平均值不同,它從本質(zhì)上體現(xiàn)了隨機(jī)變量X取可能值的真正的平均值,也稱均值.

(2)級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂性保證了級(jí)數(shù)的和不隨級(jí)數(shù)各項(xiàng)次序的改變而改變,之所以這樣要求是因?yàn)閿?shù)學(xué)期望是反映隨機(jī)變量X取可能值的平均值,它不應(yīng)隨可能值的排列次序而改變.

(3)由定義可知，取值非負(fù)的隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望必定非負(fù).分賭本問題A期望所得的賭金即為X的數(shù)學(xué)期望射擊問題

“平均射中環(huán)數(shù)”應(yīng)為隨機(jī)變量Y的數(shù)學(xué)期望（1）二項(xiàng)分布則有

設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為n,p二項(xiàng)分布,其分布律為常見離散型分布的期望:兩點(diǎn)分布b(1,p)的數(shù)學(xué)期望為p.=np(2)

泊松分布

則有(3)幾何分布

2.連續(xù)型隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的定義定義1.2（1）指數(shù)分布

則有常見連續(xù)型分布的數(shù)學(xué)期望:（2）

均勻分布則有結(jié)論

均勻分布的數(shù)學(xué)期望位于區(qū)間的中點(diǎn).（3）正態(tài)分布則有注意：不是所有的隨機(jī)變量都有數(shù)學(xué)期望例如：柯西(Cauchy)分布的密度函數(shù)為但發(fā)散它的數(shù)學(xué)期望不存在!若X為離散型隨機(jī)變量，分布律為Y=g(X)為X的函數(shù)則Y的期望為（1）離散型隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望1.2隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望

1.一維隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望解:例5

求:（2）連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望若X是連續(xù)型的,它的分布密度為f(x)則例6(教材P106例1.9，請(qǐng)記住結(jié)論!)

稱為

概率積分。另外2.二維隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望解:例7

設(shè)(X,Y)的分布律為(教材P123第9題)由于例8

設(shè)X～N(0,1),Y～N(0,1),X與Y相互獨(dú)立,求解:

(教材P124-(B)-第2題/習(xí)題課教程P98例8）

設(shè)由自動(dòng)線加工的某種零件的內(nèi)徑

X(mm)~N(

,1).已知銷售每個(gè)零件的利潤T(元)與銷售零件的內(nèi)徑X有如下的關(guān)系：問平均直徑

為何值時(shí),銷售一個(gè)零件的平均利潤最大？（例9書P125（B）第4題）解：即可以驗(yàn)證，零件的平均利潤最大.故時(shí),銷售一個(gè)

市場(chǎng)上對(duì)某種產(chǎn)品每年需求量為X噸，X~U[2000,4000],每出售一噸可賺3萬元,售不出去，則每噸需倉庫保管費(fèi)1萬元，問應(yīng)該生產(chǎn)這種商品多少噸,才能使平均利潤最大？解:設(shè)每年生產(chǎn)Y噸的利潤為T顯然，2000<Y<4000例10顯然，故y=3500時(shí),E(T)最大,E(T)=8250萬元得y=35001.3

數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)(1)設(shè)C為常數(shù)，則有(2)設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量，C為常數(shù)，則有（3）設(shè)X1，X2,

…,Xn

是n個(gè)隨機(jī)變量，為實(shí)數(shù)，則有一般地，有

（4）設(shè)X，Y是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，則有

且有柯西—許瓦茲（Cauchy-Schwarz)不等式：（證明見書P108）解：例11(教材P124第21題)例12

設(shè)X

與Y獨(dú)立，

求．

解

另解：顯然Y-