第一節(jié)數(shù)學期望

一、隨機變量的數(shù)學期望三、數(shù)學期望的性質(zhì)二、隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望四、小結(jié)第一節(jié)數(shù)學期望引例1

分賭本問題(產(chǎn)生背景)

A,B兩人賭技相同,各出賭金100元,并約定先勝三局者為勝,取得全部200元.由于出現(xiàn)意外情況,在A勝2局B勝1局時,不得不終止賭博,如果要分賭金,該如何分配才算公平?1.1數(shù)學期望的概念

A勝2局B勝1局前三局:后二局:把已賭過的三局(A勝2局B勝1局)與上述結(jié)果相結(jié)合,即A、B賭完五局,AAAB

BABBA勝B勝分析假設(shè)繼續(xù)賭兩局,則結(jié)果有以下四種情況:AAA

B

BABB因此,A能“期望”得到的數(shù)目應為故有,在賭技相同的情況下,A,B最終獲勝的可能性大小之比為即A應獲得賭金的而B只能獲得賭金的因而A期望所得的賭金即為X的“期望”值,等于X

的可能值與其概率之積的累加.即為若設(shè)隨機變量X為:在A勝2局B勝1局的前提下,繼續(xù)賭下去A最終所得的賭金.則X所取可能值為:其概率分別為:

設(shè)某射擊手在同樣的條件下,瞄準靶子相繼射擊90次,(命中的環(huán)數(shù)是一個隨機變量).射中次數(shù)記錄如下引例2

射擊問題試問:該射手每次射擊平均命中靶多少環(huán)?命中環(huán)數(shù)k命中次數(shù)頻率解平均射中環(huán)數(shù)設(shè)射手命中的環(huán)數(shù)為隨機變量Y.平均射中環(huán)數(shù)頻率隨機波動隨機波動隨機波動穩(wěn)定值“平均射中環(huán)數(shù)”的穩(wěn)定值“平均射中環(huán)數(shù)”等于射中環(huán)數(shù)的可能值與其概率之積的累加1.離散型隨機變量的數(shù)學期望關(guān)于定義的幾點說明:

(1)E(X)是一個實數(shù),而非變量,它是一種加權(quán)平均,與一般的平均值不同,它從本質(zhì)上體現(xiàn)了隨機變量X取可能值的真正的平均值,也稱均值.

(2)級數(shù)的絕對收斂性保證了級數(shù)的和不隨級數(shù)各項次序的改變而改變,之所以這樣要求是因為數(shù)學期望是反映隨機變量X取可能值的平均值,它不應隨可能值的排列次序而改變.

(3)由定義可知，取值非負的隨機變量的數(shù)學期望必定非負.分賭本問題A期望所得的賭金即為X的數(shù)學期望射擊問題

“平均射中環(huán)數(shù)”應為隨機變量Y的數(shù)學期望（1）二項分布則有

設(shè)隨機變量X服從參數(shù)為n,p二項分布,其分布律為常見離散型分布的期望:兩點分布b(1,p)的數(shù)學期望為p.=np(2)

泊松分布

則有(3)幾何分布

2.連續(xù)型隨機變量數(shù)學期望的定義定義1.2（1）指數(shù)分布

則有常見連續(xù)型分布的數(shù)學期望:（2）

均勻分布則有結(jié)論

均勻分布的數(shù)學期望位于區(qū)間的中點.（3）正態(tài)分布則有注意：不是所有的隨機變量都有數(shù)學期望例如：柯西(Cauchy)分布的密度函數(shù)為但發(fā)散它的數(shù)學期望不存在!若X為離散型隨機變量，分布律為Y=g(X)為X的函數(shù)則Y的期望為（1）離散型隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望1.2隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望

1.一維隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望解:例5

求:（2）連續(xù)型隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望若X是連續(xù)型的,它的分布密度為f(x)則例6(教材P106例1.9，請記住結(jié)論!)

稱為

概率積分。另外2.二維隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望解:例7

設(shè)(X,Y)的分布律為(教材P123第9題)由于例8

設(shè)X～N(0,1),Y～N(0,1),X與Y相互獨立,求解:

(教材P124-(B)-第2題/習題課教程P98例8）

設(shè)由自動線加工的某種零件的內(nèi)徑

X(mm)~N(

,1).已知銷售每個零件的利潤T(元)與銷售零件的內(nèi)徑X有如下的關(guān)系：問平均直徑

為何值時,銷售一個零件的平均利潤最大？（例9書P125（B）第4題）解：即可以驗證，零件的平均利潤最大.故時,銷售一個

市場上對某種產(chǎn)品每年需求量為X噸，X~U[2000,4000],每出售一噸可賺3萬元,售不出去，則每噸需倉庫保管費1萬元，問應該生產(chǎn)這種商品多少噸,才能使平均利潤最大？解:設(shè)每年生產(chǎn)Y噸的利潤為T顯然，2000<Y<4000例10顯然，故y=3500時,E(T)最大,E(T)=8250萬元得y=35001.3

數(shù)學期望的性質(zhì)(1)設(shè)C為常數(shù)，則有(2)設(shè)X是一個隨機變量，C為常數(shù)，則有（3）設(shè)X1，X2,

…,Xn

是n個隨機變量，為實數(shù)，則有一般地，有

（4）設(shè)X，Y是相互獨立的隨機變量，則有

且有柯西—許瓦茲（Cauchy-Schwarz)不等式：（證明見書P108）解：例11(教材P124第21題)例12

設(shè)X

與Y獨立，

求．

解

另解：顯然Y-