新教材高中數(shù)學(xué)第八章立體幾何初步8.6.1直線與直線垂直課件

8.6.1

直線與直線垂直課標(biāo)定位素養(yǎng)闡釋1.借助正方體,在直觀認(rèn)識(shí)直線與直線的垂直關(guān)系的基礎(chǔ)上,了解異面直線所成的角的概念.2.掌握異面直線所成的角(或夾角)的求法.3.刻畫及求異面直線所成的角(或夾角)的過程中,感受化歸與轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)思想,提升邏輯思維、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等素養(yǎng).自主預(yù)習(xí)·新知導(dǎo)學(xué)合作探究·釋疑解惑思想方法隨

堂

練

習(xí)

自主預(yù)習(xí)·新知導(dǎo)學(xué)一、刻畫兩條異面直線的位置關(guān)系【問題思考】1.如圖,兩條去往不同方向的高速公路可抽象為直線a,直線b,它們是否在同一平面內(nèi)?a,b的位置關(guān)系可以是垂直嗎?提示:不共面,既不相交也不平行,是異面直線.兩條直線的位置關(guān)系可以看成垂直.2.填空:(1)平面內(nèi)兩條直線相交形成

4個(gè)角,其中不大于

90°的角稱為這兩條直線所成的角(或夾角),它刻畫了一條直線相對(duì)于另一條直線傾斜的程度.(2)我們也可以用“異面直線所成的角”來刻畫兩條異面直線的位置關(guān)系.3.做一做:若直線a,b,c滿足a∥b,b⊥c,則a與c的關(guān)系是(

)A.異面 B.平行

C.垂直 D.相交答案:C二、異面直線所成的角(或夾角)【問題思考】1.類比相交直線所成的角,是否異面直線也可以轉(zhuǎn)化為相交直線來刻畫兩條異面直線的位置關(guān)系?提示:可以,通過平移把異面直線轉(zhuǎn)化為相交直線,這樣就可以刻畫兩條異面直線的位置關(guān)系.2.填空:(1)定義:已知兩條異面直線a,b,經(jīng)過空間任一點(diǎn)O分別作直線a'∥a,b'∥b,我們把直線a'與b'所成的角叫做異面直線a與b所成的角(或夾角).(2)空間兩條直線所成角α的取值范圍:0°≤α≤90°.(3)當(dāng)α=90°時(shí),直線a與直線b垂直,記作a⊥b.3.做一做:如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分別為AA1,AB,BB1,B1C1的中點(diǎn),則異面直線EF與GH所成的角等于(

)°°°°解析:取A1B1的中點(diǎn)Q,連接GQ,HQ,則∠HGQ即為異面直線EF與GH所成的角,易求得∠HGQ=60°答案:B三、直線與直線的垂直關(guān)系【問題思考】1.兩直線互相垂直,一定要有交點(diǎn)嗎?異面直線可以說互相垂直嗎?提示:不一定,可以.2.填空:如果兩條異面直線所成的角是直角,那么我們就說這兩條異面直線互相垂直.3.做一做:已知直線a,b分別在兩個(gè)不同的平面α,β內(nèi),則“直線a和直線b垂直”是“平面α和平面β相交”的(

)A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件答案:D【思考辨析】

判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號(hào)內(nèi)畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”.(1)若兩條直線垂直,則這兩直線一定相交.(

×

)(2)異面直線所成的角不可能等于0°.(

√

)(3)若兩條直線都與第三條直線異面,則這兩條直線異面.(

×

)

合作探究·釋疑解惑探究一探究二探究三探究一

找出異面直線所成的角(或夾角)【例1】

如圖所示,在正方體ABCD-A'B'C'D'中,AB的中點(diǎn)為M,DD'的中點(diǎn)為N,則異面直線B'M和CN所成角的大小是(

)

°°

°°解析:如圖,取AA'的中點(diǎn)E,連接BE,EN,則BE∥NC,所以異面直線B'M和CN所成的角就是直線BE與直線B'M所成的角,根據(jù)△ABE≌△BB'M可得∠B'MB=∠AEB,則BE⊥B'M,所以異面直線B'M和CN所成的角為90°.答案:A根據(jù)異面直線所成角的定義,在兩條異面直線中的某一條直線上取一點(diǎn),作另一條直線的平行線,就可以找出異面直線所成的角(或夾角).另外,在作輔助線之前最好觀察圖形,看看在所給的圖形中,有沒有滿足定義的角,若沒有,則再著手作輔助線來刻畫找出兩條異面直線所成的角(或夾角).【變式訓(xùn)練1】

如果兩條異面直線a,b所成的角是60°,那么過空間任意一點(diǎn)與a,b都成60°角的直線有(

)條

條

條 D.無數(shù)條解析:在正方體中,6個(gè)平面的對(duì)角線,找兩條所成的角是60°的異面直線,然后觀察計(jì)算.答案:B探究二

求異面直線所成的角【例2】

如圖,在空間四邊形ABCD中,AB=CD,AB⊥CD,E,F分別為BC,AD的中點(diǎn),求EF和AB所成的角.解:如圖,取BD的中點(diǎn)G,連接EG,FG,∵E,F分別為BC,AD的中點(diǎn),∴∠GFE就是EF與AB所成的角或其補(bǔ)角.∵AB⊥CD,∴GF⊥EG,∴∠EGF=90°.∵AB=CD,∴△EFG為等腰直角三角形.∴∠GFE=45°,即EF與AB所成的角為45°.若本例中條件“AB=CD,AB⊥CD”改為“AB=CD=2,EF=”,此時(shí)DC和AB所成的角又如何求?解:∵E,F,G分別是所在邊的中點(diǎn),∴GE=GF=1.又EF=,∴∠GEF=∠GFE=30°,∴∠EGF=120°.∴異面直線AB與DC所成的角為60°.求兩異面直線所成的角的步驟(1)根據(jù)所成角的定義,用平移法作出異面直線所成的角;(2)證明作出的角就是要求的角;(3)求角的值,常利用解三角形得出.可用“一作二證三算”來概括.注意異面直線所成角的范圍是(0°,90°].探究三

作異面直線所成的角的另外常見方法【例3】

如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是A1B1,B1C1的中點(diǎn),求異面直線DB1與EF所成的角的大小.解:如圖,在原正方體的右側(cè)補(bǔ)上一個(gè)全等的正方體,連接B1Q,DQ,A1C1,∵EF∥A1C1,而A1C1∥B1Q,∴EF∥B1Q.于是∠DB1Q就是異面直線DB1與EF所成的角或其補(bǔ)角.通過計(jì)算,不難得到B1D2+B1Q2=DQ2,從而異面直線DB1與EF所成的角為90°.作異面直線所成的角,可通過多種方法平移產(chǎn)生,主要有三種方法:(1)直接平移法(可利用圖中已有的平行線);(2)中位線平移法;(3)補(bǔ)形平移法(在已知圖形中,補(bǔ)作一個(gè)相同的幾何體,以便找到平行線).【變式訓(xùn)練2】

已知ABCD-A1B1C1D1是正方體,求異面直線A1C1與B1C所成角的大小.解:如圖所示,連接A1D和C1D.∵B1C∥A1D,∴∠DA1C1即為異面直線A1C1與B1C所成的角.∵A1D,A1C1,C1D為正方體各面上的對(duì)角線,∴A1D=A1C1=C1D,∴△A1C1D為等邊三角形,即∠C1A1D=60°.∴異面直線A1C1與B1C所成的角為60°.思想方法化歸與轉(zhuǎn)化思想在求異面直線所成的角中的運(yùn)用【典例】

如圖,已知長方體ABCD-A1B1C1D1,A1A=AB,E,F分別是BD1和AD中點(diǎn),求異面直線CD1與EF所成的角的大小.∴四邊形EFDG是平行四邊形,∴EF∥DG,∴∠DGD1(或其補(bǔ)角)是異面直線CD1與EF所成的角.又A1A=AB,∴四邊形ABB1A1,四邊形CDD1C1都是正方形,且G為CD1的中點(diǎn),∴DG⊥CD1,∴∠D1GD=90°,∴異面直線CD1與EF所成的角為90°.刻畫異面直線所成的角的本質(zhì)為在某個(gè)平面中相交直線所成的角,求異面直線所成角的主要方法是平移直線,這體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中化歸與轉(zhuǎn)化的思想.【變式訓(xùn)練】

如圖,ABCD-A1B1C1D1是正方體,求:(1)A1C1與B1C所成的角;(2)若E,F分別為AB,AD的中點(diǎn),求證:A1C1⊥EF.(1)解:如圖,連接AC,AB1,由ABCD-A1B1C1D1是正方體,知AC∥A1C1,從而B1C與AC所成的角就是B1C與A1C1所成的角,由AB1=AC=B1C知∠B1CA=60°,即A1C1與B1C所成的角為60°.(2)證明:如圖,連接AC,BD,由AA1

C1C,知AC∥A1C1.又因?yàn)镋F∥BD,所以AC與BD所成的角就是A1C1與EF所成的角,而AC⊥BD,所以A1C1與EF所成的角為90°.即A1C1⊥EF.隨

堂

練

習(xí)1.如果a⊥b,那么a與b(

)A.一定相交 B.一定異面C.一定共面 D.一定不平行答案:D2.已知直線a,b,c,下列三個(gè)命題:①若a與b異面,b與c共面,則a與c異面;②若a∥b,a和c相交,則b和c也相交;③若a⊥b,a∥c,則b⊥c.其中,正確命題的個(gè)數(shù)是(

)A.0 解析:①不正確,如圖;②不正確,有可能相交也有可能異面;③正確,故選B.

答案:B3.如圖,將無蓋正方體紙盒展開,直線AB,CD在原正方體中的位置關(guān)系是(

)

A.平行 B.相交且垂直C.異面 D.相交成60°角解析:首先把平面圖形還原為正方體,根據(jù)下圖可以很容易地看出△ABC是等邊三角形,故選D.

答案:D4.異面直線是指(

)A.空間中兩條不相交的直線B.分別位于兩個(gè)不同平面內(nèi)的