2011年泰州中考數(shù)學(xué)第28題解析

2011年泰州中考數(shù)學(xué)第28題解析2011年泰州中考數(shù)學(xué)第28題解析題目：已知正整數(shù)a、b、c滿足a+b+c=18，且a^2+b^2+c^2=194。求a、b、c各自的值。解析：這是一道關(guān)于正整數(shù)的方程題，借助一定的數(shù)學(xué)知識(shí)和技巧，可以求解出a、b、c的值。首先，我們可以設(shè)立一個(gè)方程組，用于表示給定的條件：a+b+c=18......(1)a^2+b^2+c^2=194......(2)然后，我們需要對(duì)題目中給出的條件進(jìn)行分析。根據(jù)平方的性質(zhì)，我們可以知道，a^2、b^2、c^2必然都是非負(fù)數(shù)，因此，等式(2)的結(jié)果194也是一個(gè)非負(fù)數(shù)。接下來，我們嘗試從不等式的角度著手，判斷給定條件的可行范圍。根據(jù)柯西不等式，我們知道(a^2+b^2)(1+1)≥(a+b)^2將該不等式應(yīng)用于我們的方程組中，可得到：2(a^2+b^2)≥(a+b)^2即：2(194-c^2)≥(18-c)^2......(3)從不等式(3)出發(fā)，我們可以推導(dǎo)出c的取值范圍：2(194-c^2)≥(18-c)^2388-2c^2≥324-36c+c^23c^2-36c+64≤0由于c是正整數(shù)，因此，我們可以列出c的可能取值：1≤c≤7......(4)根據(jù)c的取值范圍(4)，我們可以嘗試將不等式(3)代入方程組(1)(2)中進(jìn)行計(jì)算。當(dāng)c=1時(shí)，代入方程組中，可得到：a+b=17......(5)a^2+b^2=193......(6)由于a、b是正整數(shù)，很顯然，沒有滿足方程(5)(6)的解。當(dāng)c=2時(shí)，代入方程組中，可得到：a+b=16......(7)a^2+b^2=190......(8)通過觀察(8)，我們可以發(fā)現(xiàn)，190并沒有兩個(gè)平方數(shù)的和為190的情況。因此，在c=2時(shí)，也沒有滿足題目要求的解。當(dāng)c=3時(shí)，代入方程組中，可得到：a+b=15......(9)a^2+b^2=185......(10)再次觀察(10)，我們發(fā)現(xiàn)185并沒有滿足兩個(gè)平方數(shù)的和為185的情況。因此，在c=3時(shí)，同樣沒有滿足題目要求的解。當(dāng)c=4時(shí)，代入方程組中，可得到：a+b=14......(11)a^2+b^2=178......(12)通過觀察(12)，我們可以發(fā)現(xiàn)，只有當(dāng)a=11、b=3時(shí)，才能滿足方程(11)(12)的解。因此，當(dāng)c=4時(shí)，滿足題目要求的解就是a=11、b=3、c=4。當(dāng)c=5時(shí)，代入方程組中，可得到：a+b=13......(13)a^2+b^2=169......(14)通過觀察(14)，我們可以發(fā)現(xiàn)，只有當(dāng)a=9、b=4時(shí)，才能滿足方程(13)(14)的解。因此，當(dāng)c=5時(shí)，滿足題目要求的解就是a=9、b=4、c=5。當(dāng)c=6時(shí)，代入方程組中，可得到：a+b=12......(15)a^2+b^2=154......(16)通過觀察(16)，我們可以發(fā)現(xiàn)，只有當(dāng)a=7、b=5時(shí)，才能滿足方程(15)(16)的解。因此，當(dāng)c=6時(shí)，滿足題目要求的解就是a=7、b=5、c=6。當(dāng)c=7時(shí)，代入方程組中，可得到：a+b=11......(17)a^2+b^2=133......(18)通過觀察(18)，我們可以發(fā)現(xiàn)，只有當(dāng)a=2、b=9時(shí)，才能滿足方程(17)(18)的解。因此，當(dāng)c=7時(shí)，滿足題目要求的解就是a=2、b=9、c=7。綜上，根據(jù)以上的推導(dǎo)和計(jì)算，我們可以得出2011年泰州中考數(shù)學(xué)第28題的解答如下：當(dāng)a=11、b=3、c=4時(shí)，滿足題目要求的解。當(dāng)a=9、b=4、c=5時(shí)，滿足題目要求的解。當(dāng)a=7、b=5、c=6時(shí)，滿足題目要求的解