2025版高考數(shù)學一輪總復習素養(yǎng)提升第6章數(shù)列第1講數(shù)列的概念與簡單表示法

遞推數(shù)列的通項公式的求法熱點一an＋1＝Aan＋B(A、B為常數(shù))型(2024·西北師大附中調(diào)研)已知數(shù)列{an}滿足a1＝－2，且an＋1＝3an＋6，則an＝3n－1－3.[解析]∵an＋1＝3an＋6，∴an＋1＋3＝3(an＋3)，又a1＝－2，∴a1＋3＝1，∴{an＋3}是首項為1，公比為3的等比數(shù)列，∴an＋3＝3n－1，∴an＝3n－1－3.[名師點撥]形如an＋1＝Aan＋B(其中A，B均為常數(shù)，AB(A－1)≠0)，可把原遞推公式轉(zhuǎn)化為an＋1－t＝A(an－t)，其中t＝eq\f(B,1－A)，再利用換元法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解.熱點二an＋1＝eq\f(Aan,Ban＋C)(A、B、C為常數(shù))型已知數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝eq\f(2an,an＋2)，則數(shù)列{an}的通項公式為an＝eq\f(2,n＋1)(n∈N*).[解析]∵an＋1＝eq\f(2an,an＋2)，a1＝1，∴an≠0，∴eq\f(1,an＋1)＝eq\f(1,an)＋eq\f(1,2)，即eq\f(1,an＋1)－eq\f(1,an)＝eq\f(1,2)，又a1＝1，則eq\f(1,a1)＝1，∴eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是以1為首項，eq\f(1,2)為公差的等差數(shù)列，∴eq\f(1,an)＝eq\f(1,a1)＋(n－1)×eq\f(1,2)＝eq\f(n,2)＋eq\f(1,2)，∴an＝eq\f(2,n＋1)(n∈N*).名師點撥：形如an＋1＝eq\f(Aan,Ban＋C)(A，B，C為常數(shù))的數(shù)列，可通過兩邊同時取倒數(shù)的方法構造新數(shù)列求解.熱點三an＋1＝pan＋f(n)(p為常數(shù))型(1)在數(shù)列{an}中，若a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1，n∈N*，則an＝4n－1＋n.(2)若a1＝1，an＋1＝2an＋3n，n∈N*，則an＝3n－2n.[分析]觀察遞推式特征：an＋1＝pan＋f(n)，類似等比數(shù)列，故可嘗試化為等比數(shù)列求解，以(1)為例可設an＋1＋λ(n＋1)＋μ＝4(an＋λn＋μ)，整理得an＋1＝4an＋3λn＋(3μ－λ)所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3λ＝－3，,3μ－λ＝1，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝－1，,μ＝0))轉(zhuǎn)化成功.[解析](1)∵an＋1＝4an－3n＋1，∴an＋1－(n＋1)＝4(an－n)，即eq\f(an＋1－n＋1,an－n)＝4，又a1＝2，∴a1－1＝1，∴{an－n}是首項為1，公比為4的等比數(shù)列，∴an－n＝4n－1.∴an＝4n－1＋n.(2)解法一：∵an＋1＝2an＋3n，令an＋1＋λ·3n＋1＝2(an＋λ·3n)比較系數(shù)得λ＝－1.∴an＋1－3n＋1＝2(an－3n)，即eq\f(an＋1－3n＋1,an－3n)＝2，又a1＝1，∴a1－3＝－2，∴{an－3n}是首項為－2，公比為2的等比數(shù)列，∴an－3n＝－2n，∴an＝3n－2n.解法二：∵an＋1＝2an＋3n，∴eq\f(an＋1,3n)＝eq\f(2,3)·eq\f(an,3n－1)＋1，∴eq\f(an＋1,3n)－3＝eq\f(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(an,3n－1)－3))，又a1＝1，∴eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,3n－1)－3))是首項為－2，公比為eq\f(2,3)的等比數(shù)列，∴eq\f(an,3n－1)－3＝－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))n－1，∴an＝3n－2n.名師點撥：1．形如an＋1＝pan＋An＋B(p、A、B為常數(shù))的類型，可令an＋1＋λ(n＋1)＋μ＝p(an＋λn＋μ)，求出λ、μ的值即可知{an＋λn＋μ}為等比數(shù)列，進而可求an.2．形如an＋1＝pan＋Aqn(p、A為常數(shù))的類型.當p≠q時，可令an＋1＋λqn＋1＝p(an＋λqn)，求出λ的值即可知{an＋λqn}是等比數(shù)列，進而可求an，當p＝q時可化為eq\f(an＋1,qn)＝eq\f(an,qn－1)＋A即eq\f(an＋1,qn)－eq\f(an,qn－1)＝A(常數(shù))知eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,qn－1)))為等差數(shù)列，進而可求an.【變式訓練】在數(shù)列{an}中，(1)若a1＝1，an＋1＝3an＋2，則an＝2×3n－1－1.(2)a1＝1，an＝eq\f(an－1,2an－1＋1)(n≥2)，則an＝eq\f(1,2n－1)；(3)若a1＝1，an＋1＝2an－3n，n∈N*，則an＝－5·2n－1＋3n＋3；(4)若a1＝1，an＋1＝2an＋3·2n，n∈N*，則an＝(3n－2)·2n－1.[解析](1)∵an＋1＝3an＋2，∴an＋1＋1＝3(an＋1)，又a1＝1，∴a1＋1＝2，∴{an＋1}是首項為2公比為3的等比數(shù)列，∴an＋1＝2×3n－1，∴an＝2×3n－1－1.(2)將an＝eq\f(an－1,2an－1＋1)兩邊取倒數(shù)，得eq\f(1,an)－eq\f(1,an－1)＝2，這說明eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是一個等差數(shù)列，首項是eq\f(1,a1)＝1，公差為2，所以eq\f(1,an)＝1＋(n－1)×2＝2n－1，即an＝eq\f(1,2n－1).(3)∵an＋1＝2an－3n，令an＋1＋λ(n＋1)＋μ＝2(an＋λn＋μ)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝－3，,μ－λ＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝－3，,μ＝－3，))∴an＋1－3(n＋1)－3＝2(an－3n－3).又a1＝1，∴{an－3n－3}是首項為－5，公比為2的等比數(shù)列，∴an－3n－3＝－5·2n－1∴an＝－5·2n－1＋3n＋3.(4)∵an＋1＝2an＋3·2n，∴