遼寧省撫順市六校高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題

2021屆遼寧省撫順市六校高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，，則（）A． B．C． D．【答案】B【分析】由一元二次不等式求出集合或，再利用集合交集的定義求出即可.【詳解】在集合中，由，解得或，所以或，且集合，.故選：B2．若復(fù)數(shù)滿(mǎn)足.則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)的軌跡為（）A．直線(xiàn) B．橢圓 C．圓 D．拋物線(xiàn)【答案】C【分析】設(shè)出，然后利用求模公式求解即可.【詳解】設(shè)復(fù)數(shù)，由題意可得，則，故復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)的軌跡為圓.故選：C.3．函數(shù)的定義域是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)求函數(shù)定義域的基本原則可得出關(guān)于的不等式組，解出的取值范圍，即為所求.【詳解】由題意可得，解得或．因此，函數(shù)定義域?yàn)?故選：B.4．已知向量，且的夾角為，若，則（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由已知，利用數(shù)量積公式求出向量的模，再根據(jù)向量垂直，數(shù)量積為零列方程求解即可.【詳解】由題意可得，因?yàn)榈膴A角為，所以.因?yàn)?，所以，所以，解?故選：A.5．已知雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)為是雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)，，且，則雙曲線(xiàn)的離心率為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】求得雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程，結(jié)合向量垂直的條件和直角三角形的性質(zhì)，可得，，結(jié)合，，，的關(guān)系，計(jì)算雙曲線(xiàn)的離心率即可．【詳解】由雙曲線(xiàn)，則其漸近線(xiàn)方程為，因?yàn)?，是雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)，，所以，所以，所以，所以，所以，故選：．6．我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽利用弦圖巧妙地證明了勾股定理，弦圖是由四個(gè)全等直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形（如圖）.如果內(nèi)部小正方形的內(nèi)切圓面積為，外部大正方形的外接圓半徑為，直角三角形中較大的銳角為，那么（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出大正方形與小正方形的邊長(zhǎng)，利用勾股定理求出直角三角形的直角邊，再求的正弦值與余弦值，然后根據(jù)商的關(guān)系與二倍角公式可得答案.【詳解】因?yàn)樾≌叫蔚膬?nèi)切圓面積為，所以?xún)?nèi)切圓半徑為，小正方形的邊長(zhǎng)為1；因?yàn)榇笳叫蔚耐饨訄A半徑為，所以大正方形的對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為，其邊長(zhǎng)為5，設(shè)直角三角形短的直角邊為，則長(zhǎng)的直角邊為.由勾股定理得，解得，所以，則.故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵是利用勾股定理求出直角三角形的直角邊，從而求出的正弦值與余弦值，再根據(jù)三角函數(shù)恒等變換解答.7．已知都是正實(shí)數(shù)，則“”是“”的（）A．充要條件 B．必要不充分條件C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求得的大小關(guān)系，然后根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求得的大小關(guān)系，利用充要條件判斷出結(jié)論.【詳解】由，得則，從而，即，由，得，因?yàn)樗裕?即.故“”是“”的充要條件.故選：A.8．已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，且對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有，則不等式的解集為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，利用單調(diào)性可解得結(jié)果.【詳解】設(shè)，則．因?yàn)?，所以，所?故在R上單調(diào)遞增．因?yàn)槭嵌x在R上的奇函數(shù)，所以，所以，所以不等式可化為，即，又在R上單調(diào)遞增．所以，所以不等式的解集為.故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：構(gòu)造函數(shù)并利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性是解題關(guān)鍵.9．在新冠疫情的持續(xù)影響下，全國(guó)各地電影院等密閉式文娛場(chǎng)所停業(yè)近半年，電影行業(yè)面臨巨大損失．2011～2020年上半年的票房走勢(shì)如下圖所示，則下列說(shuō)法正確的是（）A．自2011年以來(lái)，每年上半年的票房收入逐年增加B．自2011年以來(lái)，每年上半年的票房收入增速為負(fù)的有5年C．2018年上半年的票房收入增速最大D．2020年上半年的票房收入增速最小【答案】D【分析】根據(jù)圖表，對(duì)A、B、C、D四個(gè)選項(xiàng)一一驗(yàn)證即可.【詳解】由圖易知自2011年以來(lái)，每年上半年的票房收入相比前一年有增有減，增速為負(fù)的有3年，故A，B錯(cuò)誤；2017年上半年的票房收入增速最大，故C錯(cuò)誤；2020年上半年的票房收入增速最小，故D正確．故選：D二、多選題10．已知橢圓的離心率是，則的值可能是（）A． B． C． D．【答案】BC【分析】分兩種情況討論，分別求出半長(zhǎng)軸與半焦距，利用離心率的值列方程求解即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，則解得，當(dāng)時(shí)，，則，解得.故選：BC11．已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，若，則（）A． B．C．m的值可能是4 D．m的值可能是6【答案】AD【分析】根據(jù)偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)求得，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性解不等式，求得的取值范圍.【詳解】由題意可得，則．所以A選項(xiàng)正確.的定義域?yàn)?，因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以．當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增．因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減．因?yàn)?，所以，所以，或，解得或．所以D選項(xiàng)符合.故選：AD12．如圖，在正方體中，點(diǎn)E在棱上，且是線(xiàn)段上一動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的有（）A．B．存在一點(diǎn)F使得C．三棱錐的體積與點(diǎn)F的位置無(wú)關(guān)D．直線(xiàn)與平面所成角的正弦值的最小值為【答案】ABC【分析】連接，推出，判斷A；在上取一點(diǎn)，使得，連接，轉(zhuǎn)化證明，判斷B；設(shè)，通過(guò)三棱錐的體積與三棱錐的體積相等，推出三棱錐的體積與正方體的棱長(zhǎng)有關(guān)，與點(diǎn)的位置無(wú)關(guān)，判斷C；建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，用夾角向量坐標(biāo)公式即可判斷D．【詳解】如圖，連接.易證平面，則，故A正確；在上取一點(diǎn)H，使得，連接，易證四邊形為平行四邊形，則，若，易證四邊形為平行四邊形，則，從而，故四邊形為平行四邊形，于是，故B正確；設(shè)，三棱錐的體積與三棱錐的體積相等，則，即三棱錐的體積與正方體的棱長(zhǎng)有關(guān)，與點(diǎn)F的位置無(wú)關(guān)，故C正確；以為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，從而，，設(shè)平面的法向量，則令，得，從而，即直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為，因?yàn)?，所以，所以，故D錯(cuò)誤．故選：ABC【點(diǎn)睛】求直線(xiàn)與平面所成的角的一般步驟：（1）、①找直線(xiàn)與平面所成的角，即通過(guò)找直線(xiàn)在平面上的射影來(lái)完成；②計(jì)算，要把直線(xiàn)與平面所成的角轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中求解；（2）、用空間向量坐標(biāo)公式求解.三、填空題13．展開(kāi)式中的系數(shù)是_______．【答案】【分析】由二項(xiàng)式定理得到展開(kāi)式通項(xiàng)，令，求得后代入通項(xiàng)即可求得結(jié)果.【詳解】展開(kāi)式的通項(xiàng)為：，令，解得：，則，展開(kāi)式中的系數(shù)是.故答案為：.14．將一個(gè)斜邊長(zhǎng)為4的等腰直角三角形以其一直角邊所在直線(xiàn)為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周，所得幾何體的表面積為_(kāi)________.【答案】【分析】先求出等腰直角三角形的直角邊長(zhǎng)，進(jìn)而求出旋轉(zhuǎn)體圓錐的底面半徑和母線(xiàn)，再利用圓錐的表面積公式即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)榈妊苯侨切蔚男边呴L(zhǎng)為4，所以直角邊長(zhǎng)為，由題意可知所得幾何體是圓錐，其底面圓的半徑，母線(xiàn)長(zhǎng)，則其表面積為.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)圓錐的表面積的問(wèn)題，正確解題的關(guān)鍵點(diǎn)是：（1）要確定旋轉(zhuǎn)后所得到的幾何體是圓錐；（2）要明確圓錐的各個(gè)量：底面圓的半徑以及母線(xiàn)長(zhǎng)；（3）要熟練掌握?qǐng)A錐的表面積公式.15．已知，且，則的最小值是________．【答案】【分析】利用，展開(kāi)后利用基本不等式求解即可.【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.故答案為：.16．2020年10月11日，全國(guó)第七次人口普查拉開(kāi)帷幕，某統(tǒng)計(jì)部門(mén)安排六名工作人員到四個(gè)不同的區(qū)市縣開(kāi)展工作.每個(gè)地方至少需安排一名工作人員，其中安排到同一區(qū)市縣工作，不能安排在同一區(qū)市縣工作，則不同的分配方法總數(shù)為_(kāi)______種.【答案】216【分析】分兩步完成，第一步將6名工作人員分成4組，要求同一組，不在同一組，共種分組方法，第二步在將分的四組分配到四個(gè)區(qū)市縣有種，進(jìn)而得總的分配方法有種【詳解】第一步，將6名工作人員分成4組，要求同一組，不在同一組.若分為3，1，1，1的四組，必須在3人組，則只需在中選一人和同一組，故有種分組方法，若分為2，2，1，1的四組，必須在2人組，故只需在中選兩人構(gòu)成一組，同時(shí)減去在同一組的情況，故有種分組方法，則一共有種分組方法；第二步，將分好的四組全排列，分配到四個(gè)區(qū)市縣，有種.故總的分配方法有種.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查分組分配問(wèn)題，解題的關(guān)鍵在于根據(jù)題意，分兩步完成，先將6名工作人員分成4組使其滿(mǎn)足條件，再分配到四個(gè)縣區(qū)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.四、解答題17．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且成等差數(shù)列.（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【分析】（1）由題可得，結(jié)合可證明；（2）利用等比數(shù)列求和公式即可求解.【詳解】（1）因?yàn)槌傻炔顢?shù)列，所以，當(dāng)時(shí),，則，即，即.因?yàn)椋詳?shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.（2）由（1）可得，則（或），則，故.18．第31屆世界大學(xué)生夏季運(yùn)動(dòng)會(huì)定于2021年8月18日—29日在成都舉行，成都某機(jī)構(gòu)隨機(jī)走訪(fǎng)調(diào)查80天中的天氣狀況和當(dāng)天到體育館打乒乓球人次，整理數(shù)據(jù)如下表(單位：天)：打乒乓球人次天氣狀況晴天21320陰天4610雨天645雪天820（1）若用樣本頻率作為總體概率，隨機(jī)調(diào)查本市4天，設(shè)這4天中陰天的天數(shù)為隨機(jī)變量X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.（2）假設(shè)陰天和晴天稱(chēng)為“天氣好”，雨天和雪天稱(chēng)為“天氣不好”完成下面的列聯(lián)表，判斷是否有99%的把握認(rèn)為一天中到體育館打兵乓球的人次與該市當(dāng)天的天氣有關(guān)？人次人次天氣好天氣不好參考公式：，其中.參考數(shù)據(jù)：【答案】（1）分布列答案見(jiàn)解析，數(shù)學(xué)期望：；（2）列聯(lián)表答案見(jiàn)解析，有99%的把握認(rèn)為一天中到體育館打兵乓球的人次與該市當(dāng)天的天氣有關(guān).【分析】（1）由題意先求得隨機(jī)變量X的可能取值，再得出.由此可求得分布列和分布列的期望；（2）由已知數(shù)據(jù)得出列聯(lián)表，由公式計(jì)算出，判斷可得結(jié)論.【詳解】解：（1）由題意可知隨機(jī)變量X的可能取值為0，1，2，3，4.設(shè)一天為陰天的概率為P，則，故.，，，，，則X的分布列為X01234P故.（2）人次人次天氣好2530天氣不好205則.因?yàn)椋杂?9%的把握認(rèn)為一天中到體育館打兵乓球的人次與該市當(dāng)天的天氣有關(guān).【點(diǎn)睛】求隨機(jī)變量概率分布列的步驟：(1)找出隨機(jī)變量的所有可能取值；(2)求出取各值時(shí)的概率；(3)列成表格；(4)檢驗(yàn)分布列.注意分析隨機(jī)變量是否滿(mǎn)足特殊的分布列，如：兩點(diǎn)分布，超幾何分布，二項(xiàng)分布，正態(tài)分布.19．在如圖所示的四棱錐中，，，，，，，分別為，的中點(diǎn)，平面平面．（1）證明：平面．（2）若，求二面角的余弦值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【分析】（1）由中位線(xiàn)性質(zhì)知，由線(xiàn)面平行判定定理可證得結(jié)論；（2）取的中點(diǎn)，由面面垂直性質(zhì)可知平面，則以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用二面角的空間向量求法可求得結(jié)果.【詳解】（1）分別為的中點(diǎn)，，平面，平面，平面；（2）取的中點(diǎn)，連接.，，平面平面，平面平面，平面，平面.過(guò)點(diǎn)在平面內(nèi)作的垂線(xiàn)，則兩兩垂直.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，，，，，，，，設(shè)平面的法向量，，即，令，則，，，又平面的一個(gè)法向量為，由圖象可知二面角為銳二面角，二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：空間向量法求解二面角的基本步驟是：（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)表示出所需的點(diǎn)和向量；（2）分別求得二面角的兩個(gè)半平面的法向量，根據(jù)向量夾角公式求得法向量的夾角；（3）根據(jù)圖形或法向量的方向確定所求角為二面角的大小或二面角補(bǔ)角的大小.20．在①且，②，③的面積這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充到下面問(wèn)題中，并作答.問(wèn)題：在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且______.（1）求；（2）若，且的面積為，求的周長(zhǎng).【答案】選擇見(jiàn)解析；（1）；（2）.【分析】（1）若選①②，利用正弦定理進(jìn)行邊角互化，結(jié)合余弦定理求解；若選③，利用三角形面積公式以及余弦定理進(jìn)行求解；（2）由（1）得，根據(jù)三角形面積求得，解出，再利用余弦定理求，從而求得三角形周長(zhǎng).【詳解】解：（1）若選①，，.，，，，若選②，，，，，故.若選③，，，，，，，故.（2）的面積為，，，，，，即故的周長(zhǎng)為.【點(diǎn)睛】解三角形應(yīng)用題的一般步驟：(1)閱讀理解題意，弄清問(wèn)題的實(shí)際背景，明確已知與未知，理清量與量之間的關(guān)系．(2)根據(jù)題意畫(huà)出示意圖，將實(shí)際問(wèn)題抽象成解三角形問(wèn)題的模型．(3)根據(jù)題意選擇正弦定理或余弦定理求解．(4)將三角形問(wèn)題還原為實(shí)際問(wèn)題，注意實(shí)際問(wèn)題中的有關(guān)單位問(wèn)題、近似計(jì)算的要求等.21．已知?jiǎng)狱c(diǎn)到點(diǎn)的距離比它到直線(xiàn)的距離?。?）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程（2）過(guò)點(diǎn)作斜率為的直線(xiàn)與軌跡交于點(diǎn)、，線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)交軸于點(diǎn)，證明：為定值【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【分析】（1）本題首先可根據(jù)題意得出動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到直線(xiàn)距離相等，然后根據(jù)拋物線(xiàn)的定義即可得出結(jié)果；（2）本題可設(shè)直線(xiàn)的方程為，，，為線(xiàn)段的中點(diǎn)，然后通過(guò)聯(lián)立直線(xiàn)方程與拋物線(xiàn)方程得出，并求出點(diǎn)坐標(biāo)，再然后寫(xiě)出線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)的方程，并寫(xiě)出點(diǎn)坐標(biāo)，最后求出、以及，即可證得結(jié)論.【詳解】（1）因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離比它到直線(xiàn)的距離小，所以動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到直線(xiàn)距離相等，由拋物線(xiàn)的定義可知，軌跡是以為焦點(diǎn)、以直線(xiàn)為準(zhǔn)線(xiàn)的拋物線(xiàn)，故點(diǎn)的軌跡的方程為.（2）設(shè)直線(xiàn)的方程為，聯(lián)立，整理得，設(shè)、，為線(xiàn)段的中點(diǎn)，則，，，線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)的方程為，，，，，故為定值.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程以及拋物線(xiàn)與直線(xiàn)的相關(guān)問(wèn)題的求解，考查拋物線(xiàn)的定義以及韋達(dá)定理的應(yīng)用，能否求出點(diǎn)坐標(biāo)是解決本題的關(guān)鍵，考查直線(xiàn)方程的求法，考查中點(diǎn)坐標(biāo)的相關(guān)性質(zhì)，考查計(jì)算能力，是中檔題.22．已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若不等式對(duì)恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）.【分析】（1）求出導(dǎo)數(shù)，分，討論單調(diào)區(qū)間即可.（2）構(gòu)造函數(shù)，求出其導(dǎo)函數(shù)，討論導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性得到分析的