【解析】廣東省惠州市高三6月模擬數(shù)學（文）試題

惠州市2020屆高三第一次模擬考試文科數(shù)學注意事項：1.答題前，考生務必將自己的姓名、準考證號、座位號、學校、班級等考生信息填寫在答題卡上.2.作答選擇題時，選出每個小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案信息點涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案，寫在本試卷上無效.3.非選擇題必須用黑色字跡簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題指定的位置上，寫在本試卷上無效.一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求.，集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出集合，然后再求并集運算.【詳解】由，得集合B=所以A=故選：A.【點睛】本題考查集合的描述法和集合的并集運算，屬于基礎題.為虛數(shù)單位，下列各式的運算結果為純虛數(shù)的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用復數(shù)代數(shù)形式的乘法運算對選項進行逐一化簡可得答案．【詳解】對于A，不是純虛數(shù)；對于B，是實數(shù)；對于C，為純虛數(shù)；對于D，不是純虛數(shù).故選：C.【點睛】本題考查復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查復數(shù)的基本概念，是基礎題．,則“”是“”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】根據(jù)不等式的關系，結合充分條件和必要條件的定義進行判斷即可．【詳解】若，則0<a<b，則是0<a<b成立的必要不充分條件，故選B．【點睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，結合不等式的關系進行轉(zhuǎn)化是解決本題的關鍵．的方差為，若，則新數(shù)據(jù)的方差為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)方差的性質(zhì)直接計算可得結果.【詳解】由方差的性質(zhì)知：新數(shù)據(jù)的方差為：.故選：.【點睛】本題考查利用方差的性質(zhì)求解方差的問題，屬于基礎題.的圖象大致形狀是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】分別在和兩種情況下得到函數(shù)解析式，根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性可判斷出所求函數(shù)單調(diào)性，進而得到所求圖象.【詳解】當時，；當時，，為上的增函數(shù)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，可知正確.故選：.【點睛】本題考查函數(shù)圖象的識別，解題關鍵是能夠通過分類討論的方式得到函數(shù)在不同區(qū)間內(nèi)的解析式，進而根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性判斷出結果.6.我國古代木匠精于鉆研，技藝精湛，常常設計出巧奪天工的建筑．在一座宮殿中，有一件特別的“柱腳”的三視圖如圖所示，則其體積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)“柱腳”的三視圖可知，該“柱腳”是由半圓柱和一個三棱柱組合而成，結合三視圖求出相應的長度，利用柱體和椎體的體積公式，即可得到答案．【詳解】根據(jù)“柱腳”的三視圖可知，該“柱腳”是由半圓柱和一個三棱柱組合而成，半圓柱的底面半圓的直徑為，高為，故半圓柱的體積為，三棱柱的底面三角形的一邊長為，該邊上的高為，該三棱柱的高為，故該三棱柱體積為，所以該“柱腳”的體積為．故選：C．【點睛】本題主要考查對三視圖所表達的空間幾何體的識別及幾何體體積的計算．由三視圖還原幾何體，要弄清楚幾何體的特征，把三視圖中的數(shù)據(jù)、圖形特點準確地轉(zhuǎn)化為對應幾何體中的線段長度、圖形特點，再進行計算．中，角的對邊分別為，若，，且滿足，則的值為（）A.2 B.3 C. D.【答案】D【解析】【分析】利用正弦定理將邊化為角，即可求出角，結合向量的數(shù)量積即可求解.【詳解】根據(jù)正弦定理得：即：,又，故選：D.【點睛】本題主要考查正弦定理、兩角和的正弦公式及平面向量的數(shù)量積，考查邊化角的技巧，屬于基礎題.，則滿足的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由題意可得是偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，則不等式等價為，即，從而得到答案.【詳解】由，知是偶函數(shù)，不等式等價為，當時，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，解得：.故選：A.【點睛】本題考查根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性求解函數(shù)不等式的問題，關鍵是能夠利用單調(diào)性將不等式轉(zhuǎn)化為自變量大小關系，從而解出不等式，屬于中檔題.是拋物線的焦點，過焦點的直線交拋物線的準線于點，點在拋物線上且，則直線的斜率為（）A.±l B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先根據(jù)，結合拋物線的定義，求出點坐標，得到點坐標，進而可得直線斜率.【詳解】因為點在拋物線上，且，點在拋物線的準線上，由拋物線的定義可知，直線，設，則，解得，所以，故，故，又，所以直線的斜率為.故選C【點睛】本題主要考查求拋物線中直線的斜率，熟記拋物線的定義即可，屬于常考題型.m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，則下列命題正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】D【解析】【分析】根據(jù)各選項的條件及結論，可畫出圖形或想象圖形，再結合平行、垂直的判定定理即可找出正確選項．【詳解】選項A錯誤，同時和一個平面平行的兩直線不一定平行，可能相交，可能異面；選項B錯誤，兩平面平行，兩平面內(nèi)的直線不一定平行，可能異面；選項C錯誤，一個平面內(nèi)垂直于兩平面交線的直線，不一定和另一平面垂直，可能斜交；選項D正確，由，便得，又，，即.故選：D.【點睛】本題考查空間直線位置關系的判定，這種位置關系的判斷題，可以舉反例或者用定理簡單證明，屬于基礎題.的最小正周期為，若其圖象向右平移個單位后得到函數(shù)為奇函數(shù)，則函數(shù)的圖象（）A.關于點對稱 B.在上單調(diào)遞增C.關于直線對稱 D.在處取最大值【答案】A【解析】【分析】由最小正周期為得出，由的圖象向右平移個單位后得到函數(shù)為奇函數(shù)得出，進而得出，然后根據(jù)正弦型函數(shù)的圖像與性質(zhì)逐一對選型進行判斷即可得出答案.【詳解】解：函數(shù)的最小正周期為，可得，向右平移個單位后得到的函數(shù)為，因為此函數(shù)為奇函數(shù)，又，所以.故函數(shù)，對于選項：正確；對于選項：當，不具有單調(diào)性，故B錯；對于選項：，故C錯；對于選項：，沒有取到最大值，，故D錯.故選：A.【點睛】本題主要考查正弦型函數(shù)的圖像與性質(zhì)，屬于中檔題.，若關于x的方程恰好有四個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)m的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】判斷函數(shù)的單調(diào)性，作出的函數(shù)圖像，根據(jù)方程恰好有四個不相等的實數(shù)根，可知方程的一根在區(qū)間上，另一根在區(qū)間上，根據(jù)二次函數(shù)零點分布可得，解不等式組即可求解.【詳解】當時，，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當時，取得極小值，同理可得在上單調(diào)遞增，作出的函數(shù)圖像如圖所示：設的兩根為由恰好有四個不相等的實數(shù)根，則方程的一根在區(qū)間上，另一根在區(qū)間上不妨設，，根據(jù)二次函數(shù)零點分布可得，即，解得故實數(shù)m的取值范圍是.故選：A【點睛】本題考查了由方程根的個數(shù)求參數(shù)的取值范圍、利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，考查了數(shù)形結合的思想，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.是曲線的一條切線，則實數(shù)的值是_____.【答案】1【解析】【分析】設出切點坐標P（x0，ex0），利用導數(shù)的幾何意義寫出在點P處的切線方程，由直線y＝x+b是曲線y＝ex的切線，根據(jù)對應項系數(shù)相等可求出實數(shù)b的值．【詳解】∵y＝ex，∴y′＝ex，設切點為P（x0，ex0），則在點P處的切線方程為y﹣ex0＝ex0（x﹣x0），整理得y＝ex0x﹣ex0?x0+ex0，∵直線是y＝x+b是曲線y＝ex的切線，∴ex0＝1，x0＝0，∴b＝1．故答案為1．【點睛】本題考查導數(shù)的幾何意義，考查曲線在某點處的切線方程的求法，屬于基礎題.，，若向量與垂直，則=__________.【答案】7【解析】【分析】先求出，再由，可求出的值.【詳解】由，所以，，解得.故答案為：7.【點睛】本題主要考查了向量的垂直的條件和數(shù)量積的坐標運算的應用，準確運算是解答的關鍵，屬于基礎題．15.2020年初，一場突如其來的“新型冠狀肺炎”使得全國學生無法在春季正常返校開學，不得不在家“停課不停學”.為了解高三學生每天居家學習時長，從某校的調(diào)查問卷中，隨機抽取個學生的調(diào)查問卷進行分析，得到學生學習時長的頻率分布直方圖（如圖所示）.已知學習時長在的學生人數(shù)為25，則的值為______.【答案】【解析】【分析】利用頻率和為可構造方程求得，根據(jù)總數(shù)頻率頻數(shù)可構造方程求得.【詳解】由頻率分布直方圖的性質(zhì)可得：，解得：，學習時長在的頻率為：，解得：.故答案為：.【點睛】本題考查利用頻率分布直方圖計算頻率、總數(shù)的問題，屬于基礎題.左、右焦點分別為，為橢圓上的動點，若動點滿足且，則點到雙曲線一條漸近線距離的最大值為______.【答案】【解析】【分析】由題意結合橢圓定義求得的軌跡，求出雙曲線的一條漸近線方程，再求出到漸近線的距離，則答案可求．【詳解】橢圓的則，若動點Q滿足且，則三點共線，且同向，由，所以Q的軌跡為以為圓心，6為半徑的圓，雙曲線的一條漸近線方程設為，由圓心到漸近線的距離為，所以點到雙曲線一條漸近線距離的最大值為.故答案為：【點睛】本題考查橢圓與雙曲線的綜合，考查動點的軌跡的求法和點到直線距離公式的應用，考查圓上的點到直線的距離的最大值，考查數(shù)形結合的解題思想方法，是中檔題．三、解答題：共70分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.第17～21題為必考題，每個考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.的前項和為，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求數(shù)列前項和.參考公式：.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由題意結合等差數(shù)列的性質(zhì)可得、，再根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得、，由等差數(shù)列的通項公式即可得解；（2）由題意，再由分組求和法、等差數(shù)列的前n項和公式即可得解.【詳解】（1）設等差數(shù)列公差為，由題意可得即，又，，，，，；（2）由題意得，所以，.【點睛】本題考查了等差數(shù)列性質(zhì)的應用及通項公式的求解，考查了分組求和法、等差數(shù)列前n項和公式的應用，屬于中檔題.中，，，，面，，.（1）求證：平面平面；（2）求點到平面的距離.【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】【分析】（1）由條件可得，即，又由條件可得面，從而可得，從而得證.

（2）設點到平面的距離為，由等體積法有，可得，從而可求出答案.【詳解】（1）證明：由已知可得，，且面ABCD，面，面，，，面，面∴面且面，所以面面（2）又平面，平面，面又平面，即三角形為直角三角形設點到平面的距離為，，即，點到平面的距離為【點睛】本題考查面面垂直的證明和求點到面的距離，求點到面的距離一般用等體積法求解，也可以用向量法求解.屬于中檔題.19.惠州市某學校高三年級模擬考試的數(shù)學試題是全國I卷的題型結構，其中第22、23題為選做題，考生只需從中任選一題作答.已知文科數(shù)學和理科數(shù)學的選做題題目無任何差異，該校參加模擬考試學生共1050人，其中文科學生150人，理科學生900人.在測試結束后，數(shù)學老師對該學校全體高三學生選做的22題和23題得分情況進行了統(tǒng)計，22題統(tǒng)計結果如下表1，23題統(tǒng)計結果如下表2.表122題得分035810理科人數(shù)507080100500文科人數(shù)52010570表223題得分035810理科人數(shù)1010152540文科人數(shù)552505（1）在答卷中完成如下列聯(lián)表，并判斷能否至少有的把握認為“選做22題或23題”與“學生的科類（文理）”有關系；選做22題選做23題合計文科人數(shù)110理科人數(shù)100總計1050（2）在第23題得分為0的學生中，按分層抽樣的方法隨機抽取6人進行答疑輔導，并在輔導后從這6人中隨機抽取2人進行測試，求被抽中進行測試的2名學生均為理科生的概率.參考公式：，其中.【答案】（1）列聯(lián)表見解析，有；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)題意填寫列聯(lián)表，計算觀測值，對照臨界值得出結論；（2）由分層抽樣法求得被選取的6名學生中理科生和文科生人數(shù)，進而寫出從6名學生中隨機抽取2名的所有基本事件以及被抽中的2名學生均為理科生的基本事件，進而求出相應的概率.【詳解】解：（1）根據(jù)題意填寫列聯(lián)表如下，選做22題選做23題合計文科人數(shù)11040150理科人數(shù)800100900總計9101401050由表中數(shù)據(jù)，計算所以有的把握認為“選做題的選擇”與“文、理科的科類”有關；（2）由分層抽樣的方法可知在被選取的6名學生中理科生有4名，文科生有2名，記4名理科生為，2名文科生為，從這6名學生中隨機抽取2名，全部可能的基本事件共15種分別是：被抽中的2名學生均為理科生的基本事件是：，有6種，故所求的概率為所以被抽中進行測試的2名學生均為理科生的概率為.【點睛】本題考查了列聯(lián)表與獨立性檢驗的應用問題，也考查了列舉法求古典概型的概率問題，屬于中檔題.且.（1）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值；（2）當時，恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）當時，函數(shù)取極大值，無極小值；（2）.【解析】試題分析：（1）將代入，求出函數(shù)的導函數(shù)，判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，進而研究極值；（2）令，即當時，恒成立.求導研究最值和0比即可.試題解析：（1）當時，函數(shù)，，當時,，當時，.所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為,單調(diào)減區(qū)間為，當時，函數(shù)取極大值，無極小值.（2）令，根據(jù)題意，當時，恒成立..①當，時，恒成立，所以在上是增函數(shù)，且，所以不符合題意；②當，時，恒成立，所以在上是增函數(shù)，且，所以不符合題意；③當時，,恒有,故在上是減函數(shù)，于是“對任意都成立”的充要條件是，即,解得，故.綜上，的取值范圍是.點睛：不等式的存恒成立問題，常用的方法有兩個：一是，分離變量法，將變量和參數(shù)移到不等式兩邊，要就函數(shù)的圖像，找參數(shù)范圍即可；二是，含參討論法，此法是一般方法，也是高考的熱點問題，需要求導，討論參數(shù)的范圍，結合單調(diào)性處理.：的兩個焦點分別是，直線：與橢圓交于兩點.（1）若為橢圓短軸上的一個頂點，且是直角三角形，求的值；（2）若，且，求證：的面積為定值.【答案】（1）或；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)為等腰直角三角形可知；分別討論焦點在軸和軸上兩種情況，構造方程求得；（2）根據(jù)可知，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，得到韋達定理的形式，代入可整理得到的關系；利用弦長公式和點到直線距離公式可表示出的面積，化簡整理可得定值.【詳解】（1）為橢圓短軸上的一個頂點，且是直角三角形，為等腰直角三角形，，當時，，解得：；當時，，解得：；或.（2）證明：當時，橢圓方程：，設，，，即，由整理得：，，即，，，，，滿足，.到直線的距離為，，的面積為定值.【點睛】本題考查直線與橢圓綜合應用問題，涉及到橢圓標準方程中的參數(shù)的求解問題、定值問題的求解；求解定值問題的關鍵是能夠利用變量表示出所求項，利用韋達定理和已知的等量關系對所求項進行化簡整理，消去變量得到定值.（二）選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答.答題時請在答卷中寫清題號并將相應信息點涂黑.中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.求曲線的普通方程和的直角坐標方程；