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文檔簡介
Z20名校聯(lián)盟(浙江省名校新高考研究聯(lián)盟)2024屆高三第二次聯(lián)考數(shù)學試題卷注意事項:1.答卷前,務必將自己的姓名,考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上.2.回答選擇題時,選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動,用橡皮擦干凈后,再涂其他答案標號.回答非選擇題時,將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效.3.請保持答題卡的整潔.考試結束后,將試卷和答題卡一并交回.第I卷一?單項選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的1.若集合,則()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出對應集合,再利用交集的定義求解即可.【詳解】令,解得,則,故,故選:C2.已知是關于的實系數(shù)一元二次方程的一個根,則()A.2 B.3 C.4 D.5【答案】D【解析】【分析】利用復數(shù)相等可求參數(shù)的值.【詳解】因為是關于的實系數(shù)一元二次方程的一個根,所以,整理得到:即,故選:D.3.已知向量,向量在向量上的投影向量()A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用平面向量投影向量的定義求解.【詳解】解:因為向量,所以向量在向量上的投影向量,故選:C4.已知直線交圓于兩點,設甲:,乙:,則()A.甲是乙的充分條件但不是必要條件B.甲是乙的必要條件但不是充分條件C.甲是乙的充要條件D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件【答案】A【解析】【分析】結合直線和圓的位置關系,判斷甲:和乙:之間的邏輯推理關系,即可得答案.【詳解】圓的圓心為,半徑為,當時,直線,則到直線的距離為,此時,而,即為正三角形,故;當時,為正三角形,則C到的距離為,即圓心C到直線距離為,解得或,即當時,不一定推出,故甲是乙的充分條件但不是必要條件,故選:A5.已知數(shù)列滿足,則()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)遞推關系可證明為等差數(shù)列,即可求解.【詳解】,所以,,所以為等差數(shù)列,且公差為1,首項為1,故,即,故選:B6.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是()A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】求出函數(shù)的定義域與導函數(shù),再令,解得即可.【詳解】函數(shù)的定義域為,且,令,解得,所以的單調(diào)遞增區(qū)間為.故選:D7.已知,若,則()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)角的范圍,利用同角的三角函數(shù)關系求得的值,利用兩角差的余弦公式即可求得,繼而利用二倍角余弦公式求得答案.【詳解】由于,則,而,故,由,可得,則,故,故選:D8.假設變量與變量的對觀測數(shù)據(jù)為,兩個變量滿足一元線性回歸模型.要利用成對樣本數(shù)據(jù)求參數(shù)的最小二乘估計,即求使取最小值時的的值,則()A. B.C D.【答案】A【解析】【分析】化簡為二次函數(shù)形式,根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)得到最值.【詳解】因為,上式是關于的二次函數(shù),因此要使取得最小值,當且僅當?shù)娜≈禐?故選:A.【點睛】關鍵點點睛:本題的關鍵是化簡為二次函數(shù)形式,利用其性質(zhì)得到最值時的.二?多項選擇題:本題共4小題,每小顆5分,共20分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求,請把答案填涂在答題卡相應位置上.全部選對的得5分,有選錯的得0分,部分選對的得2分.9.為了了解某公路段汽車通過的時速,隨機抽取了200輛汽車通過該公路段的時速數(shù)據(jù),進行適當分組后(每組為左閉右開的區(qū)間),繪制成頻率分布直方圖,“根據(jù)直方圖,以下說法正確的是()A.時速在的數(shù)據(jù)有40個B.可以估計該組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)是65C.時速在的數(shù)據(jù)的頻率是0.07D.可以估計汽車通過該路段的平均時速是【答案】AD【解析】【分析】對于A,直接由對應的頻率乘以200即可驗算;對于B,由百分位數(shù)的定義即可判斷;對于C,由對應的長方形面積之和即可判斷;對于D,由平均數(shù)的計算公式即可得解.【詳解】對于A,,即時速在的數(shù)據(jù)有40個,故A正確;對于B,,所以該組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)位于不妨設為,則,解得,故B錯誤;對于C,時速在的數(shù)據(jù)的頻率是,故C錯誤;對于D,可以估計汽車通過該路段的平均時速是,故D正確.故選:AD.10.函數(shù)是定義在上的奇函數(shù),滿足,以下結論正確的是()A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】首先由抽象函數(shù)的形狀判斷函數(shù)的周期,并求的值,即可求解.【詳解】由條件,可知,所以,所以函數(shù)是周期為4的函數(shù),,故A錯誤;,故B正確;由條件,可知,所以,故C正確;由函數(shù)的周期為4,且,,所以,故D錯誤.故選:BC11.曲線的法線定義:過曲線上的點,且垂直于該點處切線的直線即為該點處的法線.已知點是拋物線上的點,是的焦點,點處的切線與軸交于點,點處的法線與軸交于點,與軸交于點,與交于另一點,點是的中點,則以下結論正確的是()A.點的坐標是B.的方程是C.D.過點的的法線(包括)共有兩條【答案】BCD【解析】【分析】利用導數(shù)求出切線斜率,進而確定切線方程判斷A,利用法線的定義判斷B,利用兩點間距離公式判斷C,分類討論判斷D即可.【詳解】對A,將點代入,得,則,當時,故的方程為,令,則點的坐標是,故A錯誤;對B,的方程為,整理得,故B正確;對C,易得與軸的交點的坐標為,與軸的交點的坐標為,聯(lián)立,解得或.與的另一個交點的坐標為,則,故C正確;對D,易得點的坐標為,設點為拋物線上一點,當是原點時,處的法線為軸,顯然不過點,當點不是原點時,則處的法線方程為,將點代入得,,又,則,故或過點的的法線(包括)共有兩條,故D正確.故選:BCD12.已知棱長為1的正方體是空間中一個動平面,下列結論正確的是()A.設棱所在的直線與平面所成的角為,則B.設棱所在的直線與平面所成的角為,則C.正方體的12條棱在平面上的射影長度的平方和為8D.四面體的6條棱在平面上的射影長度的平方和為8【答案】ACD【解析】【分析】以點為坐標原點建立空間直角坐標系,設的法向量為,利用向量法求線面角和射影問題.【詳解】對于A,以點坐標原點,為軸,為軸,為軸建立空間直角坐標系,則,得,,設的法向量為,則,同理可得,,故A正確;對于B,則,故B錯誤;對于C,這3條棱在平面上的射影長度的平方和為,條棱在平面上的射影長度的平方和為8,故C正確;對于D,,設與平面所成角為與平面所成角為,則,,在平面上的射影長度的平方和為,則四面體的6條棱在平面上的射影長度的平方和為,故D正確.故選:ACD【點睛】方法點睛:建立空間直角坐標系,設的法向量為,向量法求線面角的正弦值和余弦值,向量法求射影長度,結果用表示,化簡即可.第II卷三?填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.請把答案填寫在答題卡相應位置上.13.的展開式中的系數(shù)是__________.【答案】8【解析】【分析】寫出二項式展開式的通項公式,令的指數(shù)為1,解出,可得結果.【詳解】展開式的通項公式為,(其中),令,解得,即二項式展開式中的系數(shù)為.故答案為:814.已知正方形的四個頂點均在橢圓上,的兩個焦點分別是的中點,則的離心率是__________.【答案】【解析】【分析】由題意,將代入橢圓方程,得,結合正方形性質(zhì)可得,即可得齊次式,即可求得答案.【詳解】不妨設為橢圓的左、右焦點,由題意知軸,軸,且經(jīng)過橢圓焦點,,則,將代入橢圓方程,得,故,由,得,結合,得,即,解得(負值舍),故的離心率是,故答案為:15.設函數(shù),若存在使成立,則的取值范圍是__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意確定時,,結合正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)找到當時,離最近且使得的x值,由此列出不等式,即可求得答案.【詳解】由于函數(shù),當時,,根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)可知當時,離最近且使得的x值為,故存在,使成立,需滿足,即的取值范圍為,故答案為:16.已知函數(shù),,若關于的不等式有解,則的最小值是__________.【答案】##【解析】【分析】參變分離可得有解,令,,利用導數(shù)求出,即可求出參數(shù)的取值范圍,從而得解.【詳解】由得,顯然,所以有解,令,則,令,則,所以當時,當時,所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以,即,所以,則,即最小值是.
故答案為:【點睛】關鍵點點睛:本題的關鍵是參變分離得到有解,再構造函數(shù),利用導數(shù)求出.四?解答題:本題共6小題,共70分.請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答,解答應寫出必要的文字說明?證明過程或演算步驟.17.記等差數(shù)列的前項和為,等比數(shù)列的前項和為,且.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)求數(shù)列的前項和.【答案】17.,18.【解析】【分析】(1)根據(jù)得到和的關系式,同理得到和的關系式,根據(jù)是等比數(shù)列和是等比數(shù)列求出和的通項;(2)令,對分偶數(shù)和奇數(shù)討論即可.【小問1詳解】得:,或,同理:或,是等差數(shù)列,,是等比數(shù)列;【小問2詳解】令,其前項和為,當為偶數(shù)時,當為奇數(shù)時,.綜上所述,.18.如圖,已知三棱錐平面,點是點在平面內(nèi)的射影,點在棱上,且滿足.(1)求證:;(2)求與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析;(2)【解析】【分析】(1)根據(jù)題意,建立空間直角坐標系,先判斷是正三角形,再求點的坐標,進而利用向量的垂直關系即可證明;(2)先求平面的法向量,再利用向量法即可求解.【小問1詳解】連結,平面平面,又兩兩垂直,以為原點,為軸,為軸,為軸建立空間直角坐標系,如下圖所示:不妨設,可得,.,所以是正三角形,點為正三角形的中心,所以,,所以.,又,.【小問2詳解】,,,設平面的一個法向量為,由,得:,則,設與平面所成角為,則.故直線與平面所成角的正弦值為.19.在中,角所對邊分別為,.(1)求的值;(2)若,點是的中點,且,求的面積.【答案】(1);(2).【解析】【分析】(1)根據(jù)正弦定理和二倍角的余弦公式得;(2)根據(jù)同角三角函數(shù)關系求出,再利用余弦定理求出值,最后利用三角形面積公式即可.【小問1詳解】由正弦定理得:,,則,,不等于0,.【小問2詳解】,,所以,聯(lián)立,,在中,由余弦定理得:①在中,由余弦定理得:②由①②式得:故,.20.已知雙曲線的左右焦點分別為,點在的漸近線上,且滿足.(1)求的方程;(2)點為的左頂點,過的直線交于兩點,直線與軸交于點,直線與軸交于點,證明:線段的中點為定點.【答案】(1);(2)證明見解析.【解析】【分析】(1)根據(jù)給定條件,借助向量垂直的坐標表示及雙曲線漸近線方程求出即可得解.(2)設出直線的方程,與雙曲線方程聯(lián)立,借助韋達定理及向量共線的坐標表示求出的中點縱坐標即可得解.【小問1詳解】設,,由,得,解得,即,而曲線的漸近線方程為,由點在的漸近線上,得,即,因此,所以的方程為.【小問2詳解】由(1)知,設直線為,由消去y得:,則,,由三點共線,得,同理,因此,所以的中點為定點.21.某商場推出購物抽獎促銷活動,活動規(guī)則如下:①顧客在商場內(nèi)消費每滿100元,可獲得1張抽獎券;②顧客進行一次抽獎需消耗1張抽獎券,抽獎規(guī)則為:從放有5個白球,1個紅球的盒子中,隨機摸取1個球(每個球被摸到的可能性相同),若摸到白球,則沒有中獎,若摸到紅球,則可獲得1份禮品,并得到一次額外抽獎機會(額外抽獎機會不消耗抽獎券,抽獎規(guī)則不變);③每位顧客獲得的禮品數(shù)不超過3份,若獲得的禮品數(shù)滿3份,則不可繼續(xù)抽獎;(1)顧客甲通過在商場內(nèi)消費獲得了2張抽獎券,求他通過抽獎至少獲得1份禮品的概率;(2)顧客乙累計消耗3張抽獎券抽獎后,獲得的禮品數(shù)滿3份,則他在消耗第2張抽獎券抽獎的過程中,獲得禮品的概率是多少?(3)設顧客在消耗張抽獎券抽獎后,獲得的禮品數(shù)滿3份,要獲得張抽獎券,至少要在商場中消費滿元,求的值.(重復進行某個伯努利試驗,且每次試驗的成功概率均為.隨機變量表示當恰好出現(xiàn)次失敗時已經(jīng)成功的試驗次數(shù).則服從參數(shù)為和的負二項分布.記作.它的均值,方差)【答案】(1);(2);(3),.【解析】【分析】(1)確定一次摸獎摸到白球的概率,根據(jù)對立事件的概率計算,即可得答案;(2)分別求出顧客乙累計消耗3張抽獎券抽獎后,獲得的禮品數(shù)滿3份,以及顧客乙在消耗第2張抽獎券抽獎的過程中,獲得禮品的概率,根據(jù)條件概率的計算公式,即可求得答案;(3)由題意確定,結合負二項分布的均值和方差公式,即可求得答案.【小問1詳解】由題意可知一次摸獎摸到紅球的概率為,摸到白球的概率為,故甲至少獲得1份禮品的概率;【小問2詳解】設“顧客乙累計消耗3張抽獎券抽獎后,獲得的禮品數(shù)滿3份”,“顧客乙在消耗第2張抽獎券抽獎的過程中,獲得禮品”,,;【小問3詳解】由題意可知則,.22.已知函數(shù),(1)當時,求函數(shù)的值域;(2)若函數(shù)恒成立,求的取值范圍.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)求導,易得在上單調(diào)遞增求解
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