高考數(shù)學橢圓專項訓練

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁高考數(shù)學橢圓專項訓練一、單選題1．已知橢圓的右頂點為，上、下頂點分別為，，是的中點．若，則橢圓的方程為（

）A． B． C． D．2．已知點為橢圓：的上焦點，過原點的直線與相交于，兩點，且軸，若，則的離心率為（

）A． B． C． D．3．已知，是橢圓和雙曲線的公共焦點，P是它們一個公共點，設橢圓和雙曲線的離心率分別為，，若，則（

）A． B． C． D．4．已知離心率為的橢圓的左、右焦點分別為，，是橢圓上位于第一象限的一點，且，則（

）A． B． C． D．5．橢圓的兩焦點分別為，過點的直線交橢圓于點，若的最大值為3，則當取得最小值時，的面積為（

）A．4 B． C．3 D．26．已知曲線是焦點在軸上的橢圓，曲線的左焦點為，上頂點為，右頂點為，過點作軸垂線，該垂線與直線交點為，若且的面積為，則曲線的標準方程為（

）A． B．C． D．7．已知農歷每月的第天（，）的月相外邊緣近似為橢圓的一半，方程為，其中為常數(shù).根據(jù)以上信息，下列說法中正確的有（

）A．農歷每月第（，）天和第天的月相外邊緣形狀相同B．月相外邊緣上的點到橢圓焦點的距離的最大值為C．月相外邊緣的離心率與無關D．農歷初六至初八的月相外邊緣離心率在區(qū)間內8．設，是橢圓與雙曲線（，）的公共焦點，P為它們的一個交點，，分別為，的離心率，若，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．二、多選題9．若曲線C上存在點M，使M到平面內兩點，距離之差的絕對值為8，則稱曲線C為“好曲線”．以下曲線是“好曲線”的有（

）A． B． C． D．10．已知為橢圓的左、右焦點,為平面上一點,若,則（

）A．當為上一點時,的面積為9B．當為上一點時,的值可以為C．當滿足條件的點均在內部時,則的離心率小于D．當點在的外部時,在上必存在點,使得11．“蒙日圓”涉及幾何學中的一個著名定理，該定理的內容為：橢圓上任意兩條互相垂直的切線的交點，必在一個與橢圓同心的圓上.稱此圓為該橢圓的“蒙日圓”，該圓由法國數(shù)學家加斯帕爾?蒙日最先發(fā)現(xiàn)，已知長方形R的四條邊均與橢圓相切，則下列說法正確的有（

）A．橢圓C的離心率為 B．橢圓C的蒙日圓方程為C．橢圓C的蒙日圓方程為 D．長方形R的面積的最大值為三、填空題12．已知是橢圓的左，右焦點，過點的直線與橢圓交于A，B兩點，設的內切圓圓心為，則的最大值為.13．如圖所示，當籃球放在桌面并被斜上方一個燈泡P（當成質點）發(fā)出的光線照射后，在桌面上留下的影子是橢圓，且籃球與桌面的接觸點是橢圓的右焦點，若籃球的半徑為1個單位長度，燈泡與桌面的距離為4個單位長度，燈泡垂直照射在平面上的點為A，橢圓的右頂點到A點的距離為3個單位長度，則此時橢圓的離心率e=.

14．如圖，分別是橢圓的左、右焦點，點P是以為直徑的圓與橢圓在第一象限內的一個交點，延長與橢圓交于點Q，若，則直線的斜率為

四、解答題15．已知橢圓的左右頂點距離為，離心率為.(1)求橢圓的標準方程；(2)設過點，斜率存在且不為0的直線與橢圓交于，兩點，求弦垂直平分線的縱截距的取值范圍.16．已知橢圓過點，且．(1)求橢圓的方程；(2)設斜率為的直線與交于A，B兩點（異于點P），直線，分別與軸交于點M，N，求的值．17．已知橢圓的離心率為，且過點．(1)求橢圓的方程．(2)設為橢圓的左，右頂點，直線過點，且與橢圓交于點．若直線斜率之和為．求直線的方程．18．已知橢圓的短軸長為，右頂點到右焦點的距離為.(1)求橢圓的標準方程；(2)如圖所示，設點是橢圓的右頂點.過點的直線與橢圓相交于不同的兩點，且都在軸的上方.在軸上是否存在點，使，若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由.19．已知橢圓的離心率為，且點在橢圓上．(1)求橢圓的標準方程；(2)如圖，若一條斜率不為0的直線過點與橢圓交于兩點，橢圓的左、右頂點分別為，直線的斜率為，直線的斜率為，求證：為定值．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁參考答案：1．D【分析】根據(jù)題意，先求的中點，再由得，從而得到橢圓的方程.【詳解】由題可得，，，，，的中點為，，，，，，橢圓的方程為．故選:D．2．A【分析】由橢圓的對稱性，不妨設點在第一象限，則由題意可得，再由列方程化簡可求出橢圓的離心率.【詳解】由橢圓的對稱性，不妨設點在第一象限，因為點為橢圓的上頂點，，所以點的縱坐標為，當時，，，得，所以，因為過原點的直線與相交于，兩點，所以，因為，所以，化簡得，得，所以，，解得或（舍去），故選：A

3．C【分析】設焦距為，橢圓的長軸長為，雙曲線的實軸長為，由已知離心率的關系得出，然后由橢圓與雙曲線的定義把用表示，再由余弦定理求解可得．【詳解】設焦距為，橢圓的長軸長為，雙曲線的實軸長為，則，，，∴，不妨設，由得，，是三角形的內角，所以，故選：C．4．C【分析】由離心率得，根據(jù)橢圓定義及余弦定理求得，然后由兩點間距離公式和點在橢圓上列方程組求解．【詳解】設，則，由，得，由余弦定理得，解得或（舍去），又，在橢圓上，則，由解得，故選：C.

5．C【分析】由題意，求得，再由公式算得通徑長度以及當取得最小值時，的面積【詳解】由的最大值為3，即右焦點到左頂點的距離，得，即，兩邊同時平方得，所以，．易知當直線垂直于軸時，取得最小值，此時，所以.故選：C6．D【分析】依據(jù)，可求出以及，再依據(jù)的面積為，列出方程，結合，求出，從而求出橢圓的標準方程．【詳解】由題意，設橢圓方程為，左焦點為，則，，因為，所以，故，所以，解得，，又，，解得，，故橢圓方程為.故選：D7．D【分析】利用已知條件求出第天和第天的方程即可判斷A，根據(jù)橢圓上點到焦點的距離的最大值為，求出的范圍即可判斷B，求出離心率的表達式判斷C，利用離心率的表達式，求出農歷初六至初八時的的范圍即可判斷D.【詳解】由方程（，）知：對于A：當時，橢圓方程為，當時，橢圓方程為，化簡為，即，所以A錯誤；對于B：月相外邊緣上的點到橢圓焦點的距離的最大值為：，，，，，因為，，所以，所以，所以B錯誤；對于C：月相外邊緣的離心率為：，即，所以月相外邊緣的離心率與有關，所以C錯誤；對于D：農歷初六至初八，即時，即，此時月相外邊緣離心率：，即，因為，，所以，，所以，故D正確.故選：D.8．A【分析】根據(jù)橢圓以及雙曲線的定義，結合余弦定理可得，進而利用換元法，結合二次函數(shù)的性質即可求解.【詳解】不妨設點是，在第一象限內的交點，則，，所以，，在中，由余弦定理可得：，即，故令，則，所以，故,故選：A9．AC【分析】根據(jù)題意可知M的軌跡為：，即與其有公共點的曲線都是“好曲線”，依次判斷各選項，即可得到結論.【詳解】由題意知：M到平面內兩點，距離之差的絕對值為8，由雙曲線定義知，M的軌跡以為焦點的雙曲線且，所以，方程為：，∴“好曲線”一定與有公共點，對于A，直線過點，符合題意，故A正確；對于B，方程代入，可得，其中，方程無解，不符合題意，故B錯誤；對于C，橢圓的右頂點為，符合題意，故C正確；對于D，圓的圓心為，半徑，與雙曲線沒有公共點，不符合題意，故D錯誤；故選：AC10．ACD【分析】設,根據(jù)橢圓定義得,根據(jù)得,兩式聯(lián)立可得,根據(jù)直角三角形的面積公式即可得選項A的正誤;將以上結論代入中可求得與矛盾,由于,所以點在以為直徑的圓上,半徑為,若點均在內部,只需,解出離心率范圍即可,若點在外部,只需,此時該圓與橢圓一定有交點,在交點處滿足,可得選項D正誤.【詳解】解:由題知,所以,因為為上一點,且,所以為直角三角形,設,在中,由勾股定理可得①,由橢圓定義可知:②,②式的平方減①式可得:,所以,故選項A正確;若,因為,所以,解得(舍),故不存在,即選項B錯誤;因為,則點在以為直徑的圓上,所以該圓的圓心為原點,半徑為,若均在內部時,則只需即可,即,即,化簡可得,解得,故選項C正確;由于點在以為直徑的圓上,且半徑,當在的外部時有,所以該圓與橢圓一定有交點,記交點為,則該點既在圓上又在橢圓上,所以有成立,故選項D正確.故選:ACD11．ACD【分析】根據(jù)題意，根據(jù)橢圓離心率公式即可判斷A；聯(lián)立直線與橢圓方程結合韋達定理即可得到橢圓方程，從而判斷BC；根據(jù)三角形面積公式即可判斷D.【詳解】橢圓C的離心率為，設兩條互相垂直的切線的交點為，當題設中的兩條互相垂直的切線中有斜率不存在或斜率為0時，可得點P的坐標是，或.當題設中的兩條互相垂直的切線中的斜率均存在且均不為0時，可設點P的坐標是，（，且），所以可設曲線C的過點P的切線方程是.由，得，由其判別式的值為0，得，因為，（，為過P點互相垂直的兩條直線的斜率）是這個關于k的一元二次方程的兩個根，所以，由此，得，即的蒙日圓方程為：；因為蒙日圓為長方形的外接圓，設，，則矩形面積公式為，顯然，即矩形四條邊都相等，為正方形時，.故選:ACD.12．/【分析】最大當且僅當最大，即最小，再利用余弦定理結合橢圓的定義求解作答.【詳解】因為為的內切圓圓心，則，顯然是銳角，當且僅當最大時，最大，且最大，又，即有最小，在橢圓中，，在中，，當且僅當時取等號，因此當，即為正三角形時，取得最大值，取最大值，所以的最大值為.故答案為：【點睛】思路點睛：橢圓上一點與兩焦點構成的三角形，稱為橢圓的焦點三角形，與焦點三角形有關的計算或證明常利用正余弦定理，橢圓定義．13．【分析】建立平面直角坐標系，結合直線方程和點到直線距離公式得到與，解出，求出離心率.【詳解】以為坐標原點，建立如圖所示的平面直角坐標系，

由題意得，，則直線，即，設，則，所以點到直線的距離為，解得，所以，即，直線，即，所以點到直線的距離為，解得或，因為，所以，即直線，令得，即，所以，即，聯(lián)立與，解得，故橢圓離心率為.故答案為：14．【分析】根據(jù)橢圓的定義及直徑所對的圓周角等于，利用勾股定理及銳角三角函數(shù)的定義，結合三角函數(shù)的誘導公式及斜率的定義即可求解.【詳解】連接，如圖所示

設則，由橢圓的定義得所以在中，,所以,即，整理得，所以，所以直線的斜率為.故答案為：.15．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)長軸長與橢圓的離心率求得，進而得到橢圓標準方程；（2）設與橢圓方程聯(lián)立后，得到韋達定理的形式，利用中點坐標公式表示出點坐標，從而得到方程；令可求得在軸的截距，利用函數(shù)值域的求解方法可求得結果.【詳解】（1）由題意，，即，又，所以，故，故所求橢圓的標準方程為.（2）如圖，由題意知：直線的斜率存在且不為零，設，，，，中點，聯(lián)立，消去并整理得：，恒成立，則，，，，則方程為：，即，化簡得：設直線在軸上截距為，令得，由可知，所以直線在軸上的截距的取值范圍為.16．(1)(2)1【分析】（1）根據(jù)，把點代入，即可求出橢圓方程．（2）設直線的方程為，代入橢圓方程，得，所以，，計算直線的斜率與直線的斜率的和，即可根據(jù)對稱求解.【詳解】（1）由于，設所求橢圓方程為，把點代入，得，，橢圓方程為．（2）設直線的方程為，代入橢圓方程，整理得，設，，，，所以,直線直線斜率為，直線直線斜率為，則所以，，即直線的斜率與直線的斜率互為相反數(shù)，故直線與直線關于對稱，因此．故【點睛】方法點睛：圓錐曲線中最值與范圍問題的常見求法：（1）幾何法，若題目的條件能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用圖形性質來解決；（2）代數(shù)法，若題目的條件能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關系，則可首先建立目標函數(shù)，再求這個函數(shù)的最值.17．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意，由橢圓的離心率以及點的坐標列出方程，代入計算，即可得到結果；（2）根據(jù)題意，設直線得方程為，聯(lián)立與橢圓的方程，可得，再由可得，從而可得直線的方程，再聯(lián)立與橢圓的方程，即可得到結果.【詳解】（1）因為橢圓離心率為，所以，即，所以橢圓方程為．因為橢圓過點，所以，即，所以橢圓的方程為．（2）由題設，直線不過點，所以設直線得方程為．由得，所以，，．因為，所以，所以①．由題設，②．因為，所以③．①②③得，，所以直線的方程為．由，消去可得，則，其中，則，所以，所以所以，即，所以直線的方程為．18．(1)(2)存在，坐標為【分析】（1）利用已知和的關系，列方程組可得橢圓的標準方程；（2）直線斜率存在時，設出直線方程與橢圓方程聯(lián)立，可得，利用根與系數(shù)的關系代入化簡，可得直線所過定點．【詳解】（1）依題意得解得，橢圓的標準方程為.（2）存在點，使，點的坐標為.理由如下：直線過點，與橢圓交于不同的兩點.且都在軸上方.直線的斜率存在且不為0，設直線的方程為.聯(lián)立方程消去可得：.此時，設，則.，.存在點滿足條件.點坐標為.【點睛】方法點睛：求解直線過定點問題常用方法如下：（1）“特殊探路，一般證明”：即先通過特殊情況確定定點，再轉化為有方向、有目的的一般性證明；（2）“一般推理，特殊求解”：即設出定點