重慶大坪中學(xué)高二數(shù)學(xué)文月考試題含解析

重慶大坪中學(xué)高二數(shù)學(xué)文月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知數(shù)列的通項(xiàng)為。若要使此數(shù)列的前n項(xiàng)和最大，則n的值為（）（A）

12

（B）13

（C）12或13

（D）14

參考答案：C2.已知是球表面上的點(diǎn)，，，，，則球的表面積等于（A）4

（B）3

（C）2

(D)參考答案：A3.在△ABC中，a=15，b=10，sinA=，則sinB=（）A． B． C． D．參考答案：D【考點(diǎn)】正弦定理．【分析】由正弦定理代入已知即可求值．【解答】解：由正弦定理可得：sinB===．故選：D．4.已知復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位），則（

）A. B. C. D.參考答案：A【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算和復(fù)數(shù)模的運(yùn)算，即可求解，得到答案.【詳解】由題意，復(fù)數(shù).故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算，以及復(fù)數(shù)的模的運(yùn)算，其中解答中熟記復(fù)數(shù)的運(yùn)算，準(zhǔn)確利用復(fù)數(shù)的模的運(yùn)算公式求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.5.方程（t為參數(shù)）表示的曲線是（）A．一條直線 B．兩條射線C．一條線段 D．拋物線的一部分參考答案：B【考點(diǎn)】QH：參數(shù)方程化成普通方程．【分析】由t的范圍求出x的范圍，直接得到方程（t為參數(shù)）表示的曲線是兩條射線．【解答】解：∵的定義域?yàn)閧t|t≠0}．當(dāng)t＞0時(shí)，x=；當(dāng)t＜0時(shí)，x=．∴方程（t為參數(shù)）表示的曲線是兩條射線．如圖：故選：B．6.函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是

(

)

A．

B．

C．

D．參考答案：D7.設(shè)為正實(shí)數(shù),現(xiàn)有下列命題:①若,則；②若,則；③若,則；④若,則.其中的真命題有

.（寫出所有真命題的編號(hào)）參考答案：①④8.數(shù)列{an}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，公比q=3且a1a2a3…a30=330，則a3a6a9…a30=（）A．310 B．315 C．320 D．325參考答案：C考點(diǎn)：等比數(shù)列的性質(zhì)．專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列．分析：由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式把a(bǔ)1a2a3…a30=330用首項(xiàng)和公比表示，求出首項(xiàng)，把a(bǔ)3a6a9…a30用首項(xiàng)和公比表示，代入首項(xiàng)和公比得答案．解答：解：由a1a2a3…a30=330，q=3可知：a1a2a3…a30====330，∴．∴a3a6a9…a30===3﹣135×3155=320．故選：C．點(diǎn)評(píng)：本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了等比數(shù)列的性質(zhì)，是中檔題．9.下列求導(dǎo)結(jié)果正確的是（

）A. B.C. D.參考答案：D【分析】按照基本初等函數(shù)的求導(dǎo)法則，求出、、、選項(xiàng)中正確的結(jié)果即可．【詳解】對(duì)于A，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，故D正確．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查基本初等函數(shù)求導(dǎo)問題，解題時(shí)應(yīng)按照基本初等函數(shù)的求導(dǎo)法則進(jìn)行計(jì)算，求出正確的導(dǎo)數(shù)即可．10.拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為A．

B．

C．

D．參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)函數(shù)滿足：，則函數(shù)在區(qū)間上的最小值為

參考答案：3略12.若存在實(shí)數(shù)使成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是

.參考答案：略13.函數(shù)在其極值點(diǎn)處的切線方程為____________．參考答案：14.中，，則等于

。參考答案：15.關(guān)于x的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則a的取值范圍是__________.參考答案：16.設(shè)變量滿足約束條件，則的最小值為

.參考答案：

略17.底面半徑為1高為3的圓錐的體積為

．參考答案：π【考點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺(tái)）．【分析】利用圓錐的體積公式，能求出結(jié)果．【解答】解：底面半徑為1高為3的圓錐的體積為：V==π．故答案為：π．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）的離心率為，左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)G在橢圓C上，且?=0，△GF1F2的面積為2．（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）直線l：y=k（x﹣1）（k＜0）與橢圓Γ相交于A，B兩點(diǎn)．點(diǎn)P（3，0），記直線PA，PB的斜率分別為k1，k2，當(dāng)最大時(shí)，求直線l的方程．參考答案：【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的關(guān)系；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【分析】（Ⅰ）由橢圓的離心率為、點(diǎn)G在橢圓上、?=0及△GF1F2的面積為2列式求得a2=4，b2=2，則橢圓方程可求；（Ⅱ）聯(lián)立直線方程和橢圓方程，化為關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系得到A，B兩點(diǎn)橫坐標(biāo)的和與積，把轉(zhuǎn)化為含有k的代數(shù)式，利用基本不等式求得使取得最大值的k，則直線Γ的方程可求．【解答】解：（Ⅰ）∵橢圓+=1（a＞b＞0）的離心率為，∴e=，①∵左右焦點(diǎn)分別為F1、F2，點(diǎn)G在橢圓上，∴||+||=2a，②∵?=0，△GF1F2的面積為2，∴||2+||2=4c2，③，④聯(lián)立①②③④，得a2=4，b2=2，∴橢圓C的方程為；（Ⅱ）聯(lián)立，得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣4=0．設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），∴．===，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最值．此時(shí)l：y=．19.已知函數(shù)f（x）=xlnx﹣x2﹣x+a（a∈R））在其定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)．（Ⅰ）求a的取值范圍；（Ⅱ）設(shè)兩個(gè)極值點(diǎn)分別為x1，x2，證明：x1?x2＞e2．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．【分析】（Ⅰ）由導(dǎo)數(shù)與極值的關(guān)系知可轉(zhuǎn)化為方程f′（x）=lnx﹣ax=0在（0，+∞）有兩個(gè)不同根；再轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=lnx與函數(shù)y=ax的圖象在（0，+∞）上有兩個(gè)不同交點(diǎn)，或轉(zhuǎn)化為函數(shù)g（x）=與函數(shù)y=a的圖象在（0，+∞）上有兩個(gè)不同交點(diǎn)；或轉(zhuǎn)化為g（x）=lnx﹣ax有兩個(gè)不同零點(diǎn)，從而討論求解；（Ⅱ）問題等價(jià)于ln＞，令，則t＞1，，設(shè)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證出結(jié)論即可．【解答】解：（Ⅰ）由題意知，函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），方程f′（x）=0在（0，+∞）有兩個(gè)不同根；即方程lnx﹣ax=0在（0，+∞）有兩個(gè)不同根；（解法一）轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=lnx與函數(shù)y=ax的圖象在（0，+∞）上有兩個(gè)不同交點(diǎn)，如右圖．可見，若令過原點(diǎn)且切于函數(shù)y=lnx圖象的直線斜率為k，只須0＜a＜k．令切點(diǎn)A（x0，lnx0），故k=y′|x=x0=，又k=，故=，解得，x0=e，故k=，故0＜a＜．（解法二）轉(zhuǎn)化為函數(shù)g（x）=與函數(shù)y=a的圖象在（0，+∞）上有兩個(gè)不同交點(diǎn)．又g′（x）=，即0＜x＜e時(shí)，g′（x）＞0，x＞e時(shí)，g′（x）＜0，故g（x）在（0，e）上單調(diào)增，在（e，+∞）上單調(diào)減．故g（x）極大=g（e）=；又g（x）有且只有一個(gè)零點(diǎn)是1，且在x→0時(shí)，g（x）→﹣∞，在在x→+∞時(shí)，g（x）→0，故g（x）的草圖如右圖，可見，要想函數(shù)g（x）=與函數(shù)y=a的圖象在（0，+∞）上有兩個(gè)不同交點(diǎn)，只須0＜a＜．（解法三）令g（x）=lnx﹣ax，從而轉(zhuǎn)化為函數(shù)g（x）有兩個(gè)不同零點(diǎn)，而g′（x）=﹣ax=（x＞0），若a≤0，可見g′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，所以g（x）在（0，+∞）單調(diào)增，此時(shí)g（x）不可能有兩個(gè)不同零點(diǎn)．若a＞0，在0＜x＜時(shí)，g′（x）＞0，在x＞時(shí)，g′（x）＜0，所以g（x）在（0，）上單調(diào)增，在（，+∞）上單調(diào)減，從而g（x）極大=g（）=ln﹣1，又因?yàn)樵趚→0時(shí)，g（x）→﹣∞，在在x→+∞時(shí)，g（x）→﹣∞，于是只須：g（x）極大＞0，即ln﹣1＞0，所以0＜a＜．綜上所述，0＜a＜．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知x1，x2分別是方程lnx﹣ax=0的兩個(gè)根，即lnx1=ax1，lnx2=ax2，設(shè)x1＞x2，作差得ln=a（x1﹣x2），即a=原不等式等價(jià)于ln＞，令，則t＞1，，設(shè)，，∴函數(shù)g（t）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，∴g（t）＞g（1）=0，即不等式成立，故所證不等式成立．20.已知函數(shù)，常數(shù)a∈R）．（1）當(dāng)a=2時(shí)，解不等式f（x）﹣f（x﹣1）＞2x﹣1；（2）討論函數(shù)f（x）的奇偶性，并說明理由．參考答案：【考點(diǎn)】其他不等式的解法；函數(shù)奇偶性的判斷．【分析】（1）當(dāng)a=2時(shí)，化簡(jiǎn)不等式f（x）﹣f（x﹣1）＞2x﹣1，得到同解的一元二次不等式，然后求解即可；（2）對(duì)a=0，a≠0討論，利用函數(shù)奇偶性的定義判斷即可．【解答】解：（1），，x（x﹣1）＜0．∴原不等式的解為0＜x＜1．（2）當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=x2，對(duì)任意x∈（﹣∞，0）∪（0，+∞），f（﹣x）=（﹣x）2=x2=f（x），∴?f（x）為偶函數(shù)．當(dāng)a≠0時(shí)，，取x=±1，得f（﹣1）+f（1）=2≠0，?f（﹣1）﹣f（1）=﹣2a≠0，∴?f（﹣1）≠﹣f（1），?f（﹣1）≠f（1），∴函數(shù)f（x）既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)．21.設(shè)△ABC的三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，已知a=3，c=2，B=120°．（1）求邊b的長(zhǎng)；（2）求△ABC的面積．參考答案：【考點(diǎn)】余弦定理；正弦定理．【專題】解三角形．【分析】（1）利用余弦定理列出關(guān)系式，把a(bǔ)，c，cosB的值的求出b的值即可；（2）由a，c，sinB的值，利用三角形面積公式求出三角形ABC面積即可．【解答】解：（1）∵△ABC中，a=3，c=2，B=120°，∴由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB=9+4+6=19，則b=；（2）∵a=3，c=2，sinB=，∴S△ABC=acsinB=．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了余弦定理，三角形面積公式，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握余弦定理是解本題的關(guān)鍵．22.在直角坐標(biāo)系xOy中，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．已知曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρ2=，直線l的極坐標(biāo)方程為ρ=．（Ⅰ）寫出曲線C1與直線l的直角坐標(biāo)方程；（Ⅱ）設(shè)Q為曲線C1上一動(dòng)點(diǎn)，求Q點(diǎn)到直線l距離的最小值．參考答案：【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程．【分析】（Ⅰ）根據(jù)互化公式ρ2=x2+y2，x=ρcosθ