《灰預(yù)測與決策》第五章課件

第五章灰優(yōu)化決策本章內(nèi)容§5.1灰線性規(guī)劃§5.2灰色多目標線性規(guī)劃§5.3灰二層規(guī)劃§5.4灰色混合整數(shù)線性規(guī)劃§5.1灰線性規(guī)劃經(jīng)典的線性規(guī)劃是一種確定的靜態(tài)模型，它要求目標函數(shù)、約束條件中的各系數(shù)都是固定值。但是從客觀上講，規(guī)劃內(nèi)部因素在相當程度上是由外部不確定因素決定的，因而規(guī)劃中存在許多不確定因素，是一個信息不完全的灰色系統(tǒng)。例如產(chǎn)品的價格、單位產(chǎn)品消耗的資源量等都是隨著經(jīng)濟、技術(shù)等條件波動的。灰線性規(guī)劃是一種動態(tài)的線性規(guī)劃，因模型中的參數(shù)含有灰數(shù)，它彌補了一般線性規(guī)劃的缺乏，不僅可以知道既定條件下的最優(yōu)資源配置，還可以知道隨著技術(shù)和經(jīng)濟等條件變化時的動態(tài)資源配置?！?.1.1灰線性規(guī)劃的根本概念灰線性規(guī)劃其中區(qū)間灰線性規(guī)劃〔GLP〕當記其中第一、二白化線性規(guī)劃記〔FGL〕的最優(yōu)解向量為，〔SGL〕的最優(yōu)解向量為，它們的最優(yōu)值分別為：模型(FGL)也稱為(GLP)的理想模型模型(SGL)也稱為(GLP)的臨界模型參數(shù)線性規(guī)劃其中三個定位系數(shù)的經(jīng)濟學(xué)意義反映的是價格灰參數(shù)預(yù)期的波動情況，一般可由業(yè)的銷售部門通過考察市場來確定。反映資源預(yù)期的供給狀況，一般由企業(yè)的原材料采購部門根據(jù)原材料市場以及經(jīng)濟技術(shù)條件確定。反映消耗波動情況，一般由企業(yè)生產(chǎn)車間技術(shù)人員根據(jù)技術(shù)條件確定。§5.1.2解集之間的關(guān)系定理，，，且對任意固定，為(GLP)的一個白化線性規(guī)劃定理對任意，有。定理[120]〔P188〕假設(shè)記。那么有定理〔P120〕〔1〕假設(shè)，且，那么有：?！?〕假設(shè)，且，那么有：?！?〕假設(shè)，且，那么有：。推論

定理〔P120〕〔1〕對于固定的，當，且時，有?！?〕對于固定的，當，且時，有。〔3〕對于固定的，當，且時，有。推論對任意，有：。定理〔P121〕設(shè)，且，〔1〕如果固定，那么有：，〔2〕如果固定，那么有：，〔3〕如果固定，那么有：，〔4〕。定理〔P121〕設(shè)〔〕是〔〕的任意白化線性規(guī)劃，是〔〕的最優(yōu)解，那么§5.1.3灰線性規(guī)劃的解法灰線性規(guī)劃的滿意解法由定理至知，區(qū)間型灰線性規(guī)劃〔GLP〕的最優(yōu)目標值構(gòu)成一個區(qū)間，該區(qū)間與參數(shù)線性規(guī)劃的最優(yōu)目標值所成區(qū)間相同，而區(qū)間的兩個端點正好是這兩個白化線性規(guī)劃〔FGL〕和〔SGL〕的最優(yōu)目標值。另外根據(jù)目標函數(shù)關(guān)于的增減性，即可求出滿意解，這種解法稱為灰線性規(guī)劃的滿意解法。具體思想是：對于預(yù)先給定的目標期望值，先求與，構(gòu)成〔GLP〕的灰目標區(qū)間，與其期望值區(qū)間進行比較，利用的單調(diào)性，選出適當，再求解就可得出滿意解。

例5.1.1多金屬礦山企業(yè)的產(chǎn)能優(yōu)化某礦山企業(yè)經(jīng)營鉛鋅礦山的主要礦產(chǎn)品是鉛精礦和鋅精礦.根據(jù)礦山企業(yè)多年生產(chǎn)經(jīng)驗,對該礦山各礦石產(chǎn)量產(chǎn)生影響的制約因素有勞動力、電力供給以及某種原材料的供給.每生產(chǎn)1t〔噸〕鉛精礦需要耗用0.23～0.45個勞動日,耗用電力18～34KW·h(千瓦時),消耗原材料1.7～3.2kg.每生產(chǎn)1t鋅精礦需要耗用0.28～0.55個勞動日,耗用電力18～37KW·h(千瓦時),消耗原材料2.4～4.6kg.每生產(chǎn)1t鉛精礦可獲利潤1200～1900元,生產(chǎn)1t鋅精礦可獲利潤1600～2400元.該礦山現(xiàn)有一線勞動力人數(shù)437人,日供電能力在28000～35000kW·h,日提供原材料3.27t,礦山最大生產(chǎn)能力為年產(chǎn)礦石量42萬t.如果每年按300個工作日計算,試問應(yīng)該如何安排產(chǎn)能分配,才能使得該礦山企業(yè)的獲利空間最大？〔1〕建立灰線性規(guī)劃模型設(shè)生產(chǎn)的鉛精礦的產(chǎn)量為噸，生產(chǎn)的鋅精礦的產(chǎn)量為噸，那么該礦山的鉛精礦與鋅精礦產(chǎn)能分配的灰色線性規(guī)劃模型如下：

〔GLP〕其中：

，，，

，，，

，，，

，，，

?！?〕寫出〔GLP〕的理想模型和臨界模型〔FGL〕(SGL)〔3〕〔GLP〕的灰對偶線性規(guī)劃如下〔DGL〕〔DGL〕的第一白化和第二白化線性規(guī)劃為〔FD〕〔SD〕顯然，〔FD〕即為〔SGL〕的對偶，〔SD〕即為〔FGL〕的對偶。〔4〕用對偶單純形法求解解得，〔FGL〕的最優(yōu)解為，〔SD〕的最優(yōu)解為，它們的共同最優(yōu)值為?！睸GL〕的最優(yōu)解為〔FD〕的最優(yōu)解為，它們的共同最優(yōu)值為，于是，〔GLP〕的灰最優(yōu)目標區(qū)間為，〔GLP〕的任一白化線性規(guī)劃均有最優(yōu)解，并且其最優(yōu)解的目標值落在區(qū)間之內(nèi)?！?〕假設(shè)預(yù)先給定目標區(qū)間，用參數(shù)線性規(guī)劃求出一個使目標落入該區(qū)間的灰最優(yōu)解。顯然，即為〔SGL〕,即為〔FGL〕。所以有，，為的單調(diào)函數(shù)，考慮到區(qū)間與區(qū)間的關(guān)系，我們試算，得且得為所求的滿意解。2.灰線性規(guī)劃的灰解法首先求解〔GLP〕的兩個白化線性規(guī)劃〔FGL〕、〔SGL〕，得最優(yōu)解向量和最優(yōu)目標值，從而灰線性規(guī)劃的目標值灰數(shù)為；由最優(yōu)解得〔GLP〕的灰解為。這種解法稱為灰線性規(guī)劃的灰解法，由王文平教授提出。例5.1.2用灰解法求解例中的礦山企業(yè)生產(chǎn)的灰線性規(guī)劃問題。

首先解如下兩個線性規(guī)劃和：

利用單純形法解得：

的最優(yōu)解為，它的最優(yōu)值為

的最優(yōu)解為，它的最優(yōu)值為

故原灰線性規(guī)劃的目標值為，灰解為：利用上述結(jié)果求解例中灰線性規(guī)劃的某白化形式，如

即求

的解。

因為由定理，存在，使得上述規(guī)劃的最優(yōu)解為

代入約束條件，求得：

由此最優(yōu)解是：

最優(yōu)目標值是：3.灰線性規(guī)劃的新解法定理〔P125〕參數(shù)線性規(guī)劃的最優(yōu)解為，其中推論5.1.3〔P126〕當時，；當時，。由定理可將灰線性規(guī)劃的滿意解法改進如下：①利用單純形法解兩個線性規(guī)劃，；②確定；③對于給定的滿意度，由

確定的取值范圍。④任取，那么均為灰線性規(guī)劃的滿意解。

例5.1.3給定，試求例中灰線性規(guī)劃的滿意解由例的求解知道，白化線性規(guī)劃，相應(yīng)的兩個最優(yōu)解為

：，它的最優(yōu)值為；

：，它的最優(yōu)值為。

且

故。

又，很據(jù)所導(dǎo)論的灰色線性規(guī)劃模型中的各個灰系數(shù)，有：

由定理得：

即

故最優(yōu)解與最優(yōu)值為由得

解得故對任意均為原灰線性規(guī)劃的滿意解。該解法既能科學(xué)確定參數(shù)的取值范圍，又能求得很多的滿意解，同時還能防止重復(fù)求解線性規(guī)劃問題，從而大大提高了灰線性規(guī)劃滿意解法的有效性?！?.2灰色多目標線性規(guī)劃灰色多目標線性規(guī)劃

設(shè)

其中那么稱為灰色多目標線性規(guī)劃。當時，為灰色單目標線性規(guī)劃。——灰色價格矩陣——灰色資源約束向量——灰色消耗矩陣參數(shù)灰多目標線性規(guī)劃

其中定理〔P130〕如果，，那么定理〔P131〕〔1〕如果，對于固定的，有〔2〕如果，對于固定的，有〔3〕如果，對于固定的，有定理對于任意的，有滿意度的計算方法對于給定的，稱

為灰色多目標線性規(guī)劃的滿意度向量，其中

為第個目標函數(shù)的滿意度。定義如果，，稱為第個目標函數(shù)的滿意度區(qū)間。稱為灰色多目標線性規(guī)劃的滿意度下限向量，稱為灰色多目標線性規(guī)劃的滿意度上限向量。定義如果，，稱為價格參數(shù)區(qū)間。類似地，可定義資源約束參數(shù)區(qū)間和消耗參數(shù)區(qū)間。由定理可知規(guī)劃能到達的滿意度上限向量為規(guī)劃能到達的滿意度下限向量為綜上所述，多目標線性規(guī)劃可分為里外兩層最優(yōu)化模型里層為在一定參數(shù)系數(shù)下的一般多目標線性優(yōu)化模型：外層為一個多目標非線性優(yōu)化模型：模型的解有以下五種情況：〔1〕如果或，那么對于任意、、，灰色多目標線性規(guī)劃無解；〔2〕如果，那么是灰色多目標線性規(guī)劃模型中的一個解；〔3〕如果，那么是灰色多目標線性規(guī)劃模型中的一個解；〔4〕如果，那么對于任意、、都是灰色多目標線性規(guī)劃模型的解；〔5〕如果，灰色多目標線性規(guī)劃模型解得情況不定，此時采用智能算法求解。例5.2極限承載力設(shè)計優(yōu)化模型建筑公司為三個工地提供預(yù)制樁，力求在到達設(shè)計承載力的根底上最經(jīng)濟。每個工地根據(jù)土層、樁深分別設(shè)計兩種樁。建立以樁長為設(shè)計變量、總費用最小為目標函數(shù)、以保證設(shè)計承載力為約束的多目標線性規(guī)劃：其中為單位體積樁的費用〔元〕，包括材料、人工、運輸費用等；為樁身橫截面積〔m2〕；為設(shè)計樁長〔m〕；為樁的端土承載力〔kPa〕，為樁身橫截面積〔m2〕；為樁身周邊長度〔m〕；為各層樁周土的摩擦力〔kPa〕。

根據(jù)土層及樁深取，，

，；，；

d1=600mm,d2=800mm；，，。

化為灰色多目標線性規(guī)劃標準形式為

其中，，，，，，，，，。定位區(qū)間分別是，，。決策者要求到達的滿意度上限向量和下限向量分別為：〔1〕，；〔2〕，；〔3〕，；〔4〕，；首先計算和，分別取，以及，粒子種群數(shù)為2，每群30個粒子，極值個數(shù)為3，循環(huán)次數(shù)為500次，經(jīng)過屢次計算，結(jié)果見表5.1：表5.1各目標函數(shù)的和3482.589917.263731.3011019.173880.5510798.79目標函數(shù)序號計算該規(guī)劃所能到達的滿意度上下限向量，采用一般滿意度公式，分別取，，以及，，，粒子群總數(shù)為2，每群30個粒子，極值個數(shù)為3，循環(huán)次數(shù)為500次，求解后計算規(guī)劃能到達的滿意度上下限向量：表5.2規(guī)劃能到達的滿意度向量上限向量下限向量滿意度向量〔1〕由于，，即各目標函數(shù)要求到達的滿意度區(qū)間位于規(guī)劃所能到達的滿意度區(qū)間之外，所以該規(guī)劃無解；〔2〕由于，，即各目標函數(shù)能到達的滿意度區(qū)間的上屆位于要求的滿意度區(qū)間內(nèi)，所以可以取解如表5.3：表5.3計算結(jié)果(2)(3)0.73355197.500.73635653.130.73165737.51定位系數(shù)目標函數(shù)序號〔3〕由于，，即各目標函數(shù)能到達的滿意度區(qū)間都位于要求的滿意度區(qū)間內(nèi)，所以對于任意，，都是規(guī)劃的解。表5.3仍可以作為原規(guī)劃的解?！?〕由于，利用粒子群算法求解。取外層種群數(shù)為2，每群粒子數(shù)為40，循環(huán)次數(shù)都為100次，在外層每個粒子下取內(nèi)層種群數(shù)為3，每群粒子數(shù)20，循環(huán)次數(shù)都為500次，通過計算可以得到最終的解。具體結(jié)果見5.4。

表5.4計算結(jié)果(4)從結(jié)果可以看出，粒子群算法可以很好的解決灰色多目標線性規(guī)劃問題。需要注意的是，由于粒子群算法初始化種群是隨機地，所以并不是每次都可以快速搜索到最優(yōu)解，需要進行屢次計算。對于一個滿意度，可能存在多組定位系數(shù)與之對應(yīng)，這主要是因為不同定位系數(shù)決定的可行域的交集常常不為空，所以對于情形(2)、(3)、(4)，解不一定是唯一的，我們給出只是其中一個解。特別地，對于情形(4)，當決策者要求的滿意度區(qū)間相對較大時，模型的解搜索比較容易，所以取較小的粒子種群，反之，取較大的粒子種群。0.70215399.520.70605874.000.69955959.77定位系數(shù)目標函數(shù)序號§5.3灰二層規(guī)劃§5.3.1灰色二層線性規(guī)劃模型定義5.3.1含有灰數(shù)的二層線性規(guī)劃稱為灰色二層線性規(guī)劃〔Greybilevellinearprogramming〕，簡記為GBLP模型，其數(shù)學(xué)表示如下：其中，是實列向量，分別是上層決策變量和下層決策變量。

為上層灰色價格矩陣；

為下層灰色價格矩陣；

為灰色消耗矩陣；

為灰色資源約束向量

。

其中：

，，；

，，，。根據(jù)一般二層線性規(guī)劃的理論，對于灰色二層線性規(guī)劃有如下根本概念：GLBP的灰約束域為GLBP的上層灰決策空間為GLBP下層決策者相應(yīng)于上層決策的灰決策空間為GLBP的下層最優(yōu)灰解集為定義當在取具體值時，稱以下二層規(guī)劃

其中是下面規(guī)劃問題的解

為灰二層線性參數(shù)規(guī)劃，記為。

其中GLBP的參數(shù)規(guī)劃模型可表達為：當時定義5.3.3對于給定的，分別稱、為灰色二層規(guī)劃的上層滿意度和下層滿意度，其中假設(shè)，；假設(shè)，；。特別地，當時，可以得到的滿意度：假設(shè)，；假設(shè)，。顯然有。定義給定灰靶，假設(shè)有，稱與該滿意度中的相對應(yīng)的參數(shù)規(guī)劃的最優(yōu)解為在滿意度之下的滿意解。類似于單層灰色線性規(guī)劃中相應(yīng)的概念，如果，——價格參數(shù)區(qū)間——資源約束參數(shù)區(qū)間——消耗參數(shù)區(qū)間——在參數(shù)區(qū)間里，各層目標函數(shù)能到達的最大滿意度——在參數(shù)區(qū)間里，各層目標函數(shù)能到達的最小滿意度在二層線性規(guī)劃中，上層決策是最終的決策。為此可以將模型灰色二層線性規(guī)劃化為里外兩層優(yōu)化模型：外層是一個單目標非線性優(yōu)化模型，求解一組參數(shù)系數(shù)，使上層目標函數(shù)的滿意度到達要求的范圍。模型表示如下：其中，為上層決策者主觀上要求到達的滿意度區(qū)間。里層為在一定的參數(shù)系數(shù)下一般的二層線性規(guī)劃模型：灰二層規(guī)劃中，上層規(guī)劃問題是決策者追求的最終目標。設(shè)上層規(guī)劃所能夠到達的滿意度區(qū)間為，決策者主觀要求到達的滿意度區(qū)間為，那么灰二層規(guī)劃模型的解有以下五種情況：〔1〕如果或，那么對于任意、、灰二層規(guī)劃無解；〔2〕如果，是灰二層規(guī)劃的一個解；〔3〕如果，是灰二層規(guī)劃的一個解；〔4〕如果，那么對于任意、、都是灰二層規(guī)劃的解；〔5〕如果，灰二層規(guī)劃至少有一個解，此時采用粒子群算法求解。§5.3.2灰色二層線性規(guī)劃模型的解法對于灰色二層線性規(guī)劃問題，的滿意度算法步驟：Step1.給定最初滿意度，取，運用極點枚舉法，解得理想模型的最優(yōu)值；Step2.取，運用極點枚舉法，解得臨界模型的最優(yōu)值；Step3.取給定的一個參數(shù)系數(shù)值，求解二層線性定位規(guī)劃其中點；Step4.計算參數(shù)值相應(yīng)的滿意度；Step5.如果計算得，那么停止計算，輸出最優(yōu)解；否那么，轉(zhuǎn)Step3。例5.3報童問題的灰色二層線性規(guī)劃模型設(shè)生產(chǎn)商生產(chǎn)每份報紙的本錢是元，以每份元的價格批發(fā)，每天的批發(fā)量為份，報童每天從生產(chǎn)商處以每份元批發(fā)價格購入報紙，以每份元的價格零售，每天的零售量是份(),未能售出的報紙由生產(chǎn)商以每份元的價格回收，，，，，，，。且在模型中只考慮一個生產(chǎn)商和一個零售商的情況。在一定的滿意度之下，確定出生產(chǎn)商和零售商報童的最優(yōu)決策方案。

〔1〕先建立數(shù)學(xué)模型。報童問題的灰二層線性規(guī)模型如下：其中，，，，，，。為生產(chǎn)商的利潤，為銷售商〔報童〕的利潤。假設(shè)記，，。那么同理有，，。灰二層線性規(guī)劃的模型轉(zhuǎn)化如下代入數(shù)據(jù)之后有〔2〕求理想定位模型的最優(yōu)解和最優(yōu)目標函數(shù)值。

應(yīng)用普通二層線性規(guī)劃求解的極點枚舉法，求得該理想模型的最優(yōu)解是，最優(yōu)值是元。這就是說，上層報刊生產(chǎn)商在生產(chǎn)中，最優(yōu)生產(chǎn)量是份報刊，所獲得的最大利潤收入是6120元?！?〕求臨界定位模型的最優(yōu)解和最優(yōu)目標函數(shù)值應(yīng)用普通二層線性規(guī)劃求解的極點枚舉法，求得最優(yōu)解是最優(yōu)值是這就是說，上層的報刊生產(chǎn)商在生產(chǎn)中，最優(yōu)生產(chǎn)量是份報刊，所獲得的最大利潤收入是1768.3元。〔4〕在上層決策者預(yù)先給定最低滿意度的情況下如果上層決策者預(yù)先給定一個最低滿意度為，該上層決策者需要得到一個符合滿意度的滿意解。那么可取該報童問題的灰二層線性規(guī)劃的的參數(shù)規(guī)劃來進行求解，求出其最優(yōu)解和最優(yōu)值。

均值白化定位規(guī)劃

為：

應(yīng)用普通二層線性規(guī)劃求解的極點枚舉法，求得的最優(yōu)解為，

的最優(yōu)值為

下面計算的滿意度。因為

，

設(shè)預(yù)先給定決策者主觀滿意度為?？煽吹?/p>

的滿意度為，所以在給定的滿意度下，報童問題的的滿意解是，滿意值為§5.4灰色混合整數(shù)線性規(guī)劃定義5.4.1設(shè)其中，，，，那么稱為灰色混合整數(shù)線性規(guī)劃，記為〔GMLIP〕。

定義5.4.2如果，取灰參數(shù)為，，，，那么對應(yīng)的整數(shù)線性規(guī)劃稱為該灰色混合整數(shù)參數(shù)規(guī)劃，記為，其解可記為，可行域記為，最優(yōu)值記為，或者。

定理〔1〕假設(shè)，那么：；〔2〕假設(shè)，那么：；〔3〕假設(shè)，那么：。定理〔1〕對于固定的，當，且時，有〔2〕對于固定的，當，且時，有〔3〕對于固定的，當，且時，有與一般灰色線性規(guī)劃問題類似，當時，相應(yīng)規(guī)劃的目標函數(shù)最優(yōu)值記為；當時，相應(yīng)規(guī)劃的目標函數(shù)最優(yōu)值記為。對于任意的，也有定義對于給定的，定義如下那么稱為相應(yīng)參數(shù)規(guī)劃的滿意度。類似地，如果，，其中為滿意度區(qū)間，為灰色混合整數(shù)線性規(guī)劃的滿意度下限，為灰色混合整數(shù)線性規(guī)劃的滿意度上限。因而