第15講圓錐曲線中的最值及范圍問題（學生版）

圓錐曲線中的最值及范圍問題（核心考點精講精練）1.4年真題考點分布4年考情考題示例考點分析關(guān)聯(lián)考點2023年新I卷，第22題,12分周長最值問題求平面軌跡方程由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(不含參)基本(均值)不等式的應(yīng)用求直線與拋物線相交所得弦的弦長2020年新Ⅱ卷，第21題,12分求橢圓中的最值問題根據(jù)橢圓過的點求標準方程求橢圓的切線方程橢圓中三角形(四邊形)的面積2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的?？純?nèi)容，設(shè)題不定，難度中等或偏難，分值為512分【備考策略】1.理解、掌握圓錐曲線的最值問題及其相關(guān)計算2.理解、掌握圓錐曲線的范圍問題及其相關(guān)計算【命題預(yù)測】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的常考內(nèi)容，小題和大題都會作為載體命題，同學們要會運算，需強化訓練復(fù)習考點一、弦長及周長最值1．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）在直角坐標系中，點到軸的距離等于點到點的距離，記動點的軌跡為．(1)求的方程；(2)已知矩形有三個頂點在上，證明：矩形的周長大于．2．（2022·浙江·統(tǒng)考高考真題）如圖，已知橢圓．設(shè)A，B是橢圓上異于的兩點，且點在線段上，直線分別交直線于C，D兩點．(1)求點P到橢圓上點的距離的最大值；(2)求的最小值．3．（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知橢圓E：的焦距為，且經(jīng)過點．(1)求橢圓E的標準方程：(2)過橢圓E的左焦點作直線l與橢圓E相交于A，B兩點（點A在x軸上方），過點A，B分別作橢圓的切線，兩切線交于點M，求的最大值．1．（2023·廣東佛山·華南師大附中南海實驗高中校考模擬預(yù)測）在橢圓）中，，過點與的直線的斜率為.(1)求橢圓的標準方程；(2)設(shè)為橢圓的右焦點，為直線上任意一點，過作的垂線交橢圓于兩點，求的最大值.2．（2023·山東濰坊·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知橢圓長軸長為4，C的短軸的兩個頂點與左焦點構(gòu)成等邊三角形．(1)求C的標準方程；(2)直線l與橢圓相交于A、B兩點，且，點P滿足，O為坐標原點，求的最大值．3．（2023·山東濱州·?？寄M預(yù)測）已知雙曲線（，）的左?右焦點分別為?，雙曲線的右頂點在圓上，且.(1)求雙曲線的標準方程；(2)動直線與雙曲線恰有1個公共點，且與雙曲線的兩條漸近線分別交于點?，設(shè)為坐標原點.①求證：點與點的橫坐標的積為定值；②求△周長的最小值.考點二、面積最值1．（海南·高考真題）已知橢圓C：過點M（2，3）,點A為其左頂點，且AM的斜率為，（1）求C的方程；（2）點N為橢圓上任意一點，求△AMN的面積的最大值.2．（2023·湖北襄陽·襄陽四中?？寄M預(yù)測）已知雙曲線的離心率為，點，分別是其左右焦點，過點的直線交雙曲線的右支于P，A兩點，點PPA的斜率不存在時，.(1)求雙曲線的標準方程.(2)線段交圓于點B，記，，的面積分別為S1，S2，S，求的最小值.3．（2023·遼寧·大連二十四中校聯(lián)考三模）已知曲線在軸上方，它上面的每一點到點的距離減去到分別在該曲線上，且點在軸右側(cè)，點在軸左側(cè)，的重心在軸上，直線交軸于點且滿足，直線交軸于點.記的面積分別為(1)求曲線方程；(2)求的取值范圍.1．（2023·河北·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知橢圓，橢圓上的點到兩焦點的距離和為，點在橢圓上.(1)求橢圓的標準方程；(2)過點作直線交橢圓于兩點，點為點關(guān)于軸的對稱點，求面積的最大值.2．（2023·湖北·校聯(lián)考三模）已知分別為橢圓的左、右焦點，點是橢圓C上一點．(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)是橢圓C上且處于第一象限的動點，直線與橢圓C分別相交于兩點，直線，相交于點N，試求的最大值．3．（2023·河北石家莊·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在平面直角坐標系中，動圓與圓內(nèi)切，且與圓外切，記動圓的圓心的軌跡為.(1)求軌跡的方程；(2)不過圓心且與軸垂直的直線交軌跡于兩個不同的點，連接交軌跡于點.（i）若直線交軸于點，證明：為一個定點；（ii）若過圓心的直線交軌跡于兩個不同的點，且，求四邊形面積的最小值.考點三、斜率最值1．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）已知拋物線的焦點F到準線的距離為2．（1）求C的方程;（2）已知O為坐標原點，點P在C上，點Q滿足，求直線斜率的最大值.2．（2023·湖北·黃岡中學校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知點在拋物線E：（）的準線上，過點M作直線與拋物線E交于A，B兩點，斜率為2的直線與拋物線E交于A，C兩點.(1)求拋物線E的標準方程；(2)（?。┣笞C：直線過定點；（ⅱ）記（?。┲械亩c為H，設(shè)的面積為S，且滿足，求直線的斜率的取值范圍.1．（2023·遼寧沈陽·東北育才學校?？寄M預(yù)測）已知雙曲線的左、右焦點分別為，，過作一條漸近線的垂線交C于點P，垂足為Q，，，M、N為雙曲線左右頂點．(1)求雙曲線C的方程；(2)設(shè)過點的動直線l交雙曲線C右支于A，B兩點（A在第一象限），若直線AM，BN的斜率分別為，．（i）試探究與的比值是否為定值．若是定值，求出這個定值：若不是定值，請說明理由；（ii）求的取值范圍．考點四、角度及三角函數(shù)最值1．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)拋物線的焦點為F，點，過F的直線交C于M，N兩點．當直線MD垂直于x軸時，．(1)求C的方程；(2)設(shè)直線與C的另一個交點分別為A，B，記直線的傾斜角分別為．當取得最大值時，求直線AB的方程．2．（2023·福建三明·統(tǒng)考三模）已知是橢圓的右焦點，為坐標原點，為橢圓上任意一點，的最大值為.當時，的面積為.(1)求橢圓的方程；(2)、為橢圓的左、右頂點，點滿足，當與、不重合時，射線交橢圓于點，直線、交于點，求的最大值.1．（2023·河北·模擬預(yù)測）已知橢圓經(jīng)過點，過原點的直線與橢圓交于，兩點，點在橢圓上（異于，），且．(1)求橢圓的標準方程；(2)若點為直線上的動點，過點作橢圓的兩條切線，切點分別為，，求的最大值．考點五、參數(shù)最值1．（2023·河北唐山·開灤第二中學?？寄M預(yù)測）設(shè)橢圓長軸的左，右頂點分別為A，B．（1）若P、Q是橢圓上關(guān)于x軸對稱的兩點，直線的斜率分別為，求的最小值；（2）已知過點的直線l交橢圓C于M、N兩個不同的點，直線分別交y軸于點S、T，記（O為坐標原點），當直線1的傾斜角為銳角時，求的取值范圍．1．（2023·湖南長沙·雅禮中學校考模擬預(yù)測）已知是橢圓的右頂點，過點且斜率為的直線與橢圓相交于兩點（點在軸的上方），直線分別與直線相交于兩點．當點為橢圓的上頂點時，．(1)求橢圓的方程；(2)若，且，求實數(shù)的取值范圍．考點六、向量最值1．（2023·浙江臺州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知點是雙曲線與橢圓的公共點，直線與雙曲線交于不同的兩點，，設(shè)直線與的傾斜角分別為，，且滿足.(1)求證：直線恒過定點，并求出定點坐標；(2)記（1）中直線恒過定點為，若直線與橢圓交于不同兩點，，求的取值范圍.2．（2023·江蘇南京·校考一模）在平面直角坐標系中，已知橢圓的左、右焦點分別、焦距為2，且與雙曲線共頂點．P為橢圓C上一點，直線交橢圓C于另一點Q．(1)求橢圓C的方程；(2)若點P的坐標為，求過P、Q、三點的圓的方程；(3)若，且，求的最大值．1．（2023·遼寧沈陽·校聯(lián)考二模）從拋物線的焦點發(fā)出的光經(jīng)過拋物線反射后，光線都平行于拋物線的軸，根據(jù)光路的可逆性，平行于拋物線的軸射向拋物線后的反射光線都會匯聚到拋物線的焦點處，這一性質(zhì)被廣泛應(yīng)用在生產(chǎn)生活中．如圖，已知拋物線，從點發(fā)出的平行于y軸的光線照射到拋物線上的D點，經(jīng)過拋物線兩次反射后，反射光線由G點射出，經(jīng)過點．(1)求拋物線C的方程；(2)已知圓，在拋物線C上任取一點E，過點E向圓M作兩條切線EA和EB，切點分別為A、B，求的取值范圍．考點七、點到直線距離最值1．（2023·河北石家莊·統(tǒng)考三模）已知為拋物線上不同兩點，為坐標原點，，過作于，且點.(1)求直線的方程及拋物線的方程；(2)若直線與直線關(guān)于原點對稱，為拋物線上一動點，求到直線的距離最短時，點的坐標.1．（2023·廣東佛山·統(tǒng)考二模）雙曲線的左頂點為，焦距為4，過右焦點作垂直于實軸的直線交于、兩點，且是直角三角形．(1)求雙曲線的方程；(2)、是右支上的兩動點，設(shè)直線、的斜率分別為、，若，求點到直線的距離的取值范圍．考點八、點坐標及截距最值1．（2021·浙江·統(tǒng)考高考真題）如圖，已知F是拋物線的焦點，M是拋物線的準線與x軸的交點，且，（1）求拋物線的方程；（2）設(shè)過點F的直線交拋物線與A?B兩點，斜率為2的直線l與直線，x軸依次交于點P，Q，R，N，且，求直線l在x軸上截距的范圍.1．（2023·安徽宣城·安徽省宣城中學?？寄M預(yù)測）已知拋物線的焦點為F，過F的直線與拋物線C交于A，B兩點，當A，B兩點的縱坐標相同時，．(1)求拋物線C的方程；(2)若P，Q為拋物線C上兩個動點，，E為PQ的中點，求點E縱坐標的最小值．【能力提升】1．（2023·湖北十堰·統(tǒng)考二模）已知是橢圓C：的右頂點，過點且斜率為的直線l與橢圓C相交于A，B兩點（A點在x軸的上方），直線PA，PB分別與直線相交于M，N兩點．當A為橢圓C的上頂點時，．(1)求橢圓C的方程；(2)若，且，求k的取值范圍．2．（2023·山東菏澤·山東省東明縣第一中學校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知、分別為橢圓的左、右焦點，為橢圓上的動點（異于的左、右頂點）的周長為6，且面積的最大值為．(1)求橢圓的標準方程；(2)若為直線與橢圓的另一個交點，求內(nèi)切圓面積的最大值．3．（2023·福建泉州·泉州五中?？寄M預(yù)測）已知橢圓：（）的左、右焦點分別為，，點在上，且，的面積為．(1)求的方程；(2)為坐標原點，若直線與相切與點，垂直，垂足為點，求的最大值．4．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知橢圓的離心率為，上頂點為M，下頂點為N，，設(shè)點在直線上，過點T的直線分別交橢圓C于點E和點F．(1)求橢圓C的標準方程；(2)求證：直線恒過定點，并求出該定點；(3)若的面積為的面積的k倍，則當t為何值時，k取得最大值？5．（2023·浙江·模擬預(yù)測）已知橢圓，點，斜率不為0的直線與橢圓交于點，與圓相切且切點為為中點.(1)求圓的半徑的取值范圍；(2)求的取值范圍.6．（2023·江蘇南通·二模）已知橢圓的離心率為，焦距為，過的左焦點的直線與相交于、兩點，與直線相交于點．(1)若，求證：；(2)過點作直線的垂線與相交于、兩點，與直線相交于點．求的最大值．7．（2023·山東日照·統(tǒng)考二模）如圖，已知拋物線在點處的切線與橢圓相交，過點作的垂線交拋物線于另一點，直線（為直角坐標原點）與相交于點，記、，且．（1）求的最小值；（2）求的取值范圍．8．（2023·河北秦皇島·校聯(lián)考二模）已知雙曲線實軸的一個端點是，虛軸的一個端點是，直線與雙曲線的一條漸近線的交點為.(1)求雙曲線的方程；(2)若直線與曲線有兩個不同的交點是坐標原點，求的面積最小值.9．（2023·湖南懷化·統(tǒng)考二模）如圖，橢圓的左焦點為，過點的直線交橢圓于兩點.的最大值是，的最小值是，滿足.(1)求該橢圓的離心率；(2)設(shè)線段的中點為，的垂直平分線與軸和軸分別交于兩點，的面積為，的面積為，求的取值范圍.10．（2023·湖南永州·統(tǒng)考三模）已知橢圓：，其右焦點為，過點的直線與橢圓交于，兩點，與軸交于點，，.(1)求證：為定值.(2)若點不在橢圓的內(nèi)部，點是點關(guān)于原點的對稱點，試求面積的最小值.11．（2023·湖北·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知橢圓經(jīng)過點，其右焦點為.(1)求橢圓的標準方程；(2)橢圓的右頂點為，若點在橢圓上，且滿足直線與的斜率之積為，求面積的最大值.12．（2023·湖北武漢·武漢二中校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知橢圓的左頂點為，橢圓的中心關(guān)于直線的對稱點落在直線上，且橢圓過點.(1)求橢圓的方程；(2)為橢圓上兩個動點，且直線與的斜率之積為為垂足，求的最大值.13．（2023·湖南岳陽·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知、分別為橢圓的左、右焦點，M為上的一點.(1)若點M的坐標為，求的面積；(2)若點M的坐標為，且直線與交于不同的兩點A、B，求證：為定值，并求出該定值；(3)如圖，設(shè)點M的坐標為，過坐標原點O作圓（其中r為定值，且）的兩條切線，分別交于點P，Q，直線OP，OQ的斜率分別記為，.如果為定值，求的取值范圍，以及取得最大值時圓M的方程.【真題感知】1．（山東·高考真題）在平面直角坐標系xOy中,已知橢圓C:(a>b>0)的離心率為,橢圓C截直線y=1所得線段的長度為.(Ⅰ)求橢圓C的方程；(Ⅱ)動直線l:y=kx+m(m≠0)交橢圓C于A,B兩點,交y軸于點M.點N是M關(guān)于O的對稱點,⊙N的半徑為|NO|.設(shè)D為AB的中點,DE,DF與⊙N分別相切于點E,F,求EDF的最小值.2．（安徽·高考真題）設(shè)是拋物線的焦點．（Ⅰ）過點作拋物線的切線，求切線方程；（Ⅱ）設(shè)為拋物線上異于原點的兩點，且滿足，延長分別交拋物線于點，求四邊形面積的最小值．3．（浙江·高考真題）如圖，已知橢圓的中心在坐標原點，焦點在x軸上，長軸的長為4，左準線l與x軸的交點為M，．(1)求橢圓的方程；(2)若直線，P為上的動點，使最大的點P記為Q，求點Q的坐標．(用m表示)4．（北京·高考真題）.已知點，，動點滿足條件.記動點的軌跡為.（1）求的方程；（2）若是上的不同兩點，是坐標原點，求的最小值.5．（四川·高考真題）如圖，動點與兩定點、構(gòu)成，且直線的斜率之積為4，設(shè)動點的軌跡為．(1)求軌跡的方程；(2)設(shè)直線與軸交于點，與軌跡相交于點，且，求的取值范圍．6．（全國·高考真題）已知點A(0，－2)，橢圓E：(a>b>0)的離心率為，F(xiàn)是橢圓E的右焦點，直線AF的斜率為，O為坐標原點.(1)求E的方程；(2)設(shè)過點A的動直線l與E相交于P，Q△OPQ的面積最大時，求l的方程.7．（天津·高考真題）已知橢圓的左焦點為,離心率為，點M在橢圓上且位于第一象限，直線被圓截得的線段的長為c，.（Ⅰ）求直線的斜率；（Ⅱ）求橢圓的方程；（Ⅲ）設(shè)動點在橢圓上，若直線的斜率大于，求直線（為原點）的斜率的取值范圍.8．（四川·高考真題）設(shè)分別是橢圓的左、右焦點．(1)若P是該橢圓在第一象限上的一個動點，若，求點P的坐標；(2)設(shè)過定點的直線l與橢圓交于不同的兩點A、B，且為銳角（其中O為坐標原點），求直線l的斜率k的取值范圍．9．（全國·高考真題）已知橢圓E:的焦點在軸上，A是E的左頂點，斜率為k（k>0）的直線交E于A，M兩點，點N在E上，MA⊥NA．（Ⅰ）當t=4，時，求△AMN的面積；（Ⅱ）當時，求k的取值范圍.10．（山東·高考真題）已知橢圓的長軸長為4，焦距為（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）過動點的直線交軸與點，交于點(在第一象限)，且是線段的中點.過點作軸的垂線交于另一點，延長交于點.（?。┰O(shè)直線的斜率分別為，證明為定值；（ⅱ）求直線的斜率的最小值.11．（山東·高考真題）在平面直角坐標系中，橢圓的離心率為,直線被橢圓截得的線段長為.（1）求橢圓的方程；（2）過原點的直線與橢圓交于兩點（不是橢圓的頂點），點在橢圓上，且，直線與軸軸分別交于兩點.①設(shè)直線斜率分別為，證明存在常數(shù)使得，并求出的值；②求面積的最大值.12．（上海·高考真題）已知在平面直角坐標系中的一個橢圓，它的中心在原點，左焦點為，右頂點為，設(shè)點.（1）求該橢圓的標準方程；（2）若是橢圓上的動點，求線段中點的軌跡方程；（3）過原點的直線交橢圓于點，求面積的最大值.13．（山東·高考真題）已知曲線所圍成的封閉圖形的面積為，曲線的內(nèi)切圓半徑為．記為以曲線與坐標軸的交點為頂點的橢圓．(1)求橢圓的標準方程；(2)設(shè)是過橢圓中心的任意弦，是線段的垂直平分線．是上異于橢圓中心的點．（i）若（為坐