第01講圓（10類題型）（原卷版）

第01講圓（10類題型）課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.圓的基礎(chǔ)概念；2.確定圓的條件；3.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系；1.掌握的圓的基本概念；2.掌握點(diǎn)與圓的位置關(guān)系；3、掌握確定圓的條件；知識點(diǎn)01：圓（1）圓的定義1．在一個(gè)平面內(nèi)，線段繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)所形成的圖形叫圓．這個(gè)固定的端點(diǎn)叫做圓心，線段叫做半徑．以點(diǎn)為圓心的圓記作⊙O，讀作圓O．點(diǎn)撥：（1）圓指的是“圓周”，即一條封閉的曲殘，而不是“圓面”。（2）“圓上的點(diǎn)”指的是圓周上的點(diǎn)，圓心不在圓周上。（3）確定一個(gè)圓需要兩個(gè)要素:一是定點(diǎn)，即圓心；二是定長，即半徑。圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小。只有圓心和半徑都確定了，圓才能被唯一確定?！炯磳W(xué)即練1】1．（2022秋·浙江溫州·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）已知的直徑長為4，點(diǎn)A，B在上，則的長不可能是（）A．2 B．3 C．4 D．8【即學(xué)即練2】2．（2023秋·浙江·九年級專題練習(xí)）下列說法中，不正確的是（

）A．同圓中，直徑是最長的弦 B．同圓中，所有的半徑都相等C．圓既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形 D．長度相等的弧是等?。?）點(diǎn)和圓的位置關(guān)系點(diǎn)和圓的位置關(guān)系點(diǎn)到圓心的距離與半徑的關(guān)系圖示文字語言符號語言點(diǎn)在圓內(nèi)圓內(nèi)各點(diǎn)到圓心的距離都小于半徑，到圓心的距離小于半徑的點(diǎn)都在圓內(nèi)點(diǎn)在圓內(nèi)點(diǎn)在圓上圓內(nèi)各點(diǎn)到圓心的距離都等于半徑，到圓心的距離等于半徑的點(diǎn)都在圓上點(diǎn)在圓上點(diǎn)在圓外圓內(nèi)各點(diǎn)到圓心的距離都大于半徑，到圓心的距離大于半徑的點(diǎn)都在圓外點(diǎn)在圓外點(diǎn)撥：（1）利用與的數(shù)量關(guān)系可以判斷點(diǎn)和圓的位置關(guān)系；同時(shí)，知道了點(diǎn)和圓的位置善長，也可以確定與的數(shù)量關(guān)系。（2）符號“”讀作“等價(jià)于”，它表示從符號“”的左端可以推出右端，從右端也可以推出左端。（3）弦、弧、圓心角1．連結(jié)圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦．經(jīng)過圓心的弦叫做直徑，直徑是同一圓中最長的弦，直徑等于半徑的2倍．2．圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡稱?。詾槎它c(diǎn)的弧記作EQ\O(\s\up6(⌒),AB)，讀作弧AB．在同圓或等圓中，能夠重合的弧叫做等?。畧A的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓．在一個(gè)圓中大于半圓的弧叫做優(yōu)弧，小于半圓的弧叫做劣?。?．從圓心到弦的距離叫做弦心距．5．由弦及其所對的弧組成的圖形叫做弓形．6．頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角．名稱概念注意圖示弦連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫作弦，如右圖中“弦”直徑是圓中最長的弦不一定是直徑直徑經(jīng)過圓心的弦叫作直徑，如右圖中“直徑”但弦不一定是直徑弧、半圓、劣孤、優(yōu)弧圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫作圓弧，簡稱弧。圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)把圓分成兩條弧，每一條弧都叫作半圓；大于半圓的弧叫作優(yōu)弧，用三個(gè)字母表示，如右圖中的；小于半圓的弧叫作劣弧，用兩個(gè)字母表示，如右圖中半圓是弧，但弧不一定是半圓等圓能夠重合的兩個(gè)圓叫作等圓，容易看出：半徑相等的兩個(gè)圓是等圓；反過來，等圓的半徑相等等圓只和半徑的大小有關(guān)，和圓心有位置有關(guān)等弧在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧叫作等孤長度相等的孤不一定是等孤【即學(xué)即練3】3．（2023秋·浙江·九年級專題練習(xí)）如圖所示，點(diǎn)M是⊙O上的任意一點(diǎn)，下列結(jié)論：①以M為端點(diǎn)的弦只有一條；②以M為端點(diǎn)的直徑只有一條；③以M為端點(diǎn)的弧只有一條．則（）A．①、②錯誤，③正確 B．②、③錯誤，①正確C．①、③錯誤，②正確 D．①、②、③錯誤【即學(xué)即練4】4．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）如圖，在中，，，．以點(diǎn)為圓心，為半徑作圓，當(dāng)點(diǎn)在內(nèi)且點(diǎn)在外時(shí)，的值可能是（

）A．2 B．3 C．4 D．5三、確定圓的條件1．過已知點(diǎn)作圓條件類別過一點(diǎn)作圓過兩點(diǎn)作圓過不在同一條直線上的三點(diǎn)作圓理論依據(jù)經(jīng)過平面內(nèi)一個(gè)點(diǎn)作圓時(shí)，只要以點(diǎn)以外任意一點(diǎn)為圓心，以這點(diǎn)到點(diǎn)的距離為半徑就能作出一個(gè)圓，這樣的圓能作出無數(shù)多個(gè)經(jīng)過平面內(nèi)的兩個(gè)點(diǎn)，作圓，由于圓心到這兩個(gè)點(diǎn)的距離相等，所以圓心在線段的垂直平分線上，這樣的圓心有無數(shù)多個(gè)，這樣的圓能作無數(shù)多個(gè)經(jīng)過不在同一條直線上的三點(diǎn)，，作圓，圓心到這三個(gè)點(diǎn)的距離相等。因此，圓心是線段，的垂直平分線的交點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，以（或，）為半徑可作出經(jīng)過，，三點(diǎn)的圓，這樣的圓只有一個(gè)圓形結(jié)論不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓2．定理：不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓．注意：⑴“不在同一直線上”這個(gè)條件不可忽視，換句話說，在同一直線上的三點(diǎn)不能作圓；⑵“確定”一詞的含義是“有且只有”，即“唯一存在”．3．三角形的外接圓⑴經(jīng)過三角形三個(gè)頂點(diǎn)的圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的外心，這個(gè)三角形叫做這個(gè)圓的內(nèi)接三角形．⑵三角形外心的性質(zhì)：①三角形的外心是指外接圓的圓心，它是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)，它到三角形各頂點(diǎn)的距離相等；②三角形的外接圓有且只有一個(gè)，即對于給定的三角形，其外心是唯一的，但一個(gè)圓的內(nèi)接三角形卻有無數(shù)個(gè)，這些三角形的外心重合.⑶銳角三角形外接圓的圓心在它的內(nèi)部（如圖1）；直角三角形外接圓的圓心在斜邊中點(diǎn)處（即直角三角形外接圓半徑等于斜邊的一半，如圖2）；鈍角三角形外接圓的圓心在它的外部（如圖3）.【即學(xué)即練5】5．（2022秋·浙江金華·九年級?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，，，．則△ABC的外心坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【即學(xué)即練6】6．（2022秋·浙江寧波·九年級統(tǒng)考期中）已知在Rt中，，則Rt的外接圓的半徑為（）A．4 B． C．5 D．題型01圓的基本概念辨析1．（2022·廣東湛江·嶺師附中校聯(lián)考一模）下列命題中，是真命題的個(gè)數(shù)有（

）直徑是弦；弦是直徑；半圓是??；弧是半圓．A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)2．（2022秋·山東臨沂·九年級統(tǒng)考期中）下列說法中正確的有（填序號）．（1）直徑是圓中最大的弦；（2）長度相等的兩條弧一定是等弧；（3）半徑相等的兩個(gè)圓是等圓；（4）面積相等的兩個(gè)圓是等圓；（5）同一條弦所對的兩條弧一定是等?。?．（2022秋·九年級單元測試）已知：如圖，矩形中交于點(diǎn)，求證：、、、個(gè)點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上．題型02求圓中弦的條數(shù)1．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）如圖，點(diǎn)，，，點(diǎn)，，以及點(diǎn)，，分別在一條直線上，則圓中弦的條數(shù)為（

）A．條 B．條 C．條 D．條2．（2023秋·浙江·九年級專題練習(xí)）如圖，⊙O中，點(diǎn)A、O、D以及點(diǎn)B、O、C分別在一條直線上，圖中弦的條數(shù)有條．3．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）如圖，是內(nèi)接三角形，請僅用無刻度的直尺，分別按下列要求畫圖．（1）在圖1中，畫山一條與相等的弦；（2）在圖2中，畫出一個(gè)與全等的三角形．題型03求過圓內(nèi)一點(diǎn)最長的弦1．（2023秋·浙江·九年級專題練習(xí)）、是半徑為的上兩個(gè)不同的點(diǎn)，則弦的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．（2021秋·江蘇鎮(zhèn)江·九年級統(tǒng)考期中）小明同學(xué)非常喜歡數(shù)學(xué)，他在課外書上看到了一個(gè)有趣的定理“中線長定理”：在△ABC中，若O為BC邊的中點(diǎn)，則必有：AB2＋AC2＝2AO2＋2BO2成立．依據(jù)以上結(jié)論，解決如下問題：如圖，在矩形DEFG中，已知DE＝4，EF＝3，點(diǎn)P在以DE為直徑的半圓上運(yùn)動，則的最小值為．3．（2022春·九年級課時(shí)練習(xí)）如圖，點(diǎn)A，B，C在⊙O上，按要求作圖：(1)過點(diǎn)A作⊙O的直徑AD；(2)過點(diǎn)B作⊙O的半徑；(3)過點(diǎn)C作⊙O的弦．題型04圓的周長和面積問題1．（2022秋·浙江金華·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）由所有到已知點(diǎn)O的距離大于或等于1，并且小于或等于2的點(diǎn)組成的圖形的面積為（

）A．π B．2π C．3π D．4π2．（2022秋·黑龍江哈爾濱·六年級校聯(lián)考期中）如圖，陰影部分的面積為cm2．（π?。?．（2022春·九年級課時(shí)練習(xí)）為了落實(shí)“二十大”報(bào)告精神，辦人民滿意教育，決定重新修建學(xué)校運(yùn)動場，設(shè)計(jì)圖如下：兩端是半圓形，中間是長方形．（?。?1)求這個(gè)運(yùn)動場的周長．(2)求這個(gè)運(yùn)動場的面積．(3)已知整個(gè)運(yùn)動場由草坪和塑膠跑道組成，塑膠跑道和草坪的面積比是：，每平方米草坪的價(jià)格是元，比每平方米塑膠的價(jià)格低，則購買鋪滿該運(yùn)動場所需要的塑膠和草坪的總費(fèi)用是多少元？題型05判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系1．（2023秋·浙江·九年級專題練習(xí)）已知⊙O的半徑是8，點(diǎn)P到圓心O的距離d為方程的一個(gè)根，則點(diǎn)P在（）A．的內(nèi)部 B．的外部C．上或的內(nèi)部 D．上或的外部2．（2023春·九年級單元測試）如圖，在矩形中，，，以頂點(diǎn)D為圓心作半徑為x的圓，使點(diǎn)A和點(diǎn)B有且只有一個(gè)點(diǎn)在內(nèi)，則x的取值范圍是．3．（2022春·九年級課時(shí)練習(xí)）在矩形中，，．(1)若以為圓心，8長為半徑作，則、、與圓的位置關(guān)系是什么？(2)若作，使、、三點(diǎn)至少有一個(gè)點(diǎn)在內(nèi)，至少有一點(diǎn)在外，則的半徑的取值范圍是．題型06確定圓心（尺規(guī)作圖）1．（2023河北）如圖，在的正方形網(wǎng)格中，一條圓弧經(jīng)過A，B，C三點(diǎn)，那么這條圓弧所在圓的圓心是（

）A．點(diǎn)P B．點(diǎn)Q C．點(diǎn)R D．點(diǎn)M2．（2023秋·江蘇·九年級專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，，的橫、縱坐標(biāo)都為整數(shù)，過這三個(gè)點(diǎn)作一條圓弧，則此圓弧的圓心坐標(biāo)為．3．（2023·黑龍江綏化·統(tǒng)考二模）如圖，在中，，平分，(1)在邊上找一點(diǎn)O，以點(diǎn)O為圓心，且過A、D兩點(diǎn)作（不寫作法，保留作圖痕跡）．(2)在（1）的條件下，若，求的半徑．題型07求能確定的圓的個(gè)數(shù)1．（2023·江西·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)，，，均在直線上，點(diǎn)在直線外，則經(jīng)過其中任意三個(gè)點(diǎn)，最多可畫出圓的個(gè)數(shù)為（

）A．3個(gè) B．4個(gè) C．5個(gè) D．6個(gè)2．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）如圖所示，點(diǎn)A，B，C在同一直線上，點(diǎn)M在AC外，經(jīng)過圖中的三個(gè)點(diǎn)作圓，可以作個(gè)．3．（2021春·九年級課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)A，B和直線l，作一個(gè)圓，使它經(jīng)過點(diǎn)A和點(diǎn)B，并且圓心在直線l上．（1）當(dāng)直線l與直線不垂直時(shí)，可作幾個(gè)圓？（2）當(dāng)直線l與直線垂直但不經(jīng)過的中點(diǎn)時(shí)，可作幾個(gè)圓？（3）當(dāng)直線l是線段的垂直平分線時(shí)，可作幾個(gè)圓？題型08求一點(diǎn)到圓上點(diǎn)距離的最值1．（2022秋·江蘇·九年級專題練習(xí)）如圖，⊙M的半徑為2，圓心M的坐標(biāo)為，點(diǎn)P是⊙M上的任意一點(diǎn)，PA⊥PB，且PA、PB與軸分別交于A、B兩點(diǎn)，若點(diǎn)A、點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)O對稱，則AB的最大值為（

）A．3 B．14 C．6 D．82．（2023春·江蘇連云港·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在矩形中，，，為上一個(gè)動點(diǎn)，連接，線段與線段關(guān)于直線對稱，連接，當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動到點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)的最近距離為．3．（2022春·九年級課時(shí)練習(xí)）如圖，菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝3，⊙A、⊙B的半徑分別為2和1，P、E、F分別是邊CD、⊙B和⊙A上的動點(diǎn)，求PE＋PF的最小值．題型09求圓內(nèi)的角度1．（2023秋·浙江·九年級專題練習(xí)）如圖，的直徑的延長線與弦的延長線交于點(diǎn)，且，已知，則等于（）A．36° B．30° C．18° D．24°2．（2023·安徽·統(tǒng)考一模）如圖，為半圓O的直徑，點(diǎn)C、D在半圓上，沿、折疊半圓，若點(diǎn)A、B的對應(yīng)點(diǎn)落在同一點(diǎn)E處，則的度數(shù)為．3．（2023春·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，為的直徑，C是延長線上一點(diǎn)，點(diǎn)D在上，且，的延長線交于點(diǎn)E，若，試求的度數(shù)．題型10求圓內(nèi)的線段長1．（2023秋·九年級單元測試）如圖，⊙O的直徑CD垂直弦于點(diǎn)E，且，則（）A．4 B．2 C． D．2．（2022秋·九年級單元測試）如圖，等腰直角中，，，為線段上一動點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作于，連接，則的最小值為．3．（2023·湖北武漢·?？家荒＃┤鐖D，在中，，點(diǎn)D，E在上，．過A，D，E三點(diǎn)作，連接并延長，交于點(diǎn)F．(1)求證；(2)若，求的半徑長．A夯實(shí)基礎(chǔ)1．（2023春·山東濰坊·七年級?？茧A段練習(xí)）下列說法：①面積相等的圓是等圓；②過圓心的線段是直徑；③長度相等的弧是等??；④半徑是弦，其中正確的是（

）A．① B．② C．③ D．④2．（2023秋·黑龍江大慶·六年級大慶一中?？茧A段練習(xí)）兩個(gè)連在一起的皮帶輪，其中一個(gè)輪子的直徑是，當(dāng)另一個(gè)輪子轉(zhuǎn)1圈時(shí)，它要轉(zhuǎn)3圈，另一個(gè)輪子的周長是（）．A． B． C． D．3．（2023春·安徽合肥·九年級?？奸_學(xué)考試）已知的直徑長為6，點(diǎn)A，B在上，則的長不可能是：（

）A．4 B．5 C．6 D．74．（2023秋·浙江·九年級專題練習(xí)）如圖，在的正方形網(wǎng)格中（小正方形的邊長為），有個(gè)點(diǎn)，，，，，，以為圓心，為半徑作圓，則在外的點(diǎn)是（）A． B． C． D．5．（2023秋·九年級課時(shí)練習(xí)）如圖所示的圓可記作，圖中半徑有條，分別是．6．（2023秋·九年級課時(shí)練習(xí)）如圖，圓中以為一個(gè)端點(diǎn)的劣弧有條．7．（2023秋·九年級課時(shí)練習(xí)）三角形的外接圓與外心（1）的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓；（2）三角形的外接圓：經(jīng)過三角形的三個(gè)的圓；（3）三角形的外心：三角形的圓心．它是三角形三邊的交點(diǎn)，到三角形三個(gè)的距離相等．8．（2023秋·江蘇南京·九年級校考開學(xué)考試）如圖，從A地到B地有兩條路可走，一條路是大半圓，另一條路是4個(gè)小半圓．有一天，一只貓和一只老鼠同時(shí)從A地到B地．老鼠見貓沿著大半圓行走，它不敢與貓同行（怕被貓吃掉），就沿著4個(gè)小半圓行走．假設(shè)貓和老鼠行走的速度相同，那么先到達(dá)B地9．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，的半徑是5，圓心的坐標(biāo)為，試判斷點(diǎn)與的位置關(guān)系．10．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）如圖，已知ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以點(diǎn)C為圓心作⊙C，半徑為r．（1）當(dāng)r取什么值時(shí)，點(diǎn)A在⊙C外？（2）當(dāng)r取什么值時(shí)，點(diǎn)A在⊙C內(nèi)，點(diǎn)B在⊙C外．B能力提升1．（2023春·河北石家莊·九年級校考開學(xué)考試）在數(shù)軸上，點(diǎn)所表示的實(shí)數(shù)為3，點(diǎn)所表示的實(shí)數(shù)為，的半徑為2，下列說法錯誤的是（

）A．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在內(nèi) B．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在內(nèi)C．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在外 D．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在外2．（2023秋·九年級課時(shí)練習(xí)）已知的半徑為，A為線段的中點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)A與的位置關(guān)系是（

）A．點(diǎn)A在內(nèi) B．點(diǎn)A在上C．點(diǎn)A在外 D．不能確定3．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)A，B，C均在上，若，，則（）A． B． C． D．4．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)O為圓心，為半徑作，點(diǎn)M的坐標(biāo)是，則點(diǎn)M與的位置關(guān)系是（

）A．M在圓內(nèi) B．M在圓外 C．M在圓上 D．無法確定5．（2023秋·江蘇南京·九年級校考開學(xué)考試）一個(gè)點(diǎn)到圓上的點(diǎn)的最小距離為，最大距離為，則圓的半徑為cm．6．（2023秋·黑龍江大慶·六年級校聯(lián)考階段練習(xí)）一個(gè)圓形花壇的半徑是米，直徑是米，它的面積是平方米，繞花壇走一圈，走了米．7．（2023秋·九年級課時(shí)練習(xí)）如圖，是的直徑，弦的延長線與的延長線交于點(diǎn)．若，，則．8．（2023春·浙江嘉興·九年級?？奸_學(xué)考試）如圖，在中，，，D為上一點(diǎn)，，以C為圓心，長為半徑作圓，連結(jié)并延長交于另一點(diǎn)E，若，則的長為．9．（2023秋·九年級課時(shí)練習(xí)）如圖，四邊形是矩形．求證：，，，四點(diǎn)在同一個(gè)圓上．10．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）已知：的半徑，過點(diǎn)A作，在上截取，連結(jié)，的外接圓，交于點(diǎn)C，連．(1)請?jiān)趫D中作出線段并求的半徑，（要求用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不要求寫作法和證明）．(2)求證：垂直平分線段．C綜合素養(yǎng)1．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，是以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓．則下列說法正確的是