第01講圓（10類題型）（原卷版）

第01講圓（10類題型）課程標準學習目標1.圓的基礎概念；2.確定圓的條件；3.點與圓的位置關系；1.掌握的圓的基本概念；2.掌握點與圓的位置關系；3、掌握確定圓的條件；知識點01：圓（1）圓的定義1．在一個平面內(nèi)，線段繞它固定的一個端點旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點所形成的圖形叫圓．這個固定的端點叫做圓心，線段叫做半徑．以點為圓心的圓記作⊙O，讀作圓O．點撥：（1）圓指的是“圓周”，即一條封閉的曲殘，而不是“圓面”。（2）“圓上的點”指的是圓周上的點，圓心不在圓周上。（3）確定一個圓需要兩個要素:一是定點，即圓心；二是定長，即半徑。圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小。只有圓心和半徑都確定了，圓才能被唯一確定?！炯磳W即練1】1．（2022秋·浙江溫州·九年級校聯(lián)考階段練習）已知的直徑長為4，點A，B在上，則的長不可能是（）A．2 B．3 C．4 D．8【即學即練2】2．（2023秋·浙江·九年級專題練習）下列說法中，不正確的是（

）A．同圓中，直徑是最長的弦 B．同圓中，所有的半徑都相等C．圓既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形 D．長度相等的弧是等弧（2）點和圓的位置關系點和圓的位置關系點到圓心的距離與半徑的關系圖示文字語言符號語言點在圓內(nèi)圓內(nèi)各點到圓心的距離都小于半徑，到圓心的距離小于半徑的點都在圓內(nèi)點在圓內(nèi)點在圓上圓內(nèi)各點到圓心的距離都等于半徑，到圓心的距離等于半徑的點都在圓上點在圓上點在圓外圓內(nèi)各點到圓心的距離都大于半徑，到圓心的距離大于半徑的點都在圓外點在圓外點撥：（1）利用與的數(shù)量關系可以判斷點和圓的位置關系；同時，知道了點和圓的位置善長，也可以確定與的數(shù)量關系。（2）符號“”讀作“等價于”，它表示從符號“”的左端可以推出右端，從右端也可以推出左端。（3）弦、弧、圓心角1．連結(jié)圓上任意兩點的線段叫做弦．經(jīng)過圓心的弦叫做直徑，直徑是同一圓中最長的弦，直徑等于半徑的2倍．2．圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱?。詾槎它c的弧記作EQ\O(\s\up6(⌒),AB)，讀作弧AB．在同圓或等圓中，能夠重合的弧叫做等?。畧A的任意一條直徑的兩個端點把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓．在一個圓中大于半圓的弧叫做優(yōu)弧，小于半圓的弧叫做劣?。?．從圓心到弦的距離叫做弦心距．5．由弦及其所對的弧組成的圖形叫做弓形．6．頂點在圓心的角叫做圓心角．名稱概念注意圖示弦連接圓上任意兩點的線段叫作弦，如右圖中“弦”直徑是圓中最長的弦不一定是直徑直徑經(jīng)過圓心的弦叫作直徑，如右圖中“直徑”但弦不一定是直徑弧、半圓、劣孤、優(yōu)弧圓上任意兩點間的部分叫作圓弧，簡稱弧。圓的任意一條直徑的兩個端點把圓分成兩條弧，每一條弧都叫作半圓；大于半圓的弧叫作優(yōu)弧，用三個字母表示，如右圖中的；小于半圓的弧叫作劣弧，用兩個字母表示，如右圖中半圓是弧，但弧不一定是半圓等圓能夠重合的兩個圓叫作等圓，容易看出：半徑相等的兩個圓是等圓；反過來，等圓的半徑相等等圓只和半徑的大小有關，和圓心有位置有關等弧在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧叫作等孤長度相等的孤不一定是等孤【即學即練3】3．（2023秋·浙江·九年級專題練習）如圖所示，點M是⊙O上的任意一點，下列結(jié)論：①以M為端點的弦只有一條；②以M為端點的直徑只有一條；③以M為端點的弧只有一條．則（）A．①、②錯誤，③正確 B．②、③錯誤，①正確C．①、③錯誤，②正確 D．①、②、③錯誤【即學即練4】4．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）如圖，在中，，，．以點為圓心，為半徑作圓，當點在內(nèi)且點在外時，的值可能是（

）A．2 B．3 C．4 D．5三、確定圓的條件1．過已知點作圓條件類別過一點作圓過兩點作圓過不在同一條直線上的三點作圓理論依據(jù)經(jīng)過平面內(nèi)一個點作圓時，只要以點以外任意一點為圓心，以這點到點的距離為半徑就能作出一個圓，這樣的圓能作出無數(shù)多個經(jīng)過平面內(nèi)的兩個點，作圓，由于圓心到這兩個點的距離相等，所以圓心在線段的垂直平分線上，這樣的圓心有無數(shù)多個，這樣的圓能作無數(shù)多個經(jīng)過不在同一條直線上的三點，，作圓，圓心到這三個點的距離相等。因此，圓心是線段，的垂直平分線的交點，以點為圓心，以（或，）為半徑可作出經(jīng)過，，三點的圓，這樣的圓只有一個圓形結(jié)論不在同一條直線上的三個點確定一個圓2．定理：不在同一直線上的三點確定一個圓．注意：⑴“不在同一直線上”這個條件不可忽視，換句話說，在同一直線上的三點不能作圓；⑵“確定”一詞的含義是“有且只有”，即“唯一存在”．3．三角形的外接圓⑴經(jīng)過三角形三個頂點的圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點，叫做三角形的外心，這個三角形叫做這個圓的內(nèi)接三角形．⑵三角形外心的性質(zhì)：①三角形的外心是指外接圓的圓心，它是三角形三邊垂直平分線的交點，它到三角形各頂點的距離相等；②三角形的外接圓有且只有一個，即對于給定的三角形，其外心是唯一的，但一個圓的內(nèi)接三角形卻有無數(shù)個，這些三角形的外心重合.⑶銳角三角形外接圓的圓心在它的內(nèi)部（如圖1）；直角三角形外接圓的圓心在斜邊中點處（即直角三角形外接圓半徑等于斜邊的一半，如圖2）；鈍角三角形外接圓的圓心在它的外部（如圖3）.【即學即練5】5．（2022秋·浙江金華·九年級?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標系中，，，．則△ABC的外心坐標為（

）A． B． C． D．【即學即練6】6．（2022秋·浙江寧波·九年級統(tǒng)考期中）已知在Rt中，，則Rt的外接圓的半徑為（）A．4 B． C．5 D．題型01圓的基本概念辨析1．（2022·廣東湛江·嶺師附中校聯(lián)考一模）下列命題中，是真命題的個數(shù)有（

）直徑是弦；弦是直徑；半圓是?。换∈前雸A．A．個 B．個 C．個 D．個2．（2022秋·山東臨沂·九年級統(tǒng)考期中）下列說法中正確的有（填序號）．（1）直徑是圓中最大的弦；（2）長度相等的兩條弧一定是等弧；（3）半徑相等的兩個圓是等圓；（4）面積相等的兩個圓是等圓；（5）同一條弦所對的兩條弧一定是等?。?．（2022秋·九年級單元測試）已知：如圖，矩形中交于點，求證：、、、個點在以為圓心，為半徑的圓上．題型02求圓中弦的條數(shù)1．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）如圖，點，，，點，，以及點，，分別在一條直線上，則圓中弦的條數(shù)為（

）A．條 B．條 C．條 D．條2．（2023秋·浙江·九年級專題練習）如圖，⊙O中，點A、O、D以及點B、O、C分別在一條直線上，圖中弦的條數(shù)有條．3．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）如圖，是內(nèi)接三角形，請僅用無刻度的直尺，分別按下列要求畫圖．（1）在圖1中，畫山一條與相等的弦；（2）在圖2中，畫出一個與全等的三角形．題型03求過圓內(nèi)一點最長的弦1．（2023秋·浙江·九年級專題練習）、是半徑為的上兩個不同的點，則弦的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．（2021秋·江蘇鎮(zhèn)江·九年級統(tǒng)考期中）小明同學非常喜歡數(shù)學，他在課外書上看到了一個有趣的定理“中線長定理”：在△ABC中，若O為BC邊的中點，則必有：AB2＋AC2＝2AO2＋2BO2成立．依據(jù)以上結(jié)論，解決如下問題：如圖，在矩形DEFG中，已知DE＝4，EF＝3，點P在以DE為直徑的半圓上運動，則的最小值為．3．（2022春·九年級課時練習）如圖，點A，B，C在⊙O上，按要求作圖：(1)過點A作⊙O的直徑AD；(2)過點B作⊙O的半徑；(3)過點C作⊙O的弦．題型04圓的周長和面積問題1．（2022秋·浙江金華·九年級校聯(lián)考階段練習）由所有到已知點O的距離大于或等于1，并且小于或等于2的點組成的圖形的面積為（

）A．π B．2π C．3π D．4π2．（2022秋·黑龍江哈爾濱·六年級校聯(lián)考期中）如圖，陰影部分的面積為cm2．（π?。?．（2022春·九年級課時練習）為了落實“二十大”報告精神，辦人民滿意教育，決定重新修建學校運動場，設計圖如下：兩端是半圓形，中間是長方形．（?。?1)求這個運動場的周長．(2)求這個運動場的面積．(3)已知整個運動場由草坪和塑膠跑道組成，塑膠跑道和草坪的面積比是：，每平方米草坪的價格是元，比每平方米塑膠的價格低，則購買鋪滿該運動場所需要的塑膠和草坪的總費用是多少元？題型05判斷點與圓的位置關系1．（2023秋·浙江·九年級專題練習）已知⊙O的半徑是8，點P到圓心O的距離d為方程的一個根，則點P在（）A．的內(nèi)部 B．的外部C．上或的內(nèi)部 D．上或的外部2．（2023春·九年級單元測試）如圖，在矩形中，，，以頂點D為圓心作半徑為x的圓，使點A和點B有且只有一個點在內(nèi)，則x的取值范圍是．3．（2022春·九年級課時練習）在矩形中，，．(1)若以為圓心，8長為半徑作，則、、與圓的位置關系是什么？(2)若作，使、、三點至少有一個點在內(nèi)，至少有一點在外，則的半徑的取值范圍是．題型06確定圓心（尺規(guī)作圖）1．（2023河北）如圖，在的正方形網(wǎng)格中，一條圓弧經(jīng)過A，B，C三點，那么這條圓弧所在圓的圓心是（

）A．點P B．點Q C．點R D．點M2．（2023秋·江蘇·九年級專題練習）如圖，在平面直角坐標系中，點，，的橫、縱坐標都為整數(shù)，過這三個點作一條圓弧，則此圓弧的圓心坐標為．3．（2023·黑龍江綏化·統(tǒng)考二模）如圖，在中，，平分，(1)在邊上找一點O，以點O為圓心，且過A、D兩點作（不寫作法，保留作圖痕跡）．(2)在（1）的條件下，若，求的半徑．題型07求能確定的圓的個數(shù)1．（2023·江西·統(tǒng)考中考真題）如圖，點，，，均在直線上，點在直線外，則經(jīng)過其中任意三個點，最多可畫出圓的個數(shù)為（

）A．3個 B．4個 C．5個 D．6個2．（2023·全國·九年級專題練習）如圖所示，點A，B，C在同一直線上，點M在AC外，經(jīng)過圖中的三個點作圓，可以作個．3．（2021春·九年級課時練習）已知點A，B和直線l，作一個圓，使它經(jīng)過點A和點B，并且圓心在直線l上．（1）當直線l與直線不垂直時，可作幾個圓？（2）當直線l與直線垂直但不經(jīng)過的中點時，可作幾個圓？（3）當直線l是線段的垂直平分線時，可作幾個圓？題型08求一點到圓上點距離的最值1．（2022秋·江蘇·九年級專題練習）如圖，⊙M的半徑為2，圓心M的坐標為，點P是⊙M上的任意一點，PA⊥PB，且PA、PB與軸分別交于A、B兩點，若點A、點B關于原點O對稱，則AB的最大值為（

）A．3 B．14 C．6 D．82．（2023春·江蘇連云港·九年級校聯(lián)考階段練習）如圖，在矩形中，，，為上一個動點，連接，線段與線段關于直線對稱，連接，當點從點運動到點時，點與點的最近距離為．3．（2022春·九年級課時練習）如圖，菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝3，⊙A、⊙B的半徑分別為2和1，P、E、F分別是邊CD、⊙B和⊙A上的動點，求PE＋PF的最小值．題型09求圓內(nèi)的角度1．（2023秋·浙江·九年級專題練習）如圖，的直徑的延長線與弦的延長線交于點，且，已知，則等于（）A．36° B．30° C．18° D．24°2．（2023·安徽·統(tǒng)考一模）如圖，為半圓O的直徑，點C、D在半圓上，沿、折疊半圓，若點A、B的對應點落在同一點E處，則的度數(shù)為．3．（2023春·全國·九年級專題練習）如圖，為的直徑，C是延長線上一點，點D在上，且，的延長線交于點E，若，試求的度數(shù)．題型10求圓內(nèi)的線段長1．（2023秋·九年級單元測試）如圖，⊙O的直徑CD垂直弦于點E，且，則（）A．4 B．2 C． D．2．（2022秋·九年級單元測試）如圖，等腰直角中，，，為線段上一動點，連接，過點作于，連接，則的最小值為．3．（2023·湖北武漢·?？家荒＃┤鐖D，在中，，點D，E在上，．過A，D，E三點作，連接并延長，交于點F．(1)求證；(2)若，求的半徑長．A夯實基礎1．（2023春·山東濰坊·七年級?？茧A段練習）下列說法：①面積相等的圓是等圓；②過圓心的線段是直徑；③長度相等的弧是等?。虎馨霃绞窍?，其中正確的是（

）A．① B．② C．③ D．④2．（2023秋·黑龍江大慶·六年級大慶一中校考階段練習）兩個連在一起的皮帶輪，其中一個輪子的直徑是，當另一個輪子轉(zhuǎn)1圈時，它要轉(zhuǎn)3圈，另一個輪子的周長是（）．A． B． C． D．3．（2023春·安徽合肥·九年級?？奸_學考試）已知的直徑長為6，點A，B在上，則的長不可能是：（

）A．4 B．5 C．6 D．74．（2023秋·浙江·九年級專題練習）如圖，在的正方形網(wǎng)格中（小正方形的邊長為），有個點，，，，，，以為圓心，為半徑作圓，則在外的點是（）A． B． C． D．5．（2023秋·九年級課時練習）如圖所示的圓可記作，圖中半徑有條，分別是．6．（2023秋·九年級課時練習）如圖，圓中以為一個端點的劣弧有條．7．（2023秋·九年級課時練習）三角形的外接圓與外心（1）的三個點確定一個圓；（2）三角形的外接圓：經(jīng)過三角形的三個的圓；（3）三角形的外心：三角形的圓心．它是三角形三邊的交點，到三角形三個的距離相等．8．（2023秋·江蘇南京·九年級?？奸_學考試）如圖，從A地到B地有兩條路可走，一條路是大半圓，另一條路是4個小半圓．有一天，一只貓和一只老鼠同時從A地到B地．老鼠見貓沿著大半圓行走，它不敢與貓同行（怕被貓吃掉），就沿著4個小半圓行走．假設貓和老鼠行走的速度相同，那么先到達B地9．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）在直角坐標平面內(nèi)，的半徑是5，圓心的坐標為，試判斷點與的位置關系．10．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）如圖，已知ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以點C為圓心作⊙C，半徑為r．（1）當r取什么值時，點A在⊙C外？（2）當r取什么值時，點A在⊙C內(nèi)，點B在⊙C外．B能力提升1．（2023春·河北石家莊·九年級?？奸_學考試）在數(shù)軸上，點所表示的實數(shù)為3，點所表示的實數(shù)為，的半徑為2，下列說法錯誤的是（

）A．當時，點在內(nèi) B．當時，點在內(nèi)C．當時，點在外 D．當時，點在外2．（2023秋·九年級課時練習）已知的半徑為，A為線段的中點，當時，點A與的位置關系是（

）A．點A在內(nèi) B．點A在上C．點A在外 D．不能確定3．（2023秋·全國·九年級專題練習）如圖，點A，B，C均在上，若，，則（）A． B． C． D．4．（2023秋·全國·九年級專題練習）在平面直角坐標系中，以原點O為圓心，為半徑作，點M的坐標是，則點M與的位置關系是（

）A．M在圓內(nèi) B．M在圓外 C．M在圓上 D．無法確定5．（2023秋·江蘇南京·九年級校考開學考試）一個點到圓上的點的最小距離為，最大距離為，則圓的半徑為cm．6．（2023秋·黑龍江大慶·六年級校聯(lián)考階段練習）一個圓形花壇的半徑是米，直徑是米，它的面積是平方米，繞花壇走一圈，走了米．7．（2023秋·九年級課時練習）如圖，是的直徑，弦的延長線與的延長線交于點．若，，則．8．（2023春·浙江嘉興·九年級?？奸_學考試）如圖，在中，，，D為上一點，，以C為圓心，長為半徑作圓，連結(jié)并延長交于另一點E，若，則的長為．9．（2023秋·九年級課時練習）如圖，四邊形是矩形．求證：，，，四點在同一個圓上．10．（2023秋·全國·九年級專題練習）已知：的半徑，過點A作，在上截取，連結(jié)，的外接圓，交于點C，連．(1)請在圖中作出線段并求的半徑，（要求用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不要求寫作法和證明）．(2)求證：垂直平分線段．C綜合素養(yǎng)1．（2023秋·全國·九年級專題練習）在平面直角坐標系中，是以點為圓心，為半徑的圓．則下列說法正確的是