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文檔簡介
1、數(shù)學(xué)競賽考綱二試1、平面幾何基本規(guī)定:掌握高中數(shù)學(xué)競賽大綱所擬定所有內(nèi)容。補(bǔ)充規(guī)定:面積和面積辦法。幾種重要定理:梅涅勞斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。幾種重要極值:到三角形三頂點距離之和最小點--費馬點。到三角形三頂點距離平方和最小點--重心。三角形內(nèi)到三邊距離之積最大點--重心。幾何不等式。簡樸等周問題。理解下述定理:在周長一定n邊形集合中,正n邊形面積最大。在周長一定簡樸閉曲線集合中,圓面積最大。在面積一定n邊形集合中,正n邊形周長最小。在面積一定簡樸閉曲線集合中,圓周長最小。幾何中運動:反射、平移、旋轉(zhuǎn)。復(fù)數(shù)辦法、向量辦法。平面凸集、凸包及應(yīng)用。2、代數(shù)在一試大綱基本上此外規(guī)定內(nèi)容:周期函數(shù)與周期,帶絕對值函數(shù)圖像。三倍角公式,三角形某些簡樸恒等式,三角不等式。第二數(shù)學(xué)歸納法。遞歸,一階、二階遞歸,特性方程法。函數(shù)迭代,求n次迭代,簡樸函數(shù)方程。n個變元平均不等式,柯西不等式,排序不等式及應(yīng)用。復(fù)數(shù)指數(shù)形式,歐拉公式,棣莫佛定理,單位根,單位根應(yīng)用。圓排列,有重復(fù)排列與組合,簡樸組合恒等式。一元n次方程(多項式)根個數(shù),根與系數(shù)關(guān)系,實系數(shù)方程虛根成對定理。簡樸初等數(shù)論問題,除初中大綱中所涉及內(nèi)容外,還應(yīng)涉及無窮遞降法,同余,歐幾里得除法,非負(fù)最小完全剩余類,高斯函數(shù),費馬小定理,歐拉函數(shù),孫子定理,格點及其性質(zhì)。3、立體幾何多面角,多面角性質(zhì)。三面角、直三面角基本性質(zhì)。正多面體,歐拉定理。體積證法。截面,會作截面、表面展開圖。4、平面解析幾何直線法線式,直線極坐標(biāo)方程,直線束及其應(yīng)用。二元一次不等式表達(dá)區(qū)域。三角形面積公式。圓錐曲線切線和法線。圓冪和根軸。5、其他抽屜原理。容斥原理。極端原理。集合劃分。覆蓋。梅涅勞斯定理托勒密定理西姆松線存在性及性質(zhì)(西姆松定理)。賽瓦定理及其逆定理。一、 平面幾何1.梅涅勞斯定理梅涅勞斯(Menelaus)定理(簡稱梅氏定理)是由古希臘數(shù)學(xué)家梅涅勞斯一方面證明。它指出:如果一條直線與△ABC三邊AB、BC、CA或其延長線交于F、D、E點,那么(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1?;颍涸O(shè)X、Y、Z分別在△ABCBC、CA、AB所在直線上,則X、Y、Z共線充要條件是(AZ/ZB)*(BX/XC)*(CY/YA)=1。證明:當(dāng)直線交△ABCAB、BC、CA反向延長線于點D、E、F時,(AD/DB)*(BE/EC)*(CF/FA)=1逆定理證明:證明:X、Y、Z分別在△ABCBC、CA、AB所在直線上,則X、Y、Z共線充要條件是(AZ/ZB)*(BX/XC)*(CY/YA)=1證明一過點A作AG∥BC交DF延長線于G,則AF/FB=AG/BD,BD/DC=BD/DC,CE/EA=DC/AG三式相乘得:(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=(AG/BD)×(BD/DC)×(DC/AG)=1證明二過點C作CP∥DF交AB于P,則BD/DC=FB/PF,CE/EA=PF/AF因此有AF/FB×BD/DC×CE/EA=AF/FB×FB/PF×PF/AF=1證明四過三頂點作直線DEF垂線,AA‘,BB',CC'有AD:DB=AA’:BB'此外兩個類似,三式相乘得1得證。如百科名片中圖。推論
在△ABC三邊BC、CA、AB或其延長線上分別取L、M、N三點,又分比是λ=BL/LC、μ=CM/MA、ν=AN/NB。于是AL、BM、CN三線交于一點充要條件是λμν=-1。(注意與塞瓦定理相區(qū)別,那里是λμν=1)第一角元形式梅涅勞斯定理如圖:若E,F(xiàn),D三點共線,則(sin∠ACF/sin∠FCB)(sin∠BAD/sin∠DAC)(sin∠CBE/sin∠ABE)=1即上圖中藍(lán)角正弦值之積等于紅角正弦值之積該形式梅涅勞斯定理也很實用證明:可用面積法推出:第一角元形式梅氏定理與頂分頂形式梅氏定理等價。第二角元形式梅涅勞斯定理在平面上任取一點O,且EDF共線,則(sin∠AOF/sin∠FOB)(sin∠BOD/sin∠DOC)(sin∠COE/sin∠AOE)=1。(O不與點A、B、C重疊)梅涅勞斯球面三角形定理在球面三角形ABC中,三邊弧AB,弧BC,弧CA(都是大圓弧)被另一大圓弧截于P,Q,R三點,那么(sin弧AP/sin弧PB)×(sin弧BQ/sin弧QC)×(sin弧CR/sin弧RA)=1[※意義使用梅涅勞斯定理可以進(jìn)行直線形中線段長度比例計算,其逆定理還是可以用來解決三點共線、三線共點等問題鑒定辦法,是平面幾何學(xué)以及射影幾何學(xué)中一項基本定理,具備重要作用。梅涅勞斯定理對偶定理是塞瓦定理。2.賽瓦定理在△ABC內(nèi)任取一點O,直線AO、BO、CO分別交對邊于D、E、F,則(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1推論運用塞瓦定理證明三角形三條高線必交于一點:設(shè)三邊AB、BC、AC垂足分別為D、E、F,依照塞瓦定理逆定理,由于(AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=[(CD*cotA)/[(CD*cotB)]*[(AE*cotB)/(AE*cotC)]*[(BF*cotC)/[(BF*cotA)]=1,因此三條高CD、AE、BF交于一點??捎萌叨ɡ碜C明其她定理;三角形三條中線交于一點(重心):如圖5D,E分別為BC,AC中點因此BD=DCAE=EC因此BD/DC=1CE/EA=1且由于AF=BF因此AF/FB必等于1,因此三角形三條中線交于一點,即為重心用塞瓦定理還可以證明三條角平分線交于一點此外,可用定比分點來定義塞瓦定理:在△ABC三邊BC、CA、AB或其延長線上分別取L、M、N三點,又分比是λ=BL/LC、μ=CM/MA、ν=AN/NB。于是AL、BM、CN三線交于一點充要條件是λμν=1。(注意與梅涅勞斯定理相區(qū)別,那里是λμν=-1)1.塞瓦定理角元形式AD,BE,CF交于一點充分必要條件是:(sin∠BAD/sin∠DAC)*(sin∠ACF/sin∠FCB)*(sin∠CBE/sin∠EBA)=1由正弦定理及三角形面積公式易證2.如圖,對于圓周上順次6點A,B,C,D,E,F(xiàn),直線AD,BE,CF交于一點充分必要條件是:(AB/BC)*(CD/DE)*(EF/FA)=1\o"查看圖片"由塞瓦定理角元形式,正弦定理及圓弦長與所對圓周角關(guān)系易證。3托勒密定理定理內(nèi)容托勒密(Ptolemy)定理指出,圓內(nèi)接凸四邊形兩對對邊乘積和等于兩條對角線乘積。原文:圓內(nèi)接四邊形中,兩對角線所包矩形面積等于一組對邊所包矩形面積與另一組對邊所包矩形面積之和。從這個定理可以推出正弦、余弦和差公式及一系列三角恒等式,托勒密定理實質(zhì)上是關(guān)于共圓性基本性質(zhì).定理內(nèi)容:指圓內(nèi)接凸四邊形兩對對邊乘積和等于兩條對角線乘積一、(如下是推論證明,托勒密定理可視作特殊狀況。)在任意凸四邊形ABCD中(如右圖),作△ABE使∠BAE=∠CAD∠ABE=∠ACD,連接DE.則△ABE∽△ACD因此BE/CD=AB/AC,即BE·AC=AB·CD(1)\o"查看圖片"
由△ABE∽△ACD得AD/AC=AE/AB,又∠BAC=∠EAD,因此△ABC∽△AED.BC/ED=AC/AD,即ED·AC=BC·AD(2)(1)+(2),得AC(BE+ED)=AB·CD+AD·BC又由于BE+ED≥BD(僅在四邊形ABCD是某圓內(nèi)接四邊形時,等號成立,即“托勒密定理”)復(fù)數(shù)證明用a、b、c、d分別表達(dá)四邊形頂點A、B、C、D復(fù)數(shù),則AB、CD、AD、BC、AC、BD長度分別是:(a-b)、(c-d)、(a-d)、(b-c)、(a-c)、(b-d)。一方面注意到復(fù)數(shù)恒等式:(a?b)(c?d)+(a?d)(b?c)=(a?c)(b?d),兩邊取模,運用三角不等式得。等號成立條件是(a-b)(c-d)與(a-d)(b-c)輻角相等,這與A、B、C、D四點共圓等價。四點不限于同一平面。平面上,托勒密不等式是三角不等式反演形式。二、設(shè)ABCD是圓內(nèi)接四邊形。在弦BC上,圓周角∠BAC=∠BDC,而在AB上,∠ADB=∠ACB。在AC上取一點K,使得∠ABK=∠CBD;由于∠ABK+∠CBK=∠ABC=∠CBD+∠ABD,因此∠CBK=∠ABD。因而△ABK與△DBC相似,同理也有△ABD~△KBC。因而AK/AB=CD/BD,且CK/BC=DA/BD;因而AK·BD=AB·CD,且CK·BD=BC·DA;兩式相加,得(AK+CK)·BD=AB·CD+BC·DA;但AK+CK=AC,因而AC·BD=AB·CD+BC·DA。證畢。推論1.任意凸四邊形ABCD,必有AC·BD≤AB·CD+AD·BC,當(dāng)且僅當(dāng)ABCD四點共圓時取等號。2.托勒密定理逆定理同樣成立:一種凸四邊形兩對對邊乘積和等于兩條對角線乘積,則這個凸四邊形內(nèi)接于一圓、4、西姆松西姆松定理是一種幾何定理。表述為:過三角形外接圓上異于三角形頂點任意一點作三邊垂線,則三垂足共線。(此線常稱為西姆松線)。西姆松定理逆定理為:若一點在三角形三邊所在直線上射影共線,則該點在此三角形外接圓上。西姆松定理闡明有關(guān)成果有:(1)稱三角形垂心為H。西姆松線和PH交點為線段PH中點,且這點在九點圓上。(2)兩點西姆松線交角等于該兩點圓周角。(3)若兩個三角形外接圓相似,這外接圓上一點P相應(yīng)兩者西姆松線交角,跟P位置無關(guān)。(4)從一點向三角形三邊所引垂線垂足共線充要條件是該點落在三角形外接圓上。(5)過三角形垂心任意直線都是三角形西姆松線證明一:△ABC外接圓上有點P,且PE⊥AC于E,PF⊥BC于F,PD⊥AB于D,分別連FE、FD、BP、CP.易證P、B、D、F和P、F、C、E分別共圓,在PBDF圓內(nèi),∠DBP+∠DFP=180度,在ABPC圓內(nèi)∠ABP+∠ACP=180度,∠ABP=∠ECP于是∠DFP=∠ACP①,在PFCE圓內(nèi)∠PFE=∠PCE②而∠ACP+∠PCE=180°③∴∠DFP+∠PFE=180°④即D、F、E共線.反之,當(dāng)D、F、E共線時,由④→②→③→①可見A、B、P、C共圓.證明二:如圖,若L、M、N三點共線,連結(jié)BP,CP,則因PL垂直于BC,PM垂直于AC,PN垂直于AB,有B、L、P、N和P、M、C、L分別四點共圓,有∠NBP=∠NLP=∠MLP=∠MCP.故A、B、P、C四點共圓。若A、P、B、C四點共圓,則∠NBP=∠MCP。因PL垂直于BC,PM垂直于AC,PN垂直于AB,有B、L、P、N和P、M、C、L四點共圓,有∠NBP=∠NLP=∠MCP=∠MLP.5.費馬點在一種三角形中,到3個頂點距離之和最小點叫做這個三角形費馬點。費馬點定義(1)若三角形ABC3個內(nèi)角均不大于120°,那么3條距離連線正好三等分費馬點所在周角。因此三角形費馬點也稱為三角形等角中心。(2)若三角形有一內(nèi)角不不大于120度,則此鈍角頂點就是距離和最小點。費馬點鑒定(1)對于任意三角形△ABC,若三角形內(nèi)或三角形上某一點E,若EA+EB+EC有最小值,則取到最小值時E為費馬點。\o"查看圖片"
費馬點計算(2)如果三角形有一種內(nèi)角不不大于或等于120°,這個內(nèi)角頂點就是費馬點;
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