2021年個(gè)人高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽競(jìng)賽平面幾何四大定理及考綱

1、數(shù)學(xué)競(jìng)賽考綱二試1、平面幾何基本規(guī)定：掌握高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽大綱所擬定所有內(nèi)容。補(bǔ)充規(guī)定：面積和面積辦法。幾種重要定理：梅涅勞斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。幾種重要極值：到三角形三頂點(diǎn)距離之和最小點(diǎn)--費(fèi)馬點(diǎn)。到三角形三頂點(diǎn)距離平方和最小點(diǎn)--重心。三角形內(nèi)到三邊距離之積最大點(diǎn)--重心。幾何不等式。簡(jiǎn)樸等周問題。理解下述定理：在周長一定n邊形集合中，正n邊形面積最大。在周長一定簡(jiǎn)樸閉曲線集合中，圓面積最大。在面積一定n邊形集合中，正n邊形周長最小。在面積一定簡(jiǎn)樸閉曲線集合中，圓周長最小。幾何中運(yùn)動(dòng)：反射、平移、旋轉(zhuǎn)。復(fù)數(shù)辦法、向量辦法。平面凸集、凸包及應(yīng)用。2、代數(shù)在一試大綱基本上此外規(guī)定內(nèi)容：周期函數(shù)與周期，帶絕對(duì)值函數(shù)圖像。三倍角公式，三角形某些簡(jiǎn)樸恒等式，三角不等式。第二數(shù)學(xué)歸納法。遞歸，一階、二階遞歸，特性方程法。函數(shù)迭代，求n次迭代，簡(jiǎn)樸函數(shù)方程。n個(gè)變?cè)骄坏仁剑挛鞑坏仁?，排序不等式及?yīng)用。復(fù)數(shù)指數(shù)形式，歐拉公式，棣莫佛定理，單位根，單位根應(yīng)用。圓排列，有重復(fù)排列與組合，簡(jiǎn)樸組合恒等式。一元n次方程（多項(xiàng)式）根個(gè)數(shù)，根與系數(shù)關(guān)系，實(shí)系數(shù)方程虛根成對(duì)定理。簡(jiǎn)樸初等數(shù)論問題，除初中大綱中所涉及內(nèi)容外，還應(yīng)涉及無窮遞降法，同余，歐幾里得除法，非負(fù)最小完全剩余類，高斯函數(shù)，費(fèi)馬小定理，歐拉函數(shù)，孫子定理，格點(diǎn)及其性質(zhì)。3、立體幾何多面角，多面角性質(zhì)。三面角、直三面角基本性質(zhì)。正多面體，歐拉定理。體積證法。截面，會(huì)作截面、表面展開圖。4、平面解析幾何直線法線式，直線極坐標(biāo)方程，直線束及其應(yīng)用。二元一次不等式表達(dá)區(qū)域。三角形面積公式。圓錐曲線切線和法線。圓冪和根軸。5、其他抽屜原理。容斥原理。極端原理。集合劃分。覆蓋。梅涅勞斯定理托勒密定理西姆松線存在性及性質(zhì)(西姆松定理)。賽瓦定理及其逆定理。一、 平面幾何1.梅涅勞斯定理梅涅勞斯（Menelaus）定理（簡(jiǎn)稱梅氏定理）是由古希臘數(shù)學(xué)家梅涅勞斯一方面證明。它指出：如果一條直線與△ABC三邊AB、BC、CA或其延長線交于F、D、E點(diǎn)，那么(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1。或：設(shè)X、Y、Z分別在△ABCBC、CA、AB所在直線上，則X、Y、Z共線充要條件是(AZ/ZB)*(BX/XC)*(CY/YA)=1。證明：當(dāng)直線交△ABCAB、BC、CA反向延長線于點(diǎn)D、E、F時(shí)，(AD/DB)*(BE/EC)*(CF/FA)=1逆定理證明：證明：X、Y、Z分別在△ABCBC、CA、AB所在直線上，則X、Y、Z共線充要條件是(AZ/ZB)*(BX/XC)*(CY/YA)=1證明一過點(diǎn)A作AG∥BC交DF延長線于G，則AF/FB=AG/BD，BD/DC=BD/DC，CE/EA=DC/AG三式相乘得：(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=(AG/BD)×(BD/DC)×(DC/AG)=1證明二過點(diǎn)C作CP∥DF交AB于P，則BD/DC=FB/PF，CE/EA=PF/AF因此有AF/FB×BD/DC×CE/EA=AF/FB×FB/PF×PF/AF=1證明四過三頂點(diǎn)作直線DEF垂線，AA‘，BB'，CC'有AD：DB=AA’：BB'此外兩個(gè)類似，三式相乘得1得證。如百科名片中圖。推論

在△ABC三邊BC、CA、AB或其延長線上分別取L、M、N三點(diǎn)，又分比是λ=BL/LC、μ=CM/MA、ν=AN/NB。于是AL、BM、CN三線交于一點(diǎn)充要條件是λμν=-1。（注意與塞瓦定理相區(qū)別，那里是λμν=1）第一角元形式梅涅勞斯定理如圖：若E，F(xiàn)，D三點(diǎn)共線，則(sin∠ACF/sin∠FCB)(sin∠BAD/sin∠DAC)(sin∠CBE/sin∠ABE)=1即上圖中藍(lán)角正弦值之積等于紅角正弦值之積該形式梅涅勞斯定理也很實(shí)用證明：可用面積法推出：第一角元形式梅氏定理與頂分頂形式梅氏定理等價(jià)。第二角元形式梅涅勞斯定理在平面上任取一點(diǎn)O，且EDF共線，則（sin∠AOF/sin∠FOB)(sin∠BOD/sin∠DOC)(sin∠COE/sin∠AOE)=1。(O不與點(diǎn)A、B、C重疊)梅涅勞斯球面三角形定理在球面三角形ABC中，三邊弧AB，弧BC，弧CA(都是大圓弧)被另一大圓弧截于P,Q,R三點(diǎn)，那么(sin弧AP/sin弧PB)×(sin弧BQ/sin弧QC)×(sin弧CR/sin弧RA)=1[※意義使用梅涅勞斯定理可以進(jìn)行直線形中線段長度比例計(jì)算，其逆定理還是可以用來解決三點(diǎn)共線、三線共點(diǎn)等問題鑒定辦法，是平面幾何學(xué)以及射影幾何學(xué)中一項(xiàng)基本定理，具備重要作用。梅涅勞斯定理對(duì)偶定理是塞瓦定理。2.賽瓦定理在△ABC內(nèi)任取一點(diǎn)O，直線AO、BO、CO分別交對(duì)邊于D、E、F，則(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1推論運(yùn)用塞瓦定理證明三角形三條高線必交于一點(diǎn):設(shè)三邊AB、BC、AC垂足分別為D、E、F，依照塞瓦定理逆定理，由于(AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=[(CD*cotA）/[(CD*cotB）]*[(AE*cotB)/(AE*cotC)]*[(BF*cotC)/[(BF*cotA)]=1，因此三條高CD、AE、BF交于一點(diǎn)。可用塞瓦定理證明其她定理;三角形三條中線交于一點(diǎn)（重心）:如圖5D，E分別為BC，AC中點(diǎn)因此BD=DCAE=EC因此BD/DC=1CE/EA=1且由于AF=BF因此AF/FB必等于1，因此三角形三條中線交于一點(diǎn)，即為重心用塞瓦定理還可以證明三條角平分線交于一點(diǎn)此外，可用定比分點(diǎn)來定義塞瓦定理：在△ABC三邊BC、CA、AB或其延長線上分別取L、M、N三點(diǎn)，又分比是λ=BL/LC、μ=CM/MA、ν=AN/NB。于是AL、BM、CN三線交于一點(diǎn)充要條件是λμν=1。（注意與梅涅勞斯定理相區(qū)別，那里是λμν=-1）1.塞瓦定理角元形式AD,BE,CF交于一點(diǎn)充分必要條件是：(sin∠BAD/sin∠DAC)*(sin∠ACF/sin∠FCB)*(sin∠CBE/sin∠EBA)=1由正弦定理及三角形面積公式易證2.如圖，對(duì)于圓周上順次6點(diǎn)A，B，C，D，E，F(xiàn)，直線AD，BE，CF交于一點(diǎn)充分必要條件是：(AB/BC)*(CD/DE)*(EF/FA)=1\o"查看圖片"由塞瓦定理角元形式，正弦定理及圓弦長與所對(duì)圓周角關(guān)系易證。3托勒密定理定理內(nèi)容托勒密(Ptolemy)定理指出，圓內(nèi)接凸四邊形兩對(duì)對(duì)邊乘積和等于兩條對(duì)角線乘積。原文：圓內(nèi)接四邊形中，兩對(duì)角線所包矩形面積等于一組對(duì)邊所包矩形面積與另一組對(duì)邊所包矩形面積之和。從這個(gè)定理可以推出正弦、余弦和差公式及一系列三角恒等式，托勒密定理實(shí)質(zhì)上是關(guān)于共圓性基本性質(zhì)．定理內(nèi)容：指圓內(nèi)接凸四邊形兩對(duì)對(duì)邊乘積和等于兩條對(duì)角線乘積一、（如下是推論證明，托勒密定理可視作特殊狀況。）在任意凸四邊形ABCD中(如右圖)，作△ABE使∠BAE=∠CAD∠ABE=∠ACD,連接DE.則△ABE∽△ACD因此BE/CD=AB/AC,即BE·AC=AB·CD(1)\o"查看圖片"

由△ABE∽△ACD得AD/AC=AE/AB,又∠BAC=∠EAD,因此△ABC∽△AED.BC/ED=AC/AD,即ED·AC=BC·AD(2)(1)+(2),得AC(BE+ED)=AB·CD+AD·BC又由于BE+ED≥BD（僅在四邊形ABCD是某圓內(nèi)接四邊形時(shí)，等號(hào)成立，即“托勒密定理”）復(fù)數(shù)證明用a、b、c、d分別表達(dá)四邊形頂點(diǎn)A、B、C、D復(fù)數(shù)，則AB、CD、AD、BC、AC、BD長度分別是：(a-b)、(c-d)、(a-d)、(b-c)、(a-c)、(b-d)。一方面注意到復(fù)數(shù)恒等式：(a?b)(c?d)+(a?d)(b?c)=(a?c)(b?d)，兩邊取模，運(yùn)用三角不等式得。等號(hào)成立條件是(a-b)(c-d)與(a-d)(b-c)輻角相等，這與A、B、C、D四點(diǎn)共圓等價(jià)。四點(diǎn)不限于同一平面。平面上，托勒密不等式是三角不等式反演形式。二、設(shè)ABCD是圓內(nèi)接四邊形。在弦BC上，圓周角∠BAC=∠BDC，而在AB上，∠ADB=∠ACB。在AC上取一點(diǎn)K，使得∠ABK=∠CBD；由于∠ABK+∠CBK=∠ABC=∠CBD+∠ABD，因此∠CBK=∠ABD。因而△ABK與△DBC相似，同理也有△ABD~△KBC。因而AK/AB=CD/BD，且CK/BC=DA/BD；因而AK·BD=AB·CD，且CK·BD=BC·DA；兩式相加，得(AK+CK)·BD=AB·CD+BC·DA；但AK+CK=AC，因而AC·BD=AB·CD+BC·DA。證畢。推論1.任意凸四邊形ABCD，必有AC·BD≤AB·CD+AD·BC，當(dāng)且僅當(dāng)ABCD四點(diǎn)共圓時(shí)取等號(hào)。2.托勒密定理逆定理同樣成立：一種凸四邊形兩對(duì)對(duì)邊乘積和等于兩條對(duì)角線乘積，則這個(gè)凸四邊形內(nèi)接于一圓、4、西姆松西姆松定理是一種幾何定理。表述為：過三角形外接圓上異于三角形頂點(diǎn)任意一點(diǎn)作三邊垂線，則三垂足共線。（此線常稱為西姆松線）。西姆松定理逆定理為：若一點(diǎn)在三角形三邊所在直線上射影共線，則該點(diǎn)在此三角形外接圓上。西姆松定理闡明有關(guān)成果有：（1）稱三角形垂心為H。西姆松線和PH交點(diǎn)為線段PH中點(diǎn)，且這點(diǎn)在九點(diǎn)圓上。（2）兩點(diǎn)西姆松線交角等于該兩點(diǎn)圓周角。（3）若兩個(gè)三角形外接圓相似，這外接圓上一點(diǎn)P相應(yīng)兩者西姆松線交角，跟P位置無關(guān)。（4）從一點(diǎn)向三角形三邊所引垂線垂足共線充要條件是該點(diǎn)落在三角形外接圓上。（5）過三角形垂心任意直線都是三角形西姆松線證明一：△ABC外接圓上有點(diǎn)P，且PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，PD⊥AB于D，分別連FE、FD、BP、CP.易證P、B、D、F和P、F、C、E分別共圓，在PBDF圓內(nèi)，∠DBP+∠DFP=180度，在ABPC圓內(nèi)∠ABP+∠ACP=180度，∠ABP=∠ECP于是∠DFP=∠ACP①，在PFCE圓內(nèi)∠PFE=∠PCE②而∠ACP+∠PCE=180°③∴∠DFP+∠PFE=180°④即D、F、E共線.反之，當(dāng)D、F、E共線時(shí)，由④→②→③→①可見A、B、P、C共圓.證明二：如圖，若L、M、N三點(diǎn)共線，連結(jié)BP，CP，則因PL垂直于BC，PM垂直于AC，PN垂直于AB，有B、L、P、N和P、M、C、L分別四點(diǎn)共圓，有∠NBP=∠NLP=∠MLP=∠MCP.故A、B、P、C四點(diǎn)共圓。若A、P、B、C四點(diǎn)共圓，則∠NBP=∠MCP。因PL垂直于BC，PM垂直于AC，PN垂直于AB，有B、L、P、N和P、M、C、L四點(diǎn)共圓，有∠NBP=∠NLP=∠MCP=∠MLP.5.費(fèi)馬點(diǎn)在一種三角形中，到3個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小點(diǎn)叫做這個(gè)三角形費(fèi)馬點(diǎn)。費(fèi)馬點(diǎn)定義(1)若三角形ABC3個(gè)內(nèi)角均不大于120°，那么3條距離連線正好三等分費(fèi)馬點(diǎn)所在周角。因此三角形費(fèi)馬點(diǎn)也稱為三角形等角中心。(2)若三角形有一內(nèi)角不不大于120度，則此鈍角頂點(diǎn)就是距離和最小點(diǎn)。費(fèi)馬點(diǎn)鑒定（1）對(duì)于任意三角形△ABC，若三角形內(nèi)或三角形上某一點(diǎn)E,若EA+EB+EC有最小值,則取到最小值時(shí)E為費(fèi)馬點(diǎn)。\o"查看圖片"

費(fèi)馬點(diǎn)計(jì)算（2）如果三角形有一種內(nèi)角不不大于或等于120°，這個(gè)內(nèi)角頂點(diǎn)就是費(fèi)馬點(diǎn)；