參數(shù)曲面的切平面和法矢量ComputerGraphics

ComputerGraphics第十章 Bezier曲線曲面CCoommppuutteeGGrraapphhiiccrsBezier曲線曲面操作實(shí)例點(diǎn)擊右面圖標(biāo)可以自己操作ComputerGraphics綜述曲線曲面的表示是計(jì)算機(jī)圖形學(xué)的重要研究?jī)?nèi)容之一。在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中，常用的曲線曲面的類型有·

Bézier曲線曲面·

B樣條曲線曲面·

孔斯曲面P0P1P2P3ComputerGraphics優(yōu)點(diǎn)1曲線曲面的形狀不依賴于坐標(biāo)系的選擇2人機(jī)交互直觀易于計(jì)算易于拼接造型靈活等·

本章討論Bézier曲線曲面的重要性質(zhì)和生成算法。P0P1P2P2P1P0

x（b）原圖三點(diǎn)繞原點(diǎn)逆轉(zhuǎn)45度

后過(guò)三點(diǎn)的參數(shù)二次多項(xiàng)式圖形xyy（a）過(guò)圖示三點(diǎn)的參數(shù)二次多項(xiàng)式圖形ComputerGraphics10.1

曲線曲面的基礎(chǔ)知識(shí)曲線、曲面的表示形式 參數(shù)表示：非參數(shù)表示：（在CG&CAGD角度看，好一些）顯示表示隱式表示曲線和曲面的基礎(chǔ)知識(shí)位置矢量、切矢量、法矢量、法平面、曲率以及連續(xù)性等ComputerGraphics10.1.1

曲線的表示·1.顯式表示一個(gè)坐標(biāo)變量能夠顯式地表示為另一個(gè)變量的函數(shù)平面曲線顯式表示的一般形式是一條直線方程每一個(gè)x值只對(duì)應(yīng)一個(gè)y值用顯式方程不能表示封閉或多值曲線ComputerGraphics2

隱式表示平面曲線隱式表示的—般形式：例如，二次隱式方程的—般形式可寫成(10.1)該隱式方程可以表示拋物線、雙曲線和橢圓等。三維空間曲線的隱式表示式為交面式:(10.2)曲線的非參數(shù)表示存在的問(wèn)題是：①與坐標(biāo)系相關(guān)；②會(huì)出現(xiàn)斜率為無(wú)窮大的情況(如垂線)；③非平面曲線難用常系數(shù)的非參數(shù)化函數(shù)表示，例如式（10.2）；10.1.1

曲線的表示ComputerGraphics3

參數(shù)表示曲線的參數(shù)表示是指將曲線上各點(diǎn)的坐標(biāo)變量顯式地表示成參數(shù)的函數(shù)形式。若取參數(shù)為，則曲線的參數(shù)表示為，

(10.3)其中

，

和

分別為

的顯式函數(shù)，即每一個(gè)

對(duì)應(yīng)空間一個(gè)點(diǎn)通常將參數(shù)區(qū)間規(guī)范化為[0,1]。參數(shù)方程中的參數(shù)可以代表多種不同的量，如時(shí)間、角度等。連接

和

兩點(diǎn)的直線段的參數(shù)方程可寫為10.1.1

曲線的表示ComputerGraphics3

參數(shù)表示一條參數(shù)曲線的表示形式并不是惟一的，例如在第一象限內(nèi)的單位圓弧可表示成其中：取角度θ為參數(shù)時(shí)，x和y的關(guān)系如圖10.1(a)所示；取t為參數(shù)時(shí)，x和y的關(guān)系如圖10.1(b)所示，其中θ和t為等距取值。圖10.1

第一象限內(nèi)單位圓弧的表示形式y(tǒng)(a)1.0

xy(b)1.0

x0

010.1.1

曲線的表示ComputerGraphics參數(shù)表示的優(yōu)越性

①參數(shù)方程的形式不依賴于坐標(biāo)系的選取，具有形狀不變性；

②在參數(shù)表示中，變化率以切矢量來(lái)表示，不會(huì)出現(xiàn)無(wú)窮大的情況；

③對(duì)參數(shù)表示的曲線、曲面進(jìn)行平移、放縮和旋轉(zhuǎn)等幾何變換比較容易；

④用參數(shù)表示的曲線曲面的交互能力強(qiáng)，參數(shù)表示式中系數(shù)的幾何意義明確，并提高了自由度，便于控制形狀。ComputerGraphics10.1.2

參數(shù)曲線的切矢量、弧長(zhǎng)、法矢量和曲率·

在三維空間中，曲線的參數(shù)方程為1.位置矢量曲線上任一點(diǎn)的位置矢量可表示為2.切矢量圖10.2參數(shù)曲線的切矢△PP(t)P′

(t)P(t+△t)yxz設(shè)

和

是曲線上的兩點(diǎn)，記

，如圖10.2所示。當(dāng)時(shí)，導(dǎo)數(shù)矢量

的方向趨近于P點(diǎn)處的切線方向，記為

。稱

為在處的導(dǎo)矢，或切矢量。設(shè)

表示

到

的弧長(zhǎng)，由于弦長(zhǎng)即和弧長(zhǎng)

的極限相同，(10.4)則(10.5)T稱為處切線方向的單位矢量。上式說(shuō)明，如果以弧長(zhǎng)為參數(shù)，曲線在任意點(diǎn)的切矢量為單位矢量。ComputerGraphics3.弧長(zhǎng)對(duì)于正則曲線（），從點(diǎn)

到點(diǎn)

的弧長(zhǎng)定義為其中

是切矢量

的長(zhǎng)度。式的折線長(zhǎng)度的極限。記

為

，增可看作是曲線從

到為

，在曲線從

到

之間沿著遞的方向，取n－1個(gè)點(diǎn)

，把相鄰點(diǎn)用直線段連接起來(lái)，得到曲線的折線，它的長(zhǎng)度為

，當(dāng)

時(shí)，

。10.1.2

參數(shù)曲線的切矢量、弧長(zhǎng)、法矢量和曲率ComputerGraphics4.曲率設(shè)以弧長(zhǎng)s為參數(shù)，曲線上的點(diǎn)

和點(diǎn)

處的單位切矢量分別為

和

，記兩切矢的夾角為

，

,如圖10.3所示。對(duì)于空間曲線，這兩個(gè)切矢量通常不在同一平面上。記為曲線從點(diǎn)

到點(diǎn)

的長(zhǎng)度(弧長(zhǎng))，通常用

與

之比的絕對(duì)值

來(lái)度量曲線由

到的彎曲程度。當(dāng)

時(shí)，曲線在點(diǎn)

處的曲率

定義為當(dāng)

時(shí)，

稱為曲線在

點(diǎn)的曲率半徑。T(s+△s)P(s+△s)P(s)T(s)△ΦT(s+△s)圖10.3參數(shù)曲線的曲率△s△h△TT(s)10.1.2

參數(shù)曲線的切矢量、弧長(zhǎng)、法矢量和曲率ComputerGraphics由于

和

都是單位長(zhǎng)度，所以圓心角與其對(duì)應(yīng)的圓弧長(zhǎng)

(圖10.3)大小相等?；￠L(zhǎng)

和

的極限相同，因此

，所以由式（10.5）知(10.6)同方向，其中K5.主法矢量和副法矢量對(duì)于一條空間三維曲線，任何垂直于切矢量T的矢量，都稱為法矢量。因?yàn)門是單位矢量，由式

兩邊對(duì)t求導(dǎo)知，矢量

垂直于T。與的單位矢量N稱為主法矢量。如果取弧長(zhǎng)s為參數(shù)，則有為曲率。約定

，有KN稱為曲線的曲率矢量。10.1.2

參數(shù)曲線的切矢量、弧長(zhǎng)、法矢量和曲率ComputerGraphics矢量

垂直于T

和N，把B

稱為單位副法線矢量。過(guò)曲線上任一點(diǎn)有三個(gè)兩兩垂直的單位矢量T、N、B，它們滿足、

。把通過(guò)給定點(diǎn)且分別包含切矢量T和主法矢量N，主法矢量N和副法矢量B，副法矢量B和切矢量T的平面分別稱之為密切平面、法平面和從切平面，如圖10.4所示。法平面從切平面BTN圖10.4參數(shù)曲線的法矢密切平面QRM10.1.2

參數(shù)曲線的切矢量、弧長(zhǎng)、法矢量和曲率ComputerGraphics密切平面與密切圓、、，R點(diǎn)的密切圓是指當(dāng)設(shè)曲線上三點(diǎn)M、R、Q分別對(duì)應(yīng)參數(shù)時(shí)，經(jīng)過(guò)三點(diǎn)M、R、Q的圓。由于所以和副法矢量B同向，即過(guò)M、R、Q的圓和密切平面重合。由此我們得到如下結(jié)論：過(guò)點(diǎn)R的切平面有很多，它們都過(guò)該點(diǎn)的切線，而同時(shí)過(guò)該點(diǎn)的前后兩個(gè)點(diǎn)的切平面只有一個(gè)，即密切平面。因此密切平面的幾何意義是：在所有和曲線上的點(diǎn)R相切的平面中，密切平面是R附近和曲線貼的最緊的平面。密切圓是由M、R和Q三點(diǎn)決定的，點(diǎn)R鄰域內(nèi)的曲線可用由M經(jīng)R到Q之間的圓弧近似，所以密切圓可表示曲線在點(diǎn)R處的彎曲程度。曲線上一點(diǎn)R的密切圓的半徑等于該點(diǎn)的曲率半徑，密切圓心是曲率中心。ComputerGraphics討論以t為參數(shù)時(shí)，曲率的表達(dá)式因?yàn)椋?0.7）上式兩邊對(duì)t求導(dǎo)，就有由得（10.8）ComputerGraphics10.1.3

參數(shù)曲面的切平面和法矢量1參數(shù)曲面的表式和曲線一樣，曲面也有顯式、隱式和參數(shù)式三種表示方式。在uv平面矩形域上的參數(shù)曲面片可表示成如下形式（10.9）其中，和分別為和的顯式函數(shù)，即常用來(lái)描述四邊形參數(shù)曲面片幾何性質(zhì)的幾何元素有：角點(diǎn)。四個(gè)角點(diǎn)是：

，簡(jiǎn)記為邊界線。矩形域曲面片的四條邊界線是：。。3）點(diǎn)處的切矢。面片在點(diǎn)處具有u向切矢和v向切矢其中，表示

在

處沿方向的一階導(dǎo)矢。4)點(diǎn)處的法矢。面片在點(diǎn)處的法矢可表示為。ComputerGraphics10.1.3

參數(shù)曲面的切平面和法矢量和

線性表出，所以曲面在

點(diǎn)的切平向的切矢量都可由面方程可表示成(10.11)曲面在點(diǎn)

處的法矢量唯一定義為。2參數(shù)曲面的切平面和法矢量設(shè)

為曲面

上的任一點(diǎn)，

是uv平面上滿足的任一條參數(shù)曲線，記過(guò)曲面上的點(diǎn)

的曲線為L(zhǎng)，則L在

點(diǎn)的切矢量為(10.10)曲面上過(guò)

點(diǎn)的任何一條曲線在

點(diǎn)的切矢量都是曲面在該點(diǎn)的切矢量，即，曲面在

點(diǎn)的切矢量有無(wú)窮多個(gè)，所有這些切矢量組合成的平面稱為曲面在

點(diǎn)的切平面。由式（10.10）知，曲面在

點(diǎn)處沿任意方ComputerGraphics三次參數(shù)多項(xiàng)式曲線

的代數(shù)表示形式是：上式的矢量形式是（10.12）其中

，

是多項(xiàng)式系數(shù)矢量。多項(xiàng)式系數(shù)矢量并沒(méi)有反映出曲線的幾何性質(zhì)，，對(duì)于三次多項(xiàng)式曲線，常用四個(gè)具有明顯幾何意義的條件進(jìn)行描述。在三次曲線的Hermite表示中，這四個(gè)條件是：兩端點(diǎn)的位置：兩端點(diǎn)的切矢量：和和10.1.4參數(shù)曲線的多項(xiàng)式表示ComputerGraphics的值代入式(10.12)，把則有（10.13）其中（10.14）為[0,1]區(qū)間上的三次Hermite基函數(shù)，也可稱為調(diào)和函數(shù)。式(10.13)是參數(shù)曲線的三次Hermite表示形式，

,

,

為其幾何系數(shù)幾何系數(shù)和形狀的關(guān)系如圖10.5所示。式(10.12)和(10.13)寫成矩陣形式分別是（10.15）（10.16）其中和分別表示矩陣A和B的轉(zhuǎn)置利用式(10.15)和式(10.16)及矩陣運(yùn)算就可得到代數(shù)形式和幾何形式的轉(zhuǎn)換關(guān)系。圖10.5三次Hermite曲線10.1.4參數(shù)曲線的多項(xiàng)式表示ComputerGraphics10.1.5

參數(shù)連續(xù)性和幾何連續(xù)性參數(shù)連續(xù)性和幾何連續(xù)性是刻畫曲線曲面性質(zhì)的兩個(gè)重要量如果曲線

在

處滿足左右n階導(dǎo)數(shù)均存在且相等，即，

(10.17)則稱曲線

在

處是n階參數(shù)連續(xù)的，或稱Cn連續(xù)。若曲線在區(qū)間[0,1]內(nèi)處處是Cn連續(xù)的，則稱該曲線是Cn連續(xù)的。例如，如果曲線在

處滿足C2連續(xù)，則它滿足下述條件ComputerGraphics幾何連續(xù)性，則稱曲線在·

1）

如果曲線

在點(diǎn)

處滿足位置連續(xù)，即處零階幾何連續(xù)（GC0）?！?/p>

2）如果曲線在點(diǎn)處滿足GC0連續(xù)，且切矢量方向相同，即存在常數(shù)，使，則稱曲線在

處一階幾何連續(xù)（GC1）?！?/p>

3）如果曲線在點(diǎn)處滿足GC1連續(xù)，且副法矢量連續(xù)，曲率連續(xù)，即,，則稱曲線在

處二階幾何連續(xù)（GC2）。(a)零階幾何連續(xù)性(b)一階幾何連續(xù)性(c)二階幾何連續(xù)性圖10.6零到二階幾何連續(xù)ComputerGraphics幾何連續(xù)性與選擇的參數(shù)無(wú)關(guān)，只與曲線本身有關(guān)。幾何連續(xù)性和參數(shù)連續(xù)性的關(guān)系如下：1）如果曲線在

處是GC2的，則經(jīng)過(guò)適當(dāng)參數(shù)化，該曲線也是C2的。2）曲線在

處是GC2連續(xù)的充要條件是存在常數(shù)

和

，使得(10.18)取，,式（10.18）就成為連續(xù)的條件了。幾何連續(xù)性的條件要比參數(shù)連續(xù)性的條件更苛刻，因?yàn)橛行〤2連續(xù)的曲線，無(wú)論如何對(duì)其進(jìn)行參數(shù)化，都不能成為GC2連續(xù)的。例如，擺線y的形狀如圖10.7所示，擺線在處是C2連續(xù)的,但不是GC2連續(xù)的.02π4πx2π圖10.7

擺線幾何連續(xù)性ComputerGraphics10.2

Bézier曲線Bézier曲線是一段n次多項(xiàng)式曲線，是構(gòu)造自由曲線曲面的重要和基本方法之一。它具有許多優(yōu)點(diǎn)，諸如保凸性，凸包性，曲線形狀不依賴于坐標(biāo)系的選擇，人機(jī)交互手段靈活等。由于它能滿足幾何造型對(duì)曲線曲面的要求，因此在理論和應(yīng)用上均得到了極大的重視和發(fā)展。ComputerGraphics10.2 Bézier曲線·線性貝塞爾曲線給定點(diǎn)P0、P1，線性貝塞爾曲線只是一條兩點(diǎn)之間的直線。這條線由下式給出：·且其等同于線性插值·二次方貝塞爾曲線二次方貝塞爾曲線的路徑由給定點(diǎn)P0、P1、P2的函數(shù)B（t）追蹤：ComputerGraphics10.2 Bézier曲線·三次方貝塞爾曲線[編輯]·P0、P1、P2、P3四個(gè)點(diǎn)在平面或在三維空間中定義了三次方貝塞爾曲線。曲線起始于P0走向P1，并從

P2的方向來(lái)到P3。一般不會(huì)經(jīng)過(guò)P1或P2；這兩個(gè)點(diǎn)只是在那里提供方向資訊。P0和P1之間的間距，決定了曲線在轉(zhuǎn)而趨進(jìn)P3之前，走向P2方向的“長(zhǎng)度有多長(zhǎng)”。·曲線的參數(shù)形式為：ComputerGraphics10.2.1

Bézier曲線的定義1

Bézier曲線的定義在空間給定n個(gè)點(diǎn)，稱下列參數(shù)多項(xiàng)式曲線為n次Bézier曲線，

0≤t≤1(10.19)其中是Bernstein基函數(shù)：(10.20)折線稱為

的控制多邊形，各點(diǎn)稱為

的控制頂點(diǎn)。控制多邊形

是對(duì)Bézier曲線

的大致勾畫,

是對(duì)控制多邊形的逼近。如圖10.8是n次Bézier曲線和它的控制多邊形。P0P1Pn-1圖10.8

n次Bézier曲線及控制多邊形PnP(t)ComputerGraphicsBernstein基函數(shù)（如圖10.9）具有如下性質(zhì)：(1)非負(fù)性(2)權(quán)性(3)對(duì)稱性，0

1

t圖10.9四個(gè)3次Bernstein基函數(shù)J0,3J1,3J2,3J3,31·(4)導(dǎo)函數(shù)，記，，則，的導(dǎo)函數(shù)為(10.21)，

在參數(shù)(5)最大值，對(duì)(6)遞推公式,其中時(shí)，達(dá)到最大值。，(10.22)(7)升階，(10.23)10.2.1 Bézier曲線的定義2

Bernstein基函數(shù)的性質(zhì)ComputerGraphics10.2.2 Bezier曲線的性質(zhì)(10.24)端點(diǎn)位置：Bézier曲線的起點(diǎn)為P0，終點(diǎn)為Pn，即,端點(diǎn)的切線Bézier曲線

在起點(diǎn)

處與邊

相切，在終點(diǎn)切，即點(diǎn)處與邊相(10.25)（3）端點(diǎn)的曲率由式(10.8)知，Bézier曲線

在點(diǎn)

和

處的曲率

和

分別為(10.26)這可由曲率公式，式(10.25)得到下式由Bezier曲線的性質(zhì)(1)-(3)知，Bezier曲線在端點(diǎn)處的鄰的

個(gè)點(diǎn)決定的，與其他的點(diǎn)無(wú)關(guān)。(

=0,1,2)階導(dǎo)矢是由相ComputerGraphics(4)仿射不變性Bézier曲線具有仿射不變性，也就是說(shuō)Bézier曲線的形狀和位置僅與它的控制頂點(diǎn)的位置有關(guān)，而與仿射坐標(biāo)系的選擇無(wú)關(guān)。仿射不變性的含義可解釋如下。給定個(gè)點(diǎn)，設(shè)是由這個(gè)點(diǎn)構(gòu)造的n次Bézier曲線，把

經(jīng)仿射變換后變成的新的坐標(biāo)系

中的曲線記為

。另一方面，設(shè)

個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)經(jīng)仿射變換后變成的新坐標(biāo)系

中，由它們構(gòu)成的n次Bézier曲線記為

，仿射不變。的凸包是指包含這些點(diǎn)的的點(diǎn)分別為性的含義是(5)凸包性點(diǎn)集

最小凸集。由于，且0≤Ji,n

(t)≤1,所以對(duì)某個(gè)t值，點(diǎn)

是各個(gè)控制頂點(diǎn)

的凸線性組合，因此點(diǎn)

一定位于其控制頂點(diǎn)的凸包之內(nèi),如圖10.10所示。P0P10PnPn-1P(t)圖10.10

Bézier曲線的凸包性10.2.2 Bezier曲線的性質(zhì)ComputerGraphics（6）交互能力控制多邊形大致勾畫出了Bézier曲線

的形狀，因此可以通過(guò)改變控制多邊形的形狀來(lái)改變

的形狀，如圖10.11所示,將控制頂點(diǎn)移到

處，

的形狀發(fā)生了變化。另外，移動(dòng)

的第j個(gè)控制頂點(diǎn)

,將對(duì)

上參數(shù)為

的點(diǎn)的影響最大，越遠(yuǎn)離

的點(diǎn)所受的影響越小，這種性質(zhì)稱為擬局部性。（7）變差縮減性如果Bézier曲線

的控制多邊形是一個(gè)平面圖形，則平面內(nèi)任一直線與的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)不多于該直線與控制多邊形的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，這一性質(zhì)叫做變差縮減性[1]。此性質(zhì)反映了Bézier曲線比控制多邊形的波動(dòng)小，即Bézier曲線比控制多邊形更光順。P0P1P2P3P4圖10.11

Bézier曲線隨控制多邊形而變P

310.2.2 Bezier曲線的性質(zhì)ComputerGraphics（8）保凸性對(duì)于Bézier曲線接起來(lái)，如果是個(gè)封閉的平面凸多邊形，則Bézier曲線，把控制多邊形

的終點(diǎn)

和起點(diǎn)

連是一段凸的平面曲線，該性質(zhì)稱為Bézier曲線的保凸性[1]，如圖10.12所示。圖10.12P0

PnBézier曲線的保凸性10.2.2 Bezier曲線的性質(zhì)ComputerGraphics10.2.3

例子本節(jié)討論由分段定義的Bézier曲線逼近單位圓。不失一般性，討論由四條Bézier曲線逼近單位圓。單位圓由下式定義(10.27)下面給出構(gòu)造過(guò)程?？紤]圖10.13所示的情形，對(duì)四分之一圓逼近的三次Bézier曲線由四個(gè)控制點(diǎn)定義，其關(guān)鍵是確定

的值使Bézier曲線較好地逼近該四分之一圓。取Bézier曲線的中點(diǎn)在圓上，則，從而得到對(duì)平面上四分之一圓的近似表示為(10.28)三次Bézier曲線(10.28)和其控制頂點(diǎn)如圖10.13所示。這樣四段三次Bézier曲線就可逼近一個(gè)平面整圓。（1,d）（d,1）z(0,1)(1,0)

y圖10.13三次Bézier曲線ComputerGraphics10.2.4 Bezier曲線性質(zhì)的進(jìn)一步討論,用作圖法可以畫出所對(duì)應(yīng)的Bé1．Bézier曲線的幾何作圖給定了控制多邊形頂點(diǎn)

,zier曲線，Bézier給出下面一種幾何作圖法。在控制多邊形中以

和的比例，則分點(diǎn)為端點(diǎn)的第i條邊上找一點(diǎn)為，把該邊分成，(10.29)這n個(gè)點(diǎn)組成一個(gè)新的n-1邊形，對(duì)該n-1邊形重復(fù)上述操作，得到一個(gè)n-2邊形的n-1個(gè)頂點(diǎn)，依次類推，連續(xù)作n次操作后，得到一個(gè)單點(diǎn),該點(diǎn)就是式（10.19）表示的Bézier曲線上參數(shù)為t的點(diǎn)。ComputerGraphics圖10.14顯示了四次Bézier曲線取時(shí)的作圖過(guò)程。該作圖過(guò)程，可以描述為一個(gè)代數(shù)遞推公式,(10.30)其中，

，l表示遞推的步數(shù)，i表示該點(diǎn)位于相應(yīng)多邊形的第i+1條邊上。P2P4Bézier曲線的幾何作圖P0P3P1P3,1P2,1P2,21,3P1,2

PP0,1P0,40,3P

P0,2P11圖10.14式(10.30)說(shuō)明，一條n次Bézier曲線可以表示成兩條次Bézier曲線的線性組合。10.2.4 Bezier曲線性質(zhì)的進(jìn)一步討論ComputerGraphics2 Bezier曲線的升階Bézier曲線具有整體性，可以使用升階的方法，增加它的控制頂點(diǎn)，從而增加對(duì)曲線進(jìn)行形狀控制的靈活性。利用Bernstein基的升階公式(10.23)，可以得到Bézier曲線的升階公式。對(duì)一條n次Bézier曲線P0=

P0*P1P2P3=

P4*P1*P2*P3*圖10.15

Bézier曲線的升階增加一個(gè)控制頂點(diǎn)后，得到一條新的n+1次Bézier曲線，如果新的Bézier曲線和原Bézier曲線表示同一條曲線，則新的Bézier曲線的控制頂點(diǎn)可由如下升階公式?jīng)Q定其中(10.32)。新控制多邊形在老控制多邊形的凸包內(nèi)，且更接近對(duì)應(yīng)的Bézier曲線,如圖10.15所示。n次Bézier曲線升階后得到的高次Bézier曲線實(shí)際上仍然是n次Bézier曲線，當(dāng)移動(dòng)新的控制頂點(diǎn)使曲線的形狀發(fā)生變化時(shí)，新的Bézier曲線的次數(shù)就升高了。ComputerGraphics3 Bezier曲線的導(dǎo)矢對(duì)Bézier曲線的定義公式(10.19)求導(dǎo)，并利用Bernstein基函數(shù)的導(dǎo)數(shù)遞推公式(10.21)，可得到Bézier曲線的一階導(dǎo)矢如下(10.33)，稱為向前差分矢量，也就是控制多邊形的邊矢量。其中式(10.33)表明，n次Bézier曲線的導(dǎo)矢是n-1次的Bézier曲線，且的控制頂點(diǎn)來(lái)自的控制多邊形的n條邊矢量，分別將這n條邊矢量的起點(diǎn)置于原點(diǎn)，矢量的末端就是的各控制頂點(diǎn)。ComputerGraphics10.2.5 Bezier曲線的拼接用Bézier曲線表示復(fù)雜形狀的自由曲線常采用分段定義的方法，即把復(fù)雜形狀的曲線分解為多段較為簡(jiǎn)單的Bézier曲線，將多段簡(jiǎn)單Bézier曲線首末拼接起來(lái)形成整體曲線。設(shè)和為兩條n次Bézier曲線，拼接時(shí)在連接點(diǎn)處需要滿足一定的光滑性要求，這些光滑性要求包括：1）

GC0連續(xù)：

其充要條件是

。2）

GC1連續(xù)：其充要條件是且

和

均不為零且同向，即 、

和

三點(diǎn)共線。Q２Pn-1Pn-2Pn=Q0

Q12

n-1

1d(Q

,P

Q

)n-2

n-1

1d(P

,P

Q

)圖10.16

GC0,

GC1,

GC2的連續(xù)條件3）

GC2連續(xù)：

其充要條件是

和六點(diǎn)共面；

和在連接點(diǎn)處達(dá)到GC1連續(xù)，還要滿足或同在直線

上或位于直線的同側(cè)，而且（10.34）的距離，如圖10.16所，分別表示其中示。點(diǎn)和

點(diǎn)到直線ComputerGraphics與

重合。步驟1:

平移控制多邊形

使步驟2:

圍繞

點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)控制多邊形，使得與同向?！?/p>

步驟3:

圍繞線段

轉(zhuǎn)動(dòng)多邊形定的平面內(nèi)，并且與

位于直線，使得

落在的同一側(cè)。所確·

步驟4:

調(diào)整

或

使式(10.34)成立。由于使用控制多邊形生成曲線，所以曲線拼接的過(guò)程很直觀，也很容易實(shí)現(xiàn)。另外，因?yàn)?/p>

和

在拼合點(diǎn)處的曲率不一定相同，所以，當(dāng)兩條曲線的曲率不相同時(shí)，GC2拼接至少需要改動(dòng)一條曲線的形狀。調(diào)整曲線

和

，使它們?cè)谶B接處達(dá)到GC2連續(xù)的算法如下：ComputerGraphics10.2.6 Bezier曲線的離散生成在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中經(jīng)常需要將一段Bézier曲線進(jìn)行分割，例如對(duì)兩條Bézier曲線做求交運(yùn)算，或顯示一條Bézier曲線。利用Bézier曲線的離散性可以求得分割后兩段曲線的控制頂點(diǎn)，從而將兩段曲線表示為Bézier曲線的形式。Bézier曲線

經(jīng)中點(diǎn)分割得到的兩段曲線可表示為(10.35)其中

和由下列遞推關(guān)系確定(10.36)式中。ComputerGraphics實(shí)際中用的較多的是三次Bézier曲線，時(shí)的遞推關(guān)系式如圖10.17所示。圖10.17的幾何意義如圖10.18所示：P0P1P2P3P1[1]P2[1]P3[1]P2[2]P3[2]P3[3]圖10.17的Pi[r]的遞推關(guān)系P2[1]圖10.18

Bézier曲線的割角過(guò)程P2P1P0P32P1[1]P3[1]P2[2]P3[2]P3[3]10.2.6 Bezier曲線的離散生成ComputerGraphics10.3

Bezier曲面稱下10.3.1

Bézier曲面的定義和性質(zhì)在空間中給定(n+1)×(m+1)個(gè)點(diǎn)

,面張量積形式的參數(shù)多項(xiàng)式曲面為n×m次的Bézier曲面:，0≤u

,v

≤1(10.37)其中，分別是n次和m次Bernstein基函數(shù),P04P40P30P20P10P00P01P14P03P02P11P21P31P41P(u,0)P(0,v)圖10.19

Bézier曲面的控制網(wǎng)格為的控制頂點(diǎn)，把由和

組成的網(wǎng)格稱為控制網(wǎng)格,如圖

10.19所示。控制網(wǎng)格是對(duì)Bézier曲面的大致形狀的勾畫.ComputerGraphicsBezier曲面的性質(zhì)（1）端點(diǎn)位置控制網(wǎng)格的四個(gè)角點(diǎn)P00,P0m,Pn0,nmP

是曲面的四個(gè)端點(diǎn)，如圖10.20所示。，P40P04P03P02P3P20P10P00P01P11P21P31P41P14P(u,0)P(0,v)圖10.20

Bézier曲面的端點(diǎn)和邊界線，

為控制多邊形。邊界線的位置的四條邊界線

，和

是Bézier曲線，分別以

，

，端點(diǎn)的切平面端點(diǎn)

的u向切矢和v向切矢分別為

和形所在的平面在P00點(diǎn)和曲面相切。同理，三角形，所以三角，，處與（圖10.20中斜線部分）所在的平面分別在點(diǎn) ，

，曲面相切。ComputerGraphics是在點(diǎn)

處的法向；其余各（4）端點(diǎn)的法向由端點(diǎn)的切平面知，端點(diǎn)

，

，

處法向的情況也類似。(5)凸包性曲面

位于其控制頂點(diǎn)的凸包內(nèi)。仿射不變性曲面

的形狀僅與其控制頂點(diǎn)

的位置有關(guān)，而與坐標(biāo)系的選擇無(wú)關(guān)。擬局部性修改一個(gè)控制頂點(diǎn)時(shí)，曲面上距離它較近的點(diǎn)受影響較大。要改變曲面某部分的形狀，只要交互調(diào)節(jié)相應(yīng)的控制頂點(diǎn)即可。Bezier曲面的性質(zhì)ComputerGraphics10.3.2 Bezier曲面的拼接兩張Bézier曲面相連接時(shí)，在公共邊界達(dá)到GC1連續(xù)是指在公共邊界的每一點(diǎn)上兩曲面的切平面重合。假定兩張要拼接的Bé

zier曲面的方程為Q11Q12Q13Q03P

Q32

02P

Q01P30