(重慶卷)高考數(shù)學(xué)試題詳細(xì)解答及考點(diǎn)解讀

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工作單位：

普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試(重慶卷)

理科數(shù)學(xué)(必修+選修H)

本試卷滿分150分,考試時(shí)間120分鐘

第I卷

參考公式：

如果事件AB互斥,那么P(A+8)=P(A)+P(6)

如果事件A3相互獨(dú)立，那么P(A8)=P(A)P(B)

如果事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是P,那么〃次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生A

次的概率

k

pn(k)=(1-py-(k=04,2,,n)

4a

以R為半徑的球體積：V=-7T/?3

3

一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個(gè)備選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.直線y=X+l與圓d+y2=l的位置關(guān)系()

A.相切B.相交但直線不過圓心C.直線過圓心D.相離

2.已知復(fù)數(shù)z的實(shí)部為-1,虛部為2,則」二().

Z

A.2—iB.2+iC.-2-iD.-2+i

(

3.Y+上的展開式中d的系數(shù)是().

A.16B.70C.560D.1120

4.已知同=1,例=6,a(b—。)=2,則向量a與b的夾角是()

兀兀兀71

A.-B.-C.一D.-

6432

5.不等式,+3|-?—1|</_3。對(duì)任意實(shí)數(shù)尤恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）.

A.(-℃,-1][4,+oo)B.(-oo,-2][5,+oo)

C.[1,2]D.(-oo,l][2,+oo)

6.鍋中煮有芝麻餡湯圓6個(gè)，花生餡湯圓5個(gè)，豆沙餡湯圓4個(gè)，這三種湯圓的外部

特征完全相同.從中任意舀取4個(gè)湯圓，則每種湯圓都至少取到1個(gè)的概率為（）.

7.設(shè)AABC的三個(gè)內(nèi)角,向量/n=(GsinA,sin3),n=(cosB,V3cosA),

若〃=l+cos(A+8),則C=().

7T712兀571

A.—B.-C.—D.—

6336

:今一ar—bj=2,其中a,〃eR,則a—8的值為（）.

8.己知lim|

A.—6B.-2C.2D.6

9.已知二面角a-/—4的大小為50°,P為空間中任意一點(diǎn)，則過點(diǎn)P且與平面a和

平面夕所成的角都是25°的直線的條數(shù)為（）.

A.2B.3C.4D.5

10.已知以T=4為周期的函數(shù)=—1'"'其中加>（）.若方程

l-|x-2|,xe（l,3],

3/（x）=x恰有5個(gè)實(shí)數(shù)解，則機(jī)的取值范圍為（）.

(V158)

二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分.把答案寫在答題卡相應(yīng)位置上.

11.若4={收叫國(guó)<3},B={xeR|2'>1},則AB=.

12.若/（x）=一一+a是奇函數(shù)，則。=

2'-1

13.將4名大學(xué)生分配到3個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)去當(dāng)村官，每個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)至少一名，則不同的分配方案有

種（用數(shù)字作答）.

14.設(shè)4=2,區(qū)川=二一，bn=&色，〃eN",則數(shù)列｛"｝的通項(xiàng)

%+1?！耙?

",=___________?

X2y2

15.已知雙曲線二一2T=1(。＞0力＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為耳(—g0)，E(c;0),若

ab

雙曲線上存在點(diǎn)P使sin/尸］一一二@,則該雙曲線的離心率的取值范圍

sinZPF2Ftc

是.

三、解答題：本大題共6小題，共75分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過程或演算步驟.

16.(本小題滿分13分，(1)小問7分，(H)小問6分.)

設(shè)函數(shù)/(x)=sin(芳一2)-2cos2/+l.

(1)求/(x)的最小正周期.

-4-

(II)若函數(shù)y=g(x)與y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=l對(duì)稱，求當(dāng)xe0,-時(shí)

y=g(x)的最大值.

17.(本小題滿分13分，(I)問7分，(II)問6分)

某單位為綠化環(huán)境，移栽了甲、乙兩種大樹各2株.設(shè)甲、乙兩種大樹移栽的成活

21

率分別為一和一，且各株大樹是否成活互不影響.求移栽的4株大樹中：

32

(I)兩種大樹各成活1株的概率；

(II)成活的株數(shù)J的分布列與期望.

18.(本小題滿分13分，(I)問5分，(H)問8分)

設(shè)函數(shù),f(x)=af+。冶■440.在x=0處取得極值，且曲線y=/(x)在點(diǎn)

(1,7(1)處的切線垂直于直線1+2丁+1=0.

(I)求的值;

(II)若函數(shù)g(x)=—J，討論g(x)的單調(diào)性.

/(?V)

19.（本小題滿分12分，（I）問5分，（II）問7分）

如圖1,在四棱錐S—ABCO中，AD8C且AOLCO；平面CSOJ■平面

ABCD,CSLDS,CS=2AD=2；E為BS的中點(diǎn)，CE=叵,AS=B求:

（I）點(diǎn)A到平面BCS的距離；

（II）二面角E-CO—A的大小.

C

圖1

20.（本小題滿分12分，（I）問5分，（H）問7分）

已知以原點(diǎn)。為中心的橢圓的一條準(zhǔn)線方程為丫=空，離心率e=中，M是

橢圓上的動(dòng)點(diǎn).（I）若點(diǎn)C,。的坐標(biāo)分別是（0,々5）,。6）,求WC|MD|的

最大值；

（H）如圖2,點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1,0）,B是圓％2+y2=i上的點(diǎn)，N是點(diǎn)”在x軸

上的射影，點(diǎn)。滿足條件：OQ=OM+ON,QABA=Q.求線段的

中點(diǎn)P的軌跡方程.

21.（本小題滿分12分，（I）問5分，（II）問7分）

設(shè)加個(gè)不全相等的正數(shù)4M2，（m27）依次圍成一個(gè)圓圈.

（I）若m=2009,且4,4，，4（是公差為"的等差數(shù)列，而

4,々2009,々2008，，4（X）6是公比為4=的等比數(shù)歹U；數(shù)列4,4，，%的前

〃項(xiàng)和5〃（〃＜加）滿足：53=15,52009=S2（xy7+12^）,求通項(xiàng)a〃伽＜加）；

（II）若每個(gè)數(shù)為（〃4加）是其左右相鄰兩數(shù)平方的等比中項(xiàng)，求證：

q++4+G++。：＞）叫4.am.

普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（重慶卷）

理科數(shù)學(xué)（必修+選修n）試題答案及解讀

一、選擇題

1.B.

2.A.

3.D.

4.C.

5.A.【解讀與點(diǎn)評(píng)】（法一）B+3]—?dú)w一1|表示數(shù)軸上一動(dòng)點(diǎn)X到一3和1的距離之差

則一4W|x+31Tx—1|W4,.MW；"—3a,解之a(chǎn)e(-8,-l][4,+8),故選A.

(法二)令丫=歸+3|-上一1|,貝I

4(x21)

y=-2x+2,(-3<X<1),其圖象如圖

-4,(x<-3)

；.一4WyW4,：.4^a2-3a,

解之[4,+00),故選A.

考生易將“恒成立”與“有解”等概念解讀失誤，導(dǎo)致〃一3。與左側(cè)代數(shù)式的最大小

值取反.

6.C.【解讀與點(diǎn)評(píng)】給出的問題情境“鍋中煮有芝麻餡湯圓”“花生餡湯圓”“豆沙餡

湯圓”“任意舀取4個(gè)”比較“平民化”“大眾化”，反映了命題者力圖為所有考生創(chuàng)設(shè)

公平公證的競(jìng)爭(zhēng)環(huán)境.

7.C.

8.D.

9.B.

10.B.【解讀與點(diǎn)評(píng)】據(jù)題意知，加〉0且

______________2

令y=m"-x2,則曲線y=心/匚區(qū)表示橢圓J+—=1的上半部分，那么函數(shù)

m"

，⑴二|：『S：對(duì)應(yīng)的大致圖象如圖4.

又?.?函數(shù)的周期周期T=4

，函數(shù)y=/(x)的圖象如圖5.

函數(shù)y=f(x)=myJl-(x-8)2.

x

又將方程3/(x)=x轉(zhuǎn)化成/(x)=§,則“方程3/(x)=x恰有5個(gè)實(shí)數(shù)解”等價(jià)于

個(gè)不同的交點(diǎn)，與函數(shù))，=/(尤)=%/1一甕一8)2(7<x<9)的圖象沒有交點(diǎn).

即方程mJ]_(x-4)2=；在34》45上有兩個(gè)不同的解，方程mJ]_(x-8)2=|

在74x49上無(wú)解.

整理得方程h+-U1x2—8尤+15=0和(1+人］》2—I6x+63=O

I9/)I9m2)

其中&=82-4xl5xfl+—△,=162-4x63xfl+—LKo

I9m2J2L9m2)

解之得m<-更5,或機(jī)>15,且-J7<〃z<J7

33

主意到機(jī)>0,

從上面的解答顯而易見，這第10題和第5題都用到了“方程與函數(shù)”“數(shù)形結(jié)合"''轉(zhuǎn)

化與化歸”“有限與無(wú)限(恒成立與周期)”等數(shù)學(xué)思想，第10題考查了“平移變換”等重

要的數(shù)學(xué)方法.

此題中，易出將“函數(shù)y=/(x)在-IKxKl上的圖象是什么”沒有解讀出來(lái)，導(dǎo)致

問題解決無(wú)法繼續(xù)做答，也容易將圖象的交點(diǎn)位置分析錯(cuò)，即沒有分析出“與函數(shù)

y=f(x)=my/l-(x-8)2(7<x<9)的圖象沒有交點(diǎn)”，使答案錯(cuò)選A、C、D.錯(cuò)選

的根源是，將圖6中的兩個(gè)函數(shù)圖象的最大值進(jìn)行了比較，如圖7,就特別容易錯(cuò)選B

4

個(gè)函數(shù)圖象仍然有兩個(gè)交點(diǎn)或者一個(gè)交點(diǎn).同理，當(dāng)根〉一時(shí)，兩個(gè)函數(shù)圖象也不一定有

3

兩個(gè)交點(diǎn).這就是許多考生易錯(cuò)選答案c的重要原因.

二、填空題

11.(0,3).

1

12.—.

2

13.36.【解讀與點(diǎn)評(píng)】命題者結(jié)合時(shí)政”大學(xué)生當(dāng)村官”構(gòu)建的一個(gè)全新的概率問題,

這既可以考查學(xué)生平時(shí)對(duì)時(shí)事的了解，又可以讓問題情境更加真實(shí)化、形象化和具體化.

14.2向.【解讀與點(diǎn)評(píng)】(法一)b°"+i+2

n+l=2bn,即

數(shù)列｛2｝是等比數(shù)列，且A=4,，bn=4x2"T=2"T.

n+l

(法二)據(jù)題意得。?=4,b2=8,a=16,猜想：bn=2.

應(yīng)用了“整體與局部”“整合與分割”和“轉(zhuǎn)化與化歸”的數(shù)學(xué)思想方法，即把3M

an-1

看成一個(gè)整體，然后分割轉(zhuǎn)化成新的等比數(shù)列.

15.(1,1+0).【解讀與點(diǎn)評(píng)】如圖9,由sm—4.和正弦定理知，嶼1=9,

sinZPF2Ftc\PFi\c

又|「用一|P號(hào)=2a,則

,2a2ac

.=----=-----,

又sinN尸入片。0,則P、乃不共

線，

：.\PF]\+\PF^\>2c,貝43+1]^^>2。=/+比>02—比,

Ic)c-a

即，—2cle-<0=>c~—2e—1<0.

解之，1一&ve<l+血.

此題不僅展示了解析幾何中固有特質(zhì)一一數(shù)形結(jié)合，命題者還強(qiáng)化了這一特質(zhì)，融入了

豐富的數(shù)形結(jié)合思想，如解答時(shí)需要從圖形中觀察“三角形兩邊之和大于第三邊”這一幾何

性質(zhì)去建立不等關(guān)系.

值得特別說(shuō)明的是，許多許多考生在解答第15題時(shí)均未考慮到隱藏條件

“sinNP6耳*0”即“P、片、工不共線”，這也是許多考生解答失誤的最根本原因.

三、解答題

16.(I)/(幻的最小正周期為8；(0)y=g(x)在區(qū)間0,1上的最大值為#.

【解讀與點(diǎn)評(píng)】(I)f(x)=sin—xcos——cos—xsin——cos—x

46464

G.兀371/T.f71兀)

2424<43J

故/(x)的最小正周期為T='27r=8.

4

(II)解法一：

在y=g(x)的圖象上任取一點(diǎn)(x,g(x)),它關(guān)于x=1的對(duì)稱點(diǎn)為(2-x,g(x)).

由題設(shè)條件.點(diǎn)(2—x,g(x))在y=/(x)的圖象上，從而

g(x)=/(2-x)=6sin：(2一x)一號(hào)==6cos(5x+方

4jr7T7T2兀4

當(dāng)04x42時(shí)，,因此y=g(x)在區(qū)間0,-上的最大值為

33433|_3_

=V3cos-=—.

解法二：

41「2一

因區(qū)間0,-關(guān)于x=l的對(duì)稱區(qū)間為-,2,且y=g(x)與y=/(x)的圖象關(guān)于

42

x=l對(duì)稱，故y=g(x)在0彳上的最大值即為y=/(x)在1,2上的最大值,

7171

由(I)知f(x)=V3sin—X——

43

當(dāng)寸x?2時(shí)，一/》J哈

4=國(guó)』立

因此y=g(x)在0,-上的最大值為g

max62

2

17.(I)兩種大樹各成活1株的概率為§；(II)4的分布列:

自01234

1\_131

P

3663639

1113117

J的期望為：E^=0x—+lx-+2x—+3x-+4x-

36636393

【解讀與點(diǎn)評(píng)】設(shè)4表示甲種大樹成活4株，k=o、1、2,

B,表示乙種大樹成活/株，/=0、1、2,

則A-B,獨(dú)立，由獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件發(fā)生的概率公式有

據(jù)此算得

〃(4)=，〃(4)=1,〃(4)=1,

P(Bo)=；，P(Bj=g，。仍2)=；，

412

(I)所求概率為p(A.可)=尸(A).P(5)=NX—=A.

929

(II)解法一：

〈的所有可能值為0,1,2,3,4,且

MJ=O)=P(44)=p(4).p(Bo)=U=J,

94Jo

PC=D=P(A).8J+MA

9Zy4o

4

PC=2)=p(&-2)+MA.5)+p(4.綜)="x；+1413

9-x—+—x

29436

41411

p(^=3)=p(A.B2)+7XA2.B1)=-X-+-X-=-,

411

p(J=4)=p(4.B2)=-X-=~.

綜上知4有分布列:

01234

1_1_13j_

P

3663639

從而，4的期望為：

1113117

塔=0x——+lx—+2x—+3x-+4x-=一(株)

36636393

解法二：

分布列的求法同前，

令當(dāng)，$分布表示甲、乙兩種樹成活的株數(shù)，則

241

故有E5=2xg=§,E4=2x]=l.

47

從而知E^=E^+E^2=-+l=-(株).

本題以“綠化環(huán)境”，“植樹造林”和“大樹成活率”為背景，結(jié)合重慶市“美化城市”

的時(shí)政，也是對(duì)暨高考前幾個(gè)月來(lái)“全民植樹造林”活動(dòng)的拷問.

18.(I)。=1,8=()；(II)(1)當(dāng)△=4-44<0,即當(dāng)左>1時(shí)，函數(shù)g(x)在R

上為增函數(shù).

(2)當(dāng)△=4—4k=0,即當(dāng)左=1時(shí)，g(x)在R上為增函數(shù).

(3)當(dāng)A=4-4左>0,即當(dāng)?！慈?lt;1時(shí)，當(dāng)xe(—oo,l—二工)時(shí)，g(x)在

(-00,1-71^1)上為增函數(shù)；當(dāng)xc(l—J匚冗1+J匚7)時(shí)，g(x)在

(1-,1一+-k)上為減函數(shù);當(dāng)xe(l+'l-Z,+00)時(shí),g(x)在(1+Jl-I,+8)上

為增函數(shù).

【解讀與點(diǎn)評(píng)】(I)因/(x)=ax2+Z?x+左(左>0),故/''(X)=2ax+ZJ,

又/(x)在x=0處取得極值，故/'(0)=0,從而〃=().

由曲線y=/(x)在(1,./?⑴)處的切線與直線x+2y+l=0相互垂直可知該切線斜率

為2,即/⑴=2,有2。=2,從而。=1.

(II)由(I)知，g(x)=^——(2>0),

x+k

e*(x~—2x+k)

g(x)=(k>0).

(%2+k)2

令g(x)=0,有x?—2x+左=0(k>0)

(1)當(dāng)A=4—4左<0,即當(dāng)左>1時(shí)，g'(x)>0在R上恒成立，故函數(shù)g(x)在R上

為增函數(shù).

(2)當(dāng)△=4—4左=0,即當(dāng)左=1時(shí)，有g(shù)'(x)=>(：T?二>0(xHl).

(x2+1)2

從而當(dāng)％=1時(shí)，g(x)在R上為增函數(shù).

(3)當(dāng)A=4—4左>0,即當(dāng)0<女<1時(shí)，方程一一2%+女=0有兩個(gè)不相等實(shí)根

Xj=1-VT二=1+正仄.

當(dāng)X€(—8,1—J1-%)時(shí),g'(x)>0,故g(X)在(-8,1-Ji=7)上為增函數(shù);

當(dāng)xe(l—Jl—+—%)時(shí),g'(x)<0,故g(x)在(1—Jl—%,1+Jl—攵)上是

減函數(shù)；

當(dāng)xe(l+Jl-0,+8)時(shí),g'(x)〉0,故g(x)在(I+Ji-A,+oo)上為增函數(shù).

19.(I)點(diǎn)A到平面3CS的距離為V2；(II)二面角的大小為0=-.

6

【解讀與點(diǎn)評(píng)】解法一：

(I)因?yàn)锳O〃BC,且3Cu平面3CS,所以4)〃平面BCS,從而A點(diǎn)到

平面BCS的距離等于。點(diǎn)到平面BCS的距離.

因?yàn)槠矫鍯SD_L平面AB),ADA.CD,故

AEL平面C,從而AZ>_LOS.由AO〃8C,得

BC±DS.又由CS_LDS知￡>S_L平面BCS,從而OS為點(diǎn)

A到平面5cs的距離.5

____________答(16)圖］

因止匕，在RtAAOS中，DS=^AS2-AD2=V3^1=V2.

(II)如答(19)圖1,過E點(diǎn)作EG_LCO,交C。于點(diǎn)G,又過G點(diǎn)作G”J_CO,

交AB于H,故NEGH為二面角E-CD-4的平面角，記為6.過E點(diǎn)作EF〃BC,

交CS于點(diǎn)F,連結(jié)GF.因?yàn)槠矫鍭5CD_L平面CSO,GHLCD,易知GHLGF,

故”士—NEGF.

2

由于E為3S邊中點(diǎn)，故b=，CS=l,RtACEE中，

2

EF=yJCE2-CF2=42^1=1.因EF_L平面CSD,乂EGLCD,故由三垂線定理

GFCF

的逆定理得FGLCD,從而又可得kCGFs\CSD，因此——=?一>，而在RtACSZ)中，

DSCD

CD^^ICS2+SD1=V4+2=V6,故GF=DS=—W.

CD-v6v3

在RtAEFG中，tanEGF="=有，可得NEGF=-，故所求二面角的大小為6=-.

FG36

解法二：(I)如答(19)圖2,以5(。)為坐標(biāo)原點(diǎn)，射B八

線OD,OC分別為％軸，y軸正向，建立空間坐標(biāo)系，設(shè)?二力'

因平面C。。，平面ABC。，ADLCD,故

5(0)

AD1平面C01,即點(diǎn)A在xOz平面上，因此

答(19)圖2

%=06=罔=1

又=|同2=3,x.>0解得4=JL從而4后,0,1).

因AO〃BC,故BC_L平面C5O,即平面BCS與平面yOz重合，從而點(diǎn)A到平

面BCS的距離為工人=血.

(II)易知C(0,2,0),。(、歷,0,0),因E為8S的中點(diǎn)，為直角三角形，知

|國(guó)=25=2行.設(shè)B(0,2,ZB),ZB>0,則句=2,故5(0,2,2),所以￡(0,1,1).

在CO上取點(diǎn)G,設(shè)為G(x”y,0),使GEJ.CD.由而=(后,一2,0),

GE—(—$,—y+1,1)，CD,GE-0>故V2X1—2(y(-1)=0.①

又點(diǎn)G在直線CO上，即CG〃C￡>,由CG=(x”y—2,0),則有.②

V2—2

r7241

聯(lián)立①②，解得G=I—3,3-,0J.

故GE=>—,—,1.又由AOJ.C。，所以二面角石一。一A的平面角為向量

33

\7

近與向量方所成的角，記此角為。.

因?yàn)?洞=手，5A=(0,0,1),|31=1,GE-DA=1,所以

COS*GERA=g

\GE\-\DA\2

故所求的二面角的大小為士TT.

6

第18題是導(dǎo)數(shù)或函數(shù)應(yīng)用，第19題考查立體幾何.將這兩個(gè)題的位置剛好對(duì)調(diào)了一下,

這顯然是為了加大對(duì)立體幾何的考核力度.第19題的設(shè)計(jì)還為《立體幾何》的A、B版本

創(chuàng)建了一個(gè)公平競(jìng)爭(zhēng)的平臺(tái).

20.(1)|因.|圖的最大值為4；(II)動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為；x-^\+y2=1.

【解讀與點(diǎn)評(píng)】(I)由題設(shè)條件知焦點(diǎn)在y軸上，故可設(shè)橢圓方程為

22

~1(。>b>0).

設(shè)c=Na—-b-f由準(zhǔn)或方程y=----得—=-----，由e=—得一=—，

3c32。2

2

解得a=2,c=J§，從而8=1,橢圓的方程為一+乙=1

4

又易知C,D兩點(diǎn)是橢圓/+1_=1的焦點(diǎn)，所以|〃。+|岫=2。=4,

從而J———[=22=4,當(dāng)且僅當(dāng)|阿=|陽(yáng)，即點(diǎn)M的坐標(biāo)

I27

為(±1,0)時(shí)上式取等號(hào)，|因.|陽(yáng)的最大值為4.

(II)解法一:

如圖12,設(shè)小,、)](/,%)，

Q。。，坨)，因?yàn)镹(X“,0),OM+0N=°。故XQ=2xM,yQ=y,?,

X。2+yj=(2x,")2+上=4.①

因?yàn)?。A-84=0,

(l—xQ,—yQ).(l-xfiyg)=(1-x0)(l-xg)+yGya=0,

所以XQXS+y2yB=Xp+x°-1?②

記點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(號(hào),外,),因?yàn)槭?Q的中點(diǎn)，

所以2%P=XQ+X8，2yp=yG+-

又因?yàn)镵+y；=l,結(jié)合①②得

?4+次=；回+X/+(%+為)]

=；[4+說(shuō)+%+y；+2(XQXB+y。%)]

=-[5+2(XQ+xB-1)J=—+.

故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為(x—；)+y2=1.

解法二(別解)：

據(jù)題意，可設(shè)M(cos&2sin。)，則N(c抬0),Q(2cos&2sin6),再設(shè)

B(coossiar),且知A(l,0),則3A=(l-cosa,-sina),QA=(1-2cos^,-2sin0)

又由QA?班=0，(l-cosa)(l-2cose)+(-sina)(-2sin，)=0.

即2cosacos8—2cos8-cosa+2sinasin8+1=0.*

2x=2cos6+cos。（**）

又設(shè)動(dòng)點(diǎn)P（x,y）,則

2y=2sin8+sina（***）

將(**?+(***)2得4(/4-y?)=4+1+4cos6cosa+4sinOsin。，

即2cos6cosa+2sinOsina=2(x2+y2)--1.(****)

將(**)和(****)代入(*)得2(/+y2)_g—2x+l=0.

整理得(X-;)2+y2=I為所求動(dòng)點(diǎn)p的軌跡方程

3n-\,n<1005

（如下.

21.(I)an：ID

232oio-nj006<n<2009

【解讀與點(diǎn)評(píng)】（I）因。1，。2009，。2008,…，4（X）6是公比為"的等比數(shù)歹U?從而

a

2009\d-Woos=a1d：由52009=^2om+1①1得^2008+“2009=1，

故4/2+。/=12^,即［2+4=12.解得d=3或d=T(舍去)，因此d3.

又S3=3al+3d=15.解得at=2.

從而當(dāng)"K1005時(shí)，an=1+(n-l)J=2+3(n-l)=3rt-l,

而當(dāng)1(X)62(X)9時(shí)，由6，。2009，。2008,…MIOO6是公比為d的等比數(shù)列得

2m)An20,0-0

an=axd~^=(1(X)6<n<2009).

3n—\,n<1005

因此""=卜3劃j,1006W〃W2009，

(；

II)由題意a；=(X<n<m),a；n="a,/=,得

4=%4+”l<〃(加

*<%>

a\=ama2

,a11

2④

由①得見=—,=一?々5=—,a6=—.

axaxa2a2

由0?③得4］。2?,0〃=(。］42??4〃)2，故=1?⑤

又4.3=%■=%"?——3),故有

。川%ar+lar

ai=----=(l<r<m-6).⑥

%+3

下用反證法證明：m=6k.

若不然，設(shè)加=6女+〃，其中

若取p=l,即機(jī)=6Z+1,則由⑥得。=。6攵+1=4，而由③得。,〃="，故

a2

<2,——-得生=1?由②得—1,從而q=a6k~”,"-1=1，而4=—,故

a2a2

4=W=1,由④及⑥可推得a?=1（1<n<m）與題設(shè)矛盾.

同理，若〃=2,3,4,5均可推得an=1（1<H<m）與題設(shè)矛盾，因此機(jī)=64為6的

倍數(shù).

（1、（1、

由均值不等式得6+。>++416=6-I—+a,-I---+—26.

Va\）\"211ala2J

又上面三組數(shù)內(nèi)必有一組不相等（否則q=a2=a.=l,從而4=%=???=?,?=1，與

題設(shè)矛盾），故等號(hào)不成立，從而q+的+???+%>6又加=6%,由④和⑥得

ai+…+%=（a7+…+%；）+…+（*-5+…+屋"）

—(k—1)(?！?a；+???+a：)

'[1]、

=(%—1)a；4--+4—+——N6(Z—1)

aa

<\2“3>

因此由⑤得4H----1-a6-\-----卜a：>6+6(左一1)=6k=m=m^6z2---tzw.

后兩個(gè)大題仍然保持了2008年的格調(diào)，第20題考查解析幾何問題，注重了圓和圓錐曲

線的整合，注重了對(duì)“整體思想”考查，在解答時(shí)特別需要應(yīng)用恰當(dāng)?shù)慕忸}技巧，如“設(shè)而

不求"的應(yīng)用，否則將無(wú)功而返.第21題（最后一個(gè)題或壓軸題）仍然融入了數(shù)列、不等

式、方程與函數(shù)的整合，將反證法與放縮法和均值定理巧妙地結(jié)合起來(lái)，構(gòu)建了一個(gè)難度極

高、區(qū)分度大的理科數(shù)學(xué)問題，這使許多考生都未能越過這道坎.

試卷綜合解讀與評(píng)析

高考剛好結(jié)束，我們到現(xiàn)場(chǎng)對(duì)參加今年考試的考生進(jìn)行了現(xiàn)場(chǎng)訪談和調(diào)查，結(jié)合媒體報(bào)

道和高三老師的反映，他們對(duì)重慶高考理科數(shù)學(xué)試題的初步影響是這樣的：“看起來(lái)容易，

深入解決問題難：題目區(qū)分度明顯；選擇題中的壓軸題很難做正確，多理科數(shù)學(xué)生靠‘猜'；

填空題設(shè)計(jì)得好，入手容易，但最后一個(gè)真空題設(shè)置了一個(gè)隱藏條件，有較大的思維陷阱（分

母不為零）；大題運(yùn)算量大，概率題易算錯(cuò)，立體幾何第二小問需要技巧，解析幾何絕大多

數(shù)考生都未能把第二小問算出來(lái)，最后一個(gè)大題壓軸真正發(fā)揮了‘壓軸題’的功效多數(shù)

考生反映理科數(shù)學(xué)偏難，重慶市電視臺(tái)（CQTV）對(duì)考生做調(diào)查后，對(duì)重慶高考理科數(shù)學(xué)試題

的評(píng)價(jià)只打出了兩個(gè)字的字幕“太難”.但大多數(shù)考生冷靜思考后又感覺“試題整體并不難”,

“基礎(chǔ)分給到了位”，“區(qū)分度也明顯”，今年的高考題特別適合各種層次的考生發(fā)揮.下面

我們結(jié)合這些調(diào)研材料?，對(duì)重慶高考理科數(shù)學(xué)試題做一些解讀，供大家參考.

1試卷結(jié)構(gòu)

1.1題型、題量及賦分

重慶市高考《考試說(shuō)明》對(duì)理科數(shù)學(xué)試題發(fā)生了重大變化，文理科調(diào)整成完全一樣的模

式，總題量都減少了一個(gè)，由原來(lái)的22題減少為21題.即選擇題10道，填空題5道，大

題6道.詳細(xì)變化見下表：

題量（題）題號(hào)分值（分/題）總分（分）

題型年度

文科理科文科理科文科理科文科理科

200812101-121-1056050

選擇題

2009101-10550

20084613-1611-1641624

填空題

2009511-15525

17-1817-1913

20087475

19-2220-2212

解答題6

16-18

200975

19-2112

200822

合計(jì)7150

200921

1.2試卷結(jié)構(gòu)及其解讀

試卷包括選擇題、填空題和解答題三種題型.選擇題是四選一型的單項(xiàng)選擇題；填空題

只要求直接填寫結(jié)果，不寫出計(jì)算步驟或推證過程；解答題包括計(jì)算題、證明題和應(yīng)用題，

解答題應(yīng)寫出文字說(shuō)明、演算步驟或推理過程.這與傳統(tǒng)試題保持了高度的統(tǒng)一和穩(wěn)定.

題量的減少為考生贏得了充裕的答題時(shí)間，同時(shí)也預(yù)示著重慶高考理科數(shù)學(xué)試題將從以

前的“快速機(jī)械模仿”回歸到考查學(xué)生的“理科數(shù)學(xué)思維和能力”上來(lái)，這也是國(guó)際普通考

試改革開放政策的方向.

1.3知識(shí)點(diǎn)的覆蓋率及命題原則

高考理科數(shù)學(xué)試題注重了知識(shí)點(diǎn)的適度覆蓋，追求科學(xué)抽樣，既不回避重點(diǎn)知識(shí)重點(diǎn)考

查，也不回避重要數(shù)學(xué)思想方法重復(fù)考查.整套試題充分體現(xiàn)了以創(chuàng)新立意，注重基礎(chǔ)，考

查能力的命題原則.這既有利于不同層次的考生發(fā)揮自己的正常水平，又有利于特優(yōu)生展示

他們自己的數(shù)學(xué)才能.

1.4試卷難度設(shè)置及評(píng)價(jià)

《考試說(shuō)明》明確規(guī)定了理科數(shù)學(xué)試卷中容易題、中等難度題、難題三種試題的分值比

例約為3:5.5:1.5,題型基本保持穩(wěn)定，這與2007年、2008年相比，試題的總體難度基本

保持穩(wěn)定（雖然把關(guān)題多了一個(gè)，但簡(jiǎn)單的題目也相應(yīng)增加不少，因此，總體難度仍基本保

持穩(wěn)定）.因此，重慶市理科數(shù)學(xué)高考試題是一套較好的試題，是一套值得肯定的試題.

2試題特色

2.1“主干知識(shí)全面考查”是重慶高考理科數(shù)學(xué)中所展示的關(guān)鍵詞

重慶市高考理科數(shù)學(xué)高考題注重了主干知識(shí)的全面考查，體現(xiàn)了重點(diǎn)知識(shí)重點(diǎn)考查的基

本原則.如函數(shù)與導(dǎo)數(shù)設(shè)計(jì)了5道題目，第5題、第10題、第12題、第16題、第18題，

分值達(dá)41分；解析幾何在理科試題中設(shè)計(jì)4道試題：第1題、第10題、第15題、第20

題，分值達(dá)27分；不等式與數(shù)列的交融仍然作為整套試卷的一個(gè)重點(diǎn)和難點(diǎn)，搶眼地展示

在壓軸題中，成為今年高考理科數(shù)學(xué)試題的一個(gè)靚點(diǎn)，這也是近幾年來(lái)重慶理科高考數(shù)學(xué)試

題永恒不變的熱點(diǎn)問題.除此之外，結(jié)合時(shí)事命制的概率問題也成為重慶高理科數(shù)學(xué)考題的

一個(gè)新熱點(diǎn)和靚點(diǎn).

2.2"基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能的重點(diǎn)考查”是重慶高考理科數(shù)學(xué)的重頭戲

高中數(shù)學(xué)所學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)知識(shí)，基本技能、基本數(shù)學(xué)思想和方法是考生今后繼續(xù)學(xué)習(xí)的基

礎(chǔ)，也是培養(yǎng)考生數(shù)學(xué)能力的前提.重慶市的理科數(shù)學(xué)試題仍體現(xiàn)了以相應(yīng)的基礎(chǔ)知識(shí)作為

載體，側(cè)重于基礎(chǔ)知識(shí)的考查，注重了基本技能的測(cè)試，力爭(zhēng)將送分題目送到考生手中.如

理科數(shù)學(xué)試題的第1?8題、第11?13題、第16?18題，這些題目都很基礎(chǔ)，沒有什么思

維障礙，一般的考生都能準(zhǔn)確地得出正確答案，是命題者想送給考生的送分題，這些分?jǐn)?shù)真

正送到了考生的手中，學(xué)生分?jǐn)?shù)就可以介于90?100分，即使稍有失誤，后面幾個(gè)小題和后

面三個(gè)大題都可以作少許彌補(bǔ)，這樣只要發(fā)揮正常就可以得到一個(gè)理想的分?jǐn)?shù).

2.3"重密度凸現(xiàn)數(shù)學(xué)思想與方法”是重慶理科數(shù)學(xué)高考題的核心

重慶高考理科數(shù)學(xué)試題凸現(xiàn)了多種數(shù)學(xué)思想方法.如第5、9、10、15、16、19、20、

21題都或多或少的涉及了“數(shù)形結(jié)合”，尤其第5題、第10題、第15題特別突出，它們還

涉及到了“方程與函數(shù)”“化歸思想”“有限與無(wú)限（恒成立與周期）”等重要思想方法,

第14題也涉及到了“整體與局部”“轉(zhuǎn)化與化歸”“整合與分割”的數(shù)學(xué)思想方法，即

芻T■看成一個(gè)整體,

然后轉(zhuǎn)化分割成新的等比數(shù)列.第15題不僅展示了解析幾何本身

固有的數(shù)形思想，還進(jìn)一步融入了圖形觀察“三角形兩邊之和大于第三邊”的圖形語(yǔ)言，使

不等關(guān)系的建立更加清晰明確.第20題注重“整體思想”的設(shè)計(jì)，在解答時(shí)沒有“設(shè)而不

求”的技巧，就會(huì)造成較大的計(jì)算量.

2.4“創(chuàng)新設(shè)計(jì)”是重慶高考理科數(shù)學(xué)的一個(gè)熱點(diǎn)和難點(diǎn)

重慶高考理科數(shù)學(xué)在求穩(wěn)定的情況下力圖創(chuàng)新.如第10題，它將解析幾何、分段函數(shù)、

周期性、方程思想巧妙地融合在一起，情境穩(wěn)定而熟悉，但方法新穎而獨(dú)道，這些都給人一

種耳目一新的感覺.由于方程3/（?=工又非常規(guī)方程，現(xiàn)行高中教材是不要求的，考生解

答這一道題目時(shí)，若按常規(guī)方法去思考，很難獲得正確解答，許多考生也因此思維受阻，多

數(shù)考生只能靠“猜”和“押”.這顯然不是理科學(xué)科所要的數(shù)學(xué)素養(yǎng).要想獲得正確解答，

我們只有重新去思考新的解題方案.

根據(jù)題意，將方程3/（x）=