2019年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（文科）（新課標(biāo)?。ê馕霭妫?/h1>

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2019年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（文科）（全國新課標(biāo)I）

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的。

1.設(shè)Z=T二二，則卜卜

1+21

A.2B.V3C.72D.1

2.已知集合。={1,2,3,4,5,6,7},4={2,3,4,508={2,3,6,7},則5nd

A.{1,6}B.{1,7}C.{6,7}D.{1,6,7}

3.已知。=10820.2*=2°，2,。=（）.2<13,則

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.b<c<a

4.古希臘時(shí)期，人們認(rèn)為最美人體的頭頂至肚臍的長度與肚臍至足底的長度之比是U

2

（或二1之稱為黃金分割比例），著名的“斷臂維納斯”便是如此.此外，最美人體的頭

2

頂至咽喉的長度與咽喉至肚臍的長度之比也是苴二1.若某人滿足上述兩個(gè)黃金分割比

2

例，且腿長為105cm,頭頂至脖子下端的長度為26cm,則其身高可能是

A.165cmB.；

sinx+x-

5.函數(shù)?x）=------^在［-71,

cosX+X

A.

-K0TTx

6.某學(xué)校為了解1000名新生的身體素質(zhì)，將這些學(xué)生編號(hào)為1,2,1000,從這些新

生中用系統(tǒng)抽樣方法等距抽取100名學(xué)生進(jìn)行體質(zhì)測驗(yàn).若46號(hào)學(xué)生被抽到，則下面4

名學(xué)生中被抽到的是

A.8號(hào)學(xué)生B.200號(hào)學(xué)生C.616號(hào)學(xué)生D.815號(hào)學(xué)生

7.tan255°=

A.-2-73B.-2+73C.2一6D.2+73

8.已知非零向量a,0滿足同=2例，且(a-b)J_b,則a與人的夾角為

兀兀2兀5兀

A.-B.-C.—D.

6336

]

9.如圖是求2+Jy的程序框圖，圖中空白框中應(yīng)填入

2+-

2

1-11,1

A.A=-------B.A=2d--C.A=------D.A=l+——

2+AA1+2/42A

10.雙曲線C：=—與=1(4>0,。>0)的一條漸近線的傾斜角為130。，則C的離心率為

礦b

11

A.2sin40°B.2cos40°C.---------D.----------

sin50°cos50°

11.△ABC的內(nèi)角A,B,。的對(duì)邊分別為a,b,c,已知asinA—bsin5=4csinC,cosA=——,

4

nIb

貝底二

c

A.6B.5C.4D.3

12.已知橢圓C的焦點(diǎn)為耳(-1,0),6(1,0),過Fi的直線與C交于A,3兩點(diǎn).若

\AF2\=2\F2B\t\AB\=\BFJ,則。的方程為

2222222

A%2i

A.-----Fy=1B.-----1-----=1C.-----1-----=1D.------1-----=1

2-324354

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.曲線y=3(/+x)e"在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為.

3

14.記S〃為等比數(shù)列｛〃〃｝的前〃項(xiàng)和.若q=1,S3=—,則S4二.

371

15.函數(shù)/(x)=sin(2x+j~)-3cosx的最小值為.

16.己知/ACB=90°,P為平面A8C外一點(diǎn)，PC=2,點(diǎn)P到NACB兩邊AC,8c的距離

均為G,那么尸到平面ABC的距離為

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17?21題為必考題,

每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。

(-)必考題：60分。

17.(12分)

某商場為提高服務(wù)質(zhì)量，隨機(jī)調(diào)查了50名男顧客和50名女顧客，每位顧客對(duì)該商場的

服務(wù)給出滿意或不滿意的評(píng)價(jià)，得到下面列聯(lián)表：

滿意不滿意

男顧客4010

女顧客3020

(1)分別估計(jì)男、女顧客對(duì)該商場服務(wù)滿意的概率；

(2)能否有95%的把握認(rèn)為男、女顧客對(duì)該商場服務(wù)的評(píng)價(jià)有差異？

“n(ad-bc)2

It：K=-----------------------.

(a+b)(c+d)(a+c)(i>+d)

P(K2")0.001

k

18.(12分)

記S?為等差數(shù)列｛斯｝的前n項(xiàng)和，已知S9=-45.

(1)若。3=4,求｛。”｝的通項(xiàng)公式；

(2)若?i>0,求使得S侖小的n的取值范圍.

19.(12分)

如圖，直四棱柱ABC。-ABC出的底面是菱形，44=4,AB=2,ZBAD=60°,E,M,

N分別是BC,BBi,AQ的中點(diǎn).

(1)證明：MN〃平面CQE；

(2)求點(diǎn)C到平面CiDE的距離.

20.(12分)

已知函數(shù)/(x)=2sitir—xcosx—x,f(x)為/(x)的導(dǎo)數(shù).

(1)證明：f(x)在區(qū)間(0,兀)存在唯一零點(diǎn)；

(2)若xC[0,兀]時(shí)，f(x)>ax,求〃的取值范圍.

21.(12分)

己知點(diǎn)A,B關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)。對(duì)稱，\AB\=4,。加過點(diǎn)A,8且與直線x+2=0相切.

(1)若A在直線x+)=0上，求。M的半徑；

(2)是否存在定點(diǎn)P,使得當(dāng)A運(yùn)動(dòng)時(shí)，|M4|一|MP|為定值？并說明理由.

(-)選考題：共10分。請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第

一題計(jì)分。

22.［選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］(10分)

I-/2

在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為<1+r(r為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)O

4t

y^TTtT

為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線/的極坐標(biāo)方程為

2/7cos6+Gpsin6+11=0.

(1)求C和/的直角坐標(biāo)方程；

(2)求C上的點(diǎn)到/距離的最小值.

23.［選修4-5：不等式選講］(10分)

已知a,h,c為正數(shù)，且滿足Me=l.證明：

(1)-+-+-<a2+b2+c2；

abc

(2)(a+0)3+S+c)3+(c+a)3224.

2019年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（文科）（全國新課標(biāo)I）

參考答案

一、選擇題

1.C2.C3.B4.B5.D6.C

7.D8.B9.A10.D11.A12.B

二、填空題

5

13.y=3x14.—15.-416.72

三、解答題

17.解：

（1）由調(diào)查數(shù)據(jù)，男顧客中對(duì)該商場服務(wù)滿意的比率為二=0.8,因此男顧客對(duì)該商

50

場服務(wù)滿意的概率的估計(jì)值為0.8.

女顧客中對(duì)該商場服務(wù)滿意的比率為d30=0.6,因此女顧客對(duì)該商場服務(wù)滿意的概率

50

的估計(jì)值為0.6.

100x(40x20—30x10)2

(2)K==--------------------?4.762.

50x50x70x30

由于4.762>3.841,故有95%的把握認(rèn)為男、女顧客對(duì)該商場服務(wù)的評(píng)價(jià)有差異.

18.解:

（1）設(shè)｛q｝的公差為d.

由S9=-a5得q+4。=0.

由〃3=4得4+2d=4.

于是q=8,d=-2.

因此｛a?｝的通項(xiàng)公式為an=10-2〃.

（2）由（1）得％=-4d,故

由q>0知d<0,故等價(jià)于〃2-11〃+10,,0,解得:心10.

所以"的取值范圍是｛“I掇舊10,/ZGN）.

19.解:

(1)連結(jié)因?yàn)镸,E分別為的中點(diǎn)，所以ME〃4C，且

加七二3耳。.又因?yàn)镹為4。的中點(diǎn)，所以=

由題設(shè)知人4幺DC,可得BC幺A。，故ME&ND,因此四邊形MNQE為平行四

邊形，MN〃ED.又MN6平面CQE,所以〃平面G^E.

(2)過C作GE的垂線，垂足為H.

由已知可得DE_LBC,DE±CtC,所以DEL平面。(后，故OELC”.

從而CaJ_平面C】DE,故C”的長即為C到平面G的距離，

由己知可得CE=1,CC=4,所以gE=而，故CH=嚕-.

從而點(diǎn)C到平面CQE的距離為*2.

20.解：

(1)設(shè)g(x)=r(x)，則g(x)=8sx+xsinx-l,g'(x)=xcos%.

jr(7TiTT

當(dāng)xe(0,5)時(shí)，g'(x)>0；當(dāng)時(shí)，g'(x)<0,所以g(x)在(0,5)單調(diào)遞

增，在兀)單調(diào)遞減.

又g(0)=0,gfyj>0,g(兀)=-2,故g(x)在(0,7T)存在唯一零點(diǎn).

所以r(x)在(。,兀)存在唯一零點(diǎn).

(2)由題設(shè)知/(兀)..。兀,/(兀)=0,可得好0.

由⑴知，/'(X)在(0,兀)只有一個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為％,且當(dāng)xe(O，M)時(shí)，f'(x)>0；

當(dāng)xe(如兀)時(shí)，/f(x)<0,所以/(幻在(0,毛)單調(diào)遞增，在(.㈤單調(diào)遞減.

又/(0)=0,/(兀)=0,所以,當(dāng)xe[0,兀]時(shí)，/(%)..0.

又當(dāng)4,O,XG[O,JI]時(shí),at<0.故/(x).

因此，。的取值范圍是(一8,0].

21.解：(1)因?yàn)镼M過點(diǎn)A,B，所以圓心M在AB的垂直平分線上.由已知A在直線x+y=O

上，且A,5關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)0對(duì)稱，所以M在直線y=x上，故可設(shè)/(a,a).

因?yàn)?M與直線x+2=0相切，所以0M的半徑為r=|a+2|.

由已知得|A0|=2,又必。_LAl,故可得2a2+4=(a+2)2,解得a=0或a=4.

故OAf的半徑r=2或r=6.

(2)存在定點(diǎn)P(l,0),使得|W|MP|為定值.

理由如下：

設(shè)M(x,y),由已知得OM的半徑為r=|x+2|,|AQ=2.

由于麗故可得/+y2+4=(x+2)2,化簡得M的軌跡方程為V=4x.

因?yàn)榍€。：丁=4%是以點(diǎn)尸(1,0)為焦點(diǎn)，以直線x=-l為準(zhǔn)線的拋物線，所以

\MP\=x+l.

因?yàn)閨M4HMP|=r—|A/R=x+2—(x+l)=l,所以存在滿足條件的定點(diǎn)P.

[一產(chǎn)(A21-rY4產(chǎn)

22.解：(1)因?yàn)椤?〈二且/+工=1.所以C的直角

1+產(chǎn)⑶1+"+(1+/丫

坐標(biāo)方程為f+?=i(x*—1).

I的直角坐標(biāo)方程為2x+gy+11=0.

x-cosa

(2)由(1)可設(shè)。的參數(shù)方程為《.'(。為參數(shù)，一兀＜。＜兀).

y-2sin。

l』、J2COSCT+2A/3sina+111\3j

。上的點(diǎn)到/的距離為----------7=-----------------L=--------'廠——

當(dāng)a=—當(dāng)時(shí)，4cos(。一三)+11取得最小值7,故C上的點(diǎn)到/距離的最小值為J7.

23.解：(1)+b2>2ab,b2+c2>2bc,c2-￥a2>2ac,乂abc=\,故有

ah+hc+ca111

tz2+Z72+c2>ab+be+ca----------=-+-+

abcabc

所以'+'Q2+/+C2.

abc

(2)因?yàn)閍,c為正數(shù)且〃bc=l,故有

=24.

所以(a+Z?)3+(〃+cP+(c+a)3>24.

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2019年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（文科）（全國新課標(biāo)I）

答案解析版

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選

項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1?設(shè)z=]+2「則卜卜

A.2B.73C.72D.1

【答案】C

【解析】

【分析】

先由復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算（分母實(shí)數(shù)化），求得z,再求|z|.

【詳解】因?yàn)閆=一三所以

1+2,(1+2i)(l-2z)55

【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算，復(fù)數(shù)模的計(jì)算.本題也可以運(yùn)用復(fù)數(shù)模的運(yùn)算性質(zhì)

直接求解.

2.己知集合U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,3,4,5},3={2,3,6,7},則BAQA

A.{1,6}B.{1,7}C.{6,7}D.

{1,6,7}

【答案】C

【解析】

【分析】

先求再求BcgA.

【詳解】由已知得QA={1,6,7},所以BcG7A={6,7},故選c.

【點(diǎn)睛】本題主要考查交集、補(bǔ)集的運(yùn)算.滲透了直觀想象素養(yǎng).使用補(bǔ)集思想得出答案.

3.已知a=log2（）.2力=2°2,c=0.2°3,則

A.a<h<cB,a<c<bC.c<a<bD.

b<c<a

【答案】B

【解析】

【分析】

運(yùn)用中間量0比較。，c,運(yùn)用中間量1比較b,c

O3

【詳解】?=log20.2<log,1=0,8=2°2>2°=1,0<0.2<0.2°=1,則

0<c<l,a<c</?.故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)和對(duì)數(shù)大小的比較，滲透了直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).采取中間變量

法，利用轉(zhuǎn)化與化歸思想解題.

4.古希臘時(shí)期，人們認(rèn)為最美人體的頭頂至肚臍的長度與肚臍至足底的長度之比是造二1

2

（避二1,稱為黃金分割比例），著名的“斷臂維納斯”便是如此.止匕外，最美人體的頭頂

2

至咽喉的長度與咽喉至肚臍的長度之比也是亞二1.若某人滿足上述兩個(gè)黃金分割比例，

2

且腿長為105cm,頭頂至脖子下端的長度為26cm,則其身高可能是

A.165cmB.175cmC.185cmD.190cm

【答案】B

【解析】

【分析】

理解黃金分割比例的含義，應(yīng)用比例式列方程求解.

【詳解】設(shè)人體脖子下端至腿根的長為xcm,肚臍至腿根的長為ycm,則

生=.26+±=避二！得左。42.07刖,ya5.15cm.又其腿長為105cm,頭頂至脖子下

xy+1052

端的長度為26cm,所以其身高約為42.07+5.15+105+26=178.22,接近175cm.故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查類比歸納與合情推理，滲透了邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).采取類比法，利

用轉(zhuǎn)化思想解題.

_sinx+x.c,??

5.函數(shù)/(x)=------------^在［-兀，兀］圖像大致為

cosx+x~

【答案】D

【解析】

分析】

先判斷函數(shù)的奇偶性，得了（X）是奇函數(shù)，排除A,再注意到選項(xiàng)的區(qū)別，利用特殊值得正

確答案.

sin(-x)+(-x)-sinx-x

【詳解】由f(-x)=2-=一/（幻，得F（x）是奇函數(shù)，其圖象關(guān)

cos(-x)+(-x)2cosx+x

jr04+27rJr

于原點(diǎn)對(duì)稱.又/（工）=--=—廠>1,/（乃）=—^>0.故選D.

2（馬2乃Z-1+乃2

【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的性質(zhì)與圖象，滲透了邏輯推理、直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).采取性

質(zhì)法或賦值法，利用數(shù)形結(jié)合思想解題.

6.某學(xué)校為了解1000名新生的身體素質(zhì)，將這些學(xué)生編號(hào)為1,2,1000,從這些新生

中用系統(tǒng)抽樣方法等距抽取100名學(xué)生進(jìn)行體質(zhì)測驗(yàn)，若46號(hào)學(xué)生被抽到，則下面4名學(xué)

生中被抽到的是

A.8號(hào)學(xué)生B.200號(hào)學(xué)生C.616號(hào)學(xué)生D.815號(hào)

學(xué)生

【答案】C

【解析】

【分析】

等差數(shù)列的性質(zhì).滲透了數(shù)據(jù)分析素養(yǎng).使用統(tǒng)計(jì)思想，逐個(gè)選項(xiàng)判斷得出答案.

【詳解】詳解：由已知將1000名學(xué)生分成100個(gè)組，每組10名學(xué)生，用系統(tǒng)抽樣，46號(hào)學(xué)

生被抽到，

所以第一組抽到6號(hào)，且每組抽到的學(xué)生號(hào)構(gòu)成等差數(shù)列{4},公差d=10,

所以=6+10〃(neN*),

若8=6+10“，則〃=；,不合題意；若200=6+10“，則〃=19.4,不合題意；

若616=6+10”，則”=60,符合題意；若815=6+10〃，則〃=80.9,不合題意.故選

C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查系統(tǒng)抽樣.

7.tan255°=

A.一2一百B.-2+73C.2—&D.2+6

【答案】D

【解析】

【分析】

本題首先應(yīng)用誘導(dǎo)公式，將問題轉(zhuǎn)化成銳角三角函數(shù)的計(jì)算，進(jìn)一步應(yīng)用兩角和的正切公式

計(jì)算求解.題目較易，注重了基礎(chǔ)知識(shí)、基本計(jì)算能力的考查.

【詳解】詳解：

tan255°=tan(180°+75°)=tan75°=tan(45°+30°)=

1+3

tan45°:an30。T=2+￡

1-tan45tan306

【點(diǎn)睛】三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式、兩角和與差的三角函數(shù)、特殊角的三角函數(shù)值、運(yùn)算求解能

力.

8.已知非零向量a,b滿足同=2瓦且(a-b)lb,則a與b的夾角為

71c兀「2兀e5兀

A.-B.-C.—D.—

6336

【答案】B

【解析】

【分析】

本題主要考查利用平面向量數(shù)量積數(shù)量積計(jì)算向量長度、夾角與垂直問題，滲透了轉(zhuǎn)化與化

歸、數(shù)學(xué)計(jì)算等數(shù)學(xué)素養(yǎng).先由3-加，。得出向量a力的數(shù)量積與其模的關(guān)系，再利用向

量夾角公式即可計(jì)算出向量夾角.

【詳解】因?yàn)?a—勿，6,所以(a—?必=a力—〃=0,所以。山=/,所以

a-b聞21

cose=b^=-$=7,所以a與b的夾角K為故選B.

瓦網(wǎng)2b\-23

【點(diǎn)睛】對(duì)向量夾角的計(jì)算，先計(jì)算出向量的數(shù)量積及各個(gè)向量的摸，在利用向量夾角公式

求出夾角的余弦值，再求出夾角，注意向量夾角范圍為萬].

]

9.如圖是求2+」了的程序框圖，圖中空白框中應(yīng)填入

2d--

2

11

A.A=-----B.A=2+—C.A=------D.

2+AA1+2A

,1

A=l+—

2A

【答案】A

【解析】

【分析】

本題主要考查算法中的程序框圖，滲透閱讀、分析與解決問題等素養(yǎng)，認(rèn)真分析式子結(jié)構(gòu)特

征與程序框圖結(jié)構(gòu)，即可找出作出選擇.

【詳解】執(zhí)行第1次，A=，M=142是，因?yàn)榈谝淮螒?yīng)該計(jì)算<T=<■,k=k+l=2,

22+-2+A

I

循環(huán)，執(zhí)行第2次，k=2<2,是，因?yàn)榈诙螒?yīng)該計(jì)算2+」7=」一，％=k+1=3,

2+12+A

2

循環(huán)，執(zhí)行第3次，k=2<2,否，輸出，故循環(huán)體為A=」一，故選A.

2+A

【點(diǎn)睛】秒殺速解認(rèn)真觀察計(jì)算式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，可知循環(huán)體為A=—.

2+A

10.雙曲線C:1-與=1(“>0,6>0)的一條漸近線的傾斜角為130。，則C的離心率為

a"b"

A.2sin40°B.2cos40°C.D.

sin50°

_1

cos50°

【答案】D

【解析】

【分析】

h，2=tan50。，再利用

由雙曲線漸近線定義可得--=tan130°求雙曲

a

線的離心率.

【詳解】由已知可得-b-=tan130°,...b上=tan50。,

!sin250°kin2500+cos250?！?

+2

cos50°Vcos250°cos50°

22

【點(diǎn)睛】對(duì)于雙曲線:__21對(duì)于橢圓

/b2

”.△A5C的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為b,c,已知〃sinA—bsin5=4csinC,cosA=——,

4

則2=

c

A.6B.5C.4D.3

【答案】A

【解析】

【分析】

利用余弦定理推論得出小b,c關(guān)系，在結(jié)合正弦定理邊角互換列出方程，解出結(jié)果.

【詳解】詳解：由己知及正弦定理可得"一從=402,由余弦定理推論可得

1,b2+c2-a2C2-4C213cl匕3,,+

——=cosA=--------------,/.---------=——，.二一=一,.?.一=—x4=6,故選A

42bc2bc42b4c2

【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理及余弦定理推論的應(yīng)用.

12.已知橢圓C的焦點(diǎn)為耳(-1,0)，6(1,0),過巴的直線與C交于A,B兩點(diǎn).若

|伍|=2|”,|AB\=\BF],則C的方程為

22222

A.—+y23=1B.Z+工=1C.土+JD.

2-3243

----1----=1

54

【答案】B

【解析】

【分析】

可以運(yùn)用下面方法求解：如圖，由已知可設(shè)|鳥耳=〃,則|隹|=2〃,忸耳|=|明=3〃,

由橢圓的定義有2〃=忸娟+忸q=4〃，二恒制=2a—|A周=2〃.在A4片鳥和耳巴

41+4-2?2〃?2?cosZAF)F；=4〃2,/…廠’八廠廠

中，由余弦定理得〈2212，又NA5耳，/3月可互補(bǔ),

22

/?+4-2?n?2?cosZBF2F}=9n

兩式消去居耳后耳,得

/.cosZ.AF2FX+cos/.BF2FX=0,cosNA，cosNB3/+6=11/,

解得〃=2a-4〃=2-\/3,a=A/3,h2—a2-c~=3—1=2,.,.所求橢圓方程為

2

22

+—1>故選B.

32

【詳解】如圖，由己知可設(shè)住耳=〃，則|A周=2"，忸用=|A用=3〃，由橢圓的定義有

2a=\BF\+\BF^=An,:.\AF\=2a-\AF^=2n.在△/!/沔中，由余弦定理推論得

期功團(tuán)史+哈生」在△人耳心中，由余弦定理得

12.2H-3M3

4"+4〃2一2?2〃?2〃°=4,解得〃="

32

22

.e.2a—4〃=25/3,a=V3,b~—a1—c1=3—1=2,.,?所求橢圓方程為—+=1,故

32

選B.

【點(diǎn)睛】本題考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡單性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸的能力,

很好的落實(shí)了直觀想象、邏輯推理等數(shù)學(xué)素養(yǎng).

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.曲線y=3(/+*把，在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為.

【答案】3x-y=0.

【解析】

【分析】

本題根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義，通過求導(dǎo)數(shù)，確定得到切線的斜率，利用直線方程的點(diǎn)斜式求得

切線方程

【詳解】詳解：y'=3(2x+l)e*+3(f+x)e，=3(f+3x+l)e\

所以，k^y'|,=0=3

所以,曲線y=3，+x)e，在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為y=3x,即3x-y=0.

【點(diǎn)睛】準(zhǔn)確求導(dǎo)數(shù)是進(jìn)一步計(jì)算的基礎(chǔ)，本題易因?yàn)閷?dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則掌握不熟，二導(dǎo)致計(jì)

算錯(cuò)誤.求導(dǎo)要“慢”，計(jì)算要準(zhǔn)，是解答此類問題的基本要求.

3

14.記S〃為等比數(shù)列｛〃〃｝的前〃項(xiàng)和.若q=LS3,則S4=.

【答案】

O

【解析】

【分析】

本題根據(jù)已知條件，列出關(guān)于等比數(shù)列公比4的方程，應(yīng)用等比數(shù)列的求和公式，計(jì)算得到

54.題目的難度不大，注重了基礎(chǔ)知識(shí)、基本計(jì)算能力的考查.

【詳解】詳解：設(shè)等比數(shù)列的公比為4,由已知

131

S3=q+6q+?=1+cj+=—,BP+—=0

解得4=-,

所以54=4(1—/)=1(I)=工

i-q8

【點(diǎn)睛】準(zhǔn)確計(jì)算，是解答此類問題的基本要求.本題由于涉及事的乘方運(yùn)算、繁分式分式

計(jì)算，部分考生易出現(xiàn)運(yùn)算錯(cuò)誤.

一題多解：本題在求得數(shù)列的公比后，可利用已知計(jì)算

S4=1+a4=S3+q/=：+(_：)3二，避免繁分式計(jì)算.

428

3兀

15.函數(shù)/(%)=sin(2x+—)-3cosx的最小值為.

【答案】-4.

【解析】

【分析】

本題首先應(yīng)用誘導(dǎo)公式，轉(zhuǎn)化得到二倍角余弦，進(jìn)一步應(yīng)用二倍角的余弦公式，得到關(guān)于

2萬J'的二次函數(shù).題目有一定的綜合性，注重了基礎(chǔ)知識(shí)、數(shù)學(xué)式子的變形及運(yùn)算求解

Ko

能力的考查.

【詳解】

3兀

f(x)=sin(2x+手)-3cosx=-cos2x-3cosx=-2cos2x-3cosx+1

?3,217

=-2(COSXH---)H-----，

48

1<COSX<1,...當(dāng)COSX=1時(shí)，/min(X)=-4,

故函數(shù)/(X)的最小值為-4.

【點(diǎn)睛】解答本題的過程中，部分考生易忽視一IWCOSXWI的限制，而簡單應(yīng)用二次函數(shù)

的性質(zhì)，出現(xiàn)運(yùn)算錯(cuò)誤.

16.已知/ACB=90°,P為平面ABC外一點(diǎn)，PC=2,點(diǎn)尸到/ACB兩邊AC,BC的距離均

為白，那么P到平面ABC的距離為

【答案】72-

【解析】

【分析】

本題考查學(xué)生空間想象能力，合理畫圖成為關(guān)鍵，準(zhǔn)確找到P在底面上的射影，使用線面

垂直定理，得到垂直關(guān)系，勾股定理解決.

【詳解】作P2PE分別垂直于AC,BC,PO,平面ABC,連CO,

知CD±PD,CD±PO,PDC\OD=P,

\CDA平面POO,ODu平面PDO,

?；PD=PE=+，PC=2..?.sinNPC￡：=sinNPC￡）=力，

2

/.NPGB=NPC4=60°，

:.POLCO,CO為/4C8平分線，

ZOCD=45°OD=CD=1,OC=6,又PC=2,

：.PO=y[4^2=y/2■

【點(diǎn)睛】畫圖視角選擇不當(dāng)，線面垂直定理使用不夠靈活，難以發(fā)現(xiàn)垂直關(guān)系，問題即很難

解決，將幾何體擺放成正常視角，是立體幾何問題解決的有效手段，幾何關(guān)系利于觀察，解

題事半功倍.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17?21

題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求

作答。

（一）必考題：60分。

17.某商場為提高服務(wù)質(zhì)量，隨機(jī)調(diào)查了50名男顧客和50名女顧客，每位顧客對(duì)該商場的

服務(wù)給出滿意或不滿意的評(píng)價(jià)，得到下面列聯(lián)表：

滿意不滿意

男顧客4010

女顧客3020

（1）分別估計(jì)男、女顧客對(duì)該商場服務(wù)滿意的概率；

（2）能否有95%的把握認(rèn)為男、女顧客對(duì)該商場服務(wù)的評(píng)價(jià)有差異？

n(ad—be?

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(aX)

k

43

【答案】（1）—；

（2）能有95%的把握認(rèn)為男、女顧客對(duì)該商場服務(wù)的評(píng)價(jià)有差異.

【解析】

【分析】

(I)從題中所給的2x2列聯(lián)表中讀出相關(guān)的數(shù)據(jù)，利用滿意的人數(shù)除以總的人數(shù)，分別算

出相應(yīng)的頻率，即估計(jì)得出的概率值；

(2)利用公式求得觀測值與臨界值比較，得到能有95%的把握認(rèn)為男、女顧客對(duì)該商場服

務(wù)的評(píng)價(jià)有差異.

【詳解】(1)由題中表格可知，50名男顧客對(duì)商場服務(wù)滿意的有40人，

_404

所以男顧客對(duì)商場服務(wù)滿意率估計(jì)為《=濟(jì)=不.

50名女顧客對(duì)商場滿意的有30人，

所以女顧客對(duì)商場服務(wù)滿意率估計(jì)為鳥=而30=]3,

,八主-r七100(40x20—30x10)2100,

(2)由列聯(lián)表可知K~=----------------=——?4.762>3.841-

70x30x50x5021

所以能有95%的把握認(rèn)為男、女顧客對(duì)該商場服務(wù)的評(píng)價(jià)有差異.

【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)概率與統(tǒng)計(jì)的知識(shí)，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有利用頻率來估計(jì)概率，利

用列聯(lián)表計(jì)算K2的值，獨(dú)立性檢驗(yàn)，屬于簡單題目.

18.記為等差數(shù)列｛斯｝的前n項(xiàng)和，已知S9=一公.

(1)若43=4,求｛〃"｝的通項(xiàng)公式；

(2)若〃1>0,求使得的"的取值范圍.

【答案】(1)4=-2〃+10；

(2)1W〃410(〃WN*).

【解析】

【分析】

(1)首項(xiàng)設(shè)出等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差，根據(jù)題的條件，建立關(guān)于4和d的方程組，求得多

和d的值，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求得結(jié)果；

(2)根據(jù)題意有。5=。，根據(jù)4>0,可知d<0,根據(jù)〉生，得到關(guān)于"的不等式，

從而求得結(jié)果.

【詳解】設(shè)等差數(shù)列｛4｝的首項(xiàng)為q,公差為d,

c9x87.…、

9a+---d=-(a+4d)

根據(jù)題意有J121,

4+2d=4

4=8

解答<,所以4=8+(〃-1)X(-2)=-2〃+10,

a=-2

所以等差數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式為%=-2〃+10；

(2)由條件59=-%，得9%=-%，即4=0，

因?yàn)閝>0,所以d<o,并且有％=q+4d=o,所以有q=-4d,

由S,,>%得叫+△丁)J>a,+(n-l)J,整理得(/_9n)d>(2n-10)J,

因?yàn)閐<0,所以有〃2-9〃42〃一10，即“2一11〃+1040,

解得1W〃W1O,

所以〃的取值范圍是：14〃410(〃GN*)

【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)數(shù)列的問題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，等差數(shù)列

的求和公式，在解題的過程中，需要認(rèn)真分析題意，熟練掌握基礎(chǔ)知識(shí)是正確解題的關(guān)鍵.

19.如圖，直四棱柱ABC。-A山的底面是菱形，44尸4,AB=2,/54。=60°,E,M,

N分別是BC,BBi,A/D的中點(diǎn).

(1)證明：MN〃平面C/￡>E；

(2)求點(diǎn)C到平面C/DE的距離.

【答案】(1)見解析；

⑵晅.

17

【解析】

【分析】

(1)利用三角形中位線和可證得，證得四邊形腦7?！隇槠叫兴倪呅?

進(jìn)而證得MN//DE,根據(jù)線面平行判定定理可證得結(jié)論；

(2)根據(jù)題意求得三棱錐G-CDE的體積，再求出ACQE的面積，利用％.°E=L.CQE

求得點(diǎn)C到平面C.DE的距離，得到結(jié)果.

【詳解】(1)連接ME，BC

?.?M，E分別為3耳，5c中點(diǎn)為M8C的中位線

/.ME//BC且ME=LB.C

121

又N為A。中點(diǎn)，且4043。:.NDI/B\C且ND=gB\C

：.MEHND四邊形MNDE為平行四邊形

:.MN//DE,又肱V.平面GOE,DEI平面6。石

.?.削//平面匕。石

(2)在菱形ABCO中，E為5c中點(diǎn)，所以Z5EJ_BC,

根據(jù)題意有。E=百，G?=J萬，

因?yàn)槔庵鶠橹崩庵?，所以有DEJ?平面8CG4,

所以。ELEG，所以S&DEG=；X6X后，

設(shè)點(diǎn)C到平面GDE的距離為d,

根據(jù)題意有％-CDE=%-CQE，則有—x-XA/3XJF7xd=-X—xlx-\/3x4,

3232

解得〃喘=砰

所以點(diǎn)C到平面CQE的距離為生何.

17

【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)立體幾何的問題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有線面平行的判定，點(diǎn)到平面

的距離的求解，在解題的過程中，注意要熟記線面平行的判定定理的內(nèi)容，注意平行線的尋

找思路，再者就是利用等積法求點(diǎn)到平面的距離是文科生常考的內(nèi)容.

20.已知函數(shù)/(x)=2sinx-xcosx-x,/(x)為/(x)的導(dǎo)數(shù).

(1)證明：/(%)在區(qū)間(0,乃)存在唯一零點(diǎn)；

(2)若利時(shí)，f(x)>ax,求”的取值范圍.

【答案】(1)見解析；

(2)?e(-oo,0].

【解析】

【分析】

⑴求導(dǎo)得到導(dǎo)函數(shù)后，設(shè)為g(x)進(jìn)行再次求導(dǎo)，可判斷出當(dāng)X西展享時(shí)，g'(x)>0,

當(dāng)萬]時(shí)，g'(x)<0,從而得到g(x)單調(diào)性，由零點(diǎn)存在定理可判斷出唯一零點(diǎn)所

處的位置，證得結(jié)論；(2)構(gòu)造函數(shù)/z(x)=/(x)一內(nèi)，通過二次求導(dǎo)可判斷出

"(x)而1,="(?)=-2-〃⑺皿=嗚)=^^_"分別在a4―2,-2<a<0,

八萬一27T—2

Q<a<-----和a>------的情況下根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)判斷/?(X)單調(diào)性,從而確定

22

h[x)>0恒成立時(shí)a的取值范圍.

【詳解】(1)/'(x)=2cosx—cosx+xsinx—l=cosx+xsinx—l

令g(x)=cosx+xsinx—1,則g'(x)=-sinx+sinx+xcosx=xcosx

當(dāng)X€(O,T)時(shí)，令g1X)=O,解得：X=^

二當(dāng)X西假,會(huì)時(shí)，g，(x)>o；當(dāng)xe信,時(shí)，g[x)<o

\g(x)在上單調(diào)遞增；在(1，萬)上單調(diào)遞減

又g(O)=lT=O,g(S=、T>。'g(?)=TT=-2

即當(dāng)X西路空時(shí)，g(x)>0,此時(shí)g(x)無零點(diǎn)，即尸(X)無零點(diǎn)

"3X°