2020-2021學(xué)年山東省聊城市高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷(解析版)

2020-2021學(xué)年山東省聊城市高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷

一、單項選擇題（共8個小題，每小題5分，共40分）.

1.設(shè)集合4={無"<3,且xeN},B={1,2,3},則AUB=（）

A.{1,2}B.（0,1,2,3}C.{1,2,3}D.{0,1,2}

2.命題2N-x<0”的否定是（）

A.3x<0,2x2-x<0B.Elx20,2x2-

C.Vx<0,2X2-x<QD.2X2-x>0

3.若aeN,且502M+a能被17整除，則a的最小值為()

A.0B.1C.16D.18

4.若關(guān)于x的不等式ar+6>0(a,i>eR)的解集為(-8,-3),則關(guān)于x的不等式for2

-(a+2b)x-28<0的解集為()

22

A.(-3,—)B.(-8,-3)U(—,+8)

33

22

C.(--,3)D.(-oo,-A)u(3,+8)

33

5.甲、乙、丙、丁四名同學(xué)計劃去4個景點旅游，每人只去1個景點.設(shè)事件A=”4位

同學(xué)去的景點各不相同"，事件B="甲同學(xué)獨自一人去了一個景點”，則P(AIB)=

()

9145

A.—B.—C.—D.—

9399

6.小李大學(xué)畢業(yè)后回到家鄉(xiāng)開了一家網(wǎng)店，專門賣當(dāng)?shù)氐耐撂禺a(chǎn).為了增加銷量，計劃搞

一次促銷活動，一次購物總價值不低于M元，顧客就少支付20元.已知網(wǎng)站規(guī)定每筆

訂單顧客在網(wǎng)上支付成功后，小李可以得到貨款的85%.為了在本次促銷活動中小李從

每筆訂單中得到的金額均不低于促銷前總價的75%,則M的最小值為()

A.150B.160C.170D.180

7.2021年4月24日是第六個“中國航天日”，今年的主題是“揚帆起航逐夢九天”.為

了制作一期展示我國近年來航天成就的展覽，某校科普小組的6名同學(xué)，計劃分“神舟

飛天”、“嫦娥奔月”、“火星探測”3個展區(qū)制作展板，每人只負責(zé)一個展區(qū)，每個展

區(qū)至少有一人負責(zé)，則不同的任務(wù)分配方案有()

A.990種B.630種C.540種D.480種

8.數(shù)學(xué)家高斯是世界著名的數(shù)學(xué)家之一，他一生成就極為豐碩，僅以他的名字“高斯”命

名的成果多達110個，為數(shù)學(xué)家中之最對于高斯函數(shù)＞=印，其中國表示不超過X的最

大整數(shù)，如=[-1.2]=-2,{尤}表示實數(shù)x的非負純小數(shù)，即{尤}=x-[x],如{1.7}

=0.7,{-1.2}=0.8.若函數(shù)y={x}-l+log“x（。＞0,且aWl）有且僅有3個不同的零

點，則實數(shù)a的取值范圍為（）

A.[3,4)B.(3,4]C.[2,3)D.(2,3)

二、多項選擇題（本大題共4個小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中,

有多項符合題目要求全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得。分.）

9.已知則下列說法正確的是（）

22

A.l>a2>&2>—B.2>—>—>1

4ab

〉上

C.3D.-r=>e~b>e~a>—

b-la-1Vee

10.下列關(guān)于成對樣本數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析的判斷中正確的有（）

A.若樣本相關(guān)系數(shù)r=0,則說明成對樣本數(shù)據(jù)沒有相關(guān)性

B.樣本相關(guān)系數(shù)廠越大，成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)性越強

C.用最小二乘法求得的一元線性回歸模型的殘差和一定是0

D.決定系數(shù)K越大，殘差平方和越小，模型的擬合效果越好

11.某單位舉行建黨100周年黨史知識競賽，在必答題環(huán)節(jié)共設(shè)置了5道題，每道題答對得

20分，答錯倒扣10分（每道題都必須回答，但相互不影響）.設(shè)某選手每道題答對的概

率均為晟，其必答環(huán)節(jié)的總得分為X,則（）

A.該選手恰好答對2道題的概率為4

9

B.E（X）=50

C.D（X）=1^

3

112

D.P（X＞60）=-^-

243

12.關(guān)于函數(shù)/（x）=ax-Inx,其中aWO,下列判斷正確的是（）

A.■是函數(shù)/（x）的極值點

a

B.當(dāng)OVaV1■時，函數(shù)/（龍）有兩個不同的零點

e

C.當(dāng)。=e時，函數(shù)/（x）的最小值為2

D.當(dāng)〃=2時，函數(shù)/（x）在[1,e]上的值域為[2,2e-l]

三、填空題(本題共4個小題，每小題5分，共20分.)

13.某車間為了確定加工零件的時間和個數(shù)之間經(jīng)驗回歸方程，收集到5組數(shù)據(jù)(如表)：

零件數(shù)X/個1020304050

加工時間62758189

y/min

由最小二乘法求得經(jīng)驗回歸方程為=0.67x+54.9,現(xiàn)發(fā)現(xiàn)表中有一個數(shù)據(jù)缺失了，請你

y

推斷出該處數(shù)據(jù)的值應(yīng)為.

14.某塊農(nóng)田上播種的一等小麥種子中含有3%的二等種子.已知一等小麥種子結(jié)出的麥穗

每只含有50顆以上麥粒的概率為0.5,若在該塊農(nóng)田種出的小麥中，有49%的麥穗含有

50顆以上麥粒，則二等小麥種子結(jié)出的麥穗每只含有50顆以上的麥粒的概率為

(用最簡分數(shù)作答).

15.奇函數(shù)/(x)定義域為R,且函數(shù)/(尤+1)為偶函數(shù)，若/(-I)=2,則/(I)t/(2)

+???+/,(2021)=

16.函數(shù)/'(x)的定義域為R,f(x)為/(無)的導(dǎo)函數(shù).若“Vx&R,f(x)<ln3-f

(x)”是真命題，則不等式/(2-x)>/(x)嗎?*的解集為.

四、解答題(本題共6個小題，共70分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步

驟)

17.已知(/+工)”的展開式中第7項和第6項的系數(shù)之比為7：3.

x

(1)求展開式的第5項；

(2)求展開式的奇數(shù)項的系數(shù)之和.

2

18.已知函數(shù)/(x)=(a-a-1)‘2+/是累函數(shù)(fleR),且/Q)</(2).

(1)求函數(shù)/(x)的解析式；

(2)試判斷是否存在實數(shù)b,使得函數(shù)g(x)=3-于3+2陵在區(qū)間［-1,1］上的最大

值為6,若存在，求出b的值；若不存在，請說明理由.

19.某校高二年級共有1500名學(xué)生(其中男生900名)，為了了解學(xué)生每天的體育鍛煉時

間情況，按性別分層隨機抽樣得到一個容量為100的樣本，經(jīng)計算得到樣本的平均值為

62(單位：分鐘)，方差為16.

(1)若學(xué)生的每天體育鍛煉時間近似服從正態(tài)分布N(臼。2),用樣本估計總體，試

估計該校高二年級每天體育鍛煉時間在區(qū)間［66,74］內(nèi)的學(xué)生人數(shù)(最后結(jié)果按四舍五入

保留整數(shù)）；

（2）若把每天體育鍛煉時間在［80,120］內(nèi)的稱為“鍛煉達人”，該樣本中共有“鍛煉達

人”58人，且從男生中隨機抽取一人，其為“鍛煉達人”的概率為07完成下面的2X

2列聯(lián)表，并根據(jù)小概率值a=0.005的獨立性檢驗，分析男生是“鍛煉達人”的可能性

是否更大.

性別鍛煉達人合計

是鍛煉達人非鍛煉達人

男生

女生

總計

附：X2獨立性檢驗中常用小概率值和相應(yīng)的臨界值:

(X0.10.050.010.0050.001

Xo2.7063.8416.6357.87910.828

X2=______n(ad-bc)2______

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

若X?N（（i,。2）,則P（p-oWXWp+o）-0.6827,尸（p-2。WXW|i+2。）心0.9545,

P（p.-3。WXWp+3o）心0.9973.

20.某中學(xué)學(xué)生會為了讓新高一的同學(xué)更好的了解學(xué)校的各種社團活動，計劃設(shè)計一張形狀

為矩形的宣傳海報來介紹各社團活動.如圖，該海報設(shè)計上、中、下三個全等的矩形欄

目，三矩形欄目面積總和為60000。源,四周空白部分的寬度均為10cm,欄目之間中縫寬

度為5cm.

（1）要使整個宣傳海報的用紙面積S最小，應(yīng)該怎樣設(shè)計每個矩形欄目的長度x（單位:

cm）和高度y（單位：aw）,并求出S的最小值；

（2）若學(xué)校宣傳欄只剩下一塊長度為180cm,高度為780cm的矩形區(qū)域可用于張貼宣傳

海報，為使整個宣傳海報的用紙面積S最小，又該如何設(shè)計每個矩形欄目的長度x（單位:

cm）和高度y（單位：cm）,并求出S的最小值.

UI

21.已知函數(shù)/(x)=a(x-2)e，-(x-1)2.

(1)當(dāng)。=1時，求/(x)的極值；

(2)討論函數(shù)/(無)的單調(diào)性.

22.“學(xué)習(xí)強國”平臺的“四人賽”欄目的比賽規(guī)則為：每日僅前兩局得分，首局第一名積

3分，第二、三名各積2分，第四名積1分；第二局第一名積2分，其余名次各積1分.

(1)若從5名男生2名女生中選出4人參加比賽，設(shè)其中男生的人數(shù)為X,求X的分布

列和數(shù)學(xué)期望；

(2)甲、乙二人每日都連續(xù)參加兩局比賽，經(jīng)統(tǒng)計可知甲同學(xué)每日得分S的均值為3.25,

方差為0.38.現(xiàn)已知乙同學(xué)每一局比賽中他得第一名的概率為得第二或三名的概率稱,

已知每局比賽中四個人的名次各不相同，且兩局比賽結(jié)果互不影響.請問甲、乙二人誰

的平均水平更高？誰的穩(wěn)定性更高？

參考答案

一、單項選擇題(本大題共8個小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中,

只有一項是符合題目要求的)

1.設(shè)集合A=Wx<3,且xeN},B={1,2,3},則AUB=()

A.{1,2}B.{0,1,2,3}C.{1,2,3}D.[0,1,2}

【分析】由列舉法表示A,再由并集運算得答案.

解：A=[x\x<3,且xeN}={0,1,2},B={i,2,3),

則AUB={0,1,2}U{1,2,3}={0,1,2,3).

故選：B.

2.命題“三龍》0,2尤2-%<0”的否定是()

A.3x<0,2X2-x<0B.3x^0,2N-x20

C.Vx<0,2X2-x<0D.Vx20,2X2-x20

【分析】根據(jù)題意，由特稱命題的否定方法分析可得答案.

解：根據(jù)題意，命題“本》0,2尤2-x<0”是特稱命題，

其否定為：Vx20,2x2-x^O,

故選：D.

3.若aeN,且502M+a能被17整除，則a的最小值為()

A.0B.1C.16D.18

【分析】將502。2，=(51-1)2。21+。利用二項展開式公式展開，即可求得502021+4能被

17整除的自然數(shù)。的最小值.

解：502021+a=(51-1)2021+a

—f0512021-r1512020-I.c2ci2019____i,f2020^i_p2021,

^2021^2021^2021v2021^2021

=51（C%[512。-。-噓21512。219+味2[512OI$-...+嚼方）-1+a,

因為51(C%151202。一C/15120219+喻512018一…+C據(jù)?)能被17整除,

所以若502021+a能被17整除，則a的最小值為1.

故選：B.

4.若關(guān)于x的不等式ax+6>0(a,i>eR)的解集為(-8,-3),則關(guān)于x的不等式ZwP

-(〃+25)x-2b<0的解集為()

p9

A.(-3,—)B.(-oo,-3)U(—,+8)

33

C.(--2,3)D.(一8,—三2)u(3,+8)

33

【分析】關(guān)于X的不等式ax+b>0的解集是(-8,-3),可得-電=-3,且。<0,

a

即b=3a,則不等式bx2-(q+2Z?)x-2b<0可變?yōu)?x2-lx-6>0,求解即可.

解：由關(guān)于x的不等式的解集是(-8,-3),可得-也?=-3,且〃V0,.,?/?

a

=3〃，

不等式bx2-(。+2。)x-2b<0可變?yōu)?7ax-6a<0,即得3x2-7x-6>0,

.*.%<-2或x>3,

3

?,?不等式的解集是(-8,-V)U(3，+8),

O

故選：D.

5.甲、乙、丙、丁四名同學(xué)計劃去4個景點旅游，每人只去1個景點.設(shè)事件A="4位

同學(xué)去的景點各不相同"，事件2="甲同學(xué)獨自一人去了一個景點”，則P(A|B)=

()

A.—B.—C.—D.—

9399

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合條件概率公式，即可求解.

解：???甲同學(xué)獨自去一個景點，則有4個景點可選，

其余3人只能在甲同學(xué)剩下的3個景點中選擇，可能性為3X3X3=27,

甲獨自去一個景點的可能性為4X27=108,

,?14個人去的景點不相同的可能性為4X3X2X1=24,

，P(A|B)=』￡￡.

,?，1089

故選：A.

6.小李大學(xué)畢業(yè)后回到家鄉(xiāng)開了一家網(wǎng)店，專門賣當(dāng)?shù)氐耐撂禺a(chǎn).為了增加銷量，計劃搞

一次促銷活動，一次購物總價值不低于“元，顧客就少支付20元.已知網(wǎng)站規(guī)定每筆

訂單顧客在網(wǎng)上支付成功后，小李可以得到貨款的85%.為了在本次促銷活動中小李從

每筆訂單中得到的金額均不低于促銷前總價的75%,則M的最小值為()

A.150B.160C.170D.180

【分析】結(jié)合題意建立關(guān)于M的不等式，解不等式可得答案.

解：結(jié)合題意有（M-20）-85%>M-75%,

解得M>170,所以M的最小值為170.

故選：C.

7.2021年4月24日是第六個“中國航天日”，今年的主題是“揚帆起航逐夢九天”.為

了制作一期展示我國近年來航天成就的展覽，某?？破招〗M的6名同學(xué)，計劃分“神舟

飛天”、“嫦娥奔月”、“火星探測”3個展區(qū)制作展板，每人只負責(zé)一個展區(qū)，每個展

區(qū)至少有一人負責(zé)，則不同的任務(wù)分配方案有（）

A.990種B.630種C.540種D.480種

【分析】根據(jù)題意，分2步進行分析：①將6名同學(xué)分為3組，②將分好的三組安排到

三個展區(qū)，由分步計數(shù)原理計算可得答案.

解：根據(jù)題意，分2步進行分析：

C2c2c2

①將6名同學(xué)分為3組，有.+C艘算騙'6:2=90種分組方法，

A3

②將分好的三組安排到三個展區(qū)，有A,=6種安排方法，

貝U有90X6=540種分配方案；

故選：C.

8.數(shù)學(xué)家高斯是世界著名的數(shù)學(xué)家之一，他一生成就極為豐碩，僅以他的名字“高斯”命

名的成果多達110個，為數(shù)學(xué)家中之最對于高斯函數(shù)、=印，其中國表示不超過x的最

大整數(shù)，如口.7]=1,[-1.2]=-2,{x}表示實數(shù)x的非負純小數(shù)，即{x}=x-四，如{1.7}

=0.7,{-1.2}=0.8,若函數(shù)y={x}-1+log.x（a>0,且aWl）有且僅有3個不同的零

點，則實數(shù)。的取值范圍為（）

A.[3,4）B.（3,4]C.[2,3）D.（2,3）

【分析】根據(jù)高斯函數(shù)的定義，將函數(shù)的零點問題轉(zhuǎn)化為兩個新函數(shù)圖象的交點問題，

然后數(shù)形結(jié)合求參數(shù)的取值范圍.

解：若函數(shù)尸{x}-l+log^x（a>0,且aWl）有且僅有3個不同的零點，則函數(shù)y=logaX

的圖象與函數(shù)

y=l-{x}=l+[x]-x的圖象有且僅有3個交點.作出y=l-{x}的大致圖象如圖所示，

易知檔0<tz<l時,y=log。與y=l-{x}的圖象最多有1個交點，故。>1,作出yulogd

的大致圖象:

故選：A.

二、多項選擇題（本大題共4個小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中,

有多項符合題目要求全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.）

9,已知0<l°gj_a<10§±b<l,則下列說法正確的是（）

22

A.l>a2>Z?2>—B.2>—>—>1

4ab

ba

C.3〉上D.-^=>e'>e'>—

b-la-lVee

【分析】先利用對數(shù)不等式的解法求出利用不等式的性質(zhì)判斷選項4

利用特殊值判斷選項S利用作差法判斷選項C利用指數(shù)的單調(diào)性判斷選項D

解：因為j所以獷b<E,

因為《<b<a<l,所以1>層>扶>^，故選項A正確;

對于A,

24

不妨取bg,a4，則上鳥》工粵，故選項B錯誤；

對于8,

66b4a5

ab(a-b)(a+b-1),因為/〈bVa<1,所以(bT)Q>0,

對于C,(-1)

b_la_l(b_l)(a-1)

a-b>0,a+b-l>0,故-J一J>0,所以?及故選項C正確；

b-1a-1b-la-1

1

對于，因為所以貝I-y-b/2，

2Ze'e'e'e

即一、故選項。正確.

Vee

故選：ACD.

10.下列關(guān)于成對樣本數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析的判斷中正確的有()

A.若樣本相關(guān)系數(shù)r=0,則說明成對樣本數(shù)據(jù)沒有相關(guān)性

B.樣本相關(guān)系數(shù)r越大，成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)性越強

C.用最小二乘法求得的一元線性回歸模型的殘差和一定是0

D.決定系數(shù)代越大，殘差平方和越小，模型的擬合效果越好

【分析】利用相關(guān)系數(shù)的含義以及作用，對四個選項逐一分析判斷即可.

解：r=。只能說明兩個變量之間不線性相關(guān)，但不能說明兩者的獨立性，故選項A錯誤;

樣本相關(guān)系數(shù)r的絕對值越接近1,則線性相關(guān)性越強，故選項B錯誤；

用最小二乘法對整體數(shù)據(jù)中運用了平均值，圍繞平均值最后殘差和在數(shù)學(xué)上相加為0,故

選項C正確；

R2越大，殘差平方和越小，模型的擬合效果越好，故選項。正確.

故選：CD.

11.某單位舉行建黨100周年黨史知識競賽，在必答題環(huán)節(jié)共設(shè)置了5道題，每道題答對得

20分，答錯倒扣10分(每道題都必須回答，但相互不影響).設(shè)某選手每道題答對的概

率均為日，其必答環(huán)節(jié)的總得分為X,則()

A.該選手恰好答對2道題的概率為,

B.E(X)=50

C.D(X)

3

112

D.P(X>60)=工^

243

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合相互獨立事件概率公式，以及期望和方差公式，即可求解.

解：該選手恰好答對2道題的概率為C^X2X(卜春)3年?，故A選項錯誤，

設(shè)該選手答對題目數(shù)為隨機變量Y,則X=20Y-10(5-K)=307-50,

由題意可得，丫?B(5,,則E(D=5X,丹，

OOO

故E(X)=E(307-50)=30￡(D-50=30X^-50=50-故8選項正確，

O

2

,:Y?B(5,-1),

99inin

：.D(D=5X—X(1-—)=^,D(X)=D(307-50)=900。(Y)=9Q0X—

3399

1000,故。選項錯誤,

令X=30y-50>60,解得Y>衛(wèi)故y=4或y=5,

3

故P(X>60)=P(X=4)+P(y=5)=cgx號)。/+號)5黃，故Q選項正

確.

故選：BD.

12.關(guān)于函數(shù)/(x)=ax-lnx,其中〃W0,下列判斷正確的是()

A.冗=上是函數(shù)/(%)的極值點

a

B.當(dāng)OVaV1■時，函數(shù)/(龍)有兩個不同的零點

e

C.當(dāng)時，函數(shù)/(x)的最小值為2

D.當(dāng)。=2時，函數(shù)/(x)在［1,e］上的值域為［2,2e-1］

【分析】求導(dǎo)得/(x)=〃-工，分兩種情況討論/(x)的正負，/(x)的單

X

調(diào)性，進而可得/(X)的最值，即可判斷A是否正確；當(dāng)ov〃v工時，則/⑴加產(chǎn)1+癡

e

<0,推出了(%)的圖象與x軸有兩個交點，即可判斷3是否正確；當(dāng)。=e時，計算出了

(x)而〃=/(」")=2,即可判斷C是否正確；當(dāng)〃=2時，推出/(龍)在［1.e］上單調(diào)性，

e

進而可得了(X)min,f(X)max,即可判斷。是否正確.

解：由題可知/(x)的定義域為(0,+8),且/(x)=a-—,

X

當(dāng)〃VO時，f(%)VO在(0,+8)上恒成立，則/(X)在(0,+8)上單調(diào)遞減，

當(dāng)〃>0時，f(x)=注9，

x

令f(尤)=0,得冗=工，

a

故當(dāng)OVxV工時，f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減，

a

當(dāng)■時，f(x)>0,f(x)單調(diào)遞增，

a

所以/(九)min=f(―)=1-ln—=1+lna,

aa

對于A：因為〃V0時，f(x)在(0,+8)上單調(diào)遞減，

所以/(%)無極值，故A不正確；

對于3：當(dāng)OVaV2時，lna<-1,

e

則/(x)加〃=1+/〃〃VO,

又因為當(dāng)X—O時，f(x)f+8；當(dāng)％f+8時，f(x)f+8,

所以/CO的圖象與X軸有兩個交點，即/(X)有兩個不同的零點，故3正確;

對于C：當(dāng)Q=e時，f(x)rnin=f(―)=l+/〃e=2,故。正確；

e

對于O：當(dāng)〃=2時，f(x)=2%-/心在［1.e］上單調(diào)遞增，

所以/(x)mm=f(1)=2,

f(x)max=f(e)=2e-lne=2e-1,

所以/(x)在［1,e］上的值域為［2,2^-1］,故。正確，

故選：BCD.

三、填空題(本題共4個小題，每小題5分，共20分.)

13.某車間為了確定加工零件的時間和個數(shù)之間經(jīng)驗回歸方程，收集到5組數(shù)據(jù)(如表)：

零件數(shù)X/個1020304050

加工時間62758189

y/min

由最小二乘法求得經(jīng)驗回歸方程為=0.67x+54.9,現(xiàn)發(fā)現(xiàn)表中有一個數(shù)據(jù)缺失了，請你

y

推斷出該處數(shù)據(jù)的值應(yīng)為68.

【分析】設(shè)缺失的數(shù)據(jù)為n,求出樣本點的中心的坐標，代入線性回歸方程即可求得〃

值，則答案可求.

解：設(shè)缺失的數(shù)據(jù)為〃，

mi1-10+20+30+40+50“一一62F+75+81+49-307+n

則x=--------------二30，y=-------------=---，

bbb

可得樣本點的中心為(30,9要1),代入=0.67x+54.9,

5y

得迎±2=0.67X30+54.9,解得”=68.

5

故答案為：68.

14.某塊農(nóng)田上播種的一等小麥種子中含有3%的二等種子.已知一等小麥種子結(jié)出的麥穗

每只含有50顆以上麥粒的概率為0.5,若在該塊農(nóng)田種出的小麥中，有49%的麥穗含有

50顆以上麥粒，則二等小麥種子結(jié)出的麥穗每只含有50顆以上的麥粒的概率為

(用最簡分數(shù)作答).

【分析】設(shè)所求概率為尸，由題意，列出關(guān)于P的關(guān)系式，求解即可.

解：設(shè)所求概率為尸，

則有0.03P+0.97X0.5=0.49,

解得尸=吉，

所以二等小麥種子結(jié)出的麥穗每只含有50顆以上的麥粒的概率為!.

0

故答案為：4.

6

15.奇函數(shù)/(無)定義域為R,且函數(shù)/(x+1)為偶函數(shù)，若/(-1)=2,則/(I)+于⑵

+???+/,(2021)=-2

【分析】根據(jù)題意，利用函數(shù)的奇偶性和對稱性可得/(x+2)+/(x)=0,變形可得/(I)

+f(3)=0,f(2)+f(4)=0,則有/(I)+f(2)+f(3)+f(4)=0,又由/(x+2)

+f(x)=0變形可得/(x+4)=f(x),即函數(shù)的周期為4,由此分析可得答案.

解：根據(jù)題意，函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，則-/(X)=/(-%),

又由/(x+1)為偶函數(shù)，則函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于x=l對稱，則有/(-x)=/(2+x)

=-f(尤)，

即尤+2)+f(x)=0,

則有/(I)VC3)=0,/(2)+f(4)=0,

故/(I)+f(2)+f(3)+f(4)=0,

又由/(x+2)+f(x)=0,即/(尤+2)=-f(x),

所以/■(x+4)=f(x),即函數(shù)的周期為4,

故7(I)+/(2)+-+f(2021)=，(1)+于⑵+/(3)+/(4)]X505+/(2021)=/(1)

=-/(-1)=-2；

故答案為：-2.

16.函數(shù)f(x)的定義域為R,f'(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù).若“VxeR,f(x)<ln3-f

(%)”是真命題，則不等式/(2-x)>/a)吆20的解集為(1,+8).

【分析】不等式/(2-x)>/(x)?32，，變形為f(2-x')f(x)令尸(x)=」f(x^)，

333

則尸(2-X)>/(%),對P(無)求導(dǎo)，分析產(chǎn)(%)的正負，F(xiàn)(X)的單調(diào)性，即可

得出答案.

解：不等式/(2-*)>/(%)?32^,

變形為/(2-x)>/(為.32一“33

d2-x)f(x)

所以一二―〉―T，

33

f(x)

令F(光)=—―,則尸(2-x)>F(x),

3X

fy(x)3x-3xln3f(x)(x)-ln3f(x)

F'(x)

(3X)2—3X

又因為“VxeR,f(尤)<ln3-f(x)”是真命題，

所以V.teR,f(x)-In3*f(x)<0,即F'(x)<0,

所以尸(無)在R上單調(diào)遞減，

又F(2-尤)>F(x),

所以2-

所以x>l,

所以不等式/(2-尤)>/(x)嗎?，的解集為(1,+8),

故答案為：(1,+8).

四、解答題(本題共6個小題，共70分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步

驟)

17.已知(N+2)”的展開式中第7項和第6項的系數(shù)之比為7：3.

x

(1)求展開式的第5項；

(2)求展開式的奇數(shù)項的系數(shù)之和.

【分析】(1)求出展開式的通項公式，由乃：改=7：3,即可求解〃的值；

(2)令/⑴=(占2)12=4后4+*21+...+03—2,利用賦值法即可求解.

X

解：(1)(/+2)"的展開式的通項公式為T,+1=C：(/)"r(2)r=2「c：x2”-3r,

XnXn

因為為:76=7：3,所以26球：25c3=7：3,

可解得〃=12,

所以展開式的第5項石=24,濯2=7920?2.

(2)設(shè)展開式中第i項的系數(shù)為如i=l,2,…，12,13,

則奇數(shù)項的系數(shù)和為。1+的+…+S3,

令/(X)=(^+―)12=°］工24+42%21+…+的獷-12,

X

則/⑴=312=0+42+43+…+。13

=(〃1+的_1---1-?13)+(42+。4+…+。12)①，

/(-1)=(-1)12=ai-(12+03---。12+的3

=(。1+。3+…+。13)-(。2+。4+…+”12)②,

所以①+②得3口+1=2(的+。3+---+。13),

Q12,1

所以a\+a?,+-"+a\2,=------=265721,

2

即展開式的奇數(shù)項的系數(shù)之和265721.

18.已知函數(shù)/(x)=Co2-a-1)才「加‘2+加是累函數(shù)("eR),且/(1)</(2).

(1)求函數(shù)/(x)的解析式；

(2)試判斷是否存在實數(shù)b,使得函數(shù)g(x)=3-/(x)+2版在區(qū)間［-1,1］上的最大

值為6,若存在，求出。的值；若不存在，請說明理由.

【分析】(1)由題意利用累函數(shù)的定義和性質(zhì)，求得。的值，可得結(jié)論.

(2)由題意利用利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的最大值，可得6的值.

解：(1)?.?函數(shù)/(X)=(層-。-1)尤<「">°+涼是基函數(shù)QCR),且/(I)</(2),

/.a2-a-1=1,且(1-a)(2+a)>0,

求得a=-l,故/(無)=x2.

(2)設(shè)存在實數(shù)6,使函數(shù)g(x)=3-/(x)+2Zzx=-N+2bx+3在區(qū)間［-1,1］上的最

大值為6,

由于g(x)的圖象的對稱軸為x=b,

當(dāng)b<-1時，則/(T)=-1-26+3=6,求得b=-2；

當(dāng)時，f(Z>)=-/+2抉+3=6,求得b=士?(舍去)；

當(dāng)6>1時，則/(I)=-1+26+3=6,求得6=2,

綜上可得，存在6=±2,滿足條件.

19.某校高二年級共有1500名學(xué)生(其中男生900名)，為了了解學(xué)生每天的體育鍛煉時

間情況，按性別分層隨機抽樣得到一個容量為100的樣本，經(jīng)計算得到樣本的平均值為

62(單位：分鐘)，方差為16.

(1)若學(xué)生的每天體育鍛煉時間近似服從正態(tài)分布N(山。2),用樣本估計總體，試

估計該校高二年級每天體育鍛煉時間在區(qū)間［66,74］內(nèi)的學(xué)生人數(shù)(最后結(jié)果按四舍五入

保留整數(shù))；

(2)若把每天體育鍛煉時間在［80,120］內(nèi)的稱為“鍛煉達人”，該樣本中共有“鍛煉達

人”58人，且從男生中隨機抽取一人，其為“鍛煉達人”的概率為0.7.完成下面的2X

2列聯(lián)表，并根據(jù)小概率值a=0.005的獨立性檢驗，分析男生是“鍛煉達人”的可能性

是否更大.

性別鍛煉達人合計

是鍛煉達人非鍛煉達人

男生

女生

總計

附：X2獨立性檢驗中常用小概率值和相應(yīng)的臨界值:

a0.10.050.010.0050.001

Xo2.7063.8416.6357.87910.828

X2_______n(ad-bc).______

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

若X?N(|i,o2),則oWXW|i+。)處0.6827,尸⑺-2。WXWR+2。)-0.9545,

P(n-3aWXWR+3o)20.9973.

【分析】(1)根據(jù)已知條件，結(jié)合正態(tài)分布的對稱性，即可求解.

(2)根據(jù)已知條件，結(jié)合獨立性檢驗公式，即可求解.

解：(1)由題意可得，隨機變量X的樣本均值為52,樣本方差為16,用樣本估計參數(shù)

用樣本估計參數(shù)。，可得X?N(62,42),

貝1JP(62-4WXW62+4)=P(58WXW66)-0.6827,

P(62-3X4WXW62+3X4)=P(50WXW74)心0.9973,

合0.9973-0?6827

：.P(66WXW74)=0.1573-

0.1573X1500=235.95^236,

故估計該校高二年級每天體育鍛煉時間在區(qū)間［66,74］內(nèi)的學(xué)生人數(shù)大約有236人.

(2)按照分層抽樣的方法可知，該樣本中男生人數(shù)為100X鑼"=60人，女生為40

1500

人,

故男生中“鍛煉達人”的人數(shù)為60X0.7=42,女生中“鍛煉達人”的人數(shù)為58-42=16

人,

性別鍛煉達人合計

是鍛煉達人非鍛煉達人

男生421860

女生162440

合計5842100

依據(jù)小概率值a=0.005的獨立性檢驗，認為“鍛煉達人”和性別有關(guān)，此推斷的概率不

大于0.05,

由題意可得，男生中是“鍛煉達人”和“不是鍛煉達人”的頻率分別為0.7和0.3,

女生中是“鍛煉達人”和“不是鍛煉達人”的頻率分別為單=0.4,器=0.6，

由揩=1.75可得，男生中是“鍛煉達人”的頻率是女生中是“鍛煉達人”的頻率的

1.75倍，根據(jù)頻率穩(wěn)定于概率的原理，我們可以認為男生中是“鍛煉達人”的概率明顯

大于女生中是“鍛煉達人”的概率，即認為男生是“鍛煉達人”的可能性更大.

20.某中學(xué)學(xué)生會為了讓新高一的同學(xué)更好的了解學(xué)校的各種社團活動，計劃設(shè)計一張形狀

為矩形的宣傳海報來介紹各社團活動.如圖，該海報設(shè)計上、中、下三個全等的矩形欄

目，三矩形欄目面積總和為600005入四周空白部分的寬度均為10cm,欄目之間中縫寬

度為5cm.

（1）要使整個宣傳海報的用紙面積S最小，應(yīng)該怎樣設(shè)計每個矩形欄目的長度x（單位:

cm）和高度y（單位：cm）,并求出S的最小值；

（2）若學(xué)校宣傳欄只剩下一塊長度為180cm,高度為780。"的矩形區(qū)域可用于張貼宣傳

海報，為使整個宣傳海報的用紙面積S最小，又該如何設(shè)計每個矩形欄目的長度x（單位:

cm）和高度y（單位：cm）,并求出S的最小值.

【分析】(1)由題意得到孫=20000,求出廣告的高和寬，然后表示出廣告的面積，利

用基本不等式求解最值即可；

(2)先求出x和y的取值范圍，然后由(1)得到S關(guān)于y的表達式，利用導(dǎo)數(shù)求解最

值即可.

解：(1)由題意可得3孫=60000