人教A版高中數(shù)學(xué)必修一第二章《一元二次函數(shù)、方程和不等式》易錯題訓(xùn)練 (12)(附答案解析)

必修一第二章《一元二次函數(shù)'方程和不等式》易錯題專題訓(xùn)練（12）

一、單選題(本大題共U小題，共55.0分)

1.設(shè)全集U=R,集合/={x|言工0},則CiM=

A.{x|-2<%<1}B.{x|-2<x<1}

C.{x|-2<x<1}D.{x|-2<%<1}

2.已知a,0是一元二次方程久2+3x—1=0的兩個實根，貝E+"的值為()

A.3B.-[C.：D.-3

3.設(shè)x,y是兩個實數(shù)，貝！I“x,y中至少有一個數(shù)大于1”是+y2>2?成立的()

A.充分非必要條件B.必要非充分條件

C.充分必要條件D.既非充分又非必要條件

4.“就2>比2”是“a>b”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

5.已知集合「={%€川0+1)2<4},Q={x|(x-2)2>1),則

A.P曝QB.PCQ={0,1}

C.QnCRP=0D.PdQ={-2,-1,0}

6.已知集合4={對/<2},8=卜|岳《()}.,則408=()

A.(—oc,\/2)U—1.+5c)B.(—1,V2)

C.[-1,V2)D.(V2,2]

7.已知全集〃=匕集合4={x|學(xué)40},則集合Q4等于()

A.{x\x<-2或x>0}B.{x\x<-2或%>0}

C.(x\x<-2或%>0}D.{x\x<-2或x>0}

8.已知集合4={x|lnx<1],B={x\x24-2%—3<0},則AAB=()

A.[—3,1]B.(0,1]C.[-3,e)D.(-8,e)

9.在448。中4>8,則下列不等式中不一定正確的是()

A.sin力>sinBB.cosA<cosB

C.sin2i4>sin2BD.cos2i4<cos2B

10.已知△48C的內(nèi)角4,B,C所對的邊分別為a,b,c,^c2<a2+62+2abcos2C,則zZ*的可

能取值為()

A3B.5

11.己知集合4={x](x+3)a-7)<0},B={x[%eN,白eN},則4nB=()

A.[0,1,3}B.{-3,-2,1,3,7)

C.[0,1,37}D.{-3,—2,0,1,3,7)

二、多選題(本大題共1小題，共5.0分)

12.若x2y,則下列不等式中正確的是()

A.2X>VB.等之月C.x2>y2D.x2+y2>2xy

三、單空題(本大題共1小題，共5.0分)

13.已知a是整數(shù)，x,y是方程好一xy-ax+ay+1=0的整數(shù)解，則x-y=

四、解答題(本大題共17小題，共204.()分)

14.如圖所示，五邊形4BCDE中,Z.ABC=120°,AB=6,sin/BCD=|,g=|.

(1)求證：AB1BD；

Q)若BD=2a,^AED=60°,求團4DE面積的最大值.

15.已知△ABC的內(nèi)角4、B、C的對邊分別為a、b、c,且我sinAsinC-4)=cos??!+攝

(1)求角4的大小;

(2)若△ABC的面積為巴a,求兒的最小值.

4

16.求關(guān)于x的方程a/+2%+1=0至少有一個負根的充要條件.

17.設(shè)/(%)=sinxcosx—cos2(%+*

(1)求/(%)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)在銳角MBC中，角4B,C的對邊分別為a,b,c.若/管)=0,a=1,求△ABC面積的最

大值.

18.拋物線必=2PMp>0)的焦點為尸，已知點4B為拋物線上的兩個動點，且滿足41FB=60°.過

弦48的中點M作拋物線準(zhǔn)線的垂線MN,垂足為N,則黑的最大值為.

19.已知在數(shù)列｛。幾｝中，%=4,an+i—1=an+2x3".

(1)證明：數(shù)列｛斯一3九｝為等差數(shù)列.

(2)設(shè)匕=2Zog3(a?i-幾)，記數(shù)列｛%｝的前幾項和為〃，令，問：數(shù)列｛4｝中的最小項

是第幾項，并求出該項的值.

n

20.已知在數(shù)列｛a九｝中，的=4,an+1—1=an+2x3.

(1)證明：數(shù)列｛an-3嗎為等差數(shù)歹U.

(2)設(shè)b=21og3(an—n),記數(shù)列｛bn｝的前n項和為〃，令的=等，問:數(shù)列｛0｝中的最小項

是第幾項，并求出該項的值.

21.如圖，在四邊形4BCD中，AD=2,sm^CAD=―,乙D吟,且A,B,C,。四點共圓.(注：

143

圓的內(nèi)接四邊形對角互補.)

(1)求4c的長；

(2)求四邊形ZBCD面積的最大值.

22.已知數(shù)列｛斯｝的前n項和為Sn,且Sn=2an+l-n，bn=log2(an+1).

(1)求證：數(shù)列｛an+1｝為等比數(shù)列；

(2)設(shè)數(shù)列｛%｝的前71項和為"，令cn=等竺，求數(shù)列｛/｝中的最小項.

23.如圖，在平面四邊形48CD中，ABLAD,AB=AD,cosC=1.

BC

(1)若4CBD=45。，BC=7V2,求AD的長；

(2)若4BCD的外接圓半徑為右求4BCD的面積的最大值.

24.如圖，4B是圓柱的母線，8。是圓柱底面圓的直徑，。是底面圓周上異于B,D的一點，點E,尸分

別在線段AC,4D上，KBELAC,BF1AD.

(1)證明：AD1EF；

(2)若AB=3,尸為4。中點，求三棱錐D—ABC的體積的最大值.

已知等差數(shù)列｛%｝的前項和為

25.n5,a6=2a3+tzx,S3=a4+2.

(1)求數(shù)列｛即｝的通項公式；

(2)若S“Sa2n，求n的取值范圍.

26.已知函數(shù)/(%)=Q",xER.

(I)若滿足［WfQ)Wa求實數(shù)x的取值范圍;

(n)若關(guān)于x的方程f(|x|)=-a2+4a-3有實數(shù)解，求實數(shù)a的取值范圍.

27.已知在三角形ABC中，a,b,c分別為內(nèi)角4,B,C所對的邊，向量記=(c,a-b),n=

(a+b,acosB—gb),且布〃元.

⑴求4

(2)若日4BC的外接圓面積為兀，求團4BC周長的最大值.

28.在銳角△ABC中，內(nèi)角4B,C所對的邊分別為a,b,c.已知sinB=2sin(：+B)sin?-8).

(I)求角8的大小；

(II)若b=l,求△ABC的面積的最大值.

29.已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.且迎三等=Via.

smC

(I)求角c；

(2)若△4BC的面積為10百，。為邊AC的中點，求BD的最小值及此時a,b的值.

30.不等式a/+bx+2<0的解集為{x|l<x<2},則實數(shù)a,b的值

參考答案及解析

1.答案：B

解析：

本題主要考查集合的補集運算，涉及分式不等式的解集，屬于基礎(chǔ)題.

先化簡4再由補集的定義，求得Q4

解：因為集合4={%1~2>°)=[x\x21或％<-2}(

所以Q4={燈-21}.

故選B.

2.答案：A

解析：

本題主要考查一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題,先利用根與系數(shù)的關(guān)系，得a+6=

-3,a/3=一1,將原式轉(zhuǎn)化為§+1=等代入即可得解.

解：利用根與系數(shù)的關(guān)系，得a+/?=—3,aS=—1,

所%+A鬻T=3.

3.答案：D

解析：

本題考查不等關(guān)系與不等式，充分條件和必要條件的判斷，屬于基礎(chǔ)題.

已知x,y是兩個實數(shù)，可以令x=1.1,丫=0.1和》=-2,y=-3,利用特殊值法進行判斷.

解：y是兩個實數(shù)，x,y中至少有一個數(shù)大于1,

.,.令x=1.1,y=0.1?

1.12+0.12<2,“X’y中至少有一個數(shù)大于1”無法得到+y2>2”，

充分性不成立；

若x2+y2>2,則可取x=-2,y=-3,

???(一2)2+(-3)2=13>2,必要性不成立，

“x’y中至少有一個數(shù)大于1”是+必>2”成立既不充分又不必要條件，

故選。.

4.答案:A

解析：

本題考查了不等式的性質(zhì)和充分條件、必要條件的判斷，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)充分條件、必要條件的定義直接進行解答即可.

解：etc2>be2na>b,

當(dāng)c=0時，a>b得不到ac2>be2,

所以ac2>be2是a>b的充分不必要條件，

故選：A.

5.答案：4

解析：

本題考查集合的關(guān)系與運算，屬基礎(chǔ)題，難度不大.

分別解出集合P,Q,觀察關(guān)系即可.

解：因為P={X6N|(X+1)2<4}={0},

Q={x|(x-2)2>1}=(x\x>3或x<1},

所以PSQ

故選A.

6.答案：B

解析:

本題考查了交集及其運算，考查了不等式的解法，是基礎(chǔ)題.分別求解二次不等式和分式不等式化

簡4B,然后取交集得答案.

解：4={x\x2<2)=(―V2,VI),B=標(biāo)|W<°)=

二408=(-1,偽

故選B.

7.答案：B

解析：

本題主要考查分式不等式的解法以及補集的求法.分式不等式的解法就是轉(zhuǎn)化為整式不等式求解.欲

求補集，先要化簡集合4再利用補集的定義求解，對于集合4中的分式不等式，要轉(zhuǎn)化為二次不等

式求解.

解：由管S。得-2—<0,

???/I={x[<0}={x|-2<x<0},C(-4={J-J-<-2或x>0)

故選艮

8.答案：B

解析：

本題考查集合的交集運算，涉及不等式求解，屬于基礎(chǔ)題目.

先求解不等式得出A,B,再由交集得出即可.

解：丫集合4={1|加工<1}={z|0<x<e},B={x|r2+2x-3&0}={1|—3W工41},

ACtB=(0,1].

故選艮

9.答案：C

解析：

本題考查了三角形中的不等關(guān)系及不等式，要注意三角形中所包含的條件，如：A+B+C=n,大

邊對大角等.

由三角形中大角對大邊知a>b,再由正弦定理知選項A正確；

由余弦函數(shù)在(0,兀)上的單調(diào)性知選項8正確：

若取4=60。，8=45。，可判斷選項C是否正確；

利用作差法可判斷選項。正確.

解：在三角形中大角對大邊，?.T>B,二。>。，由正弦定理知三=3=，7=2R(R為AABC外

sinAsinBsinC'

接圓的半徑)，

從而a=2RsinA,b=2RsinB,2RsinA>2RsinB，:.sinA>sinB..??選項A正確.

y=cos%在(0,兀)上是減函數(shù)，0<4V兀，0<B<nf且A>B,?,.cos4<cosB..,?選項B正確.

取4=60°,B=45°,貝！Isin24=sinl20。=3，sin2B=sin900=1,有sin24<sin2B,.?.選項C

2

不一定正確.

???A+B+C=7T,:.sin(4+8)=sinC,0<A—B<n,:.sin(4—B)>0,又sinC>0,

???cos2A—cos2B=—Zsin^A+B)sin(4—8)=-2sinCs譏(4—F)<0,?,?cos2A<cos2B.?,?選項D

正確.

故選：C.

10.答案：D

解析：ft?：vc2<a2+b2+2abcos2C,

Q2+勤2_^2

Acos2C>一巴f'=一cose,

2ab

■.2COS2C-1+cosC>0,

cosC>:或cos<一1(舍去)，

A0<C<I，

???只有。項符合.

故選D.

利用余弦定理和已知不等式可求得關(guān)于cosC的一元二次不等式，進而求得cosC的范圍，則C的范圍

可得，對四個選項驗證即可.

本題主要考查了余弦定理的應(yīng)用.解題過程中結(jié)合了二倍角公式和一元二次不等式的相干知識，綜

合性較強.

11.答案：C

解析：

本題考查交集的計算，涉及一元二次不等式的求解，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

解出集合AB,利用交集的定義可得出集合/DB.

解：A={x\(x+3)(x-7)<0]=[-3,7],B={x\x6N,*eN}={0,1,3,7},

■■Ar\B={0,1,3,7}.

故選：C.

12.答案：AD

解析：

本題考查了不等式的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

對各個選項逐一判斷即可得出答案.

解：選項A,x>y,由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性知2》》2匕故A正確；

選項B,若y<x<0,則呼VO,y[xy>0,,故8錯誤；

選項C,取x=l,y=-2,則有％2<y2,故。錯誤；

選項x2+y2—2xy=(x—y)2>0,當(dāng)且僅當(dāng)％=y時取等號，???/+y?32%y,故。正確.

故選AD

13.答案：±1

解析：

本題考查二次方程的整數(shù)解，把所給等式整理為因式分解的形式是解決本題的關(guān)鍵.

把所給等式的左邊整理為因式分解的形式，根據(jù)整體思想判斷久-y的整數(shù)解即可.

解：原方程可變形為x(x-y)-a(x-y)=-1,

即(x—y)(x—a)=-1,

???a,x,y都是整數(shù)，

...儼7=1或儼—y=T

t%—a=-1"tx-a=1'

故久-y=±1.

故答案為±1.

14.答案：(1)證明：在團BCD中，由正弦定理懸F=總訪，

故sin“B。=-x；=；,故z_CBD=30°或150°,

432

而號=%故BD>CD,

故/BCD>Z.CBD,故“BC=30°,

則乙4BC=N4BC-NCB。=90。，故4B1BC；

(2)解：在回BCD中，4。=7AB2+BD2=4V5,

設(shè)4E=m，DE=n,則，4此=gnmsin60°=1wm，

2

又(4A/3)=m2+n2-27nncos60°?

即nm=m2+n2-48>2mn-48,

則77m<48,當(dāng)且僅當(dāng)m=n=4通時等號成立，

故SMDE=-^mn<12V3-即4"DE面積的最大值為12V3.

解析：本題主要考查了正弦定理和余弦定理，考查了三角形的面積公式，考查了基本不等式，屬于

中檔題.

(1)利用正弦定理求出NCBC=30?；?50。，再由大邊對大角可得ZCBD=30。，求得冏448。=90。,

可證明結(jié)論；

(2)求出40,設(shè)AE=m,DE=n,利用三角形的面積公式和余弦定理可得(4⑹？=m2+/一

2mncos60o,然后利用基本不等式可求出答案.

15.答案：解：(1)?.,百sin/lsine-4)=cos2/l+1,

y/3.3/14-cos2i4,1

:，—sin24=-----------F-，

222

V3.rACOS2AY

A—sin24---------=1，

22

???sin(2i4—^)=1,

???4€(0,兀)，

=即

OZ5

(2)因為SgiABc=^bcsinA=當(dāng)be=fa,所以a=be.

又因為a?=b2+c2-2bccosg=b2+c2—be,

由爐+c2>2bc,當(dāng)且僅當(dāng)b=c時取等號，

得2bc—beWb2c2,即be21,所以當(dāng)b=c時，be取得最小值1.

解析：本題主要考查了誘導(dǎo)公式，二倍角的公式及兩角和差的公式，考查余弦定理，基本不等式及

三角形的面積公式在解三角形中的綜合應(yīng)用，屬于中檔題.

(1)利用誘導(dǎo)公式，二倍角的公式及兩角和差的公式，化國sinAsinG-4)=cos24+^9sin(24—

》=1,結(jié)合范圍46(0,乃)，可得4的值.

(2)由三角形的面積公式得到a=be,再由余弦定理，基本不等式即可求兒的最小值.

16.答案：解：(1)當(dāng)a=0時，方程為一元一次方程，其根為％=符合題目要求；

(2)當(dāng)a#0時，方程為一元二次方程，

它有實根的充要條件是判別式A>0,即4-4a>0,從而a<1.

設(shè)方程aX2+2x+1=0的兩實根為x2,

則由韋達定理得%+&=-：，XXX2=

fa<1,

①方程aM+2x+1=0恰有一個負實根的充要條件是工々n得a<0；

(<u,

la

②方程aM+2%+1=0有兩個負實根的充要條件是《一￡<°，得0<aW1.

(工>0,

'a

綜上，方程a-+2x+1=0至少有一個負實根的充要條件是Q<1.

解析：本題主要考查充要條件的應(yīng)用，考查一元二次根的分布問題.

根據(jù)題意分a=0,QH0討論即可.

1+cos(x+

17.答案：解：(I)由題意可知/(%)=s出%cos%—cos2(%+^)=^sin2x—^2)_lsfn2x—

-+-sin2x=sin2x-

222

由2kTC---<2,xW2/CTT4—(kEZ),得Im---WxWknd—(kWZ),

2244

因此函數(shù)/'(%)的單調(diào)增區(qū)間為［/CTT+彳］(/cGZ)；

(口)由/(￡)=1，得sin4_［=0,

即sizM=I，

由題意知4為銳角，所以cosA=V1—sin2i4=—,

2

22

由余弦定理。2=b+c-2bccosAf

可得：1+y/3bc=62+c2>2bcr即beW2+V3,當(dāng)且僅當(dāng)b=c時等號成立.

因此“血=^-besinA<

所以△ABC面積的最大值為祖I

4

解析：本題主要考查了正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)、余弦定理及基本不等式，考查了學(xué)生的計算能力，

培養(yǎng)了學(xué)生分析問題與解決問題的能力.

(I)由三角函數(shù)恒等變換化簡解析式可得/(x)=sin2x-i,進而利用正弦函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)果;

(H)由7'0=1,得sbM-：=0,,可得sinA,cosA,由余弦定理可得beW2+V3,進而利用三

角形的面積公式即可求得結(jié)果.

18.答案:1

解析：

本題主要考查了拋物線的簡單性質(zhì)，利用余弦定理解三角形，基本不等式的應(yīng)用，注重了學(xué)生對基

礎(chǔ)知識綜合運用，屬于中檔題.

先設(shè)出|4F|,\BF\,分別過4B,M作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別是A,B',N,進而表示出|MN|,利

用余弦定理表示出|4B|,利用基本不等式求得其范圍，最后求得黑的最大值.

解：設(shè)|獨|=小|BF|=「2,分別過4B,M作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別是4,B',N,則|MN|=空，

由余弦定理得=rf+r2_2cos60。

2

=(n+r2)-3rj2

22

2仇+r2)-3?竺注>;(ri+r2)>

“A”(小+萬戶

?“氏)23日后=1，當(dāng)且僅當(dāng)/】=萬時等號成立?

4

???日^的最大值為L

故答案為：1.

19.答案：解：(1)證明：因為。?+1—1=廝+2乂3九，

所以即+1-3n+1

nn+1n

=an4-2x3+l-3=an-3+l,

即(%+1-3"1)-(0n—3九)=1,

所以數(shù)列｛an—3"｝為等差數(shù)列，首項為內(nèi)—3=1,公差為1.

n

(2)由(1)可知Q九—3=1+(n—1)=n,

即a-=n+3n,

所以bn=210g3(0n-ri)=2n,

所以〃=n24-n,

所以％=勺至=[+§)+1

>2Jnx§+1=11，

當(dāng)且僅當(dāng)n=5時取等號.

故數(shù)列｛cn｝中的最小項是第5項，該項的值為11.

解析：本題考查等差數(shù)列的證明以及等差數(shù)列求和，考查利用基本不等式求最值，屬于基礎(chǔ)題.

n+1n

(1)由已知可得(即+i-3)-(an-3)=1,故數(shù)列｛冊-3與為等差數(shù)列.

(2)由已知求得b=2n,可得Tn=n2+n,故4="+^+1

>2Jnxg+1=11,問題得解.

20.答案：⑴證明：因為廝+1-1=冊+2*3%

n+1nn+1n

所以斯+i-3=an+2x3+1-3=an-3+1

即5+1-3"+1)-(即一3")=1

所以數(shù)列｛斯一3與為等差數(shù)列，首項為即-3=1,公差為1.

(2)解：由(1)可知，-3n=1+-1)=n,

n

即0n=n+3,

所以6n=21og3(a”-n)=2n,

所以〃=n2+n.

所以Cn="+；+2?=(n+g)+1N2JnXB+1=11,

當(dāng)且僅當(dāng)n=5時取等號.

故數(shù)列｛cn｝中的最小項為第5項，該項的值為11.

解析：本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系，考查等差數(shù)列的判定，考查等差數(shù)列的通項公式和前n項和公式,

考查利用基本不等式求最值，是中檔題.

n+1nn+1

(1)因為即+i—1=11n+2X3",所以即+i-3=an+2x3+l-3=a=-3"+1,化簡根

據(jù)等差數(shù)列的定義即可得證.

2

(2)由(1)可以求得a”=n+3%從而垢=21og3(an-n)=2n,根據(jù)等差數(shù)列的求和公式得與=n+

n,所以d=貯*使用基本不等式求最值即可.

21.答案:解:(1)vZD=sin“AD=巨，

314

n

???sinz/lCD=sin(--zC?lD)

=@xh—衛(wèi)=X^="

2y1962147

在△4C。中，由正弦定理得

AC2x7x^=

AC?sinZ-D=V7;

sinz.ACD2

(2)?.??!、B、C、。四點共圓，得48+4。=兀,

在4ABC中，由余弦定理得AC?=AB2+BC2_2AB-BCcos乙B

=AB2+BC2-AB-BC>2AB-BC-AB-BC=AB-BC,

即4B-BC<7,

當(dāng)且僅當(dāng)月B=BC時取等號，

Same=)AB-BCsiuZZ?W苧，

得(S"BC)max=4^-

二四邊形ABCDiB］積的最大值S=(SA?)Bc)max+SAACD=+：X2X⑺X詈=

解析：本題考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，利用基本不等式求最值，屬中檔題.

(1)由題知sikED=W，貝Usin乙4CD=sinG-4C4。)，在A4CD中，由正弦定理得

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?sinZD，代值求解即可;

sinZ.ACD

(2)4、B、C、。四點共圓，得48+4。=〃，即48=會在AABC中，由余弦定理結(jié)合基本不等式

得4B-BCS7,所以(S-Bc)max=:遍,

即四邊形ABCD面積的最大值s=(S-Bc)max+S”CD=￥+3X2X?X魯=竽.

qz14q

22.答案：解：(1)因為Sn=2an+l—n,①

所以Sn-i=2an_x+1—(n—1),(n>2),②

當(dāng)nN2時，由①一②，得廝=2即7+1，

即加+1=2(an_i+1),

當(dāng)n=1時，S]=2%,即％=0,a】+1=1,

所以數(shù)列｛%,+1｝是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列.

n1

(2)由(1)知,an+l=lx2-,

所以匕=log^^1=n-1,即數(shù)列(與)是首項為0,公差為1的等差數(shù)列.

所以〃=竺產(chǎn)=?,

所以d==茨=(n+^)-l>2Jnxg_1=7(當(dāng)且僅當(dāng)n=4時取等號)，

故數(shù)列｛7｝中的最小項為第4項，該項的值為7.

解析：本題考查數(shù)列遞推關(guān)系，考查等比數(shù)列的判斷及通項公式，等差數(shù)列的求和公式的應(yīng)用，考

查利用基本不等式求最值，涉及對數(shù)運算，屬中檔題.

(1)根據(jù)條件，得n22時，斯=2與-1+1,即即+1=2(即_1+1),即可判斷數(shù)列｛斯+1｝為等比

數(shù)列；

(2)由(1)知，即+1=2吁】，砥=n-1,根據(jù)等差數(shù)列求和公式求得及,進而求得4,利用基本不

等式即可求得數(shù)列｛7｝中的最小項.

23.答案：解：(1)因為cosC=g,C6(0。,180。)，

所以sinC=V1—cos2C=I，

ZC4-ZCBD=7r-ZB￡>C/.sin(7r-ZBDC)=sinZBDC,

所以sinz_BDC=sin(zC+乙CBD)=-x—+-x—=—,

'75252io

在△BCD中，由正弦定理得8。=嚴(yán)xsinC=&第x三=6,

smz.BDC7V25

所以4C=BOsin45°=372.

(2)由^BCD的外接圓半徑為￡得BD=5sinC=3.

由余弦定理得BE>2=BC2+C/J2-2BOCDcosC

》2BC-CD-^BC-CD=1BC-CD,

即BOCD33x9=B，當(dāng)且僅當(dāng)BC=CO時取等號，

所以△BCD的面積S=2.CDsinC225=4

即4BCD的而積的最大值為日.

4

解析：本題考查了正弦定理、余弦定理、三角形面積公式和基本不等式，是中檔題.

(1)先由cosC=：得sinC=，,再得出sinN3OC'sin(NC+NC3O)的值，在△BCO中，由正弦

定理可得BC,由ZD=BDsin45?？傻媒Y(jié)果.

(2)由余弦定理和基本不等式可得BC-CZ)<|x9=y,再由三角形面積公式可得△BCD的面積的最

大值.

24.答案：(1)證明：因為BD是圓柱底面圓的直徑，

C是底面圓周上異于B,。的一點，所以BC1CD,

又因為是圓柱的母線，所以上平面BCD,

所以力BJ.CD,因為ABnBC=B,AB,BCu平面ABC,

所以CD_L平面ABC,

因為BEu平面ABC,所以CD1BE,

因為8EJ.4C,AC^CD=C,AC,CD

所以BE1平面/CD,ADu平面力CD,

所以BE_L4D,

又因為BFJ./W,BECBF=B,BE,BFu平面BEF,

所以4。1平面8￡7:1,EFu平面BEF,

所以4D1EF.

(2)解：BFLAD,因為尸為4。中點，所以BD=4B=3,

\'、、F

'、/、、

/冷一、

c

因為BC2+CD2=BD2=9,所以品BCD=\BC-CD<^叱尸=2,

當(dāng)且僅當(dāng)BC=CD,即C是麗的中點時，(S?8CD)max=￡

而三棱錐D-4BC的體積I/DMBC=匕.BCD，

19

所以(匕)-ABC)max="-BCD)max=§'(^0BCD)max,4B=

即三棱錐。-48。的體積的最大值為三

4

解析：本題考查線線垂直的證明和體積的最值問題，屬于中檔題.

(1)由題意首先證明ADL平面8EF,然后易得線線垂直；

(2)由題意表示出(SABCo)max=￡利用等體積轉(zhuǎn)化即可得答案.

25.答案:解：⑴設(shè)等差數(shù)列的公差為d,則｛式甯器：第二J,

???an=2n—1;

2

(2)由(1)可知，Sn=n+i)x2=n,a2n=4n—1,

Sn<a2n=n2s4n-1,

解得2-遍Wn〈2+75,

為正整數(shù)，r.n的取值范圍為｛1,2,3｝.

解析：本題考查了等差數(shù)列的通項公式與前兀項和公式，屬于中檔題.

(1)等差數(shù)列的公差為d,然后根據(jù)題意列方程組求為與d,即可求通項；

(2)根據(jù)(1)求%與然后解不等式即可.

26.答案：解：(I)v/(X)=(|)\；</(X)<

解得1<x<2,

故》的取值范圍為[1,2],

(n)v/(|x|)=(?j》°,

x

[2tx<0

,?,關(guān)于％的方程f(|%|)=-a2+4a-3有實數(shù)解，

-a2+4a-3G(0,l],即[一口：”廿一之？，解得l<a<3,

故a的取值范圍為(1,3).

解析：本題主要考查了函數(shù)零點跟方程根的關(guān)系，考查了解指數(shù)不等式，指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，屬于中

檔題.

(1)解指數(shù)不等式可求出答案；

(2)求出/(因)的值域，然后解不等式可求出答案.

27.答案：解：(1)由記〃五得，a2-b2=accosB-\bc,

即a2—b2=ac"+'——-be,

2ac2

得a?=b2+c2-be—b2+c2-2bcxg,所以cosA=

因為A6(0,7i),

所以

(2)12MBe的外接圓面積為7r,所以外接圓半徑為1,

所以品=2,得a=y/3,

3

由(1)得3=b2+c2-2bccosg=b2+c2-be

=(b+c)2-3bc>(b+c)2-3j

=：(b+c)2,

即(b+c)2<12,即b+c<2H(當(dāng)且僅當(dāng)b=c=遮時等號成立).

故團ABC的周長a+b+c<V3+2V3=3百，

所以團ABC的周長的最大值為3g.

解析：本題考查正弦定理，余弦定理，三角恒等變換的應(yīng)用，由基本不等式求最值.屬于中檔題；

(1)由沅〃元得+?2一%=+c2-2兒X5由余弦定理得COS4=g,由三角恒等變換得

cost=得角4；