2020-2021學年亳州市蒙城縣九年級（上）期末數學試卷(含答案解析)

2020-2021學年亳州市蒙城縣九年級(上)期末數學試卷

一、選擇題(本大題共10小題，共40.0分)

1.8.函數y=2/一％+3經過的象限是

A.一、二、三象限B.一、二象限

C.三、四象限D.一、二、四象限

2.若將拋物線y=/一3向上平移5個單位長度，則得到的新拋物線的頂點坐標為()

A.(0,2)B.(0,-8)C.(5,-3)D.(-5,-3)

3.二次函數y=—/+8x+m：

①點Oi，yo)和點(%2，、0+2)在函數圖象上，若X1>3,尤2>3,則尤1>尤2；

②若當―3<x<9時，—/+8x+m>0；當時，-%2+8%+巾<0,則m=33；

③若％是大于4的正整數，當+y的整數值的個數與m無關.

其中正確的有()

A.0個B.1個C.2個D.3個

4.將矩形紙片4BCD按如圖所示的方式折疊，得到菱形4EC凡若48=3,則BC的長為()

A.1B.2C.V2D.V3

5.如圖，在平面直角坐標系中，以原點。為似中心，將△ABC擴大到原來

的2倍,得到對應的△A'B'C'.若點4的坐標是(一1,2),則點A的坐標是()

A.(4,-2)

B.(-4,2)

C.(2,-4)

D.(-2,4)

6.反比例函數y=：的圖象經過點(3,-2),下列各點在圖象上的是()

A.(-3,-2)B.(3,2)C.(-2,-3)D.(-2,3)

7.下列各組線段的長度成比例的是()

A.3cm,6cm,7cm,9cmB.1.1cm,1.2cm,1.3cm,1.4cm

C.20m,40m,60m,80mD.0.3cm,0.6cm,0.9cm,1.8cm

8.如圖：矩形4BCD的對角線4C=

A.275cm

B.2cm

C.4如cm

D.4cm

9.二次函數y=a%2+b%+C(QH0)的部分圖象如圖所示，圖象過點(一1,0),對稱軸為直線x=2,

下列結論：(l)2a+b=0；(2)9a+c>3b；(3)5a+7b+2c>0；(4)若點4(-3,yI)、點B(-3/2)、

點C(1,y3)在該函數圖象上，則yi<y2<丫3；(5)若方程a(x+l)(x-5)=c的兩根為均和均，

且與<%2，則%1<-1<5<上，其中正確的結論有()

A.1個B.2個C.3個D.4個

10.如圖，G,E分別是正方形/BCD的邊AB,BC上的點，且4G=CE,AE1EF,AE=EF,現有

如下結論：①BE=DH；@^AGE=^ECF-,③/FCD=45。；④△ECH.其中，正確

的結論有()

A.4個D.1個

二、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

11.如果拋物線曠=/-6%+。一2的頂點到刀軸的距離是4,貝k的值等于

12.用四舍五入法將數3.1415926精確至IJ0.001是.

13.如圖,菱形4BCD中，對角線4c=8,BD=6,點E是4B邊上的中點,

連接CE,則tan4力CE的值為.

14.如圖，矩形ABCD中，AB=4,40=3,M是邊C0上一點，將△ADM沿直線4M對折，得到△4NM.

當射線BN交線段CD于點F時，DF的最大值為

三、解答題（本大題共9小題，共90.0分）

15.計算：V16+（7T-V3）°-（I）-1+|-2|-2cos60°.

16.如圖，拋物線y=a/+.+3與x軸交于4（一1,0）,B（3,0）兩點，與y軸交于點C,過點C作CD〃x

軸，交拋物線于另一點D,連接BC,BD.將ABOC沿x軸正方向以每秒1個單位長度的速度向右運

動到△B'0'C'的位置，當點。'與點B重合時，停止運動.設△8'0'C'與△8。。重疊的面積記為5,

運動的時間為t秒.

⑴a=,b=.

（2）直線BC的函數解析式為,直線BD的函數解析式為.

（3）求S與t之間的函數關系式.

17.如圖，在直角坐標系中，直線%=ax+b與雙曲線丫2=3(卜中。)分別相交于第二、四象限內的

2

A(jn,4),B(6,n)兩點,與工軸相交于C點.已知0C=3,tanzXCO=

(1)求為對應的函數表達式;

(2)求A40B的面積；

(3)直接寫出當x<0時，不等式ax+b>5的解集.

18.A/IBC在邊長為1的正方形網格中如圖所示:

(1)以點C為位似中心，作出AABC的位似圖形A&BiC,使其相似比為1：2.且C位于點C的異

側，并表示出乙的坐標;

(2)作出△4BC繞點C順時針旋轉90。后的圖形AA2B2C,并表示出&的坐標;

(3)在(2)的條件下求出點B經過的路徑長(結果保留兀).

19.如圖，海中有一個小島B,它的周圍14海里內有暗礁，在小島正西方有一點4測得在北偏東60。,

方向上有一燈塔C,燈塔C在小島B北偏東15。方向上20海里處，漁船跟蹤魚群沿AC方向航行，

每小時航行10位海里.

(1)如果漁船不改變航向繼續(xù)航行，有沒有觸礁危險？請說明理由.

(2)求漁船從A點處航行到燈塔C,需要多少小時？(結果保留根號)

20.在平面直角坐標系xOy中，A、B為平面內不重合的兩個點，若Q到4B兩點的距離相等，則稱

點Q是線段的“似中點”.

5

4

3

2

5-4-3-2-1O1234sx

(1)已知4(1,0),8(3,2),在點(；(1,3)、。(2,1)、以4,一2)、尸(3,0)中，線段48的“似中點”是點；

(2)直線y=+b與不軸交于點M,與y軸交于點N.

①若點H是線段MN的“似中點”，且在坐標軸上，求〃點的坐標；

②若OP的半徑為2,圓心P為S0),若OP上存在線段MN的“似中點”，請直接寫出t的取值范圍.

21.如圖，4B為。。的直徑，弦BC,DE相交于點F,且DE1于點G,

過點C作。。的切線交DE的延長線于點H.

B

(1)求證：HC=HF；

(2)若。。的半徑為5,點尸是BC的中點，tanN”CF=m,寫出求線段BC長的

思路.

22.如圖，40平分NB4C,且NB+NC=180°

(1)在圖1中，當NB=90。時，求證：BD=CD；

(2)在圖2中，當NB=60。時，求證：AB-AC=BD；

A匚

1

圖1圖2

23.如圖，AABC是等邊三角形，4E〃BC,點D在線段AC的延長線上,連接DE、DB,S.DB=DE；

(1)求證：^BDE=60°；

(2)點F在線段AB上，連接DF,且BD=DF,求證：AF=CD；

(3)在(2)的條件下，作EMd.BC,垂足為點M,連接DM,若4尸：BF=3：2,CM=1,求線段DM的

長度.

參考答案及解析

1.答案：B

解析：???y=ax2+bx+c的頂點坐標公式為士聯)，

y=2x2-x+3的頂點坐標為弓,口),

4o

而Q=2>0,且△VO,所以拋物線過第一，二象限。

故選3。

2.答案：A

解析：解：將拋物線y=——3向上平移5個單位長度，則所得到拋物線為：y=/+2.

則平移后的拋物線的頂點坐標為：(0,2).

故選：A.

直接利用拋物線平移規(guī)律：上加下減，左加右減進而得出平移后的解析式，即可得出頂點坐標.

本題考查了二次函數圖形與幾何變換，是基礎題，掌握平移規(guī)律“左加右減，上加下減”是解題的

關鍵.

3.答案：C

解析：解：y——x2+8x4-m=—(%—4)2+16+m,

?,?當％=3時，y=154-m,當％=4時，y=16+m,

v16+m-(15+m)=1,y0+2-y0=2,

???>冷，故①符合題意；

???當一3V%V4時，y隨％增大而增大，4Vx時，y隨式增大而減小，且4一(-3)>9-4,

???當一3V%V9時，ymin=一(-3)2+8x(-3)+m=-33+m,

2

當11<%<17時，ymax——II+8x11+m=-33+m,

??,當-3<%V9時，一/+8%+m>0；當11<xV17時，—x2+8%+m<0,

(—33+>0

***t-33+m<0，

???加無解，故②不符合題意；

T當％=k時,y——k2+8k+m,x=k+1時,y=—(fc+I)2+8(fc+1)+m=—k2+6k+7+m,

???y的整數值的個數為：+6k+7+小一(-fc2+8/c+m)+l=8-2fc,

???當AWxWk+1時，y的整數值的個數與m無關，故③符合題意.

故選：C.

①求％=3時的y值和x=4時的y值，判斷與和冷的大??；②結合函數的對稱性與增減性列出不等式,

求m；③求x=々和芯=k+1時的y值，再求y的整數值個數.

本題考查了二次函數的性質，準確求出對應的y值，進而結合對稱性判斷y值之間的大小關系是解題

的關鍵.

4.答案：D

解析：解：由題意可知：AC=2BC,LB=90°,

：.AC2=AB2+BC2,

(2BC)2=32+BC2,

■?BC=y/3-

故選：D.

根據題意可知，AC=2BC,Z.B=90°,所以根據勾股定理可知4c2=AB2+BC2,即(2BC)2=32+

BC2,從而可求得BC的長.

此題主要考查學生對菱形的性質及勾股定理的理解及運用.

5.答案：C

解析:解：???以原點。為似中心,將^A8C擴大到原來的2倍，得到對應的△A'B'C,點4的坐標是(一1,2),

???點4的坐標為(一1x(-2),2X(-2)),即(2,—4),

故選：C.

根據位似變換的性質計算，得到答案.

本題考查的是位似變換的性質，在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比

為k,那么位似圖形對應點的坐標的比等于k或-k.

6.答案：。

解析：解：???反比例函數y=：的圖象經過點(3,-2),

??.xy=k=-6,

4、(-3,-2),此時xy=-3x(-2)=6,不合題意；

B、(3,2),此時=3x2=6,不合題意；

C、(-2,-3),此時%y=-2x(-3)=6,不合題意;

D、(—2,3),此時xy=-2x3=-6,符合題意；

故選：D.

直接利用反比例函數圖象上點的坐標特點進而得出答案.

此題主要考查了反比例函數圖象上點的坐標特征，正確得出k的值是解題關鍵.

7.答案：D

解析：

根據如果其中兩條線段的乘積等于另外兩條線段的乘積，則四條線段叫成比例線段，對每一項進行

分析即可.

解：4、3x9H6x7,故本選項錯誤；

B、1.1x1,4*1,2X1.3,故本選項錯誤；

C、20x80040x60,故選項錯誤；

D、0.3X1.8=0.6X0.9,故選項正確.

故選D.

8.答案：C

解析：解：???四邊形力BCD是矩形，

/.BAD=90°,AC=2AO,BD=2OB,AC=BD,

???AO—BO,

v/.AOB=180°-120°=60°,

是等邊三角形，

???Z.ABD=60°,

???sin60°=—,

BD

??.AD=8cznx與=4Wcm,

故選：C.

根據矩形性質得出/BAD=90。,4。=BO,得出等邊三角形40B,求出N4BD=60°,在Rt△BAD中，

解直角三角形即可求出4D,

本題考查了矩形性質，等邊三角形的性質和判定，解直角三角形的應用，注意：矩形的對角線相等

且互相平分.

9.答案：B

解析：解：（1）一/=2,

4a+b=0,

所以此選項不正確；

(2)由圖象可知：當％=—3時，y<0,

即9?！?b+c<0,

9Q+cV3b,

所以此選項不正確；

(3)???拋物線開口向下，

QV0,

??,4Q+b=0,

???b=-4a,

2

把(-1,0)代入y=ax+bx+c得：Q-b+c=0,

a+4Q+c=0,

c=—5a,

Set+7b+2c=5a—7x(-4a)4-2x(—5a)=—33Q>0,

???所以此選項正確；

(4)由對稱性得：點eg,y3)與(0.5,、3)對稱，

??,當％<2時，y隨匯的增大而增大，

且-3<—|<0.5,

7

?1?5yl<丫2<為；

所以此選項正確；

(5)a<0,c>0,

?.?方程a(x+l)(x-5)=c的兩根為與和全，

故>一1或犯<5,

所以此選項不正確；

???正確的有2個，

故選：B.

(1)根據拋物線的對稱軸為直線x=-/=2,則有4a+b=0；

(2)觀察函數圖象得到當％=—3時,函數值小于0,則9a—3b+cV0,即9Q4-c<3b；

(3)由⑴得b=-4a,由圖象過點(一1,0)得：c=-5a,代入5a+7b+2c中，根據a的大小可判斷結

果是正數還是負數，

(4)根據當x<2時，y隨x的增大而增大，進行判斷；

(5)由方程a(x+1)(*-5)=c的兩根為Xi和外，由圖象可知：x>-1或x<5可得結論.

本題考查了二次函數圖象與系數的關系：二次函數、=。/+版+(:(￡1力0),二次項系數a決定拋物

線的開口方向和大小，當a>0時，拋物線向上開口；當a<0時，拋物線向下開口；常數項c決定拋

物線與y軸交點.拋物線與y軸交于(0,c)；拋物線是軸對稱圖形，明確拋物線的增減性與對稱軸有關，

并利用數形結合的思想綜合解決問題.

10.答案:C

解析：解：???四邊形4BCD是正方形，

:.AB=BC—CD,

vAG=GE,

.?.BG—BE,

???乙BEG=45°,

:.Z-BEA>45°,

vZ-AEF=90°,

???乙HEC<45°,

則HCVEC,

:,CD-CH>BC-CE,即故①錯誤；

???BG=BE,LB=90°,

???乙BGE=乙BEG=45°,

???Z.AGE=135°,

??.Z.GAE+Z.AEG=45°,

vAE1EF,

??.Z.AEF=90°,

v乙BEG=45°,

???Z,AEG+乙FEC=45°,

???Z-GAE=乙FEC,

在aG/E和△￡***中，

AG=CE

???Z.GAE=Z.CEF

AE=EF

；.△G4E三△CEF(SAS),.?.②正確;

???^AGE=乙ECF=135°,

???Z.FCD=135°-90°=45°,③正確；

???乙BGE=乙BEG=45°,4AEG+乙FEC=45°,

乙FEC<45°,

和AEC〃不相似，.?.④錯誤：

故選：C.

由4BEG=45。知4BE4>45°,結合乙4EF=90°得4HEC<45°,據此知HC<EC,即可判斷①；求

出NG2E+44EG=45。，推出4G4E=4FEC,根據$4S推出△GAE三△CEF,即可判斷②；求出

^AGE=AECF=135。，即可判斷③；求出/FEC<45°,根據相似三角形的判定得出△GBE和△ECH

不相似，即可判斷④.

本題考查了正方形的性質，等腰三角形的性質，全等三角形的性質和判定，相似三角形的判定，勾

股定理等知識點的綜合運用，綜合比較強，難度較大.

11.答案:7或15

解析：解：???拋物線y=/-6x+c-2的頂點至反軸的距離是4,

4xix（c-2）-（-6）z=4,

14x11

解得q=7,c2=15,

故答案為：7或15.

根據拋物線丫=/-6%+。-2的頂點到刀軸的距離是4,可知頂點的縱坐標的絕對值是4,然后計算

即可.

本題考查二次函數的性質、二次函數圖象上點的坐標特征，解答本題的關鍵是明確題意，利用二次

函數的性質解答.

12.答案：3.142

解析：

本題考查了近似數和有效數字有關知識，把萬分位上的數字5進行四舍五入即可.

解：3.1415926?3.142（精確到0.001）.

故答案為3.142.

13.答案：；

4

解析：解：作EF1AC于F,設AC、BD交于點0,如圖所示:

???四邊形4BCD是菱形，

11

：?OA=OC=-AC=4,OB=OD=-BD=3,AC1BD,

22

???EF//BD,

???點E是48邊上的中點，

,-.0F=AF=^0A=2,EF是△408的中位線,

13

??.EF'OB"，

???CF=OC+OF=4+2=6,

3

:，tanZ-ACE=-=—=-?

CF64

故答案為：

4

作EF14c于F,設4C、BD交于點。，由菱形的性質得出。4=OC=^AC=4,OB=0D=^BD=3,

AC1BD,貝IJE尸〃BD,證出EF是AAOB的中位線，得出E尸=10B=|,則CF=OC+OF=6,由

三角函數定義即可得出答案.

本題考查了菱形的性質、平行線的性質、三角形中位線定理以及三角函數定義等知識；熟練掌握菱

形的性質和三角形中位線定理是解題的關鍵.

14.答案：4—V7

解析：解：過點A作AH_LBF于點”，如圖1所示:

??,四邊形48CD是矩形，

:?AB"DC,

???乙HBA=(BFC,

???(AHB=Z-BCF=90°,

???△48Hs△BFC,

?B?H?一=CF一,

AHBC

???AH<AN=3,AB=4,

???可以看到點N是在以4為圓心3為半徑的圓上運動，所以當射線BN與圓相切時，。尸最大，此時8、N、

M三點共線，如圖3所示：

由折疊性質得：AD=AH,

-AD=BC,

???AH=BC,

在△48”和△8FC中,

(Z.HBA=乙BFC

=乙BCF,

(AH=BC

三△8FC(44S),

.??CF=BH,

由勾股定理得：BH=7AB2-4H2=上

:?CF=V7,

???DF的最大值=DC-CF=4-6

故答案為：4—A/7.

過點4作4H_LBF于點H,證明△ABHyB”,可得警=名可以看到點N是在以4為圓心3為半徑

AHBC

的圓上運動，所以當射線BN與圓相切時，DF最大，此時8、N、M三點共線，由折疊性質得：4D=4H,

由44S證明△力BH三ABFC,得出CF=BH,由勾股定理求出BH,得出CF,即可得出結果.

本題考查了翻折變換，矩形的性質、相似三角形的判定與性質、全等三角形的判定與性質、勾股定

理等知識；本題綜合性強，難度較大，熟練掌握矩形和折疊的性質，證明三角形相似和三角形全等

是解決問題的關鍵.

15.答案：解：V16+(7T-V3)°-(I)-1+|-2|-2cos60°

1

=4+1—3+2—2x-

2

=4—1

=3.

解析：先按照算術平方根、零次基、負整數指數基、絕對值、特殊角的余弦函數值運算的法則進行

化簡，再合并同類項即可.

本題考查了算術平方根、零次塞、負整數指數塞、絕對值、特殊角的余弦函數值等實數運算，熟練

掌握相關運算法則是解題的關鍵.

16.答案：—12y=—x+3y=-3x+9

解析：解：⑴將點4(一1,0),8(3,0)代入'=敗2+故+3得｛：M?；［)°,

解得a=-1,b=2,

故答案為-1,2；

(2)由y=ax2+b%+3可知C的坐標為(0,3),

把y=3代入y=—x2+2%+3得，3=—x2+2x+3,

解得=0,不=2,

???。(2,3),

設直線BC：y=kx+3,

代入點B的坐標得3k+3=0,

Ak=—1,

?,?直線BC：y=-x4-3,

設直線BD：y=mx4-n,

代入點B、D的坐標得｛器曹"，

解得｛建「

二直線BD：y=-3x+9,

故答案為y=-x+3,y=-3x+9；

(3)直線BC：y=-x+3,直線BD：y=-3x+9,

當OStW2時，如圖2所示,

設直線B'C'：y=-(x-t)+3,

聯立直線BD求得F(”,

S=ix2x3-i-t-t-|(2-t)(3-1)=-Jt2+3t.

當2<tW3時，如圖3所示,

H(t,—3t+9),/(t,—t+3),

S=—(—3t+9+t—3)x(3—t)=亡2—6t+9,

#+3t(0<t<2)

綜上所述S=

.t2-6t+9(2<t<3)

(1)將點4、B代入解析式即可求出a、b的值.

(2)根據已知條件求出點D的坐標，并且由線段OC、0B相等、CD〃x軸及等腰三角形性質證明△

CDB=^CGB,利用全等三角形求出點G的坐標，求出直線BP的解析式，聯立二次函數解析式，求出

點P的坐標.

(3)分兩種情況，第一種情況重疊面積為四邊形，利用大三角形減去兩個小三角形求得解析式，第二

種情況重疊部分為三角形，可利用三角形的面積公式求得.

此題考查了待定系數法求函數解析式，拋物線與x軸的交點，動態(tài)問題和二次函數的結合，注意(3)有

兩種情況.

17.答案：解：(1)設直線%=ax+b與y軸交于點。,

2

在Rt/kOCD中，0C=3,tanz/lCO=

???0D=2,

即點D(0,2),

把點。(0,2),C(3,0)代入直線以=ax+b得，

2

b=2,3a+h=0,解得，a=

???直線的關系式為y1=一|久+2；

把4(犯4),B(6,n)代入％=-|x+2得,

zzi——3,Tt—2,

???4(-3,4),8(6,-2),

:.k=-3x4=-12,

二反比例函數的關系式為九=一孩，

217

=—

因此yi=--X+2,y2

(2)由S—OB=S&AOC+S&BOC，

=^x3x4+-x3x2,

22

=9.

(3)由圖象可知，當％<0時，不等式ax+b>(的解集為久<一3.

解析：本題考查一次函數、反比例函數的圖象和性質，把點的坐標代入是常用的方法，線段與坐標

的相互轉化是解決問題的關鍵.

(1)根據0C=3,tan乙4C0=|,可求直線與y軸的交點坐標，進而求出點4、B的坐標，確定兩個函

數的關系式；

(2)由SAAOB=S&AOC+S&BOC，進行計算即可；

(3)由函數的圖象直接可以得出，當x<0時，不等式ax+b>g的解集.

18.答案：解：⑴△4隹修為所作，點4的坐標為(0,0)；

②如圖，2c為所作；

點出的坐標為(1,3)；

⑶BC="+42=V17

點B經過的路徑長=3*=旦兀.

1802

解析：(1)延長47到&使41c=：4C,延長8C到&使B[C=：BC,則△人津他滿足條件;

(2)利用網格特點和旋轉的性質畫出爾B的對應點/、B2,從而得到AAZB2c.

(3)先計算出CB的長，然后根據弧長公式計算點B經過的路徑長.

本題考查了作圖-位似變換：畫位似圖形的一般步驟為：確定位似中心：分別連接并延長位似中心

和能代表原圖的關鍵點；③根據位似比，確定能代表所作的位似圖形的關鍵點；順次連接上述各點，

得到放大或縮小的圖形.也考查了旋轉變換.

19.答案：解：（1）漁船不改變航向繼續(xù)航行，沒有觸礁危險.

作_LAC于"，

由題意得，/.CAB=30°,/.ABC=105。，

則乙=60°,Z.HBC=45°,

???BH=BCxcos4HBe=10&,

v10V2>14,

二漁船不改變航向繼續(xù)航行，沒有觸礁危險;

(2)HC=BH=10V2，

AH=一一=10>/6,

tanz.CAB

???AC=AH+HC=10V2+10A/6.

則漁船從4點處航行到燈塔C,需要的時間為：（10e+10遍）+10V2=1+V3.

答：漁船從4點處航行到燈塔C,需要（1+遮）小時.

解析：（1）作BH1AC于H,根據余弦的概念求出BH,比較即可判斷；

（2）根據正切的概念求出4”,求出4c的長，根據漁船的速度計算即可.

本題考查的是解直角三角形的應用一方向角問題，正確標注方向角、熟記銳角三角函數的定義是解

題的關鍵.

20.答案：解：⑴。、尸；

(2)①直線y=+V5，當y=0時，x=-1；當％=0時，y=V3,

???M(-l,0),/V(0,V3).

???OM=1,ON=V3.

22

:.MN=Jl+(V3)=2>ZM/VO=30°,

所求的點”為MN的垂直平分線l與坐標軸的交點,

當“似中點”匕在久軸上時，HtM=2,則為為（1,0）

當“似中點”，2在y軸上時，NH2=

貝IO%=ON—NH2=y.%為（0片），

???久為(1,0)，“2為(0,日)：

②如圖所示：

G、K分別為OP】、OP?與MN的垂直平分線相切的切點，連接RG、P2K,則P[G11、P2K11,則

P\G"MN、P2K//MN,

???MQ=\MN=1,M%=2,OP的半徑為2,

APH=4,P2Hl=4,

???OP】=3,0P2=5,

?，?-3<t<5.

解析：

本題是圓的綜合題目，考查了直線與圓的位置關系、新定義“似中點”的判定與性質、勾股定理、

線段垂直平分線的性質、平行線的性質等知識；本題綜合性強，熟練掌握新定義和切線的性質是解

決問題的關鍵.

(1)由點的坐標和勾股定理求出各個點與百和B的距離，進行判斷即可；

(2)①求出直線y=V3x+VT與坐標軸的交點坐標M(—1,0),N(0,V3).得出OM=1,ON=遍,由

勾股定理求出MN=2,AMNO=30°,由題意得出所求的點”為MN的垂直平分線與坐標軸的交點,

分兩種情況求解即可；

②G、K分別為。Pi、0P2與"N的垂直平分線相切的切點，連接PiG、PzK，由切線的性質得出PiGJ./、

P2K11,則P"〃MN、P2K//MN,可得MQ=^MN=1,=2,0P的半徑為2,由平行線分

線段成比例定理得出Pi%=4,P2Hl=4,得出。Pi=3,0P2=5,即可得出結果.

解：(1)v71(1,0),B(3,2),C(l,3),

.?"4=3,CB=5(1-3)2+(3-=V5,

???CA=#CB,

???點C不是線段4B的“似中點”；

???0(2,1)，

DA=7(2-I)2+I2=V2，DB=7(3-2)2+(2-I)2=&，

:.DA=DB,

???點。是線段4B的“似中點”；

???￡(4,-2),

EA='(4-1J+22=V13,EB=，(4一3丁+(2+2尸=V17,

???EA工EB,

???點E不是線段的“似中點”；

"(3,0),

???F/=3—1=2,FB=2,

?,?凡4=FB,

???點F是線段48的“似中點”；

故答案為：D、F;

(2)①②見答案.

21.答案：(1)證明：連接0C,如圖1.

????！ㄊ?。的切線,

???42+41=90°,

vDE1AB,

:.z3+Z.4=90°,

vOB=OC,

???z.1=Z.4,

???z2=43,

又???z5=Z.3,

???z2=z5,

???HC=HF.

(2)求解思路如下:

思路一：連接0口如圖2.

圖2

①OF過圓心且點F是BC的中點，由垂徑定理可得BC=2",4。?=90。；

②由46與41互余，42與41互余可得46=42,從而可知tan46=m；

③在Rt/kOFC中，由tanN6=^=ni,可設OF=x,CF=mx,由勾股定

理，得/+(mx)2=52,可解得x的值；

④由BC=2CF=2mx,可求BC的長.

思路二：連接4C,如圖3.

①由AB是。。的直徑，可得△ACS是直角三角形，知46與44互余，

又。E_L48可知43與44互余，得46=43；

②由46=z_3,z3=z2,可得N6=42,從而可知tanz_6=m；

③在RtAACB中，[l]tan46=^=m,可設4C=x,BC—mx,

AC

由勾股定理，得/+(m乃2=1()2,可解得工的值；

④由BC=mx,可求BC的長.

解析：(1)連接0C,辦法證明42=45即可；

(2)思路一：①。尸過圓心且點F是BC的中點，由垂徑定理可得8c=2CF,/.OFC=90°；②由46與N1

互余，42與41互余可得46=42,從而可知tan46=zn；③在RtzsOFC中，由tan/6=*=m,可

設。尸=x,CF=mx,由勾股定理，得/+(6%)2=52,可解得工的值；④由8C=2CF=2?nx,

可求8C的長.

思路二：①由48是。。的直徑，可得AACB是直角三角形，知乙6與N4互余，又DEJ_AB可知43與乙4

互余，得46=z3；②由46=z3,z3=Z2,可得46=42,從而可知tanz>6=m；③在Rt△4cB中，

由tan/6=i=zn,可設4C=x,BC=mx,由勾股定理，得久2+⑺無產=］。2,可解得x的值；④

由BC=mx,可求BC的長.

本題考查切線的性質、垂徑定理、解直角三角形、銳角三角函數等知識，解題的關鍵是學會添加常

用輔助線，靈活運用所學知識解決問題，屬于中考常考題型.

22.答案：(1)證明：???B+NC=180。，NB=90。，

???zC=90°,

???4D平分NBAC,

???BD=CD；

(2)證明：過。作DEJ.4B于E,。尸，力。于凡如圖2所示：\\

則NOEB=乙DFC=90°,A

圖2

v4B+Z.ACD=180°,Z.DCF+Z.ACD=180°,

???Z-B=乙DCF,

???/D平分4BAC,

???DE=0尸，

2B=Z.DCF

在ABDE和△CDF中，1/.DEB=Z.DFC,

DE=DF

.*.△BDE^^CDF(AAS^

:.BD=CD,BE=CF,

^.Rtt^ADE^\Rti^ADF'V,怨=怨,

WE=DF

???Rt△ADE=Rt△力DF(HL),

:.AE=AFt

???AB-AC=AE+BE-(4尸-CF)=2BE,

在中，48=60。，

???Z.BDE=30°,

；.BE=^BD,即2BE=BO,

???AB=AC=BD.