2023-2024學(xué)年泉州市南安市高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中考試卷附答案解析

-2024學(xué)年泉州市南安市高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中考試卷考試時(shí)間：120分鐘；滿分：150分2024.4一、選擇題（本大題8個(gè)小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限 D．第四象限2．在中，內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，若：：：2：3，則a：b：（

）A．1：2：3 B．3：2：1 C．2：：1 D．1：：23．能旋轉(zhuǎn)形成如圖所示的幾何體的平面圖形是A． B． C． D．4．在平行四邊形ABCD中，E是BC的中點(diǎn)，DE交AC于F，則（

）A． B． C． D．5．如圖，是一個(gè)平面圖形的直觀圖，若，則這個(gè)平面圖形的面積是（

）A．1 B． C． D．6．已知向量，，則向量在向量方向上的投影向量為（

）A． B． C． D．7．黃金三角形有兩種，一種是頂角為36°的等腰三角形，另一種是頂角為108°的等腰三角形．其中頂角為36°的等腰三角形的底與腰之比為，這種黃金三角形被認(rèn)為是最美的三角形．根據(jù)這些信息，則（

）A． B． C． D．8．《九章算術(shù)》中有一個(gè)“引葭赴岸”問(wèn)題：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，適與岸齊．問(wèn)水深、葭長(zhǎng)各幾何？”其大意為現(xiàn)有水池丈見(jiàn)方（即丈尺），蘆葦生長(zhǎng)在水池的中央，長(zhǎng)出水面部分的長(zhǎng)度為尺．將蘆葦向池岸牽引，牽引至恰巧與水岸齊接的位置（如圖所示）．試問(wèn)水深、蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度各是多少？若將蘆葦均視為線段，在蘆葦移動(dòng)的過(guò)程中，設(shè)其長(zhǎng)度不變，則（

）．A．平方尺 B．平方尺 C．平方尺 D．平方尺二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)得部分分．9．下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（

）A．單位向量都相等B．向量與是共線向量，則點(diǎn)A、B、C、D必在同一條直線上C．兩個(gè)非零向量，若，則與共線且反向D．已知向量，若與的夾角為銳角，則10．已知i為虛數(shù)單位，則以下四個(gè)說(shuō)法中正確的是（

）A． B．復(fù)數(shù)的虛部為C．若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則 D．11．中國(guó)有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一，印信的形狀多為長(zhǎng)方體、正方體或圓柱體，但南北朝時(shí)期的官員獨(dú)孤信的印信形狀是“半正多面體”，半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體，半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱(chēng)美，如圖是一個(gè)棱數(shù)為24的半正多面體，它的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的棱上，且此正方體的棱長(zhǎng)為1，則正確的有（）A．則該半正多面體有12個(gè)頂點(diǎn) B．則該半正多面體有14個(gè)面C．則該半正多面體表面積為3 D．則該半正多面體體積為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分12．已知球的表面積為，則它的體積為.13．如圖，一輛汽車(chē)在一條水平的公路上向正西行駛，到處時(shí)測(cè)得公路北側(cè)一山頂D在西偏北的方向上，行駛600m后到達(dá)處，測(cè)得此山頂在西偏北的方向上，仰角為，則此山的高度m.14．在中，M為BC邊上任意一點(diǎn)，N為線段AM上任意一點(diǎn)，若（，），則的取值范圍是四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.15．設(shè)向量滿足，．(1)求向量的夾角；(2)求．16．已知復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位，），且·為純虛數(shù).(1)求；(2)設(shè)復(fù)數(shù)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B，若四邊形OABC為平行四邊形（O為復(fù)平面的原點(diǎn)），求點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù).17．的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知.(1)求角；(2)若，且的面積為，求的周長(zhǎng).18．如圖所示的圓錐，頂點(diǎn)為O，底面半徑是5cm，用一個(gè)與底面平行的平面截得一圓臺(tái)，圓臺(tái)的上底面半徑為2.5cm，這個(gè)平面與母線OA交于點(diǎn)B，線段AB的長(zhǎng)為10cm．(1)求圓臺(tái)的側(cè)面積；(2)把一根繩從線段AB的中點(diǎn)M開(kāi)始沿著側(cè)面繞到點(diǎn)A，求這根繩的最短長(zhǎng)度；(3)在（2）的條件下，這根繩上的點(diǎn)和圓臺(tái)上底面上的點(diǎn)的距離中，最短的距離是多少？19．如圖，在圓O的內(nèi)接四邊形中，，記的面積為，的面積為，.（1）若，求的值；（2）若，求的最大值；（3）若，求的最大值，并寫(xiě)出此時(shí)的值.1．D【詳解】分析：將復(fù)數(shù)化為最簡(jiǎn)形式，求其共軛復(fù)數(shù)，找到共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，判斷其所在象限.詳解：的共軛復(fù)數(shù)為對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，在第四象限，故選D.點(diǎn)睛：此題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，屬于送分題，解題時(shí)注意審清題意，切勿不可因簡(jiǎn)單導(dǎo)致馬虎丟分.2．D【分析】根據(jù)題意利用正弦定理進(jìn)行邊化角，結(jié)合三角形的內(nèi)角和為運(yùn)算求解.【詳解】∵：：：2：3，且，∴，，，則，故故選：3．A【解析】將A、B、C、D選項(xiàng)圖形繞對(duì)稱(chēng)軸旋轉(zhuǎn)可知A選項(xiàng)符合題意.【詳解】此幾何體自上向下是由一個(gè)圓錐、兩個(gè)圓臺(tái)和一個(gè)圓柱構(gòu)成，是由A中的平面圖形旋轉(zhuǎn)形成的.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查平面圖形旋轉(zhuǎn)形成的幾何體，考查空間想象能力和推理能力，屬于簡(jiǎn)單題.4．D【分析】由題可得，再根據(jù)向量運(yùn)算法則即可表示.【詳解】因?yàn)槭荁C的中點(diǎn)，，所以，所以.故選：D.5．C【分析】結(jié)合斜二測(cè)法的轉(zhuǎn)化關(guān)系，求出平面圖形的底和高，即可求解.【詳解】由已知得中，直角邊，，則平面圖中該三角形，對(duì)應(yīng)底面邊長(zhǎng)不變?yōu)?，三角形的高?yīng)為，則平面三角形的面積為.故選：C6．C【分析】根據(jù)投影向量的計(jì)算公式，計(jì)算出投影向量.【詳解】依題意向量在向量方向上的投影向量為.故選：C7．B【分析】由已知條件，根據(jù)余弦定理求解即可.【詳解】在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，．設(shè)，，則．故選：B8．C【分析】設(shè)（尺），利用勾股定理可構(gòu)造方程求得，以為坐標(biāo)原點(diǎn)可建立平面直角坐標(biāo)系，利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)（尺），則（尺），（尺），，解得：．以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系（單位：尺），則，，，，，，（平方尺）．故選：C.9．ABD【分析】根據(jù)向量相等判斷A；根據(jù)向量共線判斷BC；根據(jù)向量夾角得，解不等式可判斷D.【詳解】解：對(duì)于A選項(xiàng)，單位向量方向不同，則不相等，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，向量與是共線向量，也可能是，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，兩個(gè)非零向量，若，則與共線且反向，故C正確；對(duì)于D選項(xiàng)，向量，若與的夾角為銳角，則且與不共線，故，解得且，故D錯(cuò)誤；故選：ABD10．AD【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算可得A,C,D的正誤，根據(jù)復(fù)數(shù)虛部的概念可知B的正誤.【詳解】因?yàn)?，A正確；復(fù)數(shù)的虛部為，B不正確；若，則，，C不正確；設(shè)，所以，，D正確.故選：AD.11．ABD【分析】由圖形即可判斷AB；由半正多面體的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的棱上，可得正方形和正三角形的邊長(zhǎng)，計(jì)算即可判斷C；利用割補(bǔ)法計(jì)算可得半正多面體的體積，即可判斷D，【詳解】該半正多面體的所有頂點(diǎn)恰為正方體各棱的中點(diǎn)，其棱長(zhǎng)為，有12個(gè)頂點(diǎn)，14個(gè)面（6個(gè)正方形，8個(gè)正三角形），故AB正確；半正多面體的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的棱上，且此正方體的棱長(zhǎng)為1，可得該半正多面體所有頂點(diǎn)都為正方體的棱的中點(diǎn)，它可由正方體去掉8個(gè)三棱錐所剩部分，所以該半正多面體的棱長(zhǎng)為，故半正多面體的面積為，故C錯(cuò)誤；半正多面體的體積為，故D正確.故選：ABD..12．【分析】先計(jì)算球的半徑，再求體積【詳解】設(shè)球的半徑為R,則故答案為：13．【詳解】試題分析:由題設(shè)可知在中,,由此可得,由正弦定理可得,解之得,又因?yàn)?所以,應(yīng)填.考點(diǎn)：正弦定理及運(yùn)用．14．【分析】根據(jù)題意，設(shè)，然后分與討論，結(jié)合三點(diǎn)共線定理代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】由題意，設(shè)，，當(dāng)時(shí)，，所以，所以，從而有；當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋?，），所以，即，因?yàn)?、、三點(diǎn)共線，所以，即.綜上，的取值范圍是.故答案為：15．(1)(2)【分析】（1）直接利用數(shù)量積求夾角即可；（2）由，展開(kāi)后代入已知得答案．【詳解】（1）因?yàn)?，，所以，又，所?（2）.16．(1)；(2)【分析】（1）先由·為純虛數(shù)求出，再計(jì)算，求模即可；（2）先由四邊形OABC為平行四邊形求出的坐標(biāo)，即可求出.【詳解】（1）由題意知：，又·為純虛數(shù)，故，解得.則，；（2）易知，設(shè)，由四邊形OABC為平行四邊形可得，解得，即，故.17．(1)或；(2)當(dāng)時(shí)，周長(zhǎng)為；當(dāng)時(shí)，周長(zhǎng)為；【分析】（1）利用正弦定理和三角變換求出角；（2）利用余弦定理求出，即可求出周長(zhǎng).【詳解】（1）在中，由正弦定理得：，所以可化為：.因?yàn)?，所以，所?因?yàn)?，所以?（2）因?yàn)榈拿娣e為，所以,即，解得：.由余弦定理得：.當(dāng)時(shí)，有，所以，解得：符合題意，所以的周長(zhǎng)為.當(dāng)時(shí)，有，所以，解得：符合題意，所以的周長(zhǎng)為.18．(1)；(2)25cm；(3)2cm【分析】（1）作出圓錐的軸截面和沿OA剪開(kāi)的側(cè)面展開(kāi)圖，求出大圓錐和小圓錐的母線長(zhǎng)，用大圓錐側(cè)面積減去小圓錐側(cè)面積得圓臺(tái)側(cè)面積；（2）將繩長(zhǎng)的最小值轉(zhuǎn)化為求的長(zhǎng)，只要求得側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角即可得到結(jié)果；（3）由側(cè)面展開(kāi)圖可知，距離最短時(shí)，就是點(diǎn)O到直線的距離減OB的長(zhǎng)【詳解】（1）作出圓錐的軸截面和沿OA剪開(kāi)的側(cè)面展開(kāi)圖，如圖所示：由圓臺(tái)的下底面半徑是5cm，上底面半徑是2.5cm，AB的長(zhǎng)是10cm，可得，∴，所以圓臺(tái)的側(cè)面積；（2）由圓錐的底面周長(zhǎng)可得側(cè)面展開(kāi)圖的弧長(zhǎng)為，以為半徑的圓周長(zhǎng)為，所以剛好占了，所以側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角為90°，在直角三角形中，，所以，所以這根繩的最短長(zhǎng)度為25cm；（3）由側(cè)面展開(kāi)圖可知，當(dāng)距離最短時(shí)，就是點(diǎn)O到直線的距離減OB的長(zhǎng)，即，故最短的距離是2cm19．(1)；(2)；(3)32.【分析】（1）利用同一圓內(nèi)，相等弧