2023-2024學年江蘇省無錫市錫山區(qū)高三(上)段考數(shù)學試卷(9月份)_第1頁
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文檔簡介

2023-2024學年江蘇省無錫市錫山區(qū)高三(上)段考數(shù)學試卷(9月份)一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.(5分)已知集合M={x|x2﹣x﹣2≤0},,則M∪N=()A.[﹣2,2] B.[﹣1,1] C.[﹣2,1] D.[﹣1,2]2.(5分)復數(shù),則=()A. B. C. D.3.(5分)cos72°sin54°sin30°=()A. B. C. D.4.(5分)兩個單位向量與滿足,則向量與的夾角為()A.30° B.60° C.120° D.150°5.(5分)如圖,AB是單位圓O的直徑,點C,D是半圓弧上的兩個三等分點,則=()A.1 B. C. D.6.(5分)要得到函數(shù)的圖象,可以將函數(shù)的圖象()A.向左平移個單位 B.向左平移個單位 C.向右平移個單位 D.向右平移個單位7.(5分)在等差數(shù)列{an}中,若a2+a4+a6+a8+a10=80,則的值為()A.4 B.6 C.8 D.108.(5分)若對任意的x1,x2∈(m,+∞),且x1<x2,,則m的取值范圍是()A. B. C.[e2,+∞) D.[e3,+∞)二、選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得5分,部分選對的得2分,有選錯的得0分.(多選)9.(5分)已知等比數(shù)列{an}的各項均為正數(shù),且3a1,,2a2成等差數(shù)列,則下列說法正確的是()A.a(chǎn)1>0 B.q>0 C.或﹣1 D.(多選)10.(5分)下列結(jié)論正確的是()A.在△ABC中,若,則△ABC是鈍角三角形 B.若a∈R,則 C.?x∈R,x2﹣2x+1>0 D.若P,A,B三點滿足,則P,A,B三點共線(多選)11.(5分)已知{an}是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列,其前n項和為Sn,且{Sn}是等差數(shù)列,則下列結(jié)論正確的是()A.{an+Sn}是等差數(shù)列 B.{an?Sn}是等比數(shù)列 C.{}是等差數(shù)列 D.是等比數(shù)列(多選)12.(5分)若f(x)是定義在R上的偶函數(shù),其圖象關(guān)于直線x=1對稱,且對任意,都有f(x1+x2)=f(x1)f(x2),則下列說法正確的是()A.f(1)一定為正數(shù) B.2是f(x)的一個周期 C.若f(1)=1,則 D.若f(x)在上單調(diào)遞增,則三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.13.(5分)已知向量=(1,2),=(4,﹣7),若∥,⊥(+),則||=.14.(5分)已知Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和,且a3+a7=﹣8,S5=10,則S10=.15.(5分)已知函數(shù)f(x)=acosx,g(x)=x2+bx+2,若曲線y=f(x)與y=g(x)在公共點(0,m)處有公切線,則a+b=.16.(5分)如圖是古希臘數(shù)學家希波克拉底研究的幾何圖形,此圖由三個半圓構(gòu)成,直徑分別為直角三角形ABC的斜邊AB、直角邊BC、AC,N為AC的中點,點D在以AC為直徑的半圓上.已知以直角邊AC,BC為直徑的兩個半圓的面積之比為3,sin∠DAB=,則cos∠DNC=.四、解答題:本題共6小題,共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.(10分)已知函數(shù)f(x)=(sinωx+cosωx)cosωx﹣a(ω>0)的最小正周期為4π,最大值為1.(1)求ω,a的值,并求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;(2)將f(x)圖象上所有點的縱坐標不變,橫坐標縮短為原來的倍,再將得到的圖象上所有點向右平移單位,得到g(x)的圖象.若x∈(0,π),求滿足g(x)≥的x的取值范圍.18.(12分)已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列,且a1=1,a5=5;設數(shù)列{bn}的前n項和為Sn,且bn=2﹣Sn.(1)求數(shù)列{bn}的通項公式;(2)若cn=an?bn(n=1,2,3,…),Tn為數(shù)列{cn}的前n項和,求Tn.19.(12分)某化工廠引進一條先進生產(chǎn)線生產(chǎn)某種化工產(chǎn)品,其生產(chǎn)的總成本y(萬元)與年產(chǎn)量x(噸)之間的函數(shù)關(guān)系式可以近似地表示為y=﹣48x+8000,已知此生產(chǎn)線年產(chǎn)量最大為210噸.(1)求年產(chǎn)量為多少噸時,生產(chǎn)每噸產(chǎn)品的平均成本最低,并求最低成本;(2)若每噸產(chǎn)品平均出廠價為40萬元,那么當年產(chǎn)量為多少噸時,可以獲得最大利潤?最大利潤是多少?20.(12分)設△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且2acosB=2c﹣b.(1)求角A;(2)若a=7,且△ABC的內(nèi)切圓半徑,求△ABC的面積S.21.(12分)已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn(n∈N*),﹣2S2,S3,4S4成等差數(shù)列,且a2+2a3+a4=.(1)求數(shù)列{an}的通項公式;(2)若bn=﹣(n+2)log2|an|,求數(shù)列的前n項和Tn.22.(12分)已知函數(shù)f(x)=﹣+bx+ab.(1)若f(x)是奇函數(shù),且有三個零點,求b的取值范圍;(2)若f(x)在x=1處有極大值﹣,求當x∈[﹣1,2]時f(x)的值域.

參考答案與試題解析一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.【分析】求出集合M、N,利用并集的定義可求得集合M∪N.【解答】解:由M={x|x2﹣x﹣2≤0}=[﹣1,2],,故M∪N=[﹣2,2].故選:A.【點評】本題考查了并集運算,熟練掌握并集的定義是解題的關(guān)鍵.2.【分析】利用復數(shù)除法求出復數(shù)z,再利用共軛復數(shù)與復數(shù)加減法的意義求解作答.【解答】解:依題意,,于是,所以.故選:C.【點評】本題主要考查復數(shù)的四則運算,以及共軛復數(shù)的定義,屬于基礎題.3.【分析】利用二倍角的正弦公式即可得到答案.【解答】解:=.故選:D.【點評】本題考查了二倍角公式,屬基礎題.4.【分析】由題意可得,,根據(jù)可得,設與的夾角為θ,利用即可求解.【解答】解:由題意可得,,且,所以.設與的夾角為θ,0°≤θ≤180°,則,所以θ=150°.故選:D.【點評】本題考查了向量的夾角公式,屬于基礎題.5.【分析】直接利用平面向量的數(shù)量積和圓周角與圓心角的關(guān)系的應用求出結(jié)果【解答】解:設AB=2,則利用圓周角和圓心角的關(guān)系,則,AC=1,AD=,所以.故選:C.【點評】本題考查的知識要點:向量的數(shù)量積,圓周角和圓心角的關(guān)系,主要考查學生的運算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力,屬于基礎題.6.【分析】,根據(jù)三角函數(shù)圖象的平移變換即可求解.【解答】解:因為,所以將函數(shù)的圖象向左平移個單位可得到函數(shù)的圖象.故選:B.【點評】本題主要考查函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象變換,屬于基礎題.7.【分析】由等差數(shù)列通項公式求出a6=16.再由a7﹣a8=a1+6d﹣(a1+7d)=(a1+5d)=a6,由此能求出結(jié)果.【解答】解:∵在等差數(shù)列{an}中,a2+a4+a6+a8+a10=80,∴a2+a4+a6+a8+a10=5a6=80,解得a6=16.設等差數(shù)列{an}首項為a1,公差為d,則a7﹣a8=a1+6d﹣(a1+7d)=(a1+5d)=a6=8.故選:C.【點評】本題考查等差數(shù)列的兩項的代數(shù)和的求法,是基礎題,解題時要認真審題,注意等差數(shù)列的性質(zhì)的合理運用.8.【分析】由題意,對不等式兩邊同時除以x1x2,整理得,構(gòu)造函數(shù),對函數(shù)f(x)進行求導,利用導數(shù)得到函數(shù)f(x)的單調(diào)性,進而即可求解.【解答】解:易知m>0,因為,且0<x1<x2,所以x1lnx2﹣x2lnx1<2x1﹣2x2,兩邊同時除以x1x2得,即,不妨設,函數(shù)定義域為(0,+∞),因為當m<x1<x2時,f(x2)<f(x1),所以f(x)在(m,+∞)單調(diào)遞減,又,當0<x<e3時,f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增;當x>e3時,f′(x)<0,f(x)單調(diào)遞減,所以m≥e3,則m的取值范圍為[e3,+∞).故選:D.【點評】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,考查了邏輯推理和運算能力.二、選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得5分,部分選對的得2分,有選錯的得0分.9.【分析】由已知結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)求得公比,進一步分析各選項得答案.【解答】解:設等比數(shù)列{an}的公比為q,q>0,且an>0.由3a1,,2a2成等差數(shù)列,得a3=2a2+3a1,即,∴q2﹣2q﹣3=0,又q>0,解得q=3,∴,.結(jié)合選項可知,ABD正確,C錯誤.故選:ABD.【點評】本題考查等比數(shù)列的通項公式及等差數(shù)列的中項性質(zhì),考查計算能力,是基礎題.10.【分析】由數(shù)量積的定義可判斷A;由a<0,可判斷B;?x∈R,x2﹣2x+1>0可判斷C;利用向量共線定理可判斷D.【解答】解:在△ABC中,若,則A為鈍角,所以△ABC是鈍角三角形,故A正確;若a<0,則,故B錯誤;當x=1時,x2﹣2x+1=0,故C錯誤;當時,則有,即,所以P,A,B三點共線,故D正確.故選:AD.【點評】本題考查向量數(shù)量積的性質(zhì)和向量共線定理,考查不等式成立的條件,屬基礎題.11.【分析】根據(jù)等差數(shù)列,等比數(shù)列的通項公式,對比性質(zhì)可判斷各個選項.【解答】解:由{Sn}是等差數(shù)列,可得2S2=S1+S3,即2(a1+a2)=a1+a1+a2+a3,∴a2=a3,∵{an}是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列,∴a2=a2q,可得q=1,∴an=a1>0,an+Sn=(n+1)a1,∴數(shù)列{an+Sn}是等差數(shù)列,因此A正確;=,∴{}是常數(shù)列,為等差數(shù)列,因此C正確;∵,∴是等比數(shù)列,因此D正確;∵anSn=,∴{an?Sn}不是等比數(shù)列,因此B不正確.故選:ACD.【點評】本題考查等差數(shù)列,等比數(shù)列的性質(zhì),屬于基礎題.12.【分析】利用函數(shù)滿足的條件,求解函數(shù)的周期性和單調(diào)性,對選項進行判斷.【解答】解:因為函數(shù)f(x)=0符合條件,故A錯誤;因為偶函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x=1對稱,所以f(x+2)=f(﹣x)=f(x),故B正確;因為對任意x1,,都有f(x1+x2)=f(x1)f(x2),所以對任意x∈[0,1],取得;若f(1)=1,即,故,由2是f(x)的周期得,故C正確;假設,由及f(x)≥0,x∈[0,1],得,,故,這與f(x)在上單調(diào)遞增矛盾,故D正確.故選:BCD.【點評】本題考查函數(shù)的對稱性和周期性,以及賦值法解決抽象函數(shù)問題,考查轉(zhuǎn)化思想、運算能力和推理能力,屬于中檔題.三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.13.【分析】根據(jù)∥可設出向量c的坐標,再依據(jù)向量垂直求出c的坐標,進而求解|c|的值.【解答】解:因為∥,可設c=(x,2x),由⊥(+)可得(1,2)?(4+x,﹣7+2x)=0,所以4+x+2(﹣7+2x)=0,解得x=2,所以c=(2,4),故|c|=2.故答案為:2.【點評】本題主要考查了向量的平行與垂直,向量的坐標表示,向量的模,考查了學生對基礎知識的掌握情況,考查運算求解能力,屬于基礎題.14.【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項公式以及前n項和公式求得結(jié)果.【解答】解:由題意得,,∴,.故答案為:﹣55.【點評】本題主要考查了等差數(shù)列的求和公式及通項公式的應用,屬于基礎題.15.【分析】曲線f(x)與曲線g(x)在交點(0,m)處有公切線,則f(0)=g(0)且f′(0)=g′(x),由此列關(guān)于a,b的方程,解方程可得答案.【解答】解:∵f(x)=acosx,g(x)=x2+bx+2,∴f′(x)=﹣a?sinx,g′(x)=2x+b,∵曲線f(x)=acosx與曲線g(x)=x2+bx+2在交點(0,m)處有公切線,∴f(0)=a=g(0)=2且f′(0)=0=g′(x)=b,即a=2,b=0,∴a+b=2故答案為:2.【點評】本題考查利用導數(shù)研究曲線上某點的切線方程,其中根據(jù)已知分析出f(0)=g(0)且f′(0)=g′(x)是解答的關(guān)鍵,是中檔題.16.【分析】根據(jù)以直角邊AC,BC為直徑的兩個半圓的面積之比為3,得到,設∠DAB=α,根據(jù)條件可得∠DNC=,再由sin∠DAB=,求出cos∠DNC的值.【解答】解:∵以直角邊AC,BC為直徑的兩個半圓的面積之比為3,∴,∴,設∠DAB=α,則,且,由已知,得,整理得,∴,∴,故答案為:.【點評】本題考查了與圓有關(guān)的比例線段,二倍角公式和兩角和與差的余弦公式,考查了轉(zhuǎn)化思想,屬中檔題.四、解答題:本題共6小題,共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.【分析】(1)利用三角恒等變換化簡函數(shù)的解析式,再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性得出結(jié)論.(2)由題意利用函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象變換規(guī)律,得到g(x)的解析式,再利用正弦函數(shù)圖象和性質(zhì),求得滿足g(x)≥的x的取值范圍.【解答】解:(1)∵函數(shù)f(x)=(sinωx+cosωx)cosωx﹣a=sin2ωx+﹣a=sin(2ωx+)+﹣a(ω>0)的最小正周期為=4π,∴ω=.根據(jù)她的最大值為1+﹣a=1,可得a=,故f(x)=sin(x+).令2kπ﹣≤x+≤2kπ+,求得4kπ﹣≤x≤4kπ+,k∈Z,可得f(x)的增區(qū)間為[4kπ﹣,4kπ+],k∈Z.(2)將f(x)圖象上所有點的縱坐標不變,橫坐標縮短為原來的倍,可得y=sin(x+)的圖象;再將得到的圖象上所有點向右平移單位,得到g(x)=sin(x﹣+)=sin(x﹣)的圖象.g(x)≥,即sin(x﹣)≥,可得2kπ+≤x﹣≤2kπ+,求得2kπ+≤x≤2kπ+,可得x的取值范圍是[2kπ+,2kπ+],k∈Z.若x∈(0,π),則令k=0,可得g(x)≥的x的取值范圍[,].【點評】本題主要考查三角恒等變換,正弦函數(shù)圖象和性質(zhì),函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象變換規(guī)律,屬于中檔題.18.【分析】(1)由已知等式可推出{bn}的首項和公比,從而可得到通項公式;(2)寫出數(shù)列{cn}的通項公式及前n項的和的公式,可用倍乘相減法求出數(shù)列{cn}前n項的和.【解答】解:(1)由bn=2﹣Sn,令n=1,則b1=2﹣S1,又S1=b1,所以b1=1,當n≥2時,由bn=2﹣Sn,可得bn﹣bn﹣1=﹣(Sn﹣Sn﹣1)=﹣bn,即,所以{bn}是以b1=1為首項,為公比的等比數(shù)列,于是.(2)數(shù)列{an}為等差數(shù)列,公差d=1,可得an=n,從而,∴,,∴,=.從而.【點評】本題主要考查等比數(shù)列的通項公式及數(shù)列求和,掌握數(shù)列及等比數(shù)列的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵,屬于中檔題.19.【分析】(1)利用總成本除以年產(chǎn)量表示出平均成本;利用基本不等式求出平均成本的最小值.(2)利用收入減去總成本表示出年利潤;通過配方求出二次函數(shù)的對稱軸;由于開口向下,對稱軸處取得最大值.【解答】解:(1)設每噸的平均成本為W(萬元/T),則(0<x≤210),(4分)當且僅當,x=200(T)時每噸平均成本最低,且最低成本為32萬元.(6分)(2)設年利潤為u(萬元),則=.(11分)所以當年產(chǎn)量為210噸時,最大年利潤1660萬元.(12分)【點評】本題考查將實際問題的最值問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題、考查利用基本不等式求函數(shù)的最值需滿足:一正、二定、三相等、考查求二次函數(shù)的最值關(guān)鍵看對稱軸.20.【分析】(1)利用正弦定理和三角恒等變換求出cosA,即可求A;(2)利用余弦定理和三角形的面積公式求出bc,即可求面積.【解答】解:(1)由正弦定理得:2sinAcosB=2sinC﹣sinB,即2sinAcosB=2sin(A+B)﹣sinB,即2sinAcosB=2sinAcosB+2cosAsinB﹣sinB,即2cosAsinB=sinB.因為B∈(0,π),所以sinB≠0,所以.因為A∈(0,π),所以.(2)△ABC面積,代入a=7,和,整理得:bc=2(b+c)+14①,由余弦定理:a2=b2+c2﹣2bccosA,得:b2+c2﹣bc=49,即(b+c)2﹣3bc=49②,①②聯(lián)立可得:,解得:bc=40或bc=0(舍去),所以.【點評】本題考查了正弦定理、余弦定理、三角形的面積公式,屬于中檔題.21.【分析】(1)等比數(shù)列{an}的公比為q,q≠1,由等差數(shù)列中項性質(zhì)和等比數(shù)列的求和公式,解方程可得公比,再由等比數(shù)列的通項公式,解方程可得首項,進而得到所求通項公式;(2)求得bn=﹣(n+2)log2|an|=﹣(n+2)log2=n(n+2),得==(﹣),由數(shù)列的裂項相消求和,可得所求和.【解答】解:(1)等比數(shù)列{an}的公比為q,q≠1,前n項和為成等差數(shù)列,可得2S3=4S4﹣2S2,即為2?=4?﹣2?,化為2q2﹣q﹣1=0,解得q=﹣,,即為﹣a1+2?a1﹣a1=,解得a1=﹣,則an=(﹣)n,n∈N*;(2)bn=﹣(n+2)log2|an|=﹣(n+2)log2=n(n+2),可得==(﹣),即有前n項和Tn=(1﹣+﹣+…+﹣+﹣)=(1+﹣﹣)=﹣(+)=.【點評

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