2023-2024學(xué)年四川省成都市彭州市高三（上）期中數(shù)學(xué)試卷（理科）

2023-2024學(xué)年四川省成都市彭州市高三（上）期中數(shù)學(xué)試卷（理科）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．（5分）設(shè)集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，3，5}，B＝{3，4，5}，則?U（A∪B）＝（）A．{3，5} B．{2，6} C．{1，3，4，5} D．{1，2，4，6}2．（5分）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是（﹣1，1），則＝（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i3．（5分）已知命題p：?n∈N，2n﹣2不是素?cái)?shù)，則￢p為（）A．?n?N，2n﹣2是素?cái)?shù) B．?n∈N，2n﹣2是素?cái)?shù) C．?n?N，2n﹣2是素?cái)?shù) D．?n∈N，2n﹣2是素?cái)?shù)4．（5分）已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，，則數(shù)列{an}的公差為（）A．1 B．2 C．3 D．45．（5分）已知向量＝（1，1），＝（x，﹣1）則“（+）⊥”是“x＝0”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件6．（5分）2023年“三月三”期間，廣西交通部門統(tǒng)計(jì)了2023年4月19日至4月25日的高速公路車流量（單位：萬(wàn)車次），并與2022年比較，得到同比增長(zhǎng)率（同比增長(zhǎng)率＝（今年車流量﹣去年同期車流量）÷去年同期車流量×100%））數(shù)據(jù)，繪制了如圖所示的統(tǒng)計(jì)圖，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．2023年4月19日至4月25日的高速公路車流量的極差為23 B．2023年4月19日至4月25日的高速公路車流量的中位數(shù)為17 C．2023年4月19日至4月21日的高速公路車流量的標(biāo)準(zhǔn)差小于2023年4月23日至4月25日的高速公路車流量的標(biāo)準(zhǔn)差 D．2022年4月23日的高速公路車流量為20萬(wàn)車次7．（5分）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則＝（）A． B． C．1 D．﹣18．（5分）根據(jù)有關(guān)資料，圍棋狀態(tài)空間復(fù)雜度的上限M約為3361，而可觀測(cè)宇宙中普通物質(zhì)的原子總數(shù)N約為1080，則下列各數(shù)中與最接近的是（）（參考數(shù)據(jù)：lg3≈0.48）A．1033 B．1053 C．1073 D．10939．（5分）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過(guò)F1斜率為的直線與C的右支交于點(diǎn)P，若線段PF1與y軸的交點(diǎn)恰為PF1的中點(diǎn)，則C的離心率為（）A． B． C．2 D．310．（5分）已知定義在R上的奇函數(shù)，滿足f（2﹣x）+f（x）＝0，當(dāng)x∈（0，1]時(shí)，f（x）＝﹣log2x，若函數(shù)F（x）＝f（x）﹣sinπx，在區(qū)間[﹣1，m]上有10個(gè)零點(diǎn)，則m的取值范圍是（）A．[3.5，4） B．（3.5，4] C．（3，4] D．[3，4）11．（5分）已知f（x）＝ex+e2﹣x+x2﹣2x，則不等式f（2x+1）＜f（x）的解集為（）A． B． C． D．12．（5分）已知f（x）＝3sinx+2，對(duì)任意的x1∈[0，]，都存在x2∈[0，]，使得f（x1）＝2f（x2+θ）+2成立，則下列選項(xiàng)中，θ可能的值是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．（5分）在的展開式中，常數(shù)項(xiàng)是．（用數(shù)字作答）14．（5分）已知數(shù)列{an}滿足an＝2an﹣1（n≥2，n∈N*），且a1＝1，則an＝．15．（5分）拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：過(guò)焦點(diǎn)的光線經(jīng)拋物線反射后得到的光線平行于拋物線的對(duì)稱軸；反之，平行于拋物線對(duì)稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過(guò)拋物線的焦點(diǎn)．已知拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F，一條平行于x軸的光線從點(diǎn)A（5，4）射出，經(jīng)過(guò)拋物線上的點(diǎn)B反射后，再經(jīng)拋物線上的另一點(diǎn)C射出，則|BC|＝．16．（5分）已知正數(shù)a，b滿足ea+a＝b+lnb＝2（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），有下列四個(gè)關(guān)系式：①beb＝e2②a+b＝2③eb+lna＞2④ea+lnb＝2其中正確的是（填序號(hào)）．三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.第17～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.17．（12分）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．已知asinB+bcosA＝0．（1）求A；（2）若a＝3，sinBsinC＝，求△ABC的面積．18．（12分）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB⊥AD，PA＝AD＝4，AB＝BC＝2，E，F(xiàn)分別為CD，PA的中點(diǎn)．（1）證明：EF∥平面PBC；（2）求二面角P﹣CD﹣F的余弦值．19．（12分）某地區(qū)對(duì)某次考試成績(jī)進(jìn)行分析，隨機(jī)抽取100名學(xué)生的A，B兩門學(xué)科成績(jī)作為樣本．將他們的A學(xué)科成績(jī)整理得到如下頻率分布直方圖，且規(guī)定成績(jī)達(dá)到70分為良好．已知他們中B學(xué)科良好的有50人，兩門學(xué)科均良好的有40人．（1）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的2×2列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表，判斷是否有95%的把握認(rèn)為這次考試學(xué)生的A學(xué)科良好與B學(xué)科良好有關(guān)；B學(xué)科良好B學(xué)科不夠良好合計(jì)A學(xué)科良好A學(xué)科不夠良好合計(jì)（2）用樣本頻率估計(jì)總體概率，從該地區(qū)參加考試的全體學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，記這3人中A，B學(xué)科均良好的人數(shù)為隨機(jī)變量X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望．附：K2＝，其中n＝a+b+c+d．P（K2≥k0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82820．（12分）已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2，點(diǎn)在橢圓C上，且．（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)橢圓C的右焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F斜率不為0的直線l交橢圓C于P，Q兩點(diǎn)，記直線MP與直線MQ的斜率分別為k1，k2，當(dāng)k1+k2＝0時(shí)，求△MPQ的面積．21．（12分）已知函數(shù)f（x）＝aex﹣x﹣a，其中a＞0．（1）若a＝1，證明：f（x）≥0；（2）設(shè)函數(shù)g（x）＝xf（x），若x＝0為g（x）的極大值點(diǎn)，求a的取值范圍．（二）選考題：共10分.請(qǐng)考生在22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]?22．（10分）在平面直角坐標(biāo)系中，曲線C1：x2﹣y2＝2，曲線C2的參數(shù)方程為（θ為參數(shù)）．以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．（1）求曲線C1，C2的極坐標(biāo)方程；（2）在極坐標(biāo)系中，射線與曲線C1，C2分別交于A，B兩點(diǎn)（異于極點(diǎn)O），求|AB|的長(zhǎng)度．[選修4-5：不等式選講]?23．已知f（x）＝2|x+2|﹣|ax|．（1）當(dāng)a＝2時(shí)，求不等式f（x）＞2的解集；（2）若對(duì)任意x∈（﹣1，1），不等式f（x）＞x+1恒成立，求a的取值范圍．

2023-2024學(xué)年四川省成都市彭州市高三（上）期中數(shù)學(xué)試卷（理科）參考答案與試題解析一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．【分析】根據(jù)集合的并集補(bǔ)集運(yùn)算求解即可．【解答】解：因?yàn)锳＝{1，3，5}，B＝{3，4，5}，所以A?B＝{1，3，4，5}，所以?U（A∪B）＝{2，6}．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了集合的并集和補(bǔ)集運(yùn)算問(wèn)題，是基礎(chǔ)題．2．【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義確定復(fù)數(shù)z，再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念以及復(fù)數(shù)的運(yùn)算，即可得答案．【解答】解：由題意知復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是（﹣1，1），故z＝﹣1+i，所以．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．3．【分析】根據(jù)題意，由全稱命題和特稱命題的關(guān)系，分析可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，命題p：?n∈N，2n﹣2不是素?cái)?shù)，則￢p為?n∈N，2n﹣2是素?cái)?shù)．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查命題的否定，注意全稱命題和特稱命題的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．4．【分析】根據(jù)題意，設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，結(jié)合等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式分析可得關(guān)于d的方程，解可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，若，即（4a1+6d）﹣（2a1+d）＝d＝2，即d＝2．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列的求和，涉及等差數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．5．【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合平面向量垂直的性質(zhì)，即可求解．【解答】解：向量＝（1，1），＝（x，﹣1）則，（+）⊥，則x（1+x）+0＝0，解得x＝0或x＝﹣1，故“（+）⊥”是“x＝0”的必要不充分條件．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平面向量垂直的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．6．【分析】通過(guò)計(jì)算得到選項(xiàng)AB正確；觀察數(shù)據(jù)的波動(dòng)情況，得到選項(xiàng)C錯(cuò)誤；設(shè)2022年4月23日的高速公路車流量為x萬(wàn)車次，則，解得x＝20，故D正確．【解答】解：對(duì)于A：由題圖知，2023年4月19日至4月25日的高速公路車流量的極差為25﹣2＝23，故A正確；對(duì)于B：易知2023年4月19日至4月25日的高速公路車流量的中位數(shù)為17，故B正確；對(duì)于C：2023年4月19日至4月21日的高速公路車流量波動(dòng)更大，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：2023年4月23日的高速公路車流量為22萬(wàn)車次，同比增長(zhǎng)率為10%，設(shè)2022年4月23日的高速公路車流量為x萬(wàn)車次，則，解得x＝20，故D正確．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查統(tǒng)計(jì)圖獲取信息，屬于基礎(chǔ)題．7．【分析】根據(jù)圖象求得f（x）的解析式，再求的值．【解答】解：由圖可知T＝﹣＝，解得T＝π，即＝π，解得ω＝2，由f（）＝2sin（2×+φ）＝2，所以sin（+φ）＝1，所以+φ＝+2kπ，k∈Z；解得φ＝+2kπ，k∈Z，又因?yàn)閨φ|＜，所以φ＝，所以f（x）＝2sin（2x+），f（﹣）＝2sin（﹣+）＝2sin（﹣）＝2sin（﹣）＝﹣2sin＝﹣1．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了推理與運(yùn)算能力，是基礎(chǔ)題．8．【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的性質(zhì)：T＝，可得：3＝10lg3≈100.48，代入M將M也化為10為底的指數(shù)形式，進(jìn)而可得結(jié)果．【解答】解：由題意：M≈3361，N≈1080，根據(jù)對(duì)數(shù)性質(zhì)有：3＝10lg3≈100.48，∴M≈3361≈（100.48）361≈10173，∴≈＝1093，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題解題關(guān)鍵是將一個(gè)給定正數(shù)T寫成指數(shù)形式：T＝，考查指數(shù)形式與對(duì)數(shù)形式的互化，屬于簡(jiǎn)單題．9．【分析】求得P點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)直線PF1的斜率列方程，化簡(jiǎn)求得雙曲線的離心率．【解答】解：由于線段PF1與y軸的交點(diǎn)恰為PF1的中點(diǎn)，且O是F1F2的中點(diǎn)，由三角形的中位線定理，可得PF2⊥F1F2，由解得，則，而F1（﹣c，0），所以，即8ac＝3c2﹣3a2，即3c2﹣8ac﹣3a2＝0，由離心率e＝，兩邊除以a2得3e2﹣8e﹣3＝0，解得e＝3或（舍去）．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，以及三角形的中位線定理，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于中檔題．10．【分析】由方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題的相互轉(zhuǎn)化，結(jié)合函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱性、周期性，作圖觀察可得解【解答】解：由f（x）為奇函數(shù)，則f（x）＝﹣f（﹣x），又f（2﹣x）+f（x）＝0，得：f（2﹣x）＝f（﹣x），即函數(shù)f（x）是其圖象關(guān)于點(diǎn)（1，0）對(duì)稱，且周期為2的奇函數(shù)，又y＝sinπx的圖象關(guān)于（k，0）對(duì)稱，其圖象如圖所示：在區(qū)間[﹣1，m]上有10個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為：[3.5，4），故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱性、周期性，屬中檔題．11．【分析】探討函數(shù)f（x）的對(duì)稱性及在（1，+∞）的單調(diào)性，再借助函數(shù)性質(zhì)求解不等式即得．【解答】解：函數(shù)f（x）＝ex+e2﹣x+x2﹣2x的定義域?yàn)镽，顯然f（2﹣x）＝e2﹣x+ex+（2﹣x）2﹣2（2﹣x）＝ex+e2﹣x+x2﹣2x＝f（x），則函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，當(dāng)x＞1時(shí)，f′（x）＝ex﹣e2﹣x+2x﹣2，顯然x＞2﹣x，ex＞e2﹣x，于是f′（x）＞0，即函數(shù)f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，則不等式f（2x+1）＜f（x）等價(jià)于|2x+1﹣1|＜|x﹣1|，整理得3x2+2x﹣1＜0，解得，所以不等式的解集為．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．12．【分析】由題意可知，x1∈[0，]，即sinx1∈[0，1]，可得f（x1）∈[2，5]，將存在任意的x1∈[0，]，都存在x2∈[0，]，使得f（x）＝2f（x+θ）+2成立，轉(zhuǎn)化為f（x2+θ）min≤0，，又由f（x）＝3sinx+2，可得，，再將選項(xiàng)中的值，依次代入驗(yàn)證，即可求解．【解答】解：∵x1∈[0，]，∴sinx1∈[0，1]，∴f（x1）∈[2，5]，∵都存在x2∈[0，]，使得f（x1）＝2f（x2+θ）+2成立，∴f（x2+θ）min≤0，，∵f（x）＝3sinx+2，∴，，y＝sinx在x∈上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，∴，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤，當(dāng)時(shí)，，∴，，故B選項(xiàng)正確，當(dāng)時(shí)，x2+θ，sin（x2+θ）max＝，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤，當(dāng)時(shí)，，sin（x2+θ）max＝，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角函數(shù)的單調(diào)性，以及恒成立問(wèn)題，需要學(xué)生有較綜合的知識(shí)，屬于中檔題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．【分析】在二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式中，令x的冪指數(shù)等于零，求得r的值，可得展開式的常數(shù)項(xiàng)．【解答】解：在的展開式中，通項(xiàng)公式為Tr+1＝?（﹣2）r?x4﹣2r，令4﹣2r＝0，求得r＝2，可得常數(shù)項(xiàng)為?（﹣2）2＝24，故答案為：24．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題．14．【分析】由等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式，可得所求．【解答】解：數(shù)列{an}滿足an＝2an﹣1（n≥2，n∈N*），且a1＝1，可得數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，則an＝1×2n﹣1＝2n﹣1，n∈N*．故答案為：2n﹣1，n∈N*．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等比數(shù)列的定義與通項(xiàng)公式，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．15．【分析】由拋物線的方程可知焦點(diǎn)F的坐標(biāo)，由題意可得過(guò)A點(diǎn)的入射光線與拋物線的交點(diǎn)B的坐標(biāo)，進(jìn)而求出反射光線BF的方程，與拋物線的方程聯(lián)立可得C點(diǎn)的坐標(biāo)，再求出|BC|的值．【解答】解：因?yàn)閽佄锞€的方程為y2＝4x，可知焦點(diǎn)F（1，0），過(guò)A（5，4）平行于對(duì)稱軸的入射光線為：y＝4，代入拋物線的方程可得B（4，4），由題意可知反射光線為BF，可得kBF＝＝，所以直線BF的方程為x＝y(tǒng)+1，聯(lián)立，整理可得：y2﹣3y﹣4＝0，可得y＝4或y＝﹣1，將y＝﹣1代入拋物線的方程可得x＝，即B（4，4），C（，﹣1），可得|BC|＝＝．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與拋物線的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．16．【分析】構(gòu)造f（x）＝x+lnx，由函數(shù)單調(diào)性得到ea＝b，通過(guò)變換可得到①②③④正確．【解答】解：由ea+a＝b+lnb＝2，得ea+lnea＝b+lnb＝2，令f（x）＝x+lnx，x＞0，則恒成立，∴f（x）＝x+lnx在（0，+∞）上單調(diào)遞增，故ea＝b，∴beb＝ea?eb＝ea+b＝e2，故①正確，ea+a＝b+a＝2，故②正確，ea+lnb＝b+lnb＝2，故④正確，由f（x）＝x+lnx可得：，，又f（x）＝x+lnx在（0，+∞）上單調(diào)遞增，且f（b）＝2，故，從而eb+lna＝eb+ln（2﹣b），設(shè)，，又g′（x）＞0恒成立，∴g（x）在上單調(diào)遞增，從而，故③正確．故答案為：①②③④．【點(diǎn)評(píng)】本題考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，訓(xùn)練了利用放縮法與導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)不等式，考查邏輯思維能力與推理論證能力，屬難題．三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.第17～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.17．【分析】（1）根據(jù)題意，利用正弦定理化簡(jiǎn)得，得到，即可求解；（2）由正弦定理得到，，結(jié)合題意，求得bc＝3，進(jìn)而求得△ABC的面積．【解答】解：（1）因?yàn)閍sinB+bcosA＝0，由正弦定理得sinAsinB+sinBcosA＝0，因?yàn)閟inB＞0，所以sinA+cosA＝0，即tanA＝﹣，由A為三角形內(nèi)角，得A＝；（2）由正弦定理，所以，所以，，因?yàn)閍＝3，，所以，所以△ABC的面積為．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正弦定理，和差角公式及三角形面積公式的應(yīng)用，屬于中檔題．18．【分析】（1）先構(gòu)造并證明面面平行，繼而利用面面平行的性質(zhì)定理證明結(jié)論；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求得相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，求得平面CDP和平面CDF的法向量，利用空間角的向量求法即可求得答案．【解答】解：（1）證明：取AB的中點(diǎn)M，連結(jié)ME，MF，由E，F(xiàn)分別為CD，PA的中點(diǎn)，得ME∥BC，MF∥PB，∵BC，PB?平面PBC，F(xiàn)M，EM?平面PBC，∴ME∥平面PBC，MF∥平面PBC，又ME∩MF＝M，ME，MF?平面EFM，∴平面EFM∥平面PBC，∵EF?平面EFM，∴EF∥平面PBC；（2）以A為原點(diǎn)，分別以AB、AD、AP所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)﹣xyz，由PA＝AD＝4，AB＝BC＝2，得A（0，0，0），C（2，2，0），D（0，4，0），P（0，0，4），F(xiàn)（0，0，2），∴，設(shè)平面CDP的一個(gè)法向量為，由，取a＝1，得；設(shè)平面CDF的一個(gè)法向量為，由，取x＝1，得，∴cos＜＞＝＝，由幾何體的空間結(jié)構(gòu)知，二面角P﹣CD﹣F為銳角，故二面角P﹣CD﹣F的余弦值為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與平面平行的判定，考查空間想象能力與思維能力，訓(xùn)練了利用空間向量求解空間角，是中檔題．19．【分析】（1）由題意，根據(jù)頻率分布直方圖計(jì)算可得出A學(xué)科良好的人數(shù)，補(bǔ)全2×2列聯(lián)表，代入公式求出觀測(cè)值，將其與臨界值進(jìn)行對(duì)比，進(jìn)而即可求解；（2）先得到X的所有可能取值，求出相對(duì)應(yīng)的概率，列出分布列，代入期望公式中即可求解．【解答】解：（1）由頻率分布直方圖可得A學(xué)科良好的人數(shù)為100×（0.040+0.025+0.005）×10＝70，所以2×2列聯(lián)表如下：B學(xué)科良好B學(xué)科不夠良好合計(jì)A學(xué)科良好403070A學(xué)科不夠良好102030合計(jì)5050100假設(shè)H0：A學(xué)科良好與B學(xué)科良好無(wú)關(guān)，此時(shí)K2＝＞3.841，所以我們有95%把握認(rèn)為A學(xué)科良好與B學(xué)科良好有關(guān)；（2）已知AB學(xué)科均良好的概率P＝＝，易知X的所有可能取值為0，1，2，3，此時(shí)P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，，P（X＝3）＝＝，則X的分布列為：X0123P所以E（X）＝0×+1×+2×+3×＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查離散型隨機(jī)變量分布列的期望以及獨(dú)立性檢驗(yàn)，考查了邏輯推理和運(yùn)算能力．20．【分析】（1）由題意，利用點(diǎn)在橢圓上及數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算列方程求解即可；（2）設(shè)出直線l的方程，將直線l與橢圓方程聯(lián)立，韋達(dá)定理，求出弦長(zhǎng)及三角形的高，進(jìn)而可得三角形面積．【解答】解：（1）易知A1（﹣a，0），A2（a，0），又，所以，則，因?yàn)閍＞0，解得a＝2，因?yàn)樵跈E圓C上且a＝2，所以，解得b2＝3，則橢圓C的方程為；（2）由（1）知，右焦點(diǎn)為F（1，0），不妨設(shè)直線l的方程為x＝my+1（m≠0），P（my1+1，y1），Q（my2+1，y2），易得，因?yàn)閗1+k2＝0，所以，整理得4y1y2＝3（y1+y2），聯(lián)立，消去x并整理得（3m2+4）y2+6my﹣9＝0，此時(shí)Δ＝（6m）2+36（3m2+4）＝144（m2+1）＞0，由韋達(dá)定理得，又4y1y2＝3（y1+y2），所以，解得m＝2，則直線l的方程為x﹣2y﹣1＝0，此時(shí)，易知，不妨設(shè)點(diǎn)M到直線l的距離為d，則，所以．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的性質(zhì)以及直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題，考查了邏輯推理和運(yùn)算能力．21．【分析】（1）求導(dǎo)，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可得最值，從而證得結(jié)論；（2）求導(dǎo)，分類討論確定函數(shù)的單調(diào)性，從而驗(yàn)證極值，即可得a的取值范圍．【解答】解：（1）證明：若a＝1，則f（x）＝ex﹣x﹣1，且x∈R，則f′（x）＝ex﹣1，令f′（x）＝0，得x＝0，在（﹣∞，0）上，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，在（0，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，故f（x）＞f（x）min＝f（0）＝0；（2）由題意，g（x）＝axex﹣x2﹣ax，則g′（x）＝a（x+1）ex﹣2x﹣a＝a[（x+1）ex﹣1]﹣2x，當(dāng)x＞0時(shí)，易得（x+1）ex﹣1＞0，所以由（1）可得，若a≥1，則g′（x）＝a[（x+1）ex﹣1]﹣2x≥（x+1）ex﹣2x﹣1＞（x+1）2﹣2x﹣1＝x2＞0，所以g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，這與x＝0為函數(shù)g（x）的極大值點(diǎn)相矛盾；若0＜a＜1，令h（x）＝a[（x+1）ex﹣1]﹣2x，則h′（x）＝a（x+2）ex﹣2，又令m（x）＝a（x+2）ex﹣2，則m′（x）＝a（x+3）ex＞0對(duì)x＞﹣3恒成立，所以h′（x）在（﹣3，+∞）上單調(diào)遞增，又h′（0）＝2a﹣2＜0，h'（﹣2）＞a（﹣2+2）﹣2＝0，因?yàn)?＜a＜1，所以，因此存在唯一x0∈（0，），使得h'（x0）＝0，所以在（﹣3，x0）上，h′（x）＜0，即g′（x）單調(diào)遞減，又g′（0）＝0，所以在（﹣3，0）上，g′（x）＞0，故g（x）單調(diào)遞增，在（0，x0）上，g′（x）＜0，故g（x）單調(diào)遞減，所以x＝0為函數(shù)f