《線性代數(shù)》電子教程之三省公開課金獎(jiǎng)全國賽課一等獎(jiǎng)微課獲獎(jiǎng)?wù)n件

《線性代數(shù)》

電子教案之三11/59主要內(nèi)容第三講

矩陣及其運(yùn)算矩陣概念；零矩陣、對角矩陣、單位矩陣、對稱矩陣等特殊矩陣；矩陣線性運(yùn)算（矩陣加法及矩陣與數(shù)乘法）、矩陣與矩陣乘法、矩陣轉(zhuǎn)置、方陣行列式以及他們運(yùn)算規(guī)律.基本要求了解矩陣概念，知道零矩陣、對角矩陣、單位矩陣、對稱矩陣等特殊矩陣；熟練掌握矩陣運(yùn)算及其運(yùn)算規(guī)律.22/59一、矩陣定義與記號第一節(jié)矩陣1.定義

由個(gè)數(shù)排成行列數(shù)表稱為行列矩陣，簡稱矩陣.為表示這個(gè)數(shù)表是一個(gè)整體，總是加一個(gè)括弧，并用大寫黑體字母表示它，記作33/59這個(gè)數(shù)稱為矩陣元素，簡稱為元，數(shù)位于矩陣第行第列，稱為矩陣元.以數(shù)為元矩陣可簡記作或.矩陣也記作注意（1）矩陣記號是在數(shù)表外加上括弧，與行列式記號（在數(shù)表外加上雙豎線）是不一樣，這是兩個(gè)不一樣概念，注意區(qū)分.（2）矩陣行數(shù)和列數(shù)不一定相等.44/592.相關(guān)概念實(shí)矩陣與復(fù)矩陣：元素是實(shí)數(shù)矩陣稱為實(shí)矩陣，元素是復(fù)數(shù)矩陣稱為復(fù)矩陣；除尤其說明外，都指實(shí)矩陣.行矩陣（行向量）：只有一行矩陣，記作列矩陣（列向量）：只有一列矩陣，記作矩陣矩陣55/59方陣：行數(shù)與列數(shù)都等于矩陣稱為階矩陣或階方陣.階矩陣也記作同型矩陣:兩個(gè)矩陣行數(shù)相等、列數(shù)也相等時(shí)，就稱它們是同型矩陣.矩陣相等：假如與是同型矩陣，而且它們對應(yīng)元素相等，即那么就稱矩陣與矩陣相等，記作66/59二、矩陣舉例例2

某廠向三個(gè)商店發(fā)送四種產(chǎn)品數(shù)量可列成矩陣其中為工廠向第店發(fā)送第種產(chǎn)品數(shù)量.這四種產(chǎn)品單價(jià)及單件重量也可列成矩陣其中為第種產(chǎn)品單價(jià)，為第種產(chǎn)品單件重量.說明

從兩個(gè)矩陣能夠清楚看出這個(gè)廠產(chǎn)品信息.77/59例3

四個(gè)城市間單向航線以下列圖所表示，1234若令則這個(gè)圖能夠用矩陣表示為說明

用矩陣表示這個(gè)圖后，就能夠用計(jì)算機(jī)對這個(gè)圖進(jìn)行分析和計(jì)算.88/59例4個(gè)變量與個(gè)變量之間關(guān)系式稱為從變量到變量線性變換.線性變換系數(shù)組成矩陣稱為線性變換系數(shù)矩陣，線性變換與矩陣是一一對應(yīng).99/59三、幾個(gè)特殊矩陣單位矩陣（單位陣）：從左上角到右下角直線單位矩陣對應(yīng)線性變換為恒等變換（叫做（主）對角線）上元素都是1，其它元素都是0，這種矩陣稱為單位矩陣，簡稱單位陣，用表示，即1010/59對角矩陣：對角矩陣對應(yīng)線性變換為不在對角線上元素都是0.這種方陣稱為對角矩陣，簡稱對角陣，用表示，即1111/59零矩陣：元素都是零矩陣，記作0.注意

不一樣型零矩陣是不一樣，比如1212/59數(shù)量矩陣（純量矩陣）：不在對角線上元素都是0，對角線上元素相同，這種矩陣稱為數(shù)量矩陣，又稱純量矩陣，用表示，

即1313/59四、小結(jié)在線性代數(shù)里，矩陣是一個(gè)主要工具，也是一個(gè)主要研究對象.1850年由西爾維斯特（Sylvester）首先提出矩陣概念矩陣應(yīng)用十分廣泛：自然科學(xué)、工程技術(shù)、社會(huì)科學(xué)等許多領(lǐng)域。如在觀察、導(dǎo)航、機(jī)器人位移、化學(xué)分子結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性分析、密碼通訊、含糊識別，以及計(jì)算機(jī)層析X射線攝影術(shù)等方面，都有廣泛應(yīng)用1858年卡萊（A.Cayley）建立了矩陣運(yùn)算規(guī)則1414/59西爾維斯特（Sylvester,1814-1897），他是猶太人，故他在取得劍橋大學(xué)數(shù)學(xué)榮譽(yù)會(huì)考第二名優(yōu)異成績時(shí)，仍被禁止在劍橋大學(xué)任教。從1841年起他接收過一些較低教授職位，也擔(dān)任過書記官和律師。經(jīng)過一些年努力，他終于成為霍布金斯大學(xué)教授，并于1884年70歲時(shí)重返英格蘭成為牛津大學(xué)教授。他開創(chuàng)了美國純數(shù)學(xué)研究，并創(chuàng)辦了《美國數(shù)學(xué)雜志》。在長達(dá)50多年時(shí)間內(nèi)，他是行列式和矩陣論一直不渝作者之一。1515/59卡萊（Cayley1821-1895）生于一個(gè)古老而有才能英國家庭，在學(xué)校中他就顯示了數(shù)學(xué)才能.他老師說服他父親送他到劍橋，而不要讓他做家務(wù).在劍橋它是數(shù)學(xué)榮譽(yù)會(huì)考一等第一名，并取得Smith獎(jiǎng)，他當(dāng)選為劍橋三一學(xué)院研究員和助理導(dǎo)師，但3年后因?yàn)楸仨殦?dān)任圣職而離開。他轉(zhuǎn)向法律并在這個(gè)職業(yè)上花費(fèi)了以后15年.這期間他用了大量時(shí)間搞數(shù)學(xué)，并發(fā)表了近200篇文章.也是在這時(shí)，他和Sylvester開始了長久情誼和合作.1863年，他被任命為劍橋新創(chuàng)建Sadler數(shù)學(xué)教授。除去1882年受Sylvester聘請?jiān)诨羝战鹚勾髮W(xué)以外，他一直在劍橋，直到逝世．1616/59一、矩陣加減法第二節(jié)矩陣運(yùn)算1.定義兩個(gè)同為矩陣相加（減）后得一矩陣，其元素為兩矩陣對應(yīng)元素和（差）.尤其注意只有兩個(gè)矩陣是同型矩陣時(shí)，這兩個(gè)矩陣才能進(jìn)行加（減）法.1717/59比如1818/592.矩陣加減法_運(yùn)算規(guī)則交換律：結(jié)合律：設(shè)矩陣記稱為矩陣負(fù)矩陣.

1919/59二、矩陣與數(shù)乘法（矩陣數(shù)乘）1.定義階矩陣與一個(gè)數(shù)相乘后得一矩陣，其元素為原矩陣對應(yīng)元素乘以這個(gè)數(shù).記作說明矩陣負(fù)矩陣；

純量矩陣.

2020/59比如2121/592.矩陣數(shù)乘_運(yùn)算規(guī)則

說明

矩陣加法與矩陣數(shù)乘合起來，統(tǒng)稱為矩陣線性運(yùn)算.2222/59三、矩陣與矩陣乘法（矩陣乘法）1.概念引入某家電企業(yè)向三個(gè)商店發(fā)送四種產(chǎn)品數(shù)量以下表空調(diào)冰箱29``彩電25``彩電甲商店30205020乙商店07100丙商店504050502323/59這四種產(chǎn)品售價(jià)（單位：百元）及重量（單位：千克）以下售價(jià)重量空調(diào)3040冰箱163029``彩電223025``彩電1820問：該企業(yè)向每個(gè)商店出售產(chǎn)品總售價(jià)及總重量分別是多少？2424/59甲商店乙商店丙商店售價(jià)重量2525/592.定義定義以下：若則其中設(shè)是一個(gè)矩陣，是一個(gè)矩陣，與乘積是一個(gè)矩陣，記作說明：

元就是第行元素與第列元素對應(yīng)乘積之和.2626/59尤其注意_乘積不可交換可乘前提是列數(shù)等于行數(shù).

乘積普通不能夠交換，1）

為矩陣，但無意義；2）為和都有意義，但2階矩陣，為3階矩陣，不相等；3）若則稱矩陣乘積可交換.2727/59例題例5求矩陣與乘積解析：是矩陣，是矩陣，列數(shù)等于行數(shù)，所以矩陣與能夠相乘.2828/59例題例5求矩陣與乘積解析：是矩陣，是矩陣，列數(shù)等于行數(shù)，所以矩陣與能夠相乘.2929/59例題例5求矩陣與乘積解析：是矩陣，是矩陣，列數(shù)等于行數(shù)，所以矩陣與能夠相乘.3030/59例題例5求矩陣與乘積解析：是矩陣，是矩陣，列數(shù)等于行數(shù)，所以矩陣與能夠相乘.3131/59例6求矩陣與乘積及

解說明

此例不但表明矩陣乘法不滿足交換律，而且還表明矩陣乘法不滿足消去律，即1）若不能推出2）若不能推出3232/59３．矩陣乘法_運(yùn)算規(guī)則

或簡寫成

純量矩陣與方陣乘積說明

第五條規(guī)則表明，純量矩陣與方陣都是可交換．3333/59４．方陣冪定義設(shè)是階方陣，定義說明

此定義表明，就是個(gè)連乘，而且顯然，只有方陣，它冪才有意義.運(yùn)算規(guī)則

尤其注意

普通來說，與不相等.3434/59方陣多項(xiàng)式設(shè)稱為方陣

次多項(xiàng)式.為數(shù)次多項(xiàng)式，記同一個(gè)方陣兩個(gè)矩陣多項(xiàng)式是可交換：設(shè)是兩個(gè)多項(xiàng)式，則由此可知，方陣多項(xiàng)式能夠像數(shù)多項(xiàng)式一樣分解因式.如3535/59說明

當(dāng)與可交換時(shí)，有類似與數(shù)乘法公式.

與為同階方陣：3636/595.行矩陣與列矩陣乘積設(shè)則3737/59例7下列圖示明了d國三個(gè)城市，e國三個(gè)城市，f國兩個(gè)城市相互間之道路.交通網(wǎng)絡(luò)模型在d國和e國間城市通路情況可用以下形式表示：在e國和f國間城市通路情況可用以下形式表示：其中：0,1指城市間通路數(shù)3838/59求：d國和f國城市通路形式？3939/59四、矩陣轉(zhuǎn)置1.定義

把矩陣行換成同序數(shù)列得到一個(gè)新矩陣，叫做轉(zhuǎn)置矩陣，記作.即若則其中比如則轉(zhuǎn)置矩陣為設(shè)矩陣4040/592.對稱矩陣設(shè)為階方陣，假如滿足，即那么稱為對稱矩陣，簡稱對稱陣.比如對稱陣特點(diǎn)是：它元素以對角線為對稱軸，對應(yīng)相等.4141/593.矩陣轉(zhuǎn)置_運(yùn)算規(guī)則

4242/59例8已知求解法1解法2

此例驗(yàn)證了矩陣轉(zhuǎn)置運(yùn)算規(guī)則44343/59例9設(shè)列矩陣滿足，證析：要證實(shí)一個(gè)方陣是不是對稱陣，就是驗(yàn)證它是否滿足對稱陣條件所以是對稱陣.為階單位矩陣，證實(shí)是對稱陣，且注意和

區(qū)分4444/59五、方陣行列式1.定義由階方陣元素所組成行列式（各元素位置不變），稱為方陣行列式，記作或尤其注意方陣與行列式是兩個(gè)不一樣概念，方陣是一個(gè)數(shù)表，而行列式則是一個(gè)數(shù).方陣與它行列式又是緊密相關(guān)，行列式是方陣確定一個(gè)數(shù)，所以行列式可看作方陣函數(shù)；同時(shí)，行列式是方陣特征主要標(biāo)志.4545/592.由確定_運(yùn)算規(guī)則

證實(shí)注意但但4646/593.伴隨矩陣稱為矩陣伴隨矩陣，簡稱伴隨陣.矩陣行列式各元素代數(shù)余子式所組成以下矩陣4747/59說明此性質(zhì)表明與可交換，且其乘積為單位陣倍；當(dāng)時(shí)，由此可深入討論與性質(zhì)（后面介紹）.伴隨矩陣基本性質(zhì)證實(shí)4848/59例10設(shè)求伴隨矩陣解4949/59所以，所求伴隨陣為驗(yàn)證5050/59六、共軛矩陣當(dāng)為復(fù)矩陣時(shí)，用表示共軛復(fù)數(shù)，記稱為共軛矩陣.

定義由確定_