備戰(zhàn)2024中考數(shù)學考試易錯模型02 相似模型（十大易錯分析+變式訓練+易錯題通關(guān)）（解析版）

試卷第=page22頁，共=sectionpages2727頁易錯模型02相似模型易錯模型一：A字型相似模型【模型解讀】①如圖，在中，點D在上，點E在上，，則，．②模型拓展1：斜交A字型條件：，圖2結(jié)論：；③模型拓展2：如圖，∠ACD＝∠B?△ADC∽△ACB?．【易錯點】善于尋找A字型的相似；【例1】（2023秋·全國·九年級專題練習）如圖，P為的邊上的一點，E，F(xiàn)分別為，的中點，，，的面積分別為S，S1，S2．若，則的值是（）

A．24 B．12 C．6 D．10【答案】B【分析】過P作平行于，由與平行，得到平行于，可得出四邊形與都為平行四邊形，進而確定出與面積相等，與面積相等，再由為的中位線，利用中位線定理得到為的一半，且平行于，得出與相似，相似比為1：2，面積之比為1：4，求出的面積，而面積＝面積+面積，即為面積+面積，即為平行四邊形面積的一半，即可求出所求的面積．【詳解】解：過P作交BC于點Q，由，得到，

∴四邊形與四邊形都為平行四邊形，∴，，∴，，∵為的中位線，∴，，∴，且相似比為1：2，∴，，∴，故選：B．【點睛】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．練習1．（2023·廣東深圳·校考三模）如圖，在中，，D是上一點，點E在上，連接交于點F，若，則＝．【答案】2【分析】過D作垂直于H點，過D作交BC于G點，先利用解直角三角形求出的長，其次利用，求出的長，得出的長，最后利用求出的長，最后得出答案．【詳解】解：如圖：過D作垂直于H點，過D作交于G點，∵在中，，∴，又∵，∴，∴在等腰直角三角形中，，∴，在中，，∵，∴，，∴，

又∵，∴，∴，∴，即，∴，∴，又∵，∴，又∵，∴，又，∴，∴，故答案為：2．【點睛】本題考查勾股定理，等腰直角三角形性質(zhì)及相似三角形的判定與性質(zhì)綜合，解題關(guān)鍵在于正確做出輔助線，利用相似三角形的性質(zhì)得出對應邊成比例求出答案．練習2．（2023秋·上海長寧·九年級上海市第三女子初級中學?？茧A段練習）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝6，AD平分∠BAC，交邊BC于點D，過點D作CA的平行線，交邊AB于點E．(1)求線段DE的長；(2)取線段AD的中點M，連接BM，交線段DE于點F，延長線段BM交邊AC于點G，求的值．【答案】(1)4(2)【分析】（1）根據(jù)平行線分線段成比例定理，列出比例式求解即可；（2）根據(jù)平行線分線段成比例定理，列出比例式求解即可．【詳解】（1）解：∵AD平分∠BAC，∠BAC＝60°，∴∠DAC＝30°，在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，∠DAC＝30°，AC＝6，∴CD＝，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝6，∴BC＝，∴BD＝BC－CD＝，∵DE∥CA，∴，∴DE＝4；（2）解：如圖．∵點M是線段AD的中點，∴DM＝AM，∵DE∥CA，∴＝．∴DF＝AG．∵DE∥CA，∴＝，＝．∴＝．∵BD＝4，BC＝6，DF＝AG，∴．【點睛】考查了平行線分線段成比例定理，注意線段之間的對應關(guān)系．練習3．（2022春·全國·九年級專題練習）王華同學在晚上由路燈AC走向路燈BD，當他走到點P時，發(fā)現(xiàn)身后他影子的頂部剛好接觸到路燈AC的底部，當他向前再步行12m到達Q點時，發(fā)現(xiàn)身前他影子的頂部剛好接觸到路燈BD的底部．已知王華同學的身高是1.6m，兩個路燈的高度都是9.6m．(1)求兩個路燈之間的距離；(2)當王華同學走到路燈BD處時，他在路燈AC下的影子長是多少？【答案】(1)18m(2)3.6m【分析】（1）如圖1，先證明△APM∽△ABD，利用相似比可得AP＝AB，即得BQ＝AB，則AB+12+AB＝AB，解得AB＝18（m）；（2）如圖2，他在路燈AC下的影子為BN，證明△NBM∽△NAC，利用相似三角形的性質(zhì)得，然后利用比例性質(zhì)求出BN即可．【詳解】（1）如圖1，∵PMBD，∴△APM∽△ABD，，即，∴AP＝AB，∵QB=AP，∴BQ＝AB，而AP+PQ+BQ＝AB，∴AB+12+AB＝AB，∴AB＝18．答：兩路燈的距離為18m；（2）如圖2，他在路燈AC下的影子為BN，∵BMAC，∴△NBM∽△NAC，∴，即，解得BN＝3.6．答：當他走到路燈BD時，他在路燈AC下的影長是3.6m．【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，要求學生能根據(jù)題意畫出對應圖形，能判定出相似三角形，以及能利用相似三角形的性質(zhì)即相似三角形的對應邊的比相等的原理解決求線段長的問題等，蘊含了數(shù)形結(jié)合的思想方法．1．直線l1∥l2∥l3，且l1與l2的距離為1，l2與l3的距離為3，把一塊含有45°角的直角三角形如圖放置，頂點A，B，C恰好分別落在三條直線上，AC與直線l2交于點D，則線段BD的長度為A． B． C． D．【答案】C【分析】分別過點A、B、D作AF⊥l3，BE⊥l3，DG⊥l3，先證明△BCE≌△ACF，再證明△CDG∽△CAF，進而即可求解．【詳解】解：如圖，分別過點A、B、D作AF⊥l3，BE⊥l3，DG⊥l3，∵△ABC是等腰直角三角形，∴AC=BC．∵∠EBC+∠BCE=90°，∠BCE+∠ACF=90°，∠ACF+∠CAF=90°，∴∠EBC=∠ACF，∠BCE=∠CAF．在△BCE與△ACF中，∵∠EBC=∠ACF，BC=AC，∠BCE=∠CAF，∴△BCE≌△CAF（ASA）．∴CF=BE=3，CE=AF=4．在Rt△ACF中，∵AF=4，CF=3，∴，∵AF⊥l3，DG⊥l3，∴△CDG∽△CAF．∴，解得．在Rt△BCD中，∵，BC=5，∴．故選C．【點睛】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，掌握相似三角形的判定和性質(zhì)，列出比例式是關(guān)鍵．2．如圖已知正方形DEFG的頂點D、E在△ABC的邊BC上，頂點G、F分別在邊AB、AC上．如果BC=4，△ABC的BC邊上的高是3，那么這個正方形的邊長是．【答案】【分析】過點A作AM⊥BC于M，由△ABC的BC邊上的高是3可得AM=3，由正方形的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)可得，即可求正方形的邊長．【詳解】如圖，過點A作AM⊥BC于M，∵△ABC的BC邊上的高是3，∴AM=3，∵四邊形DEFG是正方形，∴GD=FG,GF∥BC,GD∥AM，∴△AGF∽△ABC，△BGD∽△BAM，∴，．∴．∴GF=．故答案為：．【點睛】本題考查正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定為解題關(guān)鍵．3．如圖，Rt△APE，∠AEP＝90°，以AB為直徑的⊙O交PE于C，且AC平分∠EAP．連接BC，PB：PC＝1：2．（1）求證：PE是⊙O的切線；（2）已知⊙O的半徑為，求AP的長．【答案】（1）見解析；（2）【分析】（1）連接OC，由AC平分∠EAP，得到∠DAC＝∠OAC，由等腰三角形的性質(zhì)得到∠CAO＝∠ACO，等量代換得到∠DAC＝∠ACO，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠E＝∠OCP＝90°，于是得到結(jié)論；（2）設PB＝x，PC＝2x，根據(jù)勾股定理得到PC，PB，求得AP【詳解】解：（1）連接OC，∵AC平分∠EAP，∴∠DAC＝∠OAC，∵OA＝OC，∴∠CAO＝∠ACO，∴∠DAC＝∠ACO，∴AE∥OC，∴∠E＝∠OCP＝90°，∵OC是圓O的半徑∴PE是⊙O的切線；（2）∵PB：PC＝1：2，∴設PB＝x，PC＝2x，∵OC2+PC2＝OP2，即（）2+（2x）2＝（x）2，∴x，∴PC，PB，∴AP，【點睛】本題考查了切線的判定，勾股定理，熟記切線的判定是解題的關(guān)鍵．4．如圖，中，中線，交于點，交于點．（1）求的值．（2）如果，，請找出與相似的三角形，并挑出一個進行證明．【答案】（1）3；（2），證明見解析【分析】（1）先證明，再證明，得到，則問題可解；（2）根據(jù)題意分別證明，問題可證．【詳解】解：（1）是的中點，是的中點，，，，，，，，，，，，，．（2）當，時，由（1）可得，，，，，，，又，，，，，，，．【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，解答關(guān)鍵是根據(jù)題意選擇適當方法證明三角形相似．易錯模型二：8字型相似模型【模型解讀】①如圖1，AB∥CD?△AOB∽△COD?；②如圖2，∠A＝∠D?△AOB∽△DOC?．③模型拓展：如圖，∠A＝∠C?△AJB∽△CJD?．【例1】（2023秋·全國·九年級專題練習）如圖，在平行四邊形ABCD中，點E是AD上一點，，連接BE交AC于點G，延長BE交CD的延長線于點F，則的值為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AB∥CD，則可判斷△ABG∽△CFG，△ABE∽△DFE，于是根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和AE＝2ED即可得結(jié)果．【詳解】解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AB∥CD，∴△ABG∽△CFG，∴＝∵△ABE∽△DFE，∴＝，∵AE＝2ED，∴AB＝2DF，∴＝，∴＝．故選：A．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)進行解題．練習1．（2021秋·黑龍江哈爾濱·九年級哈爾濱工業(yè)大學附屬中學校?？奸_學考試）如圖，在正方形中，點為邊上一點，且，點為對角線上一點，且，連接交于點，過點作于點，若，則正方形的邊長為cm．【答案】【分析】如圖，過F作于I點，連接FE和FA，得到設求出FE，AH，AG，證明得到最后求值即可．【詳解】如圖，過F作于I點，連接FE和FA，，四邊形為正方形，為BC的三等分點，為BC的三等分點，設為等腰直角三角形，為AE的中點，四邊形ABCD為正方形，故答案為：．【點睛】本題屬于四邊形綜合題，是填空題壓軸題，考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，解決本題的關(guān)鍵是CE=2BE，BF=2DF的利用以及這些性質(zhì)的熟記．練習2．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考一模）正方形中，，點是對角線上的一動點，將沿翻折得到，直線交射線于點．(1)當時，求的度數(shù)用含的式子表示；(2)點在運動過程中，試探究的值是否發(fā)生變化？若不變，求出它的值若變化，請說明理由；(3)若，求的值．【答案】(1)(2)，是定值(3)【分析】根據(jù)翻變換的性質(zhì)可以得到，加上對頂角相等得到的，從而得到，進而得到對應邊成比例，再根據(jù)比例的性質(zhì)得到，加上對頂角相等得到的證明出：，最終得到對應角相等得出結(jié)果．如圖中，連接，證明是等腰直角三角形，可得結(jié)論；證明是等邊三角形，可得結(jié)論．【詳解】（1）如圖中，設交于點．四邊形是正方形，，，，由翻折變換的性質(zhì)可知，，，，，，，，，，．（2），是定值．理由：如圖中，連接，．四邊形是正方形，，，，，，，，同法可證，，，，，，，，；（3）如圖中，當時，，，，，，，．【點睛】本題屬于相似形綜合題，考查了相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形解決問題，屬于中考壓軸題．1．如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝12，點D，E分別是邊AB，BC的中點，CD與AE交于點O，則OD的長是(

)

A．1.5 B．1.8 C．2 D．2.4【答案】C【分析】根據(jù)直角三角形中斜邊的中線等于斜邊的一半，求得CD的長，根據(jù)中位線的性質(zhì)，得到DE∥AC，求得△AOC∽EOD，根據(jù)三角形相似的性質(zhì)求出OD和OC的關(guān)系，進而得出OD和CD的關(guān)系，然后即可求解．【詳解】解：∵△ABC為直角三角形，D點為AB的中點，∴CD=AB=6∵D和E點分別為AB，BC的中點，∴DE∥AC，∴△AOC∽△EOD，．故選C．【點睛】本題考查了中位線性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握中位線的性質(zhì)，能夠利用平行線判定兩三角形相似．2．如圖在平行四邊形ABCD中，E是CD的中點，F(xiàn)是AE的中點，CF交BE于點G，若，則．【答案】2【分析】延長CF、BA交于M，根據(jù)已知條件得出EF＝AF，CE＝DC，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出DC∥AB，DC＝AB，根據(jù)全等三角形的判定得出△CEF≌△MAF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出CE＝AM，求出BM＝3CE，根據(jù)相似三角形的判定得出△CEG∽△MBG，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出比例式，再求出答案即可．【詳解】解：延長CF、BA交于M，∵E是CD的中點，F(xiàn)是AE的中點，∴EF＝AF，CE＝DC，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴DC∥AB，DC＝AB，∴CE＝AB，∠ECF＝∠M，在△CEF和△MAF中，∴△CEF≌△MAF（AAS），∴CE＝AM，∵CE＝AB，∴BM＝3CE，∵DC∥AB，∴△CEG∽△MBG，∴，∵BE＝8，∴，解得：GE＝2，故答案為：2．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，相似三角形的性質(zhì)和判定等知識點，能綜合運用知識點進行推理和計算是解此題的關(guān)鍵．3．如圖，在平行四邊形中，E為邊的中點，連接，若的延長線和的延長線相交于點F．（1）求證：；（2）連接和相交于點為G，若的面積為2，求平行四邊形的面積．【答案】（1）證明見解析；（2）24．【分析】（1）根據(jù)E是邊DC的中點，可以得到，再根據(jù)四邊形ABCD是平行四邊形，可以得到，再根據(jù)，即可得到，則答案可證；（2）先證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出，，進而得出，由得，則答案可解．【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴，，∴，∵點E為DC的中點，∴，在和中∴，∴，∴；（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形，點E為DC的中點，∴，，∴，，∴，∵的面積為2，∴，即，∵∴，∴，∴，∴．【點睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．4．如圖，在正方形中，點E在對角線上，，過點E的直線分別交，于點M，N．（1）當時，的長為________，________；（2）已知．①若，求此時的長；②當E，F(xiàn)為的三等分點，點P在正方形的邊上時，是否存在滿足的情況？如果存在，請通過分析指出這樣的點的個數(shù)；如果不存在，說明理由．【答案】（1）；；（2）①；②存在，有8個．【分析】解：（1）由四邊形ABCD為正方形，得到△ACD為等腰直角三角形，在Rt△ACD中由勾股定理求得CD的長，由MN=CD，可以求出MN的長，由AD∥BC得到△AEM∽△CEN.（2）①過點E作EG⊥AD于點G．由AM∥CN，得到△AEM∽△CEN．得到對應邊成比例，由勾股定理求出GM的長，再由AM=AG+GM可求出．②畫出圖形，過點F作點F關(guān)于BC的對稱點M，連接FM交BC于點N，連接EM，根據(jù)點M與點F關(guān)于BC對稱，計算出PE+PF的最小值，與PE+PF=9比較．得出BC上存在兩個點，同理在線段AB，AD，CD上都存在兩個點使PE+PF=9．【詳解】解：（1），∵四邊形ABCD為正方形∴△ACD為等腰直角三角形，則，在Rt△ACD中有AD=AC，AD2+DC2=AC2，∵AC=12，解得：AD=CD=6，又∵MN⊥BC，CD⊥BC∴MN∥CD，且MN=CD，即MN=DC=6，又∵AD∥BC∴△AEM∽△CEN.（2）①如圖，過點E作于點G．∵，∴．∴．∵，，∴，．∵，∴．∴．∴．②存在，這樣的點有8個．如圖，過點F作點F關(guān)于的對稱點M，連接交于點N，連接，∵點E，F(xiàn)將對角線三等分，且，∴，．∵點M與點F關(guān)于對稱，∴，．∴．∴．則在線段上存在點N到點E和點F的距離之和最小為．∴在線段上，點N的左右兩邊各有一個點P使．同理在線段，，上都存在兩個點使．即共有8個點P滿足．【點睛】本題考查正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)、線段和的最值問題等，體現(xiàn)了邏輯推理、直觀想象核心素養(yǎng).易錯模型三：AX型相似模型【模型解讀】A字型及X字型兩者相結(jié)合，通過線段比進行轉(zhuǎn)化.【例1】（2022·河南新鄉(xiāng)·九年級期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，∠ABC的平分線交AC于點E，交AD于點F，交CD的延長線于點G，若AF＝2FD，則的值為（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：由AF＝2DF，可以假設DF＝k，則AF＝2k，AD＝3k，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AB∥CD，AB＝CD，∴∠AFB＝∠FBC＝∠DFG，∠ABF＝∠G，∵BE平分∠ABC，∴∠ABF＝∠CBG，∴∠ABF＝∠AFB＝∠DFG＝∠G，∴AB＝CD＝2k，DF＝DG＝k，∴CG＝CD+DG＝3k，∵AB∥DG，∴△ABE∽△CGE，∴，故選：C．練習1、（2022·河北石家莊·九年級期末）已知中，，（如圖）．以線段為邊向外作等邊三角形，點是線段的中點，連接并延長交線段于點．（1）求證：四邊形為平行四邊形；（2）連接，交于點．①若，求的長；②作，垂足為，求證：．【答案】（1）證明見解析；（2）①；②證明見解析．【詳解】（1）∵是等邊三角形∴，在中，∴∵點是線段的中點∴∴是等邊三角形∴，∴∴∴∴四邊形為平行四邊形；（2）①如圖，連接，交于點∵∴∴∵，∴∵∴；②如圖，作，垂足為∵，，∴∴，∴，∴∴．練習2、（2022·河南·鶴壁市淇濱中學九年級期中）已知，平行四邊形中，點是的中點，在直線上截取，連接，交于，則___________．【答案】；．【詳解】解：（1）點F在線段AD上時，設EF與CD的延長線交于H，∵AB//CD，∴△EAF∽△HDF,∴HD：AE=DF：AF=1:2，即HD=AE，∵AB//CD，∴△CHG∽△AEG，∴AG：CG=AE：CH，∵AB=CD=2AE，∴CH=CD+DH=2AE+AE=AE，∴AG：CG=2：5，∴AG：（AG+CG）=2：（2+5），即AG：AC=2：7；（2）點F在線段AD的延長線上時，設EF與CD交于H，∵AB//CD，∴△EAF∽△HDF，∴HD：AE=DF：AF=1：2，即HD=AE，∵AB//CD，∴AG：CG=AE：CH∵AB=CD=2AE，∴CH=CD-DH=2AE-AE=AE，∴AG：CG=2：3，∴AG：（AG+CG）=2：（2+3），即AG：AC=2：5．故答案為：或．練習3、（2022·湖南株洲·九年級期末）如圖（1）所示：等邊△ABC中，線段AD為其內(nèi)角角平分線，過D點的直線B1C1⊥AC于C1交AB的延長線于B1．（1）請你探究：，是否都成立？（2）請你繼續(xù)探究：若△ABC為任意三角形，線段AD為其內(nèi)角角平分線，請問一定成立嗎？并證明你的判斷．（3）如圖（2）所示Rt△ABC中，∠ACB＝90?，AC＝8，BC＝，DE∥AC交AB于點E，試求的值．【答案】（1）成立，理由見解析；（2）成立，理由見解析；（3）【詳解】解：（1）等邊△ABC中，線段AD為其內(nèi)角角平分線，因為B1C1⊥AC于C1交AB的延長線于B1，∠CAB＝60°，∠B1＝∠CAD＝∠BAD＝30°，AD＝B1D，綜上：這兩個等式都成立；（2）可以判斷結(jié)論仍然成立，證明如下：如圖所示，△ABC為任意三角形，過B點作BE∥AC交AD的延長線于E點，線段AD為其內(nèi)角角平分線∠E＝∠CAD＝∠BAD，△EBD∽△ACD∴BE＝AB，又∵BE＝AB．∴，即對任意三角形結(jié)論仍然成立；（3）如圖（2）所示，因為Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，，∵AD為△ABC的內(nèi)角角平分線，∴∵DE∥AC，∵DE∥AC，∴△DEF∽△ACF，∴1．如圖，在平行四邊形ABCD中，點E是AD上一點，，連接BE交AC于點G，延長BE交CD的延長線于點F，則的值為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AB∥CD，則可判斷△ABG∽△CFG，△ABE∽△DFE，于是根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和AE＝2ED即可得結(jié)果．【詳解】解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AB∥CD，∴△ABG∽△CFG，∴＝∵△ABE∽△DFE，∴＝，∵AE＝2ED，∴AB＝2DF，∴＝，∴＝．故選：A．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)進行解題．2．如圖，在矩形中，分別為邊，的中點，與，分別交于點M，N．已知，，則的長為．【答案】【分析】過點E作EH∥AD，交點BF于點G，交CD于點H，證明△BEG∽△BAF，求出EG的長，再證明△EGN∽△DFN，△EGM∽△CBM，得出，，再求出BG=GF=BF=，從而求出NG和MG，可得MN的長.【詳解】解：過點E作EH∥AD，交點BF于點G，交CD于點H，由題意可知：EH∥BC，∴△BEG∽△BAF，∴，∵AB=4，BC=6，點E為AB中點，F(xiàn)為AD中點，∴BE=2，AF=3，∴，∴EG=，∵EH∥BC，∴△EGN∽△DFN，△EGM∽△CBM，∴，,∴，，即，，∴，，∵E為AB中點，EH∥BC，∴G為BF中點，∴BG=GF=BF=，∴NG==，MG=BG=，∴MN=NG+MG=，故答案為：.【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是添加輔助線EH，得到相似三角形.3．中，，，點E為的中點，連接并延長交于點F，且有，過F點作于點H．（1）求證：；（2）求證：；（3）若，求的長．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）4．【分析】（1）先根據(jù)垂直的定義可得，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，然后根據(jù)相似三角形的判定即可得證；（2）先根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得，再根據(jù)等腰三角形的三線合一可得，從而可得，然后根據(jù)平行線分線段成比例定理即可得證；（3）先根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)可得，從而可得的長，再根據(jù)相似三角形的判定可得，然后利用相似三角形的性質(zhì)可求出的長，最后在中，利用勾股定理即可得．【詳解】證明：（1），，，，在和中，，；（2）點為的中點，，由（1）已證：，，設，則，，，（等腰三角形的三線合一），，又，，即；（3）由（2）已證：，，，，，即，解得，，，，，在和中，，，，由（2）可知，設，則，，解得或（不符題意，舍去），，則在中，．【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識點，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．4．如圖，為平行四邊形的邊延長線上的一點，連接．交于，交于．求證：．【答案】見解析．【分析】根據(jù)AD∥BC，得△AOF∽△COB，由AB∥DC，得△AOB∽△COE，再根據(jù)相似三角形對應變成比例即可．【詳解】證明：∵AB∥DC，∴△AOB∽△COE∴∵AD∥BC，∴△AOF∽△COB∴∴，即．【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練應用相似三角形的性質(zhì)與判定，找到兩組對應邊的比例相等是解決本題的關(guān)鍵．易錯模型四：母子型相似模型【模型解讀】如圖為斜“A”字型基本圖形．當時，，則有．．如圖所示，當E點與C點重合時，為其常見的一個變形，即子母型．當時，，則有．【例1】（2023·全國·九年級專題練習）如圖，在等邊中，，點是以為圓心，半徑為3的圓上一動點，連接，為上一點，，連接，則線段的最大值與最小值之積為（

）A．27 B．26 C．25 D．24【答案】A【分析】過作于，在上截取，連結(jié)，；先證明，然后運用相似三角形的性質(zhì)和已知條件得到；再根據(jù)圖形得到，即當且僅當，，三點共線時，取得最大值為最小值；然后求得最大值和最小值并相乘即可．【詳解】解：如圖：過作于，在上截取，連結(jié)，，是等邊三角形，，，，，，．，，．，，，，，，，．∴當且僅當，，三點共線時，取得最大值為最小值，∴的最大值為，的最小值為，∴的最大值與最小值之積為．故答案為A．【點睛】本題主要考查了點與圓的位置關(guān)系、等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理的應用以及相似三角形的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線并靈活應用相關(guān)知識成為解答本題的關(guān)鍵．練習1．（2023秋·全國·九年級專題練習）如圖，中，點在邊上，且，若，，則的長為．【答案】2【分析】由∠ACD=∠ABC、∠A=∠A，即可得出△ABC∽△ACD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得出，代入AC、AD的值可求出AB的長，再根據(jù)BD=AB-AD即可求出結(jié)論．【詳解】解：∵∠ACD=∠ABC，∠A=∠A，∴△ABC∽△ACD，∴．∵AC=，AD=1，∴，∴AB=3，∴BD=AB-AD=3-1=2．故答案為2【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，牢記相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．練習2．（2022秋·全國·八年級專題練習）定義：如圖，若點P在三角形的一條邊上，且滿足，則稱點P為這個三角形的“理想點”．(1)如圖①，若點D是的邊AB的中點，，，試判斷點D是不是的“理想點”，并說明理由；(2)如圖②，在中，，，，若點D是的“理想點”，求CD的長．【答案】(1)為的理想點,理由見解析(2)或【分析】（1）由已知可得，從而，，可證點是的“理想點”；（2）由是的“理想點”，分三種情況：當在上時，是邊上的高，根據(jù)面積法可求長度；當在上時，，對應邊成比例即可求長度；不可能在上．（1）解：點是的“理想點”，理由如下：是中點，，，，，，，，，，，點是的“理想點”；（2）①在上時，如圖：是的“理想點”，或，當時，，，，即是邊上的高，當時，同理可證，即是邊上的高，在中，，，，，，，②，，有，“理想點”不可能在邊上，③在邊上時，如圖：是的“理想點”，，又，，，即，，綜上所述，點是的“理想點”，的長為或．【點睛】本題主要考查了相似三角形、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是理解“理想點”的定義．1．如圖，在等邊中，，點是以為圓心，半徑為3的圓上一動點，連接，為上一點，，連接，則線段的最大值與最小值之積為（

）A．27 B．26 C．25 D．24【答案】A【分析】過作于，在上截取，連結(jié)，；先證明，然后運用相似三角形的性質(zhì)和已知條件得到；再根據(jù)圖形得到，即當且僅當，，三點共線時，取得最大值為最小值；然后求得最大值和最小值并相乘即可．【詳解】解：如圖：過作于，在上截取，連結(jié)，，是等邊三角形，，，，，，．，，．，，，，，，，．∴當且僅當，，三點共線時，取得最大值為最小值，∴的最大值為，的最小值為，∴的最大值與最小值之積為．故答案為A．【點睛】本題主要考查了點與圓的位置關(guān)系、等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理的應用以及相似三角形的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線并靈活應用相關(guān)知識成為解答本題的關(guān)鍵．2．如圖，在中，AB=AC=4，，點D為邊AC上一動點（點C除外），將線段BD繞點D順時針旋轉(zhuǎn)至ED，連接CE，則面積的最大值為【答案】【分析】設CD=x，過A作與Z，過B作的延長線于N，過E作的延長線于M，由得到，再利用勾股定理求出NC，證出，即可得出結(jié)果；【詳解】設CD=x，過A作與Z，過B作的延長線于N，過E作的延長線于M，如圖所示：∵AB=AC，∴，∵AC=4，∴，又∵，∴，∴，∴，解得，根據(jù)勾股定理得，∴，根據(jù)題意可得，即可得到,線段BD繞點D順時針旋轉(zhuǎn)至ED∴，∴ME=DN=CN-CD=，∴，∴面積最大時，，此時．【點睛】本題主要考查了相似三角形、等腰三角形的性質(zhì)以及勾股定理的靈活應用，做出輔助線是解題的關(guān)鍵．3．已知四邊形ABCD的一組對邊AD、BC的延長線交于點E．（1）如圖1，若∠ABC=∠ADC=90°，求證：ED?EA=EC?EB；（2）如圖2，若∠ABC=120°，cos∠ADC=35，CD=5，AB=12，△CDE的面積為6，求四邊形ABCD的面積．【答案】（1）證明見詳解；（2）．【分析】（1）證明△EAB∽△ECD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得結(jié)論；（2）過點C作CG⊥AD于點D，過點A作AH⊥BC于點H.在Rt△CDG中利用已知條件求得DG、OG的長，再根據(jù)△CDE的面積為6，可求得DE的長，在△ABH中求得BH、AH的長，利用（1）△EAB∽△ECD，可求得EH的長，由S四邊形ABCD＝S△AEH－S△ECD－S△ABH，即可求得四邊形ABCD的面積．【詳解】解：（1）證明：∵∠ADC＝90°，∴∠EDC＝90°，∴∠ABE＝∠CDE.又∵∠AEB＝∠CED，∴△EAB∽△ECD，∴，∴．（2）過點C作CG⊥AD于點D，過點A作AH⊥BC于點H，∵CD＝5，cos∠ADC＝，∴DG＝3，CG＝4.∵S△CED＝6，∴ED＝3，∴EG＝6.∵AB＝12，∠ABC＝120°，則∠BAH＝30°，∴BH＝6，AH＝，由（1）得△ECG∽△EAH，∴，∴EH＝，∴S四邊形ABCD＝S△AEH－S△ECD－S△ABH＝＝．【點睛】本題考查的主要是解直角三角形知識和三角形相似問題，解直角三角形可以為我們提供三角形中邊的條件和角的條件，利用三角形相似可以建立方程，表達出變量之間的關(guān)系；這種類型的題目給出的條件中有三角函數(shù)和邊長，在解題時就應該利用三角函數(shù)和已知的邊長求出另外的邊長，繼而進行解題；三角函數(shù)的計算要在直角三角形中進行，因此借助輔助線構(gòu)造直角三角形就是解決這種類型題目的關(guān)鍵．4．已知正方形的邊長為4，點在邊上，點在邊上，且，和交于點．

（1）如圖，求證：①②（2）連接并延長交于點，①若點為的中點（如圖），求的長．

②若點在邊上滑動（不與點重合），當取得最小值時，求的長．【答案】（1）①證明見解析；②證明見解析；（2）①；②【分析】（1）①由正方形的性質(zhì)得出AB=BC=4，∠ABC=∠BCD=90°，由SAS證明△ABE≌△BCF，即可得出結(jié)論；②由①得：△ABE≌△BCF，得出∠BAE=∠CBF，證出∠AGB=90°，即可得出結(jié)論；（2）①由直角三角形的性質(zhì)得出CF=BE=BC=2，由勾股定理得出BF=2，由（1）得：AE⊥BF，則∠BGE=∠ABE=90°，證明△BEG∽△AEB，得出，設GE=x，則BG=2x，在Rt△BEG中，由勾股定理得出方程，解方程得出BG=2×，由平行線得出，即可得出BH的長；②由（1）得：∠AGB=90°，得出點G在以AB為直徑的圓上，設AB的中點為M，當C、G、M在同一直線上時，CG為最小值，求出GM=AB=BM=2，由平行線得出=1，證出CF=CG=BE，設CF=CG=BE=a，則CM=a+2，在Rt△BCM中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【詳解】（1）證明：①∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC=4，∠ABC=∠BCD=90°，在△ABE和△BCF中，，∴△ABE≌△BCF（SAS），∴AE=BF；②由①得：△ABE≌△BCF，∴∠BAE=∠CBF，∵∠CBF+∠ABF=90°，∴∠BAE+∠ABF=90°，∴∠AGB=90°，∴AE⊥BF；（2）解：①如圖2所示：

∵E為BC的中點，∴CF=BE=BC=2，∴BF=，由（1）得：AE⊥BF，∴∠BGE=∠ABE=90°，∵∠BEG=∠AEB，∴△BEG∽△AEB，∴，設GE=x，則BG=2x，在Rt△BEG中，由勾股定理得：x2+（2x）2=22，解得：x=，∴BG=2×=，∵AB∥CD，∴，即，解得：BH=；②由（1）得：∠AGB=90°，∴點G在以AB為直徑的圓上，設AB的中點為M，由圖形可知：當C、G、M在同一直線上時，CG為最小值，如圖3所示：

∵AE⊥BF，∴∠AGB=90°，∴GM=AB=BM=2，∵AB∥CD，∴=1，∴CF=CG，∵CF=BE，∴CF=CG=BE，設CF=CG=BE=a，則CM=a+2，在Rt△BCM中，由勾股定理得：22+42=（a+2）2，解得：a=2-2，即當CG取得最小值時，BE的長為2-2．【點睛】本題是四邊形綜合題目，考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)等知識；本題綜合性強，證明三角形全等和三角形相似是解題關(guān)鍵．易錯模型五：三角形內(nèi)接矩形相似模型【模型解讀】由之前的基本模型（A型或AX型）推導出來的。結(jié)論：AH⊥GF，△AGF∽△ABC，【例1】（2022秋·山東日照·九年級日照市新營中學?？茧A段練習）如圖，中，，點E在上，于點F，，已知的面積為a，的面積為b，則矩形的面積為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先證明四邊形是矩形，得到，進而證明，得到，再根據(jù)三角形面積公式得到，據(jù)此即可得到答案．【詳解】解：∵，，，∴四邊形是矩形，∴，∴，∴，∴，∴，∵的面積為a，的面積為b，∴，∴，∴，∴，∴，故選D．【點睛】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，矩形的性質(zhì)與判定，三角形面積，證明，得到是解題的關(guān)鍵．練習1．（2022秋·安徽阜陽·九年級?？计谥校┤鐖D所示，在中，，，．

（1）若四邊形為的內(nèi)接正方形，則正方形的邊長為；（2）若四邊形為的內(nèi)接矩形，當這個矩形面積最大時，則矩形的邊長為．【答案】【分析】（1）根據(jù)，判定，根據(jù)矩形的性質(zhì)，相似三角形的相似比等于對應高之比計算即可．（2）設，根據(jù)，判定，用x表示，構(gòu)造面積的二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的最值判定計算即可．【詳解】解：（1）如圖，過作于，交于，

∵正方形，∴，，，∴，∴，∵，，．∴，∴，∴，∴，∴，即正方形的邊長為．（2）如圖，過作于，交于，∵矩形，∴，，，，∴，∴，

設，則，同理：，∴，則，設矩形的面積為y，則．∴當時，面積最大，此時，，故當矩形的面積最大時，這個矩形的邊長．故答案為：，【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，構(gòu)造二次函數(shù)求最值，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)，構(gòu)造二次函數(shù)求最值是解題的關(guān)鍵．練習2．（2022秋·湖北宜昌·九年級?？计谥校┤鐖D，在中，，高．矩形的一邊在邊上，E、F兩點分別在、上，交于點H．

(1)若矩形為正方形，求該正方形的邊長．(2)設，當x為何值時，矩形的面積最大？并求其最大值．【答案】(1)(2)當時,矩形的面積有最大值【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)可知，利用相似三角形的性質(zhì)可得，可得的值；根據(jù)矩形的面積公式，可以把面積表示成關(guān)于的長的函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）解：設該正方形的邊長為，∵矩形為正方形，∴，∴，，，，答：該正方形的邊長為．（2）由(1)中的得，，，，，當時,矩形的面積有最大值．【點睛】本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，熟知相似三角形的對應邊成比例是解答此題的關(guān)鍵．1．如圖，為駕駛員的盲區(qū)，駕駛員的眼睛點P處與地面的距離為1.6米，車頭近似看成一個矩形，且滿足，若盲區(qū)的長度是6米，則車寬的長度為（）米．A． B． C． D．2【答案】B【分析】本題考查視點、視角、盲區(qū)的意義，此類問題可以轉(zhuǎn)化為相似三角形的知識進行解答．通過作高，利用相似三角形的對應高的比等于相似比，列方程求解即可．【詳解】解：如圖，過點P作，垂足為M，交于點N，則，設米，由得，，∵四邊形是矩形，，，，即，，，，解得，，故選：B．2．如圖，矩形中，點在上，，點為延長線上一點，滿足，連接交于點，若，，則．【答案】【分析】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，求出是解題的關(guān)鍵．首先可得是的中位線，再說明，可得的長，從而得出答案．【詳解】解：四邊形是矩形，，，，，，，是的中位線，，，，，，，，，，，，，故答案為：．3．如圖，矩形的邊在的邊上，頂點D、G分別在邊上、已知，，設，．(1)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍；(2)連接，當為等腰三角形時，求y的值．【答案】(1)(2)或或【分析】（1）易證得，則，進而可得，過A作于M，根據(jù)等腰三角形的三線合一得，的長，再根據(jù)進而可求解．（2）在和中，根據(jù)勾股定理得，，分類討論：①當時；②當時；③當時，根據(jù)不同情況求得的值即可求解．【詳解】（1）解：過A作于M，在中，，，由勾股定理，得，，，∵四邊形是矩形，，；，易知，則，∴，即，．（2）在中，，，則，在中，易知，即，，，①當時，，即，；此時；②當時，，即，解得：（舍去），；此時；③當時，，即，解得：，（舍去）；此時．故當是等腰三角形時，y的值為：或或．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定及性質(zhì)和全等三角形的判定及性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)判定及性質(zhì)，利用分類討論思想解決問題是解題的關(guān)鍵．4．在銳角中，，矩形的兩個頂點，分別在上，另兩個頂點均在上，高交于點，設的長為，矩形的面積為．(1)求的長，并用含的式子表示線段的長；(2)請求出關(guān)于的函數(shù)解析式；(3)試求的最大值．【答案】(1)；(2)(3)的最大值為6【分析】（1）根據(jù)三角形的面積求出，證明，得出，即：，求出結(jié)果即可；（2）先求出，證明四邊形為矩形，得出，求出即可；（3）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出y的最大值即可．【詳解】（1）解：∵，，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，即：，解得：；（2）解：∵，，∴，∵四邊形為矩形，∴，∵為的高，∴，∴四邊形為矩形，∴，∴，∵且，∴，∴．（3）解：∵，又∵，∴當時，y有最大值，且最大值為6．【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)的應用，求二次函數(shù)的最值，矩形的判定和性質(zhì)，三角形面積計算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)的判定和性質(zhì)．易錯模型六：射影定理相似模型【模型解讀】①如圖，直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形與原三角形相似，即△ACD∽△ABC∽△CBD.常見的結(jié)論有：CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB.②拓展：（1）正方形、長方形中經(jīng)常會出現(xiàn)射影定理模型，如圖，在和內(nèi)均有射影定理模型．（2）如圖，在圓中也會出現(xiàn)射影定理模型．【例1】】（2022秋?青羊區(qū)校級月考）如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，E為AB上一點，分別以ED、EC為折痕將兩個角(∠A、∠B)向內(nèi)折起，點A、B恰好落在CD邊的點F處，若AD＝3，BC＝5，則EF的長是（）A.eq\r(15)B．2eq\r(15)C.eq\r(17)D．2eq\r(17)【解析】∵AD∥BC，∴∠ADF＋∠FCB＝180°.根據(jù)折疊前后的圖形全等得到DF＝DA＝3，∠ADE＝∠FDE，CF＝CB＝5，∠BCE＝∠FCE，∠EFC＝∠B＝90°，∴∠FDE＋∠FCE＝90°，∠FCE＋∠FEC＝90°，∠DFE＝∠EFC＝90°，∴∠FDE＝∠FEC，∴△DEF∽△ECF，∴eq\f(EF,CF)＝eq\f(DF,EF)，∴EF2＝DF·CF＝3×5＝15，∴EF＝eq\r(15).故選A.練習1、（2022秋?杜爾伯特縣期末）如圖所示，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，DE⊥BC，垂足分別為D、E兩點，則圖中與△ABC相似的三角形有（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【解析】∵在△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，DE⊥BC，∴∠A＝∠EBD＝∠CDE，∴△ADB∽△BED∽△DEC∽△BDC∽△ABC，∴共有四個三角形與Rt△ABC相似．故選：A．練習2、如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點D在AB上，且＝．（1）求證△ACD∽△ABC；（2）若AD＝3，BD＝2，求CD的長．【答案】（1）見解析；（2）【詳解】（1）∵，，∴；（2）∵，∴，，∴，∴，∴，即，∴．練習3、（2022秋?汝州市校級月考）中，，，點E為的中點，連接并延長交于點F，且有，過F點作于點H．（1）求證：；（2）求證：；（3）若，求的長．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）4．【詳解】證明：（1），，，，在和中，，；（2）點為的中點，，由（1）已證：，，設，則，，，（等腰三角形的三線合一），，又，，即；（3）由（2）已證：，，，，，即，解得，，，，，在和中，，，，由（2）可知，設，則，，解得或（不符題意，舍去），，則在中，．1．如圖，在中，于點，給出下面三個條件：；；．添加上述條件中的一個，即可證明是直角三角形的條件序號是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，由相似三角形的判定方法依次判斷即可，掌握相似三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．【詳解】若，∵，∴，∴，∴是直角三角形，故添加可以；若，∵，∴，則無法證明是直角三角形，故添加不一定可以；若，∵，∴，∴，∴，∴是直角三角形，故添加可以；綜上可知，添加可證明是直角三角形，故選：．2．如圖，是直角三角形，，且，，則．【答案】9【分析】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余，余角的性質(zhì)．證明，得出，把，，代入計算即可求解．【詳解】解：∵是直角三角形，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，故答案為：9．3．材料閱讀：直角三角形射影定理又稱“歐幾里德定理”．定理的內(nèi)容是：直角三角形中，斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項：每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項．這一定理可以描述如下：如圖，在中，滿足條件：，是斜邊上的高，則有如下結(jié)論成立：①

②

③

④

(1)自主探究：請證明結(jié)論③己知：在中，是斜邊上的高，求證：(2)直接運用：運用射影定理解決下面的問題：如圖，在中，，是斜邊上的高，若，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，解一元二次方程，掌握相似三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．（1）利用三角形相似證明結(jié)論；（2）設長為x，則，根據(jù)射影定理可得，求出長，再根據(jù)射影定理求出結(jié)果即可．【詳解】（1）證明：∵，，∴，又∵，∴，∴，∴；（2）解：設長為x，則，根據(jù)射影定理可知，即，解得：，（舍去），∴，又∵，∴．4．如圖，D是邊上點，已知，，．

(1)求邊的長；(2)如果（點A、C、D對應點C、B、D），求的度數(shù)．【答案】(1)6(2)【分析】本題主要考查了相似三角形的判定以及性質(zhì)，勾股定理的逆定理等知識點．（1）證明，由相似的性質(zhì)可得出，然后計算出，代入求值即可．（2）由得出，由勾股定理的逆定理得出，進一步得出，由等量代換即可求出，即的度數(shù)．【詳解】（1）解：∵，，∴，∴，∴∵，，∴，∴，∴．（2）∵，∴，∴，∵，即∴是直角三角形，且，∴，∴，∵，∴，即．易錯模型七：旋轉(zhuǎn)相似模型【模型解讀】①如圖，若△ABC∽△ADE，則△ABD∽△ACE.②如圖所示，和都是等腰直角三角形，的延長線與相交于點P，則，且相似比為，與的夾角為．總結(jié)：旋轉(zhuǎn)相似型中由公共旋轉(zhuǎn)頂點、一點及其旋轉(zhuǎn)后的對應點組成的三角形與由公共旋轉(zhuǎn)頂點、另一點及其旋轉(zhuǎn)后的對應點組成的三角形相似．③如圖所示，，則，，且．【例1】】（2021秋·江蘇鎮(zhèn)江·九年級統(tǒng)考期末）如圖，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，以點A為旋轉(zhuǎn)中心將矩形ABCD旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)后的矩形記為AEFG，如圖所示．CD所在直線與AE、GF交于點H、I，CH＝IH．則線段HI的長度為（）A．3 B．2 C．5 D．【答案】D【分析】由“HL”可證Rt△AGI≌Rt△ADI，可得∠GAI=∠DAI，由余角的性質(zhì)可得∠IAH=∠AID，可證IH=AH，通過證明△ADI∽△CDA，可得，可求DI=1，即可求解．【詳解】解：如圖，連接AI，AC，∵以點A為旋轉(zhuǎn)中心將矩形ABCD旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)后的矩形記為AEFG，∴AG＝AD，∠GAE＝∠DAB＝90°，在Rt△AGI和Rt△ADI中，，∴Rt△AGI≌Rt△ADI（HL），∴∠GAI＝∠DAI，∴90°﹣∠GAI＝90°﹣∠DAI，∴∠IAH＝∠AID，∴IH＝AH，又∵IH＝HC，∴IH＝HC＝AH，∴∠IAC＝90°，∴∠DAI+∠DAC＝90°，又∵∠DAC+∠DCA＝90°，∴∠DAI＝∠DCA，又∵∠ADI＝∠ADC＝90°，∴△ADI∽△CDA，∴，∴，∴DI＝1，∴CI＝ID+CD＝5，∴IH＝IC＝，故選：D．【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)等知識，靈活運用這些性質(zhì)解決問題是本題的關(guān)鍵．練習1．（2023秋·黑龍江哈爾濱·九年級哈爾濱市第四十七中學?？茧A段練習）如圖，在中，，，，將繞點逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°，得到，連接，交于點，則的長為．

【答案】【分析】過點作于點，利用勾股定理求得根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可證是等腰直角三角形，可得，再由，證明，可得即，再由，求得從而求得即可求解．【詳解】過點D作DF⊥AB于點F，∵，，

∵將繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到是等腰直角三角形，，∵，∴是等腰直角三角形，∴，，即∵，，∴，，即，又∵，，，故答案為∶．【點睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、三角形的面積，熟練掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．練習2．（2022秋·江西吉安·九年級校考階段練習）數(shù)學實踐活動，是一種非常有效的學習方式．通過活動可以激發(fā)我們的學習興趣，提高動手動腦能力，拓展思推空間，豐富數(shù)學體驗．讓我們一起動手來折一折、轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)、剪一剪，體會活動帶給我們的樂趣．折一折：將正方形紙片折疊，使邊都落在對角線上，展開得折痕，，連接，如圖1．

轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)：將圖1中的繞點A旋轉(zhuǎn)，使它的兩邊分別交邊于點E，F(xiàn)，連接，如圖2．剪一剪：將圖3中的正方形紙片沿對角線剪開，如圖4．(1)______，寫出圖中兩個等腰三角形：______（不需要添加字母）；(2)線段之間的數(shù)量關(guān)系為______；(3)連接正方形對角線，若圖2中的的邊分別交對角線于點G、點H．如圖3，求的值．【答案】(1)（選取兩個即可）．(2)．(3)【分析】（1）由正方形的性質(zhì)可得都是等腰三角形．由折疊可得，，即可得到，證明，則．又由得到，則都是等腰三角形．（2）延長到T，使得，連接．證明，則．得到，證明，則．得到，即可得到結(jié)論．（3）由四邊形是正方形得到，．證明，則．【詳解】（1）如圖1中，

圖1∵四邊形是正方形，∴，∴都是等腰三角形．由折疊可得：，，∴．∵，，∴，∴．∵，∴，∴都是等腰三角形．故答案為：（選取兩個即可）．（2）結(jié)論：．理由：如圖2中，延長到T，使得，連接．

∵，∴，∴．∵，∴，∴．∵，∴，∴．∵，∴．故答案為：．（3）如圖3中，

∵四邊形是正方形，∴，．∵，∴，∴，∴．【點睛】此題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．練習3．（2023·湖南邵陽·統(tǒng)考一模）如圖1，在中，，，過點A作直線，過點B，C分別作直線l的垂線，垂足分別為點E，D．

操作探究：（1）如圖2，若直線l從圖1狀態(tài)開始繞點A旋轉(zhuǎn)，請?zhí)骄烤€段的數(shù)量關(guān)系并說明理由；（2）如圖3，若直線l從圖1狀態(tài)開始繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，與線段BC相交于點G，請再探究線段的數(shù)量關(guān)系并說明理由；嘗試應用：（3）在圖3中，延長線段交線段AC于點F，若，，求．【答案】（1），理由見解析；（2），理由見解析；（3）．【分析】（1）；根據(jù)題意，利用“”證明，得出，即可得出結(jié)論；（2）；根據(jù)題意，利用“”證明，得出，即可得出結(jié)論；（3）在中，根據(jù)勾股定理求出，根據(jù)，得出，代入數(shù)據(jù)求出，根據(jù)，算出，即可求出三角形的面積．【詳解】（1）解：；理由如下：∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，即；（2）解：，理由如下：∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，即；（3）解：根據(jù)解析（2）可知，，∴，在中，根據(jù)勾股定理可得：，∵，∴，∴，即，解得：，∴，∵，∴．【點睛】本題主要考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，平行線的性質(zhì)，平行線分線段成比例，根據(jù)題意證明，是解題的關(guān)鍵1．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是△ABC的中線，∠ADC＝45°，把△ADC沿AD對折，使點C落在C′的位置，C′D交AB于點Q，則的值為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)折疊得到對應線段相等，對應角相等，根據(jù)直角三角形的斜邊中線等于斜邊一半，可得出AD＝DC＝BD，AC＝AC′，∠ADC＝∠ADC′＝45°，CD＝C′D，進而求出∠C、∠B的度數(shù)，求出其他角的度數(shù)，可得AQ＝AC，將轉(zhuǎn)化為，再由相似三角形和等腰直角三角形的邊角關(guān)系得出答案．【詳解】解：如圖，過點A作AE⊥BC，垂足為E，∵∠ADC＝45°，∴△ADE是等腰直角三角形，即AE＝DE＝AD，在Rt△ABC中，∵∠BAC＝90°，AD是△ABC的中線，∴AD＝CD＝BD，由折疊得：AC＝AC′，∠ADC＝∠ADC′＝45°，CD＝C′D，∴∠CDC′＝45°+45°＝90°，∴∠DAC＝∠DCA＝（180°﹣45°）÷2＝67.5°＝∠C′AD，∴∠B＝90°﹣∠C＝∠CAE＝22.5°，∠BQD＝90°﹣∠B＝∠C′QA＝67.5°，∴AC′＝AQ＝AC，由△AEC∽△BDQ得：＝，∴＝＝＝＝．故選：A．【點睛】考查直角三角形的性質(zhì)，折疊軸對稱的性質(zhì)，以及等腰三角形與相似三角形的性質(zhì)和判定等知識，合理的轉(zhuǎn)化是解決問題的關(guān)鍵．2．已知正方形DEFG的頂點F在正方形ABCD的一邊AD的延長線上，連結(jié)AG，CE交于點H，若，，則CH的長為.【答案】【分析】連接EG，與DF交于N，設CD和AH交于M，證明△ANG∽ADM，得到，從而求出DM的長，再通過勾股定理算出AM的長，通過證明△ADG≌△CDE得到∠DAG=∠DCE，從而說明△ADM∽△CHM，得到，最后算出CH的長.【詳解】解：連接EG，與DF交于N，設CD和AH交于M，∴∠GNA=90°，DN=FN=EN=GN，∵∠MAD=∠GAN，∠MDA=∠GNA=90°，∴△ANG∽ADM，∴，∵，∴DF=EG=2,∴DN=NG=1，∵AD=AB=3，∴，解得：DM=，∴MC=，AM=，∵∠ADM+∠MDG=∠EDG+∠CDG，∴∠ADG=∠EDC，在△ADG和△CDE中，，∴△ADG≌△CDE（SAS），∴∠DAG=∠DCE，∵∠AMD=∠CMH，∴∠ADM=∠CHM=90°，∴△ADM∽△CHM，∴，即，解得：CH=.【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，綜合性較強，解題的關(guān)鍵是找到合適的全等三角形和相似三角形，通過其性質(zhì)計算出CH的長.3．如圖1，分別是的內(nèi)角的平分線，過點作，交的延長線于點．（1）求證：；（2）如圖2，如果，且，求的值；（3）如果是銳角，且與相似，求的度數(shù)，并直接寫出的值．【答案】（1）證明見解析；（2）；（3），或，．【分析】（1）由題意：，根據(jù)三角形外內(nèi)角性質(zhì)和三角形內(nèi)角和可得，由此即可解決問題．（2）延長交于點．證明，可得，，由，可得．（3）因為與相似，，所以中必有一個內(nèi)角為因為是銳角，推出．接下來分兩種情形分別求解即可．【詳解】（1）證明：如圖1中，，，，平分，平分的，，，，，，．（2）解：延長交于點．，，又∵，，，，，，．（3）與相似，，中必有一個內(nèi)角為是銳角，．①當時，，，，，，如圖，過B點作BH⊥AE，∵，AD平分∠BAC，∴∠BAH=45°，∴AH=BH，，∵，∴，∴，∵，∴．②當時，即時，，，，如解圖（3）-2；過B點作BH⊥AE，，分別是的內(nèi)角的平分線，∴，∴BD=AD，又∵，∴，，∴，∴，∴，∴在中，∴綜上所述，，或，．【點睛】本題屬于相似形綜合題，考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)等知識，解題的關(guān)鍵是學會用分類討論的思想思考問題，屬于中考壓軸題．4．如圖，四邊形ABCD和四邊形AEFG都是正方形，C，F(xiàn)，G三點在一直線上，連接AF并延長交邊CD于點M．（1）求證：△MFC∽△MCA；（2）求的值，（3）若DM＝1，CM＝2，求正方形AEFG的邊長．【答案】（1）見解析；（2）；（3）．【分析】（1）由正方形的性質(zhì)得∠ACD=∠AFG=45°，進而根據(jù)對頂角的性質(zhì)得∠CFM=∠ACM，再結(jié)合公共角，根據(jù)相似三角形的判定得結(jié)論；（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)得，再證明其夾角相等，便可證明△ACF∽△ABE，由相似三角形的性質(zhì)得出結(jié)果；（3）由已知條件求得正方形ABCD的邊長，進而由勾股定理求得AM的長度，再由△MFC∽△MCA，求得FM，進而求得正方形AEFG的對角線長，便可求得其邊長．【詳解】（1）∵四邊形ABCD是正方形，四邊形AEFG是正方形，∴∠ACD=∠AFG=45°，∵∠CFM=∠AFG，∴∠CFM=∠ACM=45°，∵∠CMF=∠AMC，∴△MFC∽△MCA；（2）∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°，∠BAC=45°，∴AC=AB，同理可得AF=，∴，∵∠EAF=∠BAC=45°，∴∠CAF+∠CAE=∠BAE+∠CAE=45°，∴∠CAF=∠BAE，∴△ACF∽△ABE，∴；（3）∵DM=1，CM=2，∴AD=CD=1+2=3，∴AM=，∵△MFC∽△MCA，∴，即，∴FM=，∴AF=AM﹣FM=，∴AF=，即正方形AEFG的邊長為．【點睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，關(guān)鍵是綜合應用這些知識解決問題．易錯模型八：k字型相似模型【模型解讀】(1)“三垂直”模型：如圖1，∠B＝∠D＝∠ACE＝90°，則△ABC∽△CDE.(2)“一線三等角”模型：如圖2，∠B＝∠ACE＝∠D，則△ABC∽△CDE.特別地，連接AE，若C為BD的中點，則△ACE∽△ABC∽△CDE.補充：其他常見的一線三等角圖形【例1】（2022·浙江·九年級專題練習）如圖，扇形AOB中，∠AOB＝90°．在扇形內(nèi)放一個Rt△EDF，其中DE＝10，DF＝9，直角頂點D在半徑OB上，OD＝2DB，點E在半徑OA上，點F在弧上．則半徑OA的長為（

）A． B．2 C． D．【答案】D【分析】看到點想位置，用角度刻畫F在上的位置，再利用建立等量關(guān)系解得半徑【詳解】解：連接OF，作FG⊥OB于點G，過F作于H，設半徑為r，，在中，，∵，，∴，又，∴，∴，由，∴，∴，，∴，，在中，因為解方程復雜，代入檢驗得：故選：D．【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，勾股定理，首先要明確的一點是：△EDF的形狀是確定的．D點在OB上的位置也是確定的，所以點F在弧AB上的位置以及點E在OA上的位置也是確定的，應當思考利用什么樣的數(shù)量關(guān)系去刻畫這兩點的位置關(guān)系，而這恰恰是解題的關(guān)鍵．練習1．（2023春·江蘇揚州·九年級校聯(lián)考階段練習）如圖，在邊長為6的等邊△ABC中，D是邊BC上一點，將△ABC沿EF折疊使點A與點D重合，若BD:DE=2:3，則CF=．【答案】2.4【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)可得∠EDF=∠A，DF=AF，再由等邊三角形的性質(zhì)可得∠EDF=60°，∠BDE+∠CDF=∠BDE+∠BED=120°，從而得到∠CDF=∠BED，進而得到△BDE∽△CFD，再由BD:DE=2:3，可得到，即，即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意得：∠EDF=∠A，DF=AF，∵△ABC是等邊三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，∴∠EDF=60°，∴∠BDE+∠CDF=180°-∠EDF=120°，∵∠B=60°，∴∠BDE+∠BED=180°-∠B=120°，∴∠BDE+∠CDF=∠BDE+∠BED，∴∠CDF=∠BED，∴△BDE∽△CFD，∴，即，∵等邊△ABC的邊長為6，∴，解得：．故答案為：2.4【點睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，圖形的折疊，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，圖形的折疊的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．練習2．（2023·河南周口·校聯(lián)考三模）（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，，將邊繞點C順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，在射線上取點D，使得．請求出線段與的數(shù)量關(guān)系；（2）類比探究：如圖2，若，作，且，其他條件不變，則線段與的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化?如果變化，請寫出變化后的數(shù)量關(guān)系，并給出證明；（3）拓展延伸：如圖3，正方形的邊長為6，點E是邊上一點，且，把線段逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，直接寫出線段的長．

【答案】（1）；（2）發(fā)生變化，，證明見解析；（3）【分析】（1）結(jié)合“一線三等角”推出，從而證得結(jié)論即可；（2）利用條件證明，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)證明即可；（3）作延長線于點，過點作，交于點，交于點，結(jié)合“一線三垂直”證明，從而利用全等三角形的性質(zhì)求出和，最后利用勾股定理計算即可．【詳解】（1）解：∵，∴．在和中，∴，∴．（2）發(fā)生變化，．證明：由（1）得，，，∴，∴，∴．（3）如圖所示，作延長線于點，過點作，交于點，交于點，則，，，由（1）同理可證，，∴，，∴，，∴．

【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)等，準確證明三角形全等或相似，并熟練運用其性質(zhì)是解題關(guān)鍵．1．如圖，在反比例函數(shù)的圖象上有一動點，連接并延長交圖象的另一支于點，在第二象限內(nèi)有一點，滿足，當點運動時，點始終在函數(shù)的圖象上運動，若，則的值為（

）A．－6 B．－12 C．－18 D．－24【答案】B【分析】連接OC，過點A作AE⊥x軸于點E，過點C作CF⊥y軸于點F，通過角的計算找出∠AOE＝∠COF，結(jié)合“∠AEO＝90°，∠CFO＝90°”可得出△AOE∽△COF，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出比例式，再由，得出，可得出CF?OF的值，進而得到k的值．【詳解】如圖，連接OC，過點A作AE⊥x軸于點E，過點C作CF⊥y軸于點F，∵由直線AB與反比例函數(shù)的對稱性可知A、B點關(guān)于O點對稱，∴AO＝BO，又∵AC＝BC，∴CO⊥AB，∵∠AOE＋∠AOF＝90°，∠AOF＋∠COF＝90°，∴∠AOE＝∠COF，又∵∠AEO＝90°，∠CFO＝90°，∴△AOE∽△COF，∴，∵，∴，∴CF＝2AE，OF＝2OE，又∵AE?OE＝3，∴CF?OF＝|k|＝4×3＝12，∴k＝±12，∵點C在第二象限，∴k＝?12，故選：B．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征、反比例函數(shù)的性質(zhì)以及相似三角形的判定及性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是求出CF?OF＝12．解決該題型題目時，巧妙的利用了相似三角形的性質(zhì)找出對應邊的比例，再結(jié)合反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征找出結(jié)論．2．已知是等邊三角形，，點D，E，F(xiàn)點分別在邊上，，同時平分和，則的長為．【答案】【分析】根據(jù)角平分線的定義得到∠BDE=∠FDE，∠BED=∠FED，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠DBE=∠DFE，BD=DF，BE=EF，由等邊三角形的性質(zhì)得到∠A=∠ABC=∠C=60°，求得∠DFE=60°，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】解：如圖，同時平分和，，，在與中，，，，，，是等邊三角形，，，，，，，，設，，，，，，，，，，．故答案為：．【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，正確的畫出圖形是解題的關(guān)鍵．3．如圖，在正方形中，點在上，交于點．（1）求證：；（2）連結(jié)，若，試確定點的位置并說明理由．【答案】（1）見解析；（2）點E為AD的中點．理由見解析【分析】（1）根據(jù)同角的余角相等證明∠ABE=∠DEF，再由直角相等即可得出兩三角形相似的條件；（2）根據(jù)相似三角形的對應邊成比例，等量代換得出，即可得出DE=AE．【詳解】（1）證明∵四邊形ABCD是正方形，∴∠A=∠D=90°，∴∠AEB+∠ABE=90°，∵EF⊥BE，∴∠AEB+∠DEF=90°，∴∠ABE=∠DEF．在△ABE和△DEF中，∴△ABE∽△DEF；（2）∵△ABE∽△DEF，∴，∵△ABE∽△EBF，∴，∴，∴DE=AE，∴點E為AD的中點．【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)等角的余角相等證出兩角相等是解決（1）的關(guān)鍵，根據(jù)相似三角形的對應邊成比例等量代換是解決（2）的關(guān)鍵．4．如圖，在中，點分別在邊上，連接，且．（1）證明：；（2）若，當點D在上運動時（點D不與重合），且是等腰三角形，求此時的長．【答案】(1)理由見詳解；（2）或，理由見詳解．【分析】（1）根據(jù)題目已知條件易得：，，所以得到，問題得證．（2）由題意易得是等腰直角三角形，所以，當是等腰三角形時，根據(jù)分類討論有三種情況：①AD=AE，②AD=DE，③AE=DE；因為點D不與重合，所以第一種情況不符合，其他兩種情況根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)“等邊對等角”及，求出問題即可．【詳解】解：（1）如圖可知：在中，又．（2），是等腰直角三角形BC=2，AB=AC=BC=①當AD=AE時，，點D在上運動時（點D不與重合）,點E在AC上此情況不符合題意．②當AD=DE時，由（1）結(jié)論可知：AB=DC=．③當AE=DE時，是等腰直角三角形，，即．綜上所訴：或．【點睛】本題主要考查相似三角形的判定及等腰三角形的存在性問題，關(guān)鍵是利用“K”型相似模型及根據(jù)“等邊對等角”、等腰直角三角形的性質(zhì)得到線段的等量關(guān)系，進而求解問題．易錯模型九：折疊相似模型涉及翻折問題，以矩形對稱最常見，變化形式多樣。無論如何變化，解題工具無非全等、相似、勾股以及三角函數(shù)，從條件出發(fā)，找到每種對稱下隱藏的結(jié)論，往往是解題關(guān)鍵。本專題以各類幾個圖形（三角形、平行四邊形、菱形、矩形、正方形、圓等）為背景進行梳理及對應試題分析，方便掌握。【知識儲備】翻折和折疊問題其實質(zhì)就是對稱問題，翻折圖形的性質(zhì)就是翻折前后圖形是全等的，對應的邊和角都是相等的。以這個性質(zhì)為基礎，結(jié)合三角形、四邊形、圓的性質(zhì)，三角形相似，勾股定理設方程思想來考查。解決翻折題型的策略：1）利用翻折的性質(zhì)：①翻折前后兩個圖形全等；②對應點連線被對稱軸垂直平分；2）結(jié)合相關(guān)圖形的性質(zhì)(三角形，四邊形等)；3）運用勾股定理或者三角形相似建立方程?！纠?】（2021秋·浙江湖州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，將長方形紙片分別沿，折疊，點D，E恰好重合于點M．記面積為，面積為，且，則的值為（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】過點作于，過點作于點，則，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出，設，則，根據(jù)折疊的性質(zhì)及矩形的性質(zhì)推出，，，，則，根據(jù)三角形面積公式求解即可．【詳解】解：如圖，過點作于，過點作于點，

，，，，，設，則，由折疊可知，，，，，，，四邊形是矩形，，，，，，，，，，，，，，，故選：D．【點睛】此題考查了折疊的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握折疊的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．練習1．（2023·河南信陽·?？既＃┤鐖D，正方形中，，點P為射線上一個動點．連接，把沿折疊，當點A的對應點剛好落在線段的垂直平分線上時，的長為．

【答案】或【分析】分兩種情況：當點落在圖①的位置時，當點若在圖②的位置時，分別畫出圖形，求出結(jié)果即可．【詳解】解：∵點P在射線上運動，故分兩種情況；情況一：當點落在圖①的位置時，由正方形可知，，因為點落在的垂直平分線上，故，由折疊可知，，在中，由勾股定理可知，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，即，故，∴；

情況二：當點若在圖②的位置時，由正方形可知，，∵點落在的垂直平分線上，∴，由折疊可知，，在中，由勾股定理可知，，∴，由折疊可知，，設，則，在中，由勾股定理可得，，即，解得：，即，∴．故答案為：或【點睛】本題主要考查了一線三垂直模型、三角形相似應用、勾股定理、正方形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握直角三角形邊角之間的關(guān)系，注意分類討論．練習2．（2023·全國·九年級專題練習）如圖，將邊長為3的正方形沿直線折疊，使點的對應點落在邊上（點不與點，重合），點落在點處，與交于點，折痕分別與邊，交于點，，連接．

(1)求證：；(2)若，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）利用平行線內(nèi)錯角相等和翻折前后對應角相等，等量代換即可證明；（2）利用相似列出關(guān)系式，利用邊的關(guān)系代入到關(guān)系式可求出．【詳解】（1）證明：點、關(guān)于線段對稱，由翻折的性質(zhì)可知：，是正方形，，，（等量代換）．（2）解：設，則，設，則．在中，，，．即．，，又，，，．，，整理得：，．．【點睛】本題考查了翻折的性質(zhì)以及相似三角的判定，勾股定理的應用，解題的關(guān)鍵是掌握一線三垂直的相似是本題突破口．1．如圖，邊長為2的正方形的對角線相交于點，將正方形沿直線折疊，點落在對角線上的點處，折痕交于點，則的長為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】連接，首先根據(jù)正方形的性質(zhì)和勾股定理求出，然后根據(jù)折疊的性質(zhì)得到，，，求出，然后求出，然后證明出，得到，代數(shù)求解即可．【詳解】如圖所示，連接∵邊長為2的正方形的對角線相交于點，∴∴∵將正方形沿直線折疊，點落在對角線上的點處，折痕交于點，∴，，∴∵∴∴∴∵∴∴，即解得．故選：B．【點睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定及其性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線．2．如圖，在菱形紙片中，點E在邊上