備戰(zhàn)2024中考數(shù)學(xué)考試易錯(cuò)模型03 最值模型（八大易錯(cuò)分析+變式訓(xùn)練+易錯(cuò)題通關(guān)）（原卷版）

試卷第=page22頁(yè)，共=sectionpages2727頁(yè)易錯(cuò)模型03最值模型易錯(cuò)模型一：將軍飲馬模型模型1.求兩條線段和的最小值（將軍飲馬模型）【模型解讀】在一條直線m上，求一點(diǎn)P，使PA+PB最?。唬?）點(diǎn)A、B在直線m兩側(cè)：（2）點(diǎn)A、B在直線同側(cè)：【最值原理】?jī)牲c(diǎn)之間線段最短。上圖中A’是A關(guān)于直線m的對(duì)稱點(diǎn)。模型2.求多條線段和（周長(zhǎng)）最小值【模型解讀】在直線m、n上分別找兩點(diǎn)P、Q，使PA+PQ+QB最小。（1）兩個(gè)點(diǎn)都在直線外側(cè)：（2）一個(gè)點(diǎn)在內(nèi)側(cè)，一個(gè)點(diǎn)在外側(cè)：（3）兩個(gè)點(diǎn)都在內(nèi)側(cè)：（4）臺(tái)球兩次碰壁模型1）已知點(diǎn)A、B位于直線m,n的內(nèi)側(cè)，在直線n、m分別上求點(diǎn)D、E點(diǎn)，使得圍成的四邊形ADEB周長(zhǎng)最短.2）已知點(diǎn)A位于直線m,n的內(nèi)側(cè),在直線m、n分別上求點(diǎn)P、Q點(diǎn)PA+PQ+QA周長(zhǎng)最短.【最值原理】?jī)牲c(diǎn)之間線段最短。例1．（2023·廣東廣州·?？家荒＃┤鐖D，在C中，的面積為，，平分，E、F分別為、上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是（）A． B． C．2 D．例2．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考中考真題）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)E在邊上，且，F(xiàn)為對(duì)角線上一動(dòng)點(diǎn)，連接，，則的最小值為．

練習(xí)1．（2022·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考中考真題）如圖，菱形，點(diǎn)、、、均在坐標(biāo)軸上，，點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是上的一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是（

）A．3 B．5 C． D．練習(xí)2．（2023·山東濟(jì)寧·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，是的直徑，點(diǎn)C、D是上的點(diǎn)．且，分別與、相交于點(diǎn)E，F(xiàn)．若的半徑為5，，點(diǎn)P是線段上任意一點(diǎn)，則的最小值是．

練習(xí)3．（2023·湖北黃岡·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)E是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，，且，則的最小值是___．1．已知，在內(nèi)有一定點(diǎn)P，點(diǎn)M，N分別是，上的動(dòng)點(diǎn)，若的周長(zhǎng)最小值為3，則的長(zhǎng)為（）A． B．3 C． D．2．如圖，在矩形中，，，點(diǎn)E是矩形內(nèi)部一動(dòng)點(diǎn)，且，點(diǎn)P是邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接、，則的最小值為（

）A．8 B． C．10 D．3．如圖，正方形中，點(diǎn)P是上一點(diǎn)，若，，則的最小值是．

4．如圖，等邊的邊長(zhǎng)為6，是邊上的中線，M是上的動(dòng)點(diǎn)，E是邊上一點(diǎn)，若，求的最小值．

易錯(cuò)模型二：將軍飲馬模型（遛馬造橋）模型1.將軍遛馬模型【核心思路】去除定量，組合變量（通過(guò)幾何變換將若干段原本彼此分類的線段組合到一起）?！灸Ｐ徒庾x】已知A、B是兩個(gè)定點(diǎn)，P、Q是直線m上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，P在Q的左側(cè),且PQ間長(zhǎng)度恒定,在直線m上要求P、Q兩點(diǎn)，使得PA+PQ+QB的值最小。(原理用平移知識(shí)解)（1）點(diǎn)A、B在直線m兩側(cè)：（2）點(diǎn)A、B在直線m同側(cè)：圖1圖2（1）如圖1，過(guò)A點(diǎn)作AC∥m,且AC長(zhǎng)等于PQ長(zhǎng)，連接BC,交直線m于Q,Q向左平移PQ長(zhǎng)，即為P點(diǎn)，此時(shí)P、Q即為所求的點(diǎn)。（2）如圖2，過(guò)A點(diǎn)作AE∥m,且AE長(zhǎng)等于PQ長(zhǎng)，作B關(guān)于m的對(duì)稱點(diǎn)B’,連接B’E,交直線m于Q,Q向左平移PQ長(zhǎng)，即為P點(diǎn)，此時(shí)P、Q即為所求的點(diǎn)?！咀钪翟怼?jī)牲c(diǎn)之間線段最短。模型2.將軍過(guò)橋（造橋）模型【核心思路】去除定量，組合變量（通過(guò)幾何變換將若干段原本彼此分類的線段組合到一起）?！灸Ｐ徒庾x】【單橋模型】已知，如圖1將軍在圖中點(diǎn)A處，現(xiàn)要過(guò)河去往B點(diǎn)的軍營(yíng)，橋必須垂直于河岸建造，問(wèn)：橋建在何處能使路程最短？考慮MN長(zhǎng)度恒定，只要求AM+NB最小值即可．問(wèn)題在于AM、NB彼此分離，所以首先通過(guò)平移，使AM與NB連在一起，將AM向下平移使得M、N重合，此時(shí)A點(diǎn)落在A’位置（圖2）．問(wèn)題化為求A’N+NB最小值，顯然，當(dāng)共線時(shí)，值最小，并得出橋應(yīng)建的位置（圖3）．圖1圖2圖3【雙橋模型】已知，如圖4，將軍在圖中點(diǎn)A處，現(xiàn)要過(guò)兩條河去往B點(diǎn)的軍營(yíng)，橋必須垂直于河岸建造，問(wèn)：橋建在何處能使路程最短？圖4圖5圖6考慮PQ、MN均為定值，所以路程最短等價(jià)于AP+QM+NB最小，對(duì)于這彼此分離的三段，可以通過(guò)平移使其連接到一起．AP平移至A'Q，NB平移至MB'，化AP+QM+NB為A'Q+QM+MB'．（如圖5）當(dāng)A'、Q、M、B'共線時(shí)，A'Q+QM+MB'取到最小值，再依次確定P、N位置．（如圖6）【最值原理】?jī)牲c(diǎn)之間線段最短。例1．（2022·四川內(nèi)江·統(tǒng)考中考真題）如圖，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，點(diǎn)E、F分別是AB、DC上的動(dòng)點(diǎn)，EF∥BC，則AF+CE的最小值是_____．例2．（2023.廣東八年級(jí)專項(xiàng)訓(xùn)練）如圖所示，某條護(hù)城河在處角轉(zhuǎn)彎，河寬相同，從處到達(dá)處，須經(jīng)過(guò)兩座橋（橋?qū)挷挥?jì)，橋與河垂直），設(shè)護(hù)城河以及兩座橋都是東西、南北走向的，恰當(dāng)?shù)卦鞓蚩墒沟降穆烦套疃蹋?qǐng)確定兩座橋的位置．

練習(xí)1．（2022·四川自貢·中考真題）如圖，矩形中，，是的中點(diǎn)，線段在邊上左右滑動(dòng)；若，則的最小值為____________．練習(xí)2．（2023·廣西·二模）已知，在河的兩岸有A，B兩個(gè)村莊，河寬為4千米，A、B兩村莊的直線距離AB＝10千米，A、B兩村莊到河岸的距離分別為1千米、3千米，計(jì)劃在河上修建一座橋MN垂直于兩岸，M點(diǎn)為靠近A村莊的河岸上一點(diǎn)，則AM+BN的最小值為(

)A．2 B．1+3 C．3+ D．練習(xí)3．（2023春·湖北武漢·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在中，，，M、N分別是、邊上的動(dòng)點(diǎn)，且，則的最小值是________．

1、（2023秋·河南南陽(yáng)·九年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，在邊長(zhǎng)為的正方形中將沿射線平移，得到，連接、．求的最小值為______．2、（2023安徽中考學(xué)二模）如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，∠ABC＝60°，點(diǎn)E、F在對(duì)角線BD上運(yùn)動(dòng)，且EF＝2，連接AE、AF，則△AEF周長(zhǎng)的最小值是（

）A．4 B．4+ C．2+2 D．63．（2023·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）如圖，菱形的邊在軸上，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)在軸上，線段軸，且點(diǎn)坐標(biāo)為，若菱形沿軸左右運(yùn)動(dòng)，連接、，則運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，四邊形周長(zhǎng)的最小值是________．易錯(cuò)模型三：費(fèi)馬點(diǎn)模型【模型解讀】結(jié)論1：如圖，點(diǎn)M為△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，連接AM、BM、CM，當(dāng)M與三個(gè)頂點(diǎn)連線的夾角為120°時(shí)，MA+MB+MC的值最小。注意：上述結(jié)論成立的條件是△ABC的最大的角要小于120o，若最大的角大于或等于120o，此時(shí)費(fèi)馬點(diǎn)就是最大角的頂點(diǎn)A。（這種情況一般不考，通常三角形的最大頂角都小于120°）【模型證明】以AB為一邊向外作等邊三角形△ABE，將BM繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到BN，連接EN．∵△ABE為等邊三角形，∴AB＝BE，∠ABE＝60°．而∠MBN＝60°，∴∠ABM＝∠EBN．在△AMB與△ENB中，∵，∴△AMB≌△ENB（SAS）．連接MN．由△AMB≌△ENB知，AM＝EN．∵∠MBN＝60°，BM＝BN，∴△BMN為等邊三角形．∴BM＝MN．∴AM+BM+CM＝EN+MN+CM．∴當(dāng)E、N、M、C四點(diǎn)共線時(shí)，AM+BM+CM的值最?。藭r(shí)，∠BMC＝180°﹣∠NMB＝120°；∠AMB＝∠ENB＝180°﹣∠BNM＝120°；∠AMC＝360°﹣∠BMC﹣∠AMB＝120°．費(fèi)馬點(diǎn)的作法：如圖3，分別以△ABC的AB、AC為一邊向外作等邊△ABE和等邊△ACF，連接CE、BF，設(shè)交點(diǎn)為M，則點(diǎn)M即為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)?！咀钪翟怼?jī)牲c(diǎn)之間，線段最短。結(jié)論2：點(diǎn)P為銳角△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，連接AP、BP、CP，求xAP+yBP+zCP最小值。（加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)）【模型證明】第一步，選定固定不變線段；第二步，對(duì)剩余線段進(jìn)行縮小或者放大。如：保持BP不變，xAP+yBP+zCP=，如圖，B、P、P2、A2四點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值。模型特征：PA+PB+PC（P為動(dòng)點(diǎn)）①一動(dòng)點(diǎn)，三定點(diǎn)；②以三角形的三邊向外作等邊三角形的，再分別將所作等邊三角形最外的頂點(diǎn)與已知三角形且與所作等邊三角形相對(duì)的頂點(diǎn)相連，連線的交點(diǎn)即為費(fèi)馬點(diǎn)；③同時(shí)線段前可以有不為1的系數(shù)出現(xiàn)，即：加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)。例1．（2023·廣東深圳·二模）如圖，是等邊三角形，M是正方形ABCD對(duì)角線BD（不含B點(diǎn)）上任意一點(diǎn)，，（點(diǎn)N在AB的左側(cè)），當(dāng)AM+BM+CM的最小值為時(shí)，正方形的邊長(zhǎng)為______．例2．（2023春·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，四邊形是菱形，B=6，且∠ABC=60°，M是菱形內(nèi)任一點(diǎn)，連接AM，BM，CM，則AM+BM+CM的最小值為________．練習(xí)1．（2023·成都實(shí)外九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在中，，P是內(nèi)一點(diǎn)，求的最小值為______．練習(xí)2．（2023·廣東廣州·一模）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)P是AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，作PD⊥BC于點(diǎn)D，線段AD上存在一點(diǎn)Q，當(dāng)QA+QB+QC的值取得最小值，且AQ=2時(shí)，則PD=________．1．（2023·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，四邊形是菱形，B=6，且∠ABC=60°，M是菱形內(nèi)任一點(diǎn)，連接AM，BM，CM，則AM+BM+CM的最小值為________．2．（2021·山東濱州·中考真題）如圖，在中，，，．若點(diǎn)P是內(nèi)一點(diǎn)，則的最小值為____________．3．（2021·遼寧丹東·中考真題）已知：到三角形3個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)稱為該三角形的費(fèi)馬點(diǎn)．如果是銳角（或直角）三角形，則其費(fèi)馬點(diǎn)P是三角形內(nèi)一點(diǎn)，且滿足．（例如：等邊三角形的費(fèi)馬點(diǎn)是其三條高的交點(diǎn)）．若，P為的費(fèi)馬點(diǎn)，則_________；若，P為的費(fèi)馬點(diǎn)，則_________．易錯(cuò)模型四：胡不歸模型【模型解讀】一動(dòng)點(diǎn)P在直線MN外的運(yùn)動(dòng)速度為V1，在直線MN上運(yùn)動(dòng)的速度為V2，且V1<V2，A、B為定點(diǎn)，點(diǎn)C在直線MN上，確定點(diǎn)C的位置使的值最?。ㄗ⒁馀c阿氏圓模型的區(qū)分）1），記，即求BC+kAC的最小值.2）構(gòu)造射線AD使得sin∠DAN=k，，CH=kAC,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求BC+CH最小值.3）過(guò)B點(diǎn)作BH⊥AD交MN于點(diǎn)C，交AD于H點(diǎn)，此時(shí)BC+CH取到最小值，即BC+kAC最?。窘忸}關(guān)鍵】在求形如“PA+kPB”的式子的最值問(wèn)題中，關(guān)鍵是構(gòu)造與kPB相等的線段，將“PA+kPB”型問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“PA+PC”型．（若k>1，則提取系數(shù)，轉(zhuǎn)化為小于1的形式解決即可）?！咀钪翟怼?jī)牲c(diǎn)之間線段最短及垂線段最短。例1．（2023·河北保定·統(tǒng)考一模）如圖，在矩形中，對(duì)角線交于點(diǎn)O，，點(diǎn)M在線段上，且．點(diǎn)P為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．

（1）°；（2）的最小值為．例2．（2023·陜西西安·?？级＃┤鐖D，在菱形中，，，對(duì)角線、相交于點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且，點(diǎn)為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為．練習(xí)1．（2023·重慶·九年級(jí)期中）如圖所示，菱形的邊長(zhǎng)為5，對(duì)角線的長(zhǎng)為，為上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為A．4 B．5 C． D．練習(xí)2．（2023·山東淄博·二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)是，點(diǎn)C的坐標(biāo)是，點(diǎn)是x軸上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)B在x軸上移動(dòng)時(shí)，始終保持是等邊三角形（點(diǎn)P不在第二象限），連接，求得的最小值為（

）A． B．4 C． D．2練習(xí)3．（2023.重慶九年級(jí)期中）如圖，在中，，，，若是邊上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為A． B．6 C． D．31．如圖，在中，，若D是邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是（

）A．6 B．8 C．10 D．122．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖像與x軸交于A、C兩點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)，若P是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為，連接PD，則的最小值是（

）A．4 B． C． D．3．如圖，?中，，，為邊上一點(diǎn)，則的最小值為．4．已知拋物線過(guò)點(diǎn)，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，，

(1)求拋物線的解析式及頂點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)點(diǎn)為拋物線上位于直線下方的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)面積最大時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)若點(diǎn)為線段上的一動(dòng)點(diǎn)，問(wèn)：是否存在最小值？若存在，求出這個(gè)最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．易錯(cuò)模型五：阿氏圓模型【模型解讀】如圖1所示，⊙O的半徑為r，點(diǎn)A、B都在⊙O外，P為⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，已知r=k·OB，連接PA、PB，則當(dāng)“PA+k·PB”的值最小時(shí)，P點(diǎn)的位置如何確定？如圖2，在線段OB上截取OC使OC=k·r，則可說(shuō)明△BPO與△PCO相似，即k·PB=PC。故本題求“PA+k·PB”的最小值可以轉(zhuǎn)化為“PA+PC”的最小值，其中與A與C為定點(diǎn)，P為動(dòng)點(diǎn)，故當(dāng)A、P、C三點(diǎn)共線時(shí)，“PA+PC”值最小。如圖3所示：注意區(qū)分胡不歸模型和阿氏圓模型：在前面的“胡不歸”問(wèn)題中，我們見識(shí)了“k·PA+PB”最值問(wèn)題，其中P點(diǎn)軌跡是直線，而當(dāng)P點(diǎn)軌跡變?yōu)閳A時(shí)，即通常我們所說(shuō)的“阿氏圓”問(wèn)題．【最值原理】?jī)牲c(diǎn)之間線段最短及垂線段最短解題。例1．（2023·山東·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，，，，圓C半徑為2，P為圓上一動(dòng)點(diǎn)，連接最小值__________．最小值__________．例2．（2023春·江蘇·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為4，的半徑為2，為上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值是．練習(xí)1．（2023·湖北武漢·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)AB=8，E為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且AE=4，F(xiàn)為CD上一點(diǎn)，CF=2，連接EF，ED，則EFED的最小值為()A．6 B．4 C．4 D．6練習(xí)2．（2022·湖北·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，⊙B的半徑為2，點(diǎn)P是⊙B上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PD﹣PC的最大值為_____．練習(xí)3．（2023·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖所示，，半徑為2的圓內(nèi)切于．為圓上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作、分別垂直于的兩邊，垂足為、，則的取值范圍為．1．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝7，AC＝9，以C為圓心、3為半徑作⊙C，P為⊙C上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP、BP，則AP＋BP的最小值為（

）

A．7 B．5 C． D．2．（2023·湖南·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，邊長(zhǎng)為4的正方形，內(nèi)切圓記為⊙O，P是⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，則PA＋PB的最小值為．3．如圖，正方形的邊長(zhǎng)為4，的半徑為2，為上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值是．5．問(wèn)題提出：如圖①，在中，，，，的半徑為，為圓上一動(dòng)點(diǎn)，連接，求的最小值．(1)嘗試解決：為了解決這個(gè)問(wèn)題，下面給出一種解題思路：如圖①，連接，在上取一點(diǎn)，使，則．又，所以．所以．所以，所以．請(qǐng)你完成余下的思考，并直接寫出答案：的最小值為；(2)自主探索：在“問(wèn)題提出”的條件不變的前提下，求的最小值；(3)拓展延伸：如圖②，已知在扇形COD中，，，，，是上一點(diǎn)，求的最小值．易錯(cuò)模型六：瓜豆模型（直線）【模型解讀】瓜豆原理：若兩動(dòng)點(diǎn)到某定點(diǎn)的距離比是定值，夾角是定角，則兩動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑相同。動(dòng)點(diǎn)軌跡基本類型為直線型和圓弧型，本專題受教學(xué)進(jìn)程影響，估只對(duì)瓜豆原理中的直線型軌跡作講解。主動(dòng)點(diǎn)叫瓜，從動(dòng)點(diǎn)叫豆，瓜在直線上運(yùn)動(dòng)，豆也在直線_上運(yùn)動(dòng)；瓜在圓周上運(yùn)動(dòng)，豆的軌跡也是圓。古人云：種瓜得瓜，種豆得豆．“種”圓得圓，“種”線得線，謂之“瓜豆原理”。模型1、運(yùn)動(dòng)軌跡為直線1）如圖，P是直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP，取AP中點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，Q點(diǎn)軌跡是？解析：當(dāng)P點(diǎn)軌跡是直線時(shí)，Q點(diǎn)軌跡也是一條直線．理由：分別過(guò)A、Q向BC作垂線，垂足分別為M、N，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，因?yàn)锳P=2AQ，所以QN始終為AM的一半，即Q點(diǎn)到BC的距離是定值，故Q點(diǎn)軌跡是一條直線．2）如圖，在△APQ中AP=AQ，∠PAQ為定值，當(dāng)點(diǎn)P在直線BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求Q點(diǎn)軌跡？解析：當(dāng)AP與AQ夾角固定且AP:AQ為定值的話，P、Q軌跡是同一種圖形。理由：當(dāng)確定軌跡是線段的時(shí)候，可以任取兩個(gè)時(shí)刻的Q點(diǎn)的位置，連線即可，比如Q點(diǎn)的起始位置和終點(diǎn)位置，連接即得Q點(diǎn)軌跡線段?！咀钪翟怼縿?dòng)點(diǎn)軌跡為一條直線時(shí)，利用“垂線段最短”求最值。1）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)軌跡已知時(shí)可直接運(yùn)用垂線段最短求最值；2）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)軌跡未知時(shí)，先確定動(dòng)點(diǎn)軌跡，再垂線段最短求最值。3）確定動(dòng)點(diǎn)軌跡的方法（重點(diǎn)）=1\*GB3①當(dāng)某動(dòng)點(diǎn)與定直線的端點(diǎn)連接后的角度不變時(shí)，該動(dòng)點(diǎn)的軌跡為直線；=2\*GB3②當(dāng)某動(dòng)點(diǎn)到某條直線的距離不變時(shí)，該動(dòng)點(diǎn)的軌跡為直線；=3\*GB3③當(dāng)一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)以某個(gè)字母的代數(shù)式表示時(shí)，若可化為一次函數(shù)，則點(diǎn)的軌跡為直線；④觀察動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到特殊位置時(shí)，如中點(diǎn)，端點(diǎn)等特殊位置考慮；⑤若動(dòng)點(diǎn)軌跡用上述方法不都合適，則可以將所求線段轉(zhuǎn)化（常用中位線、矩形對(duì)角線、全等、相似）為其他已知軌跡的線段求最值。例1．（2022·湖南湘西·統(tǒng)考中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，M為BC的中點(diǎn)，H為AB上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作CG∥AB，交HM的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，若AC＝8，AB＝6，則四邊形ACGH周長(zhǎng)的最小值是（）

A．24 B．22 C．20 D．18例2．（2023·黑龍江綏化·統(tǒng)考中考真題）如圖，是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，點(diǎn)為高上的動(dòng)點(diǎn)．連接，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到．連接，，，則周長(zhǎng)的最小值是．

練習(xí)1．（2021·四川廣元·中考真題）如圖，在中，，，點(diǎn)D是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P是邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，以為邊在的下方作等邊三角形，連接．則的最小值是（

）A． B．1 C． D．練習(xí)2．（2023上·福建廈門·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，長(zhǎng)方形中，，，E為上一點(diǎn)．且，F(xiàn)為邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．連接，將繞著點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到的位置，其中點(diǎn)B、點(diǎn)F的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)H、點(diǎn)G，連接和，則的最小值為（

）．

A． B．3 C． D．練習(xí)3.（2023上·江蘇揚(yáng)州·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)是正方形對(duì)角線所在直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，以為斜邊作等腰（點(diǎn)，，按逆時(shí)針排序），則長(zhǎng)的最小值為（）

A． B． C．4 D．1．（2023上·山西臨汾·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在中，，，點(diǎn)，分別是，邊上的動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)，，分別是，的中點(diǎn)，則的最小值為（

）

A．12 B．10 C．9.6 D．4.82．（2023上·廣東廣州·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，正方形的邊長(zhǎng)為4，，點(diǎn)E是直線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，線段繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，則線段長(zhǎng)度的最小值等于（）

A． B． C． D．3．（2022·河南南陽(yáng)·二模）如圖所示，，，于點(diǎn)B，點(diǎn)D是線段BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且于點(diǎn)D，，連接CE，則CE長(zhǎng)的最小值是______．易錯(cuò)模型七：瓜豆模型（圓）【模型解讀】模型1、運(yùn)動(dòng)軌跡為圓弧模型1-1.如圖，P是圓O上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，A為定點(diǎn)，連接AP，Q為AP中點(diǎn)．Q點(diǎn)軌跡是？如圖，連接AO，取AO中點(diǎn)M，任意時(shí)刻，均有△AMQ∽△AOP，QM:PO=AQ:AP=1:2．則動(dòng)點(diǎn)Q是以M為圓心，MQ為半徑的圓。模型1-2.如圖，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=kAQ，當(dāng)P在圓O運(yùn)動(dòng)時(shí)，Q點(diǎn)軌跡是？如圖，連結(jié)AO，作AM⊥AO，AO:AM=k:1；任意時(shí)刻均有△APO∽△AQM，且相似比為k。則動(dòng)點(diǎn)Q是以M為圓心，MQ為半徑的圓。模型1-3.定義型：若動(dòng)點(diǎn)到平面內(nèi)某定點(diǎn)的距離始終為定值，則其軌跡是圓或圓弧。（常見于動(dòng)態(tài)翻折中）如圖，若P為動(dòng)點(diǎn)，但AB=AC=AP，則B、C、P三點(diǎn)共圓，則動(dòng)點(diǎn)P是以A圓心，AB半徑的圓或圓弧。模型1-4.定邊對(duì)定角（或直角）模型1）一條定邊所對(duì)的角始終為直角，則直角頂點(diǎn)軌跡是以定邊為直徑的圓或圓?。鐖D，若P為動(dòng)點(diǎn)，AB為定值，∠APB=90°，則動(dòng)點(diǎn)P是以AB為直徑的圓或圓弧。2）一條定邊所對(duì)的角始終為定角，則定角頂點(diǎn)軌跡是圓?。鐖D，若P為動(dòng)點(diǎn)，AB為定值，∠APB為定值，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為圓弧?！灸Ｐ驮怼縿?dòng)點(diǎn)的軌跡為定圓時(shí)，可利用：“一定點(diǎn)與圓上的動(dòng)點(diǎn)距離最大值為定點(diǎn)到圓心的距離與半徑之和，最小值為定點(diǎn)到圓心的距離與半徑之差”的性質(zhì)求解。例1．（2023·四川廣元·統(tǒng)考一模）如圖，線段為的直徑，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，，，點(diǎn)是上一動(dòng)點(diǎn)，連接，以為斜邊在的上方作Rt，且使，連接，則長(zhǎng)的最大值為．例2．（2023·四川宜賓·統(tǒng)考中考真題）如圖，是正方形邊的中點(diǎn)，是正方形內(nèi)一點(diǎn)，連接，線段以為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接．若，，則的最小值為．

練習(xí)1．（2023上·江蘇連云港·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知矩形為矩形內(nèi)一點(diǎn)，且，若點(diǎn)繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)，則的最小值為．

練習(xí)2．（2023下·陜西西安·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）問(wèn)題提出：（1）如圖①，在中，，，，則的長(zhǎng)為__________；問(wèn)題探究：（2）如圖②，已知矩形，，，點(diǎn)P是矩形內(nèi)一點(diǎn)，且滿足，連接，求線段的最小值；問(wèn)題解決：（3）如圖③所示，我市城市綠化工程計(jì)劃打造一片四邊形綠地，其中，，，點(diǎn)E為邊上一點(diǎn)，且，，為了美化環(huán)境，要求四邊形的面積盡可能大，求綠化區(qū)域面積的最大值．1．（2022秋·江蘇揚(yáng)州·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，A是上任意一點(diǎn)，點(diǎn)C在外，已知是等邊三角形，則的面積的最大值為（）A． B．4 C． D．62．（2023·山東濟(jì)南·一模）正方形ABCD中，AB=4，點(diǎn)E、F分別是CD、BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，且始終滿足DE=CF，DF、AE相交于點(diǎn)G.以AG為斜邊在AG下方作等腰直角△AHG使得∠AHG=90°，連接BH．則BH的最小值為（

）A． B． C． D．3．（2023·陜西渭南·三模）如圖，在矩形ABCD中，，，點(diǎn)E在BC上，且，點(diǎn)M為矩形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，使得，連接AM，則線段AM的最小值為______．4．（2023·福建泉州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)是正方形的內(nèi)部一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（含邊界），且，點(diǎn)在上，，則以下結(jié)論：①的最小值為；②的最小值為；③；④的最小值為；正確的是．

易錯(cuò)模型八：隱圓模型模型1、動(dòng)點(diǎn)定長(zhǎng)模型（圓的定義）若P為動(dòng)點(diǎn)，且AB=AC=AP，則B、C、P三點(diǎn)共圓，A圓心，AB半徑圓的定義：平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定值的所有點(diǎn)構(gòu)成的集合．尋找隱圓技巧：若動(dòng)點(diǎn)到平面內(nèi)某定點(diǎn)的距離始終為定值，則其軌跡是圓或圓弧．模型2、定邊對(duì)直角模型