專題04 曲線與方程-直擊2021年高考中的圓錐曲線問(wèn)題（理科數(shù)學(xué)）

專題04曲線與方程一、曲線與方程的概念一般地，一條曲線可以看成動(dòng)點(diǎn)依某種條件運(yùn)動(dòng)的軌跡，所以曲線的方程又常稱為滿足某種條件的點(diǎn)的軌跡方程．一個(gè)二元方程總可以通過(guò)移項(xiàng)寫(xiě)成F(x，y)＝0的形式，其中F(x，y)是關(guān)于x，y的解析式．在平面直角坐標(biāo)系中，如果曲線C與方程F(x，y)＝0之間具有如下關(guān)系：①曲線C上點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程F(x，y)＝0的解；②以方程F(x，y)＝0的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線C上．那么，方程F(x，y)＝0叫做曲線的方程；曲線C叫做方程的曲線．特別提醒：(1)曲線的方程和方程的曲線是兩個(gè)不同的概念，是從不同角度出發(fā)的兩種說(shuō)法．曲線C的點(diǎn)集和方程F(x，y)＝0的解集之間是一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，曲線的性質(zhì)可以反映在它的方程上，方程的性質(zhì)又可以反映在曲線上．定義中的條件①說(shuō)明曲線上的所有點(diǎn)都適合這個(gè)方程；條件②說(shuō)明適合方程的點(diǎn)都在曲線上而毫無(wú)遺漏．(2)曲線的方程和方程的曲線有著緊密的關(guān)系，通過(guò)曲線上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)對(duì)(x，y)建立了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，使方程成為曲線的代數(shù)表示，通過(guò)研究方程的性質(zhì)可間接地研究曲線的性質(zhì)．二、坐標(biāo)法（直接法）求曲線方程的步驟求曲線的方程，一般有下面幾個(gè)步驟：（1）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，用有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)表示曲線上任意一點(diǎn)M的坐標(biāo)；（2）寫(xiě)出適合條件p的點(diǎn)M的集合；（3）用坐標(biāo)表示條件p(M)，列出方程；（4）化方程為最簡(jiǎn)形式；（5）說(shuō)明以化簡(jiǎn)后的方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上．一般地，化簡(jiǎn)前后方程的解集是相同的，步驟（5）可以省略不寫(xiě)．若遇到某些點(diǎn)雖適合方程，但不在曲線上時(shí)，可通過(guò)限制方程中x，y的取值范圍予以剔除．另外，也可以根據(jù)情況省略步驟（2），直接列出曲線方程．三、代入法（相關(guān)動(dòng)點(diǎn)法）求曲線方程的步驟代入法(相關(guān)動(dòng)點(diǎn)法)求軌跡方程：在一些問(wèn)題中，動(dòng)點(diǎn)滿足的條件不宜直接用等式列出，但是動(dòng)點(diǎn)隨另一動(dòng)點(diǎn)(稱之為相關(guān)點(diǎn))的運(yùn)動(dòng)而變化．如果相關(guān)點(diǎn)所滿足的條件是明顯的，這時(shí)，我們可以用動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)表示相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)相關(guān)點(diǎn)所滿足的方程，即可求得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，這種求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的方法稱為代入法(相關(guān)動(dòng)點(diǎn)法)．代入法(相關(guān)動(dòng)點(diǎn)法)求軌跡方程的一般步驟：技巧1曲線與方程的概念例1、如果曲線l上的點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程F(x，y)＝0，則以下說(shuō)法正確的是()A．曲線l的方程是F(x，y)＝0B．方程F(x，y)＝0的曲線是lC．坐標(biāo)不滿足方程F(x，y)＝0的點(diǎn)不在曲線l上D．坐標(biāo)滿足方程F(x，y)＝0的點(diǎn)在曲線l上[思路分析]從“曲線的方程”和“方程的曲線”兩方面判斷．[規(guī)范解答]直接法：原說(shuō)法寫(xiě)成命題形式即“若點(diǎn)M(x，y)是曲線l上的點(diǎn)，則M點(diǎn)的坐標(biāo)適合方程F(x，y)＝0”，其逆否命題即“若M點(diǎn)的坐標(biāo)不適合方程F(x，y)＝0，則M點(diǎn)不在曲線l上”，故選C．特值法：作如圖所示的曲線l，考查l與方程F(x，y)＝x2－1＝0的關(guān)系，顯然A、B、D中的說(shuō)法全不正確．∴選C．點(diǎn)睛：說(shuō)明曲線C是方程F(x，y)＝0的曲線，方程F(x，y)＝0是曲線C的方程時(shí)，必須嚴(yán)格考察純粹性和完備性，即“多一點(diǎn)不行，少一點(diǎn)不可”．技巧2方程的曲線例2、方程x(x2＋y2－1)＝0和x2＋(x2＋y2－1)2＝0所表示的圖形是(C)A．前后兩者都是一條直線和一個(gè)圓B．前后兩者都是兩點(diǎn)C．前者是一條直線和一個(gè)圓，后者是兩點(diǎn)D．前者是兩點(diǎn)，后者是一條直線和一個(gè)圓[規(guī)范解答]x(x2＋y2－1)＝0?x＝0或x2＋y2＝1，表示直線x＝0和圓x2＋y2＝1.x2＋(x2＋y2－1)2＝0?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0,x2＋y2－1＝0))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0,y＝±1))表示點(diǎn)(0,1)、(0，－1)．點(diǎn)睛：判斷方程表示什么曲線，必要時(shí)要對(duì)方程適當(dāng)變形，變形過(guò)程中一定要注意與原方程等價(jià)，既不能擴(kuò)大也不能縮小變量的取值范圍．技巧3求曲線的方程例3、已知點(diǎn)M到x軸的距離和點(diǎn)M與點(diǎn)F(0,4)的距離相等，求點(diǎn)M的軌跡方程．[思路分析]由題意知已經(jīng)建立了直角坐標(biāo)系，因此只需設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)，套用兩點(diǎn)間距離公式根據(jù)條件建立等式即可．[規(guī)范解答]設(shè)動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y)，且點(diǎn)M到x軸的距離為d，則d＝|y|.由距離公式得|MF|＝eq\r(x－02＋y－42)，由d＝|MF|，整理得x2－8y＋16＝0，即y＝eq\f(1,8)x2＋2.故所求點(diǎn)M的軌跡方程是y＝eq\f(1,8)x2＋2.點(diǎn)睛：1.如果題設(shè)條件有明顯的等量關(guān)系或者可運(yùn)用平面幾何知識(shí)推導(dǎo)出等量關(guān)系，則可通過(guò)“建系、設(shè)點(diǎn)、列式、化簡(jiǎn)、檢驗(yàn)”五個(gè)步驟直接求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，這種方法叫做直接法．2．求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程時(shí)，如果已知條件中沒(méi)有坐標(biāo)系，則應(yīng)首先建立坐標(biāo)系，建立坐標(biāo)系的方式不同，得到的軌跡方程可能也不同．1．已知,滿足的動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為A．B．C．D．【答案】A【解析】根據(jù)題意，，則，動(dòng)點(diǎn)滿足，即，則的軌跡是以、為焦點(diǎn)的雙曲線，其中，，即，則，雙曲線的方程為：，故選A.點(diǎn)睛：本題考查雙曲線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程，關(guān)鍵是結(jié)合雙曲線的定義分析得到要求軌跡為雙曲線；根據(jù)雙曲線的定義，分析可得的軌跡是以、為焦點(diǎn)的雙曲線，結(jié)合題意可得，，計(jì)算出的值，將其代入雙曲線的方程計(jì)算可得答案．2．在中，已知，且，則的軌跡方程是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】據(jù)正弦定理，將化為，判斷出點(diǎn)的軌跡是以、為焦點(diǎn)的雙曲線的左支，根據(jù)數(shù)據(jù)求出其方程即可．【詳解】，由正弦定理得，即，由雙曲線的定義可知：點(diǎn)的軌跡是以、為焦點(diǎn)的雙曲線的左支，且，，.頂點(diǎn)的軌跡方程為，故選B【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線軌跡方程的求解，同時(shí)也考查三角形正弦定理邊角互化思想的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.3．已知的周長(zhǎng)為，，則頂點(diǎn)的軌跡方程為（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)三角形的周長(zhǎng)和定點(diǎn)，得到點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于定值，得到點(diǎn)的軌跡是橢圓，橢圓的焦點(diǎn)在軸上，寫(xiě)出橢圓的方程，去掉不合題意的點(diǎn)．【詳解】的周長(zhǎng)為12，頂點(diǎn)，，，，，點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于定值，點(diǎn)的軌跡是橢圓，，，，橢圓的方程：故選：．【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的定義，注意橢圓的定義中要檢驗(yàn)兩個(gè)線段的大小，看能不能構(gòu)成橢圓，本題是一個(gè)易錯(cuò)題，容易忽略掉不合題意的點(diǎn)．4．過(guò)點(diǎn)，且與直線相切的動(dòng)圓圓心的軌跡方程為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意，圓心到點(diǎn)與到直線的距離相等，所以軌跡方程為。故選B。5．已知定點(diǎn)，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，則線段的中點(diǎn)的軌跡方程是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】設(shè)再表達(dá)出的坐標(biāo)代入圓方程化簡(jiǎn)即可.【詳解】設(shè)，則滿足.故.故.又點(diǎn)在圓上.故.故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查了軌跡方程的求法，屬于基礎(chǔ)題型.6．已知定點(diǎn)，且，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程________．【答案】.【解析】【分析】設(shè)點(diǎn),由題中等量關(guān)系利用兩點(diǎn)之間距離公式可得,化簡(jiǎn)即得答案.【詳解】設(shè),根據(jù)題意得到方程,解得.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的求解問(wèn)題,熟練掌握兩點(diǎn)之間距離公式是解題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.7．已知，，滿足的動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為_(kāi)_________．【答案】【解析】根據(jù)雙曲線的定義可得:長(zhǎng)軸長(zhǎng),半焦距,由,解得,故方程為,應(yīng)填.點(diǎn)睛:本題考查學(xué)生的是由定義法求曲線的軌跡方程問(wèn)題,屬于基礎(chǔ)題目.求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程的一般步驟:(1)建系—建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系．(2)設(shè)點(diǎn)—設(shè)軌跡上的任一點(diǎn)P(x，y)．(3)列式—列出動(dòng)點(diǎn)P所滿足的關(guān)系式．(4)代換—依條件式的特點(diǎn)，選用距離公式、斜率公式等將其轉(zhuǎn)化為x，y的方程式，并化簡(jiǎn)．(5)證明—證明所求方程即為符合條件的動(dòng)點(diǎn)軌跡方程．8．已知點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足條件，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程．【答案】【解析】試題分析：依題意，點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，又∵．∴，∴所求方程為：．考點(diǎn)：雙曲線的定義．9．已知點(diǎn),圓.(1)求圓中過(guò)點(diǎn)的弦的中點(diǎn)的軌跡方程；(2)點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，求中點(diǎn)的軌跡方程.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）設(shè)圓中過(guò)點(diǎn)的弦的中點(diǎn)，根據(jù)幾何條件得,再根據(jù)向量數(shù)量積為零得軌跡方程，（2）設(shè),則,再代入圓方程解得軌跡方程.【詳解】（1）圓,則,設(shè)圓中過(guò)點(diǎn)的弦的中點(diǎn),則,所以,,即；（2）設(shè),則,所以,即【點(diǎn)睛】本題考查直接法求軌跡以及轉(zhuǎn)移法求軌跡，考查基本分析求解能力，屬中檔題.10．已知點(diǎn)和點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足.（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；（2）過(guò)點(diǎn)作x軸的垂線，垂足為，求的中點(diǎn)的軌跡方程.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）設(shè)，利用向量的坐標(biāo)表示可得結(jié)果；（2）設(shè)，則，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入可得結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)，則，，由得，所以，即，所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程.（2）設(shè)，則，因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，所以，即.所以的中點(diǎn)的軌跡方程是.【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，考查了求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，屬于基礎(chǔ)題.1．（2020年新課標(biāo)全國(guó)I卷）已知A、B分別為橢圓E：（a>1）的左、右頂點(diǎn)，G為E的上頂點(diǎn)，，P為直線x=6上的動(dòng)點(diǎn)，PA與E的另一交點(diǎn)為C，PB與E的另一交點(diǎn)為D．（1）求E的方程；【答案】（1）；【解析】【分析】（1）由已知可得：，，，即可求得，結(jié)合已知即可求得：，問(wèn)題得解.【詳解】（1）依據(jù)題意作出如下圖象：由橢圓方程可得：，，，，橢圓方程為：2．（2017年新課標(biāo)全國(guó)II卷）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M在橢圓C上，過(guò)M作x軸的垂線，垂足為N，點(diǎn)P滿足.（1）求點(diǎn)P的軌跡方程；（2）設(shè)點(diǎn)在直線上，且.證明：過(guò)點(diǎn)P且垂直于OQ的直線過(guò)C的左焦點(diǎn)F.【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析.【解析】【分析】【詳解】（1）設(shè)P（x，y），M（）,則N（），由得.因?yàn)镸（）在C上，所以.因此點(diǎn)P的軌跡為.（2）由題意知F（-1,0），設(shè)Q（-3，t），P（m，n），則，.由得-3m-+tn-=1，又由（1）知，故3+3m-tn=0.所以，即.又過(guò)點(diǎn)P存在唯一直線垂直于OQ，所以過(guò)點(diǎn)P且垂直于OQ的直線l過(guò)C的左焦點(diǎn)F.點(diǎn)睛:定點(diǎn)、定值問(wèn)題同證明問(wèn)題類似，在求定點(diǎn)、定值之前已知該值的結(jié)果，因此求解時(shí)應(yīng)設(shè)參數(shù)，運(yùn)用推理，到最后必定參數(shù)統(tǒng)消，定點(diǎn)、定值顯現(xiàn).今天錯(cuò)在哪里啦？__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________