專題之歸納轉(zhuǎn)化思想-滬教版（上海）高中數(shù)學(xué)2019-2020學(xué)年高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)教案（教育機構(gòu)專用）

滬教版（上海）高中數(shù)學(xué)2019-2020學(xué)年度高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題之轉(zhuǎn)化與化歸思想課前引入匈牙利著名數(shù)學(xué)家羅莎·彼得在他的名著《無窮的玩藝》中，通過一個十分生動而有趣的笑話，來說明數(shù)學(xué)家是如何用化歸的思想方法來解題的。有人提出了這樣一個問題：“假設(shè)在你面前有煤氣灶、水龍頭、水壺和火柴，你想燒開水，應(yīng)當(dāng)怎樣去做？”對此，某人回答說：“在壺中灌上水，點燃煤氣，再把壺放在煤氣灶上?！碧釂栒呖隙诉@一回答，但是，他又追問道：“如果其他的條件都沒有變化，只是水壺中已經(jīng)有了足夠的水，那么你又應(yīng)該怎樣去做？”這時被提問者一定會大聲而有把握地回答說：“點燃煤氣，再把水壺放上去。”但是更完善的回答應(yīng)該是這樣的：“只有物理學(xué)家才會按照剛才所說的辦法去做，而數(shù)學(xué)家卻會回答：‘只須把水壺中的水倒掉，問題就化歸為前面所說的問題了。’”“把水倒掉”，把追加的新問題轉(zhuǎn)化為已解決的老問題，這就是化歸，這就是數(shù)學(xué)家常用的方法?；瘹w的意義：轉(zhuǎn)化與歸結(jié)（把待解決的問題轉(zhuǎn)化歸結(jié)為已解決的問題）教學(xué)目標掌握常見的轉(zhuǎn)化方法知識梳理高中常見的轉(zhuǎn)化方法：正與反的轉(zhuǎn)化常量和變量的轉(zhuǎn)化特殊與一般的轉(zhuǎn)化等與不等的轉(zhuǎn)化陌生與熟悉的轉(zhuǎn)化典例精講對于那些從“正面進攻”很難奏效或運算較繁的問題，可先攻其反面，運用補集思想從而使正面得以解決。（★★★）已知函數(shù)在（0，1）內(nèi)至少有一個零點，試求實數(shù)的取值范圍。分析：至少有一個零點的情況比較復(fù)雜，而其反面為沒有零點，比較容易處理。解：（法一）當(dāng)函數(shù)在（0，1）內(nèi)沒有零點時在（0，1）內(nèi)沒有實數(shù)根，即在（0，1）內(nèi)，.而當(dāng)（0，1）時，，得。要使，必有故滿足題設(shè)的實數(shù)的取值范圍是（法二）設(shè)，對稱軸為，注意到，故對稱軸必須在軸的右側(cè)。(1)當(dāng)時，即，有，此時；(2)當(dāng)時，有此時有。綜合（1）（2）得實數(shù)的取值范圍是在處理多變元的數(shù)學(xué)問題時，我們可以選取其中的常數(shù)（或參數(shù)），將其看做是“主元”，而把其它變元看做是常量，從而達到減少變元簡化運算的目的。（★★★）已知曲線系的方程為,試證明:坐標平面內(nèi)任一點(,在中總存在一橢圓和一雙曲線過該點.分析：若從曲線的角度去考慮,即以x,y為主元,思維受阻.若從k來考慮,不難看出,當(dāng)表示的曲線分別為橢圓和雙曲線,問題歸結(jié)為證明在區(qū)間和(4,9)內(nèi)分別存在k值,使曲線過點(a,b).解：設(shè)點()在曲線上,則整理得①可知f(k)=0,根據(jù)函數(shù)圖象開口向上,可知方程①在和(4,9)內(nèi)分別有一根,即對平面內(nèi)任一點(a,b),在曲線系中總存在一橢圓和一雙曲線通過該點.一般成立，特殊也成立。特殊可以得到一般性的規(guī)律。這種辯證思想在高中數(shù)學(xué)中普遍存在，經(jīng)常運用，這也是化歸思想的體現(xiàn)。（★★★）已知向量，若，滿足，則的面積等于。分析：可取的某些特殊值代人求解。解：由條件可得。利用特殊值，如設(shè)代入，則，故面積為1。例4、（★★★）已知函數(shù),求的值.分析:直接代入計算較為復(fù)雜,可尋求f(x)與f(1-x)的關(guān)系.解:===于是==相等于不等是數(shù)學(xué)解題中矛盾的兩方面，但是它們在一定的條件下可以互相轉(zhuǎn)化，例如有些題目，表面看來似乎只具有相等的數(shù)量關(guān)系，根據(jù)這些相等關(guān)系又難以解決問題，但若能挖掘其中的不等關(guān)系，建立不等式（組）去轉(zhuǎn)化，往往能獲得簡捷求解的效果。例5、（可選）（★★★）已知都是實數(shù)，且求證：。分析：利用均值不等式先得到一個不等關(guān)系，再結(jié)合已知中的相等關(guān)系尋求與之間的關(guān)系。解：，。又，且即。數(shù)學(xué)解題過程事實上就是把問題由陌生向熟悉的轉(zhuǎn)化過程，注意類比以前解決過的問題，找出其共性和差異性，應(yīng)用解題中，通常表現(xiàn)為構(gòu)造熟悉的事例模型，在待解決問題和已解決問題之間進行轉(zhuǎn)化。例6、（★★★）對任意函數(shù)可按圖示構(gòu)造一個數(shù)列發(fā)生器，其工作原理如下：輸入數(shù)據(jù)，經(jīng)數(shù)列發(fā)生器輸出；②若，則數(shù)列發(fā)生器結(jié)束工作；若則將反饋回輸入端，再輸出，并依此規(guī)律繼續(xù)下去，現(xiàn)定義。⑴若輸入，則由數(shù)列發(fā)生器產(chǎn)生數(shù)列，請寫出的所有項；⑵若要數(shù)列發(fā)生器產(chǎn)生一個無窮的常數(shù)列，試求輸入的初始數(shù)據(jù)的值；⑶若輸入時，產(chǎn)生的無窮數(shù)列，滿足對任意正整數(shù)n均有，求的取值范圍。分析：此題富有新意，綜合性、抽象性較強，解題的關(guān)鍵就是應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想將題意條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言。解：（1）的定義域，數(shù)列只有三項，，，（2），即，故當(dāng)時，（3）解不等式，得或，要使，則或?qū)τ诤瘮?shù)，若則；若則且依此類推可得數(shù)列的所有項均滿足綜上所述，由，得回顧總結(jié) 由以上幾種典型題型的剖析足以說明掌握好化歸與轉(zhuǎn)化的思想方法對學(xué)好高中數(shù)學(xué)是非常有幫助的，它可以幫助我們尋找到一些簡單的方法來解決一些較為復(fù)雜的題目。但我們在應(yīng)用化歸與轉(zhuǎn)化的思想方法還應(yīng)注意它的三