2022-2023學(xué)年河南省南陽市六校高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2022-2023學(xué)年河南省南陽市六校高二(下)期末數(shù)學(xué)試卷

一、單選題(本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng))

1.已知變量y關(guān)于x的線性回歸方程為y=-0.7%+a,且％=1,y=0.3,則尤=2時，預(yù)測

y的值為()

A.0.5B,0.4C.-0.4D.-0.5

2.已知等比數(shù)列｛冊｝的前n項(xiàng)和為耳，ct2=4,咨=8,則%=()

A.16B.8C.6D.2

2

3.已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，Z(%o，yo)為一個動點(diǎn).條件p：。，48(-2,7)三點(diǎn)共線；條件q：動

點(diǎn)/在拋物線y2=-%上，貝ijp是(7的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.已知雙曲線C：冒一，=l(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為&,F2,P為C的右支上一點(diǎn)

?若7=孚，則雙曲線C的漸近線方程為()

\PF1\-\PF2\2

A.3%±2y=0B.2x±3y=0C.x±2y=0D.2x±y=0

5.給出新定義：設(shè)/'(%)是函數(shù)f(%)的導(dǎo)函數(shù)，/〃(%)是，(%)的導(dǎo)函數(shù)，若方程廣(久)=0有

實(shí)數(shù)解%0，則稱點(diǎn)(%o，/(%o))為/(%)的“拐點(diǎn)”，已知函數(shù)/(%)=+cos2%+3%的一個

拐點(diǎn)是P(&，yo)，且一"％ov。，則y()=()

A

c.i’――24B――24r1——12r)——12

6.已知F為拋物線％2=y的焦點(diǎn)，點(diǎn)匕(馬,%)(幾=1,2,3,…)在拋物線上.若島+#|-晶F|=

2，心=2,貝!lyio=()

A.12B.16C.18D.20

7.已知卷=竽，錚，c=12,貝ij()

A.a<b<cB.c<a<bC.a<c<bD.b<a<c

8.已知直線I：x+y+2=0與x軸、y軸分別交于M,N兩點(diǎn)，動直線"：y=—mx(mER)和

/2：my—比一4爪+2=0交于點(diǎn)P,則△MNP的面積的最小值為()

A.<10B.5-AHL0C.2cD.

二、多選題(本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求)

9.已知向量元=(-2,3,1)是平面a的一個法向量，點(diǎn)P(l,l,2)在平面a內(nèi)，則下列點(diǎn)也在平面

a內(nèi)的是()

A.(2,1,1)B.(0,0,3)C.(3,2,3)D,(2,1,4)

10.已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(O,02)9>O),a為大于0的常數(shù)，則下列結(jié)論中正確的

是()

A.P(X<a)>0.5B,P(X<-a)>P(X>a+2)

C.o"越大，P(—a<X<0)越小D.E(aX)>EX

11.已知數(shù)列｛a"的每一項(xiàng)均為。或1，其前幾項(xiàng)和為耳，數(shù)列｛斯-5?｝的前幾項(xiàng)和為加,則下

列結(jié)論中正確的是()

A.數(shù)列的，a2,a3,an的所有可能情況共有小種

B.若S0—S11T(ri22)為定值,則心恒為0

C.若然-*(n>2)為定值，則｛a岸為常數(shù)列

D.數(shù)列｛S"可能為等比數(shù)列

12.已知函數(shù)/(x)=/一口/一穴&eR),f'(x)為/1(久)的導(dǎo)函數(shù),則下列結(jié)論中正確的是

()

A.f(久)恒有一個極大值點(diǎn)和一個極小值點(diǎn)

B.若/O)在區(qū)間［0,1］上單調(diào)遞減，則a的取值范圍是［2,+8)

C.若［(1)=0,則直線y=-1與f(x)的圖象有2個不同的公共點(diǎn)

D.若a=3,則/(/'(%))有6個不同的零點(diǎn)

三、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.若(a—2%)5的展開式中久2的系數(shù)為20,則實(shí)數(shù)a=.

14.如圖是《中國生物物種名錄》中記載的2013—2022年中國生物物種及種下單元的數(shù)量

變化圖，從中依次不重復(fù)地抽取兩個年份的數(shù)據(jù)進(jìn)行研究，則在第一次抽到的年份對應(yīng)的物

種及種下單元的總數(shù)超過90000的條件下，第二次抽到的年份對應(yīng)的物種及種下單元的總數(shù)

也超過90000的概率為.

15.已知正項(xiàng)數(shù)列｛an｝是公比為抽等比數(shù)列，數(shù)列也｝的通項(xiàng)公式為“=*若滿足an>bn

的正整數(shù)？1恰有3個，則的的取值范圍為.

16.已知函數(shù)/'(%)=--一久+峭-'f(久)是f(久)的導(dǎo)函數(shù)，若VxeR,不等式

/(3a2-2a-1)<f'(x)+2x-1恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

四、解答題(本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.(本小題10.0分)

已知等差數(shù)列｛每｝的前"項(xiàng)和為％,且Si?=78,a8=4a2.

(1)求｛&J的通項(xiàng)公式；

(2)若%=翁求數(shù)列｛篇｝的前幾項(xiàng)和加

18.(本小題12.0分)

如圖，在四棱錐P-力BCD中，AD//BC,S.AD1DC,平面PADJ?底面4BCD,△PAD是邊長

為2的等邊三角形，BC=1,CD=3,Q為2D的中點(diǎn)，M是棱PC上靠近點(diǎn)C的三等分點(diǎn).

(1)求證：PQ1CD-,

(2)求二面角2-QB-M的平面角的余弦值.

19.(本小題12.0分)

已知函數(shù)/(%)g(x)=aln(x+l)-^--ax，ae(一叫―1).

(1)求g0)的單調(diào)區(qū)間；

⑦若g3極大值=/(乃配〃澹+6,求實(shí)數(shù)b的取值范圍.

20.(本小題12.0分)

淄博燒烤走紅契合了公眾“說走就走”的情緒.美食也是生活，更是社會情緒的折射.隨著城市

間人口流動的日益頻繁，給自己一個說走就走的旅行，是當(dāng)下很多年輕人的選擇.為了解年輕

人對淄博燒烤的態(tài)度，隨機(jī)調(diào)查了200位年輕人，得到的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下面的不完整的2X2列

聯(lián)表所示(單位：人):

非常喜歡感覺一般合計

男性a

女性2a100

合計70

(1)求a的值，并判斷是否有95%的把握認(rèn)為年輕人對淄博燒烤的態(tài)度與性別有關(guān).

(2)從樣本中篩選出4名男性和3名女性共7人作為代表，這7名代表中有2名男性和2名女性非

常喜歡淄博燒烤.現(xiàn)從這7名代表中任選3名男性和2名女性進(jìn)一步交流，記f為這5人中非常喜

歡淄博燒烤的人數(shù)，求毛的分布列及數(shù)學(xué)期望E(f).

n(ad—bc)2

參考公式：x2其中幾=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'

參考數(shù)據(jù):

PJ2>k°)0.10.050.01

k。2.7063.8416.635

21.(本小題12.0分)

已知橢圓C：：+，=l(a>6>0)的左頂點(diǎn)為4,上頂點(diǎn)為B,坐標(biāo)原點(diǎn)。到直線48的距離

為注斗，AAOB的面積為知

1Uz

(1)求橢圓C的方程；

(2)若過點(diǎn)(1,0)且不與無軸重合的直線/與橢圓C交于M,N兩點(diǎn)，直線AM,4V分別與y軸交于

P,Q兩點(diǎn)，證明：|OP|?|OQ|為定值.

22.(本小題12.0分)

已知函數(shù)/(x)=lnxm+2ex-1—2x+m(m6R).

(1)當(dāng)m=2時，求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1/(1))處的切線方程；

(2)若關(guān)于久的不等式/'(久)2mx在［1,+8)上恒成立，求ni的取值范圍.

答案和解析

1.【答案】c

【解析】解：???回歸直線過點(diǎn)G5),

0.3=-0.7+a,解得a=1,

?1.y=-0.7%+1,

二當(dāng)％=2時，預(yù)測y的值為-0.7x2+1=-0.4.

故選：C.

根據(jù)回歸直線過點(diǎn)GJ),代入回歸方程計算得a的值，再將x=2代入回歸方程計算，即可得出答

案.

本題考查線性回歸方程，考查轉(zhuǎn)化思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】D

【解析】解:設(shè)等比數(shù)列｛冊｝的公比為q,

gpfl8+a7+a6_勺3(。5+。4+。3)_g

。5+。4+。3。5+。4+。3

可得=8,即q=2,

又=4,所以的=1=2.

故選：D.

先利用等比數(shù)列前幾項(xiàng)和公式及性質(zhì)求出公比q,然后利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式求出首項(xiàng)即可.

本題主要考查了等比數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】A

【解析】解：當(dāng)動點(diǎn)4滿足p時，直線08的斜率存在，且不為0,有

2

即％=五，化簡得據(jù)=-右，p是q的充分條件；

X。-2

反之，拋物線外=—%的頂點(diǎn)(0,0)并不滿足p,p是q的不必要條件.

故p是q的充分不必要條件.

故選：A.

由心o=k0B列式整理可知P是q的充分條件，取原點(diǎn)驗(yàn)證可知P是q的不必要條件，然后可得答案.

本題考查四個條件、拋物線性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

4.【答案】C

【解析】解：設(shè)雙曲線。的半焦距為c(c>0).

由題可知IF1F2I=2c,IPF1LIPF2I=2a,

則信果=5嚀所以￡=I1+合2=孚,

\PFi\-\PF2\a2a\%，2

所以5=：,所以C的漸近線方程為*±2y=0.

故選：C.

根據(jù)題意可得￡=口，然后由公式￡=I1+合2可得2,即可得漸近線方程.

a2a'aa

本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，化歸轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題.

5.【答案】B

1

【解析】解：由題可知((%)=2cos2x—2sin2x+/"(%)=—4sin2x—4cos2x,

結(jié)合題意知一4si?i2xo-4cos2%o=0,即s譏2%°+cos2x0=y/~^sin(2x0+，)=0,

又一KgVO,所以%0=一2

1171

所以=sin2x0+cos2x0+-x0=-x0-

故選：B.

二次求導(dǎo)，根據(jù)拐點(diǎn)定義求得而，然后代入函數(shù)/(%)可得.

本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的計算，考查了兩角和的正弦公式，屬于基礎(chǔ)題.

6.【答案】C

1

【解析】解：由拋物線/=y,可得F(0,》，準(zhǔn)線為y=-4

根據(jù)拋物線的定義可得，IPn+lW=廝+1+$\PnF\=yn+^

11

所以|Pn+/l一島尸1=Sn+1+%)一+Z)=%i+l-%=2,

故數(shù)列｛為｝是公差為2的等差數(shù)列,

因?yàn)?3=2,

所以為=4，

所以%=4+2(幾一3)=2九一2,

所以yio=18.

故選：c.

根據(jù)拋物線方程可得尸(0分,準(zhǔn)線為y=C，結(jié)合拋物線的定義可得島+/|=即+1+)，⑶F|=

444

y+p進(jìn)而結(jié)合題意可得為+i-%=2,進(jìn)而得到數(shù)列｛%｝是公差為2的等差數(shù)列，再結(jié)合等差

n4

數(shù)列的通項(xiàng)公式求解即可.

本題考查拋物線的性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

7.【答案】A

【解析】解：由題可知之=皿.

12ee

設(shè)〃%)=號,x>0,則/。)=曾，

當(dāng)0<%Vu時，/'(%)>0,/(%)單調(diào)遞增；

當(dāng)先〉u時，/'(%)<0,/(%)單調(diào)遞減，

由/(%)的單調(diào)性可知/(e)>/(3)>f(4),

Rn)e、ln3、ln4

即—e>k3>丁4，

prtcbCL

Bp—>—>—,

12e12e12e

故Q<b<C.

故選：A.

由題可知金=等,構(gòu)造函數(shù)/■(無)=等，利用/(X)的單調(diào)性求解.

本題考查利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小，構(gòu)造函數(shù)并利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，化歸轉(zhuǎn)化思想，

屬中檔題.

8.【答案】B

【解析】解：直線小mx+y=0過定點(diǎn)。(0,0),

由直線％：W-%-4m+2=0,得租(y-4)+2-％=0,則直線過定點(diǎn)8(2,4),

??,mx(―1)+1xTH=0,??.無論租取何值，都有。1%，

.,.點(diǎn)P在以。8為直徑的圓上，且圓心坐標(biāo)為(1,2),半徑為/。用=/石,

設(shè)P(x,y),則點(diǎn)P的軌跡方程為(久-I)2+(y-2)2=5,

圓心到直線1的距離為與黎=亨，則P到直線/的距離的最小值為卑-陵.

V222

由已知可得M(-2,0),N(0,—2),貝!]|MN|=2「，

：.△MNP的面積的最小值為，x2，克x-7-5)=5-

故選：B.

根據(jù)匕，%所過定點(diǎn)和位置關(guān)系可得點(diǎn)P軌跡方程，然后利用點(diǎn)到直線的距離公式和兩點(diǎn)間的距離

公式可得面積最小值.

本題考查直線與直線、直線與圓位置關(guān)系的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.

9.【答案】BCD

【解析】解：記選項(xiàng)中的四個點(diǎn)依次為4,B,C,D,

則方=(1,0,-1)，PB=(-1,-1,1)，

PC=(2,1,1),PD=(1,0,2)，

又元=(-2,3,1),

.■.PA-n^lx(-2)+0x3+(-1)x1=-3K0，故Pl與記不垂直，故A錯誤；

PB-n=(-1)x(-2)+(-1)x3+lxl=0-故而與元垂直，故8正確；

正?元=2x(—2)+1x3+lxl=0,故而與元垂直，故C正確；

PD-n=1x(-2)+0x3+2xl=0?故而與元垂直，故。正確.

故選：BCD.

記選項(xiàng)中的四個點(diǎn)依次為力，B,C,D,結(jié)合數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算驗(yàn)證同，PB，PC，麗是否與元垂

直即可.

本題考查向量坐標(biāo)運(yùn)算法則、平面的法向量等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

10.【答案】AC

【解析】解：由題意，x服從正態(tài)分布N(0?2)g>0),正態(tài)分布曲線的對稱軸為X=O,

對于4,因?yàn)閍大于0,所以P(XWa)>P(XM0)=0.5,故A正確；

對于8,因?yàn)镻(XW—a)=P(X2a),而P(X2a)〉P(X2a+2),

所以P(XW-a)>P(X2a+2),故2錯誤；

對于C,。越大，正態(tài)分布曲線越矮胖，表示總體的分布越分散，故P(-aWXWa)越小，故C正

確；

對于。，由題可知E(X)=0,故E(aX)=aE(X)=0,故。錯誤.

故選：AC.

根據(jù)正態(tài)分布的定義及對稱性求解即可.

本題主要考查了正態(tài)分布曲線的對稱性，屬于基礎(chǔ)題.

11.【答案】CD

【解析】解：對于選項(xiàng)4由分步乘法計數(shù)原理可知由。=1,2,…，刃的值為?；?,共2種情況，

所以數(shù)列內(nèi),a2,a3,廝的所有可能情況共有2n種，

故選項(xiàng)A錯誤；

對于選項(xiàng)8,已知Sn-Sn_i為定值，

即時為定值，

由題可知口兀=0或(In=1,

當(dāng)an=0時，Tn=0,當(dāng)ctn=1時，*=SI+524—+Sn=1+24—+n=(2~

故選項(xiàng)2錯誤；

對于選項(xiàng)C,己知7；-Tn-i為定值，

即%i-Sn為定值，

由題可知與-Sn=/為?；?,

當(dāng)?shù)腳=1時，

則%,?S]=42,52=1,此時無滿足題意的解，

故只有即=0能滿足要求，

所以｛即｝為常數(shù)列，

故選項(xiàng)c正確；

對于選項(xiàng)。，當(dāng)包九｝為1,0,o,…時，sn=1,

則｛s“｝是公比為1的等比數(shù)列，

故選項(xiàng)￡>正確.

故選：CD.

由分步乘法計數(shù)原理可判斷力；-Sn_i為定值，即廝為定值，則tin=0或廝=1,分別討論an=0

或即=1,求出乃可判斷B；Tn-Tn_i為定值，即廝-Sn為定值，結(jié)合題意分析知只有與=0能滿

足要求可判斷C；取特值可判斷。.

本題考查了利用數(shù)列遞推式求數(shù)列的通項(xiàng)公式，重點(diǎn)考查了等比數(shù)列的定義，屬中檔題.

12.【答案】ACD

【解析】解:由題可知尸0)=3x2-2ax-1,

因?yàn)?=(-2a)2-4x3X(-1)=4a2+12>0,

2

所以/''(x)=3x-2ax-1恒有兩個異號的實(shí)根%i，x2>

不妨設(shè)出<x2>

則當(dāng)x6(—8,/)時，/(%)>0,/(久)單調(diào)遞增，

當(dāng)％6(久1，右)時，/(X)<0,/Q)單調(diào)遞減，

當(dāng)x6(*2,+8)時，fr(x)>0,/(久)單調(diào)遞增，

所以/■(%)恒有一個極大值點(diǎn)與和一個極小值點(diǎn)比2，故A正確；

因?yàn)樵趨^(qū)間[0,1]上單調(diào)遞減，

所以對任意的xe[0,1],r(x)W0恒成立，

所以解得故刀錯誤；

(./(1)=3—2a—1<0

若((1)=0,貝|3—2。-1=0,解得。=1,

此時/'(%)=3x2—2%—1=(x-1)(3%+1),

則當(dāng)久G(一8,—》時，f(x)>。，/(%)單調(diào)遞增，

當(dāng)化€(_5,1)時,f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減,

當(dāng)％6(1,+8)時,廣(X)>0,/(%)單調(diào)遞增,

所以/(%)板小值=f(l)=-1,

又當(dāng)久T-8時，/(%)T—00,

所以直線y=-1與f(%)的圖象有2個不同的公共點(diǎn)，故C正確;

若a=3,則/(%)=x3—3/一%,廣(x)—3支2—6%—1,

因?yàn)?'(%)=x3—3——x=x(x2—3%—1)=%(%—3+^^)(x—3

所以f(x)的3個零點(diǎn)為上手，0,當(dāng)更

又(0)=3(%-1)2-4>-4,且—4<

所以當(dāng)f'(x)分別為上野，0,過野時，均有2個不同的％的值與其對應(yīng)，

所以/(rQ))有6個不同的零點(diǎn)，故D正確.

故選：ACD.

利用導(dǎo)數(shù)討論單調(diào)性，然后可得極值點(diǎn)，可判斷4；根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)討論導(dǎo)函數(shù)符號即可判斷屏

利用導(dǎo)數(shù)討論單調(diào)性，作圖分析可判斷C；先解方程f(x)=0,然后根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可判斷D.

本題考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合運(yùn)用，考查數(shù)形結(jié)合思想以及運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

13.【答案】2

【解析】解：由題可知含/的項(xiàng)為量.(一3%)2“3=|(13久2,則久2的系數(shù)為|43,

Bp|a3=20,解得a=2.

故答案為：2.

利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求解.

本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】1

【解析】解：由圖可知，這10年中物種及種下單元的總數(shù)超過90000的年份為2017—2022年，共

6年,

設(shè)事件力為“第一次抽到的年份對應(yīng)的物種及種下單元的總數(shù)超過90000”，

事件B為“第二次抽到的年份對應(yīng)的物種及種下單元的總數(shù)超過90000”，

A

則P(BM)=需=*=|?

故答案為:|.

利用條件概率公式計算即可.

本題考查條件概率公式，屬于基礎(chǔ)題.

15.【答案】（6,16]

【解析】解：由題可知數(shù)列單調(diào)遞減，｛加｝單調(diào)遞增,

故的〉瓦，a2>b2a3>b3,an<bn(n>4,nEN*),

X(1)2>

黑::即可,即.

故只需1解得6<<16.

fllXG)3<2,

故答案為：（6,16].

根據(jù)數(shù)列｛5｝,｛配｝的單調(diào)性列出不等式組求解即可.

本題主要考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及數(shù)列單調(diào)性的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

16.【答案】[一：,1]

【解析】解：由題可知,Q)-x2—2x—1+ex+-^>(x—I)2—2+2Je*弓=(x—l)2>0,

兩處等號不能同時取到，

所以(0)>0,

則/(%)在R上單調(diào)遞增.

f'(x)+2x—l=x2+e%+^—2>x2+2Je》,2—2=x2>0>

當(dāng)且僅當(dāng)％=。時等號同時成立，

所以/(3Q2—2a—1)<0.

又/(0)=0,

所以3q2—2a—140,

解得—,<a<1.

故答案為：

利用基本不等式判斷出/'(嗎>0,則/(%)在R上遞增，求得/'(*)+2x-l的最小值，由此化簡不

等式/?a?-2a-1)Wf(x)+2%-1,進(jìn)而求得a的取值范圍.

本題考查不等式的恒成立問題，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

17.【答案】解：(1)設(shè)｛an｝的公差為d.

S12—78,=4a2，

因?yàn)閍8

小,12x(12-1),__

所以戶名+—2一壯-78o,

+7d=4(。1+d)

解得吐

所以%I=1+(n—1)x1=n,

即｛&J的通項(xiàng)公式為冊=九；

(2)由(1)知5=矣.

所以〃=[+3+…+矣,①

貝心〃=玄+最…+京T，②

①—②得勿=[+=+…+生一』=斗一』

3"33Z33n+i1-A3n+i2-3n+l

則T_3n+1-2n-3

ln~4-3"

【解析】(1)根據(jù)等差數(shù)列求和公式和通項(xiàng)公式列方程組求首項(xiàng)和公差，然后可得通項(xiàng)公式;

(2)由錯位相減法求和即可.

本題考查了等差數(shù)列求和公式和通項(xiàng)公式的求法，重點(diǎn)考查了錯位相減法求和，屬中檔題.

18.【答案】解：(1)證明：在△P4D中，PA=PD,Q為力D的中點(diǎn)，

所以PQIAD.

因?yàn)槠矫鍼2D1底面&BCD,且平面P2DC底面ABC。=AD,

所以PQ_L底面2BCD.

又CDu平面力BCO,

所以PQ1CD.

(2)在直角梯形4BCD中，ADIIBC,BC=^AD,Q為AD的中點(diǎn),

所以BC〃OQ且BC=DQ,

所以四邊形BCDQ為平行四邊形，

所以BQ//DC.

因?yàn)?。1DC,

所以4。1QB,

由(1)可知PQ_L平面4BCD,

所以，以Q為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則Q(0,0,0),P(0,0,C),C(-1,3,0),B(0,3,0).

易知平面力QB的一個法向量元=(0,0,1).

因?yàn)镸是棱PC上靠近點(diǎn)C的三等分點(diǎn)，

所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為(_|,2,?)，

所以證=(0,3,0)，麗=(一|,2,?>

設(shè)平面MQB的法向量為記=(%,y,z),

Cm?=3y=0

貝叼———>2V-3，

m?QM=—-x+2y+—z=0

令％=3,可得記=(3,0,21^).

設(shè)二面角a-QB-M的平面角為d則IcosOI=髓=含=軍

由圖可知，二面角力一Q8—M的平面角為鈍角，

所以二面角a-QB-M的平面角的余弦值為一零.

【解析】(1)利用面面垂直的性質(zhì)定理即可證明；

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用向量法求出二面角的余弦值.

本題考查空間中垂直關(guān)系的判定，考查利用空間向量求解二面角的余弦值，考查空間想象能力,

推理論證能力和運(yùn)算求解能力，考查直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)，屬于中檔題.

19.【答案】解：(1)由題可知g(x)的定義域?yàn)?―1,+8),

x(x+a+l)

g'(久)=~x~a=

x+1

當(dāng)口<—1時，—CL—1>0,

xG(-1,0)時,“(%)<0,

xE(0,—a—1)時，g'(x)>0,

xe(—a—1,+oo),g'(%)<0,

???g(%)的單調(diào)遞減區(qū)間為(—1,0),(—a—l,+8),單調(diào)遞增區(qū)間為(0,一旦—1).

(2)由(1)知極大值=g^—a—1)=aln^—a)—+a(a+1)=alnf<—d)+—%

由已知可得/'(%)=x2—x=%(%—1),

vxG(—8,0)時，/'(%)>0

xe(0,1)時,/'(%)<0,

%6(1,+8)時，/(%)>0,

???/(%)在(-8,0)上單調(diào)遞增，在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增，

1小

+

-

,1,f(久)極小值=/(l)=22

由g(%)撥大金=/(%)極也t+"可得力=極大值一￡8極小值=。加(一。)，

設(shè)九(%)=x/n(—%),則九'(%)=ln(—%)+1,

XE(-00,-1),"(%)>、(—1)=1>0,

八(%)在上單調(diào)遞增，

???/l(x)</l(—1)=0,又當(dāng)％T—8時，/l(x)T—00.

??.8的取值范圍為(一8,0).

【解析】(1)利用導(dǎo)數(shù)分析單調(diào)性即可求解；

(2)由(1)可知gQ)的單調(diào)性，從而求得9(?奴漕，進(jìn)而利用導(dǎo)數(shù)分析的單調(diào)性，從而求得

§3極小值,可得6=abi(-a),構(gòu)造函數(shù)h(x)=xbi(-x),利用導(dǎo)數(shù)分析其單調(diào)性，進(jìn)而求解.

本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，是中檔題.

20.【答案】解：(1)由題可知2a+70-a=100,解得a=30.

2x2列聯(lián)表如下:

非常喜歡感覺一般合計

男性7030100

女性6040100

合計13070200

y2_n(ad-bc)2_______20°x(7°x4°-3°x60)2~o-igoo041

"-(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)~130x70x100x100~

所以沒有95%的把握認(rèn)為年輕人對淄博燒烤的態(tài)度與性別有關(guān).

(2)設(shè)進(jìn)一步交流的男性中非常喜歡淄博燒烤的人數(shù)為小，女性中非常喜歡淄博燒烤的人數(shù)為九,

則6=巾+n，且f的所有可能取值為2,3,4.

P(f=2)=P(m=l,n=l)=潦=I，

P(f=3)=P(m=2,n=1)+P(m=l,n=2)=』釜的+筆言=：，

C4L3L4L3i

P(f=4)=P(m=2,n=2)=。常?=1,

所以f的分布列為：

234

111

P

326

11117

則E(f)=2x1+3xi+4xi=^.

【解析】(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)求得a,然后可完成列聯(lián)表，由卡方公式計算可得；

(2)由排列組合與古典概型公式求概率，可得分布列，再由期望公式可解.

本題主要考查離散型隨機(jī)變量分布列及數(shù)學(xué)期望，獨(dú)立性檢驗(yàn)，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

21.【答案】解：(1)由題意知4(—a,0),B(0,6).

因?yàn)椤鱊OB的面積為|,

所以SAAOB=gab=|①.

\AB\=Va2+Z)2,

因?yàn)辄c(diǎn)。到直線AB的距離為紅衛(wèi)，

10

所以143EJa2+b23E；3G

5Mli02io

由①②結(jié)合a〉b>0可得[二；.

2

所以橢圓C的方程§+y2=i.

(2)證明：由(1)可知人(-3,0).

當(dāng)直線/的斜率不存在時，直線[的方程為％=1,代入橢圓方程得y=±[I,

不妨設(shè)此時M(l,?)，N(l,-學(xué))，

則須=直線4M的方程為y=[Q+3)，

當(dāng)x=0時，y=殍，

易得|0P|=\OQ\=好，

所以IOPHOQI=f.

當(dāng)直線I的斜率存在時，設(shè)直線1的方程為y=k[x-l)(fc豐0),

由二日工一2，得(1+9fc2)%2-18k2%+9fc2-9=0.

(%+9yz=9

設(shè)N(x2,y2),

rn.i,18fc29fc2-9

則％1+%?=----7，XiX=----n-

l+9d?l+9/cz

直線AM的方程為y=用(久+3),

人■1-TD

令x=。，得yp=磊,即P(。，磊)，

同理，得Q?煞)?

9k2(%]-ng-1)

所以|0P|?|0Q|=|9yly2

(%1+3)(%2+3)(%1+3)(%2+3)