新教材北師大版高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè) 第五章 函數(shù)應(yīng)用 課后練習(xí) 含解析

第五章函數(shù)應(yīng)用課后練習(xí)

1、利用函數(shù)性質(zhì)判定方程解的存在性......................................-1-

2、利用二分法求方程的近似解............................................-6-

3、實(shí)際問(wèn)題的函數(shù)刻畫(huà).................................................-11-

4、用函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題.............................................-18-

1、利用函數(shù)性質(zhì)判定方程解的存在性

提升練習(xí)

x<1

1.已知函數(shù)f(x)=一‘一'則函數(shù)f(x)的零點(diǎn)為()

1+log2x,%>1,

1

A.—,0B.-2,0

2

1

C.-D.0

2

x

【解析】選D.當(dāng)xWl時(shí)，由f(x)=0,得2-l=0,所以x=0.當(dāng)x>l時(shí),由f(x)=0,得l+log2x=0,

1

所以x=-,不成立,所以函數(shù)的零點(diǎn)為0.

2

2.函數(shù)f(x'x'lnx-4的零點(diǎn)所在的區(qū)間是()

A.(0,1)B.(1,2)

C.⑵3)D.(3,4)

【解析】選B.因?yàn)閒(l)=]?+lnl-4=-3<0,f(2)=22+ln2-4=ln2〉0,又函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)單

調(diào)遞增,所以f(x)的零點(diǎn)在(1.2)內(nèi).

3.函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是()

A.0B.1C.2D.無(wú)數(shù)個(gè)

【解析】選B.作出丫=*3與丫=(弓)的圖象，如圖所示，兩個(gè)函數(shù)的圖象只有一個(gè)交點(diǎn),所以函

數(shù)f(x)只有一個(gè)零點(diǎn).

產(chǎn)出

4.若函數(shù)f(x)=ax?-x+2只有一個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值集合是.

【解析】當(dāng)a=0時(shí),f(x)=-x+2,令f(析=0,解得x=2,所以函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)2,符合題意;

11

當(dāng)aHO時(shí)，由函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)可得A=(T)9-4XaX2=0,即l-8a=0,解得a=一.綜上a二一或

88

a=0.

答案:{o,m

1

5.判斷方程Iog2x+x2=0在區(qū)間一,1上有沒(méi)有實(shí)數(shù)根?為什么？

12」

【解析】設(shè)f(x)=log2x+x2,

/1\1/1\213

fl-)=log2-+(-I=-1+一=一<0,

\272\2744

f(l)=log/+l=l〉0,即f(g)?f(1)〈0,函數(shù)f(x)=logzx+x2的圖象在區(qū)間1上是連續(xù)的,

1「1

因止匕,f(x)在區(qū)間->1上有零點(diǎn)，即方程Iog2x+x2=0在區(qū)間一，1上有實(shí)根.

12L2

提升練習(xí)

一、單選題(每小題5分，共15分)

1.若a<b<c,則函數(shù)f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)?(x-a)的兩個(gè)零點(diǎn)分別位于區(qū)間

()

A.(b,c)和(c,+°°)內(nèi)B.(一8,a)和(a,b)內(nèi)

C.(a,b)和(b,c)內(nèi)D.(-8,a)和(c,+8)內(nèi)

(解析］選C.因?yàn)閍<b<c,所以f(a)=(a-b)(a-c)>0,f(b)=(b-c)(b-a)<0,f(c)=(c-a)(c-b)>0,

所以f(x)的零點(diǎn)分別位于(a,b)和(b,c)內(nèi).

2.(2020?浙江高考)已知a,bGR且abWO,若(x-a)(x-b)(x-2a-b)NO在x20上恒成立,則

()

A.a<0B.a>0C.b<0D.b>0

【解析】選C.由于abWO則a#0且b#0,根據(jù)y=(x-a)(x-b)(x-2a-b)的零點(diǎn)為a,b,2a+b的

情況可確定是否滿足(x-a)(x-b)(x-2a-b)在x20上恒成立.

若a<0,b<0,則2a+b<0,滿足;若a<0,b>0,則b話2a+b,不滿足;若a>0,b>0,則2a+b〉0,不滿足；

若a>0,b<0,則a=2a+b即a+b=O時(shí)滿足,綜上,只有選項(xiàng)C符合.

3.(2018?全國(guó)卷I)已知函數(shù)f(x)=ff''-2g(x)=f(x)+x+a.若g(x)存在2個(gè)零點(diǎn),

unx,x>0,

則a的取值范圍是()

A.[-1,0)B.[0,+8)

C.[-1,+8)D.[1,+8)

【解析】選C.函數(shù)g(x)=f(x)+x+a存在2個(gè)零點(diǎn)，即關(guān)于x的方程f(x)=-x-a有2個(gè)不同的實(shí)

根,即函數(shù)f(x)的圖象與直線y=-x-a有2個(gè)交點(diǎn)，作出直線y=-x-a與函數(shù)f(x)的圖象,如圖

所示，

由圖可知,-aWl,解得a》T.

【補(bǔ)償訓(xùn)練】

(logix,%>0,

己知函數(shù)f(x)={2若關(guān)于X的方程f(x)=k有兩個(gè)不等的實(shí)根,則實(shí)數(shù)

(2七x<0,

k的取值范圍是()

A.(0,+8)B.(0,1]

C.(1,+8)D.(-°0,1)

【解析】選B.作出函數(shù)f(x)的圖象，由圖象知,

當(dāng)(KkWl時(shí)，尸k與y=f(x)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)方程f(x)二k有兩個(gè)不等實(shí)根,所以0<k

二、多選題(共5分,全部選對(duì)的得5分,選對(duì)但不全的得3分,有選錯(cuò)的得0分)

1

4.已知xo是函數(shù)f(x)=2X+----的一個(gè)零點(diǎn).若xi￡(1,xo),x4(xo,+8),則()

l-x2

A.f(xi)>0B.f(xi)<0

C.f(x2)>0D.f(x2)<0

1

【解析】選BC.在同一平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)尸2*和函數(shù)y=—的圖象,如圖所示,

x-l

11

由圖可知函數(shù)尸2、和函數(shù)y=----的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)f(x)=2x+----只有一個(gè)零點(diǎn)Xo,

x-ll-x

且Xo>l.因?yàn)閄ie(1,Xo),x2e(xo,+°°),所以由函數(shù)圖象可知,f(X1)<0,f(x2)>0.

三、填空題(每小題5分，共10分)

5.若方程lx?-4x|-有四個(gè)不相等的實(shí)根,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

【解析1由IX2-4X|-a=0,得a=|xMx，作出函數(shù)y=|x-4x|的圖象,則由圖象可知,

要使方程Ix-4x|-a=0有四個(gè)不相等的實(shí)根,則0<a<4.

答案:(0,4)

【補(bǔ)償訓(xùn)練】

yV0

-若函數(shù)f(x)有且僅有1個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍

3%+L%>0,

是.

【解析】當(dāng)x>0時(shí),f(x)=3x+l>l,函數(shù)無(wú)零點(diǎn);要使函數(shù)f(x)有且僅有1個(gè)零點(diǎn)，則f(x)=a-2"

在(-8,0]上有且僅有1個(gè)零點(diǎn).畫(huà)出函數(shù)y=a與函數(shù)y=2”(xW0)的圖象,如圖所示.

因?yàn)楫?dāng)xWO時(shí),2*e(0,1],所以ae(0,13.

答案：(0,1]

6.已知函數(shù)f(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù),-2是它的一個(gè)零點(diǎn),且在(0,+8)上是增函數(shù),則該函

數(shù)有個(gè)零點(diǎn),這幾個(gè)零點(diǎn)的和等于.

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù),且在(0,+8)上是增函數(shù),所以f(0)=0.又因?yàn)?/p>

f(-2)=0,所以f(2)=-f(-2)=0,故該函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn),這3個(gè)零點(diǎn)之和等于0.

答案：30

四、解答題

e2

7.(10分)已知函數(shù)f(x)=-x+2ex+mT,g(x)=x+—(x>0).

x

(1)若g(x)=m有零點(diǎn),求m的取值范圍;

(2)試確定m的取值范圍，使得g(x)-f(x)=0有兩個(gè)相異實(shí)根.

e2

【解析】(1)作出g(x)=x+—(x〉0)的圖象如圖:

可知若g(x)=m有零點(diǎn),則有m》2e.故m的取值范圍為{m|m》2e}.

⑵g(x)-f(x)=0有兩個(gè)相異實(shí)根,即g(x)與f(x)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn).在同一平面直角坐

e2

標(biāo)系中，作出g(x)=x+—(x>0)和f(x)的圖象,如圖.

X

因?yàn)閒(x)=-x2+2ex+m-l=-(x-e)2+m-l+e2,

其圖象的對(duì)稱軸為直線x=e,開(kāi)口向下，最大值為m-1+e2,故當(dāng)m-l+e2>2e,即m>-e2+2e+l時(shí),

g(x)與f(x)有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，

即g(x)-f(x)=O有兩個(gè)相異實(shí)根，

所以m的取值范圍是m>-e2+2e+l.

2、利用二分法求方程的近似解

基礎(chǔ)練習(xí)

1.下列函數(shù)圖象與X軸均有交點(diǎn),其中不能用二分法求圖中函數(shù)零點(diǎn)的是()

【解析】選B.利用二分法求函數(shù)零點(diǎn)必須滿足零點(diǎn)兩側(cè)函數(shù)值異號(hào).在B中，不滿足

f(a)?f(b)〈O,不能用二分法求零點(diǎn)，由于A,C,D中零點(diǎn)兩側(cè)函數(shù)值異號(hào),故可采用二分法求零

點(diǎn).

2.若函數(shù)f(x)在［a,b］上的圖象為一條連續(xù)不斷的曲線,且同時(shí)滿足

f(a)f(b)<0,f(a)f>0,則)

a+b]

A.f(x)在Q,——上有零點(diǎn)

2J

[a+fc]1

B.f(x)在——，b上有零點(diǎn)

2J

a+fc

c.f(x)在a,上無(wú)零點(diǎn)

2

「a+b1

D.f(x)在----?07上無(wú)零點(diǎn)

2J

【解析】選B.由f(a)f(b)<0,f(a)f>0可知ff(b)<0,根據(jù)零點(diǎn)存在定理可知

a+b,］a+b

f(x)在——，b上有零點(diǎn)，在a,——上有無(wú)零點(diǎn)無(wú)法判斷.

2J2J

3.用二分法求關(guān)于x的方程Inx+2x-6=0的近似解時(shí),能確定為解所在的初始區(qū)間的是

()

A.⑵3)B.(0,2)

C.(1,2)D.(0,+8)

【解析】選A.令函數(shù)f(x)=lnx+2x-6,可判斷在(0,+-)上單調(diào)遞增,所以f⑴=-4<0,f(2)=ln

2-2<0,f(3)=ln3〉0,所以根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)存在定理可得:零點(diǎn)在⑵3)內(nèi)，即方程Inx+2x-6=0

的近似解在(2,3)內(nèi).

1

4.已知函數(shù)f(x)--x3-x2+l.

3

(1)證明方程f(x)=0在區(qū)間［0,2］內(nèi)有實(shí)數(shù)解；

(2)使用二分法,取區(qū)間的中點(diǎn)三次,指出方程f(x)=0(xe［0,2］)的實(shí)數(shù)解X。在哪個(gè)較小的區(qū)

間內(nèi).

1

【解析】(1)因?yàn)閒(0)=l〉0,f(2)=—〈0,

3

所以f(0)?f(2)<0,由函數(shù)的零點(diǎn)存在定理可得方程f(x)=0在區(qū)間［0,2］內(nèi)有實(shí)數(shù)解.

11

⑵取XL(0+2)=1,得f⑴二一〉0,

23

由此可得f(l)?f(2)<0,下一個(gè)有解區(qū)間為(1,2).

13Z3\1

再取X2=-(1+2)=-得f(一]=--<0,

22\278

所以f⑴?f(￡)<0,下一個(gè)有解區(qū)間為(1,|

1一3、5

再取X3一1H-一)=-得f

224

所以f(3),f(j)<0,下一個(gè)有解區(qū)間為

rs31

綜上所述,所求的實(shí)數(shù)解x。在區(qū)間一，-內(nèi).

L421

創(chuàng)新練習(xí)

一、單選題(每小題5分，共15分)

1.下列關(guān)于函數(shù)y=f(x),xG［a,b］的敘述中，正確的個(gè)數(shù)為()

①若xo￡［a,b］且滿足f(x0)=0,則(x0,0)是f(x)的一個(gè)零點(diǎn)；

②若x。是f(x)在［a,b］上的零點(diǎn),則可用二分法求xo的近似值；

③函數(shù)f(x)的零點(diǎn)是方程f(x)=0的根，但f(x)=O的根不一定是函數(shù)f(x)的零點(diǎn).

A.0B.1C.2D.3

【解析】選A.①中xo￡［a,b］且f(xo)=O,

所以x。是f(x)的一個(gè)零點(diǎn),而不是(x。,0),故①錯(cuò)誤；

②由于X。兩側(cè)函數(shù)值不一定異號(hào),故②錯(cuò)誤;③方程f(x)=O的根一定是函數(shù)f(x)的零點(diǎn),故③

錯(cuò)誤.

2.下列函數(shù)不宜用二分法求零點(diǎn)的是()

A.f(x)=x3-l

B.f(x)=lnx+3

C.f(x)=X2+2V2X+2

D.f(x)=-X2+4X-1

【解析】選c.f(x)=X2+2V2X+2=(X+V2)2^0,不存在小于0的函數(shù)值,所以不能用二分

法求零點(diǎn).

3.用二分法求方程ln(2x+6)+2=M的根的近似值時(shí)，令f(x)=ln(2x+6)+2-3：并用計(jì)算器得到表

格：

X1.001.251.3751.50

f(X)1.07940.1918-0.3604-0.9989

則由表中的數(shù)據(jù)，可得方程ln(2x+6)+2=3*的一個(gè)近似解(精確度為0.1)為()

A.1.125B.1.3125

C.1.4375D.1.46875

【解析】選B.因?yàn)閒(1.25)?f(1.375)<0,故根據(jù)二分法的思想，知函數(shù)f(x)的零點(diǎn)在區(qū)間

(1.25,1.375)內(nèi),但區(qū)間(1.25,1.375)的長(zhǎng)度為0.125>0.1,因此需要取(1.25,1.375)的中點(diǎn)

1.3125,兩個(gè)區(qū)間個(gè)25,1.3125)和(1.3125,1.375)中必有一個(gè)滿足區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值符號(hào)

相異,又區(qū)間的長(zhǎng)度為0.0625<0.1,因此1.3125是一個(gè)近似解.

【補(bǔ)償訓(xùn)練】

某同學(xué)在借助計(jì)算器求“方程lgx=2-x的近似解(精確度為0.1)”時(shí),設(shè)f(x)=lgx+x-2,

算得f(1)<0,f(2)〉0;在以下過(guò)程中，他用二分法又取了4個(gè)x的值,計(jì)算了其函數(shù)值的正負(fù)，

并得出判斷:方程的近似解是x^l.8.那么他再取的x的4個(gè)值依次是.

【解析】第一次用二分法計(jì)算得區(qū)間(1.5,2),第二次得區(qū)間(1.75,2),第三次得區(qū)間

(1.75,1.875),第四次得區(qū)間(1.75,1.8125).

答案：1.5,1.75,1.875,1.8125

二、多選題(共5分,全部選對(duì)的得5分,選對(duì)但不全的得3分,有選錯(cuò)的得0分)

4.函數(shù)f(x)=/ogy+x-4的零點(diǎn)所在的區(qū)間為()

2

A.(0,1)B.(1,3)

C.⑶4)D.(4,8)

【解析】選AD.設(shè)yi=lo^ix,y2=4-x,則f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù),即函數(shù)yi與y2的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，作

2

出兩函數(shù)圖象如圖.

y

4

3

2

1

X

j,=iogix

由圖知力與y?在區(qū)間(0,1)內(nèi)有一個(gè)交點(diǎn)，

當(dāng)x=4時(shí)，yi=-2,y2=0;當(dāng)x=8時(shí)，yi=-3,

yz=-4,所以在(4,8)內(nèi)兩曲線又有一個(gè)交點(diǎn).

即函數(shù)f(x)=/0gy+x-4的零點(diǎn)所在的區(qū)間為(0,1)和(4,8).

2

三、填空題(每小題5分，共10分)

5.函數(shù)f(x)=x，ax+b有零點(diǎn)，但不能用二分法求出，則a,b的關(guān)系是.

【解題指南】函數(shù)有零點(diǎn)，但不能用二分法,說(shuō)明函數(shù)在零點(diǎn)兩側(cè)同號(hào),結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，

說(shuō)明函數(shù)f(x)的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn).

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=x?+ax+b有零點(diǎn)，但不能用二分法,所以函數(shù)f(x)=x?+ax+b的圖象與x

軸只有一個(gè)交點(diǎn)，所以A=a2-4b=0,所以廠二北.

答案:a?=4b

6.用二分法研究函數(shù)f(x)=x、3x-l在區(qū)間［0,1］內(nèi)的零點(diǎn)時(shí),第一次經(jīng)計(jì)算得

f(0)<0,f(0.5)>0,f(l)>0,可得其中一個(gè)零點(diǎn)x?e,第二次應(yīng)計(jì)算.

［解析1因?yàn)閒(0)<0,f(0.5)>0,所以f(0)?f(0.5)<0,故f(x)的一個(gè)零點(diǎn)Xoe(0,0.5),利用

二分法,則第二次應(yīng)計(jì)算f=f(0.25).

答案：(0,0.5)f(0.25)

四、解答題

7.(10分)已知函數(shù)f(x)=3ax2+2bx+c,a+b+c=O,f(0)>0,f(1)>0,證明a>0,并利用二分法證明方

程f(x)=O在區(qū)間［0,1］內(nèi)有兩個(gè)實(shí)根.

【證明】因?yàn)閒(l)>0,所以3a+2b+c>0,

即3(a+b+c)-b-2c>0.因?yàn)閍+b+c=O,所以--2c>0,貝卜b-c>c,即a>c.因?yàn)閒(0)〉0,所以c>0,則

a>0.

1/1\331

在區(qū)間［0,1］內(nèi)選取二等分點(diǎn)一,則fI-)=-a+b+c=-a+(-a)=一a<0.因?yàn)閒(0)〉0,f⑴)0,所以

2\27444

函數(shù)f（x）在區(qū)間（0,和（1，1）上各有一個(gè)零點(diǎn).又f（x）最多有兩個(gè)零點(diǎn)，從而f（x）=0

在［0,1］內(nèi)有兩個(gè)實(shí)根.

3、實(shí)際問(wèn)題的函數(shù)刻畫(huà)

基礎(chǔ)練習(xí)

1.某同學(xué)家門(mén)前有一筆直公路直通長(zhǎng)城,星期天，他騎自行車勻速前往，他先前進(jìn)了akm,覺(jué)得

有點(diǎn)累，就休息了一段時(shí)間,想想路途遙遠(yuǎn),有些泄氣,就沿原路返回騎了bkm（b〈a）,當(dāng)他想起

“不到長(zhǎng)城非好漢”時(shí),便調(diào)轉(zhuǎn)車頭繼續(xù)前進(jìn),則該同學(xué)離起點(diǎn)的距離與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系圖象

大致為（）

【解析】選C.由題意可知,前進(jìn)akm時(shí),s是關(guān)于時(shí)間t的一次函數(shù),所以其圖象特征是直線

上升.由于中間休息了一段時(shí)間,該段時(shí)間的圖象應(yīng)是平行于橫軸的一條線段.然后原路返回b

km,圖象下降且時(shí)間增加,再調(diào)轉(zhuǎn)車頭繼續(xù)前進(jìn),則直線上升.C選項(xiàng)圖象符合題意.

2.甲、乙、丙、丁四輛玩具賽車同時(shí)從起點(diǎn)出發(fā)并做勻速直線運(yùn)動(dòng)，丙車最先到達(dá)終點(diǎn).丁車

最后到達(dá)終點(diǎn).若甲、乙兩車的圖象如圖所示，則對(duì)于丙、丁兩車的圖象所在區(qū)域，判斷正確的

是（）

A.丙在III區(qū)域,丁在I區(qū)域

B.丙在I區(qū)城,丁在m區(qū)域

C.丙在II區(qū)域，丁在I區(qū)域

D.丙在in區(qū)域,丁在n區(qū)域

【解析】選A.由題圖可得相同時(shí)間內(nèi)丙車行駛路程最遠(yuǎn),丁車行駛路程最近,即丙在III區(qū)域，

丁在I區(qū)域.

3.圖A表示某年12個(gè)月中每月的平均氣溫,一般地,家庭用電量(kW?h)與

氣溫(℃)有一定關(guān)系.圖B表示某家庭在此年12個(gè)月的用電量.根據(jù)這些信息，以下關(guān)于該家

庭用電量與氣溫間關(guān)系的敘述中，正確的是()

A.氣溫最高時(shí),用電量最多

B.氣溫最低時(shí),用電量最少

C.5月?7月用電量隨氣溫增加而增加

D.8月?12月用電量隨氣溫降低而增加

【解析】選C.逐月分析圖象的升降趨勢(shì)和變化率，排除干擾選項(xiàng)便能確定答案.比較題干中的

兩圖可以發(fā)現(xiàn),2月份用電量最多，而2月份氣溫不是最高，因此排除A.同理可排除B.8月至12

月份氣溫一直下降，但用電量有增有減,排除D.由5,6,7三個(gè)月的氣溫和用電量可得出C正確.

4.為了了解“環(huán)保型紙質(zhì)飯盒”的使用情況,某研究性學(xué)習(xí)小組對(duì)本地區(qū)2005年至2007年使

用紙質(zhì)飯盒的所有快餐公司進(jìn)行了調(diào)查,根據(jù)表格及圖象提供的信息,可以得出這三年該地區(qū)

每年平均消耗紙質(zhì)飯盒_______萬(wàn)個(gè).

年份快餐公司數(shù)

200530

200645

200790

【解析】結(jié)合題中兩個(gè)圖表可得2005年消耗紙質(zhì)飯盒總數(shù)=1X30=30（萬(wàn)個(gè)）;

2006年消耗紙質(zhì)飯盒總數(shù)=2X45=90（萬(wàn)個(gè)）;

2007年消耗紙質(zhì)飯盒總數(shù)=1.5X90=135（萬(wàn)個(gè)）;

故每年平均消耗紙質(zhì)飯盒總數(shù)=（30+90+135）+3=85（萬(wàn)個(gè)）.

答案：85

5.如圖所示，已知邊長(zhǎng)為8米的正方形鋼板有一個(gè)角被銹蝕,其中AE=4米,CD=6米.為了合理利

用這塊鋼板,在五邊形ABCDE內(nèi)截取一個(gè)矩形BNPM,使點(diǎn)P在邊DE上.

（1）設(shè)MP=x米,PN=y米,將y表示成x的函數(shù),求該函數(shù)的解析式及定義域;

（2）求矩形BNPM面積的最大值.

【解析】⑴如圖所示，延長(zhǎng)NP交AF于點(diǎn)Q,

EQEFx-441

所以PQ=(8-y)米,EQ=(x-4)米.在AEDF中，=,所以---所以y=--x+10,定義域?yàn)?/p>

PQFD8-y22

[4,8].

(2)設(shè)矩形BNPM的面積為S,

則S=xy=x(10)=--(X-10)2+50.

又xe[4,8],所以當(dāng)x=8時(shí),S取最大值48.

提升練習(xí)

一、單選題（每小題5分，共20分）

1.李明放學(xué)回家的路上,開(kāi)始和同學(xué)邊走邊討論問(wèn)題,走得比較慢;然后他們索性停下來(lái)將問(wèn)

題徹底解決;最后他快速地回到了家.下列圖象中與這一過(guò)程吻合得最好的是（）

離家的距離離家的距離

AB

離家的距離離家的距離

【解析】選D.根據(jù)實(shí)際情況較吻合的應(yīng)為D.

2.某公司市場(chǎng)營(yíng)銷人員的個(gè)人月收入與其每月的銷售量成一次函數(shù)關(guān)系,如圖所示，由圖中給

出的信息可知,營(yíng)銷人員沒(méi)有銷售量時(shí)的收入是（）

收入/元

銷售量/萬(wàn)件

A.310元B.300元C.290元D.280元

【解析】選B.由題意可知，收入y是銷售量x的一次函數(shù)，設(shè)y=ax+b（aW0）,將（1,800）,（2,1

300）代入得a=500,b=300.當(dāng)銷售量x=0時(shí)y=300.

3.某廠生產(chǎn)中所需一些配件可以外購(gòu),也可以自己生產(chǎn).如果外購(gòu),每個(gè)配件的價(jià)格是1.10元;

如果自己生產(chǎn),則固定成本將增加800元,并且生產(chǎn)每個(gè)配件的材料和勞力需0.60元,則決定

此配件外購(gòu)或自產(chǎn)的轉(zhuǎn)折點(diǎn)（即生產(chǎn)多少件以上自產(chǎn)合算）是（）

A.1000件B.1200件

C.1400件D.1600件

【解析】選D.設(shè)生產(chǎn)x件時(shí)自產(chǎn)合算，由題意得1.lx>800+0.6x,解得x》l600.

4.擬定從甲地到乙地通話mmin的電話費(fèi)f（m）=l.06?（0.50M+1）,其中m〉0,[m]是大于或等

于m的最小整數(shù)（如[3]=3,[3.7]=4,[5.2]=6）,則從甲地到乙地通話時(shí)間為5.5min的通話費(fèi)

為（）

A.3.71B.3.97C.4.24D.4.77

【解析】選C.5.5min的通話費(fèi)為

f（5.5）=1.06X（0.50X[5.5]+1）=1.06X（0.50X6+l）=l.06X4=4.24.

二、多選題（每小題5分，共10分,全部選對(duì)的得5分,選對(duì)但不全的得3分,有選錯(cuò)的得0分）

5.已知每生產(chǎn)100克餅干的原材料加工費(fèi)為1.8元,某食品加工廠對(duì)餅干采用兩種包裝,其包

裝費(fèi)用、銷售價(jià)格如表所示：

型號(hào)小包裝大包裝

重量100克300克

包裝費(fèi)0.5元0.7元

銷售價(jià)格3.00元8.4元

則下列說(shuō)法正確的是（）

A.買小包裝實(shí)惠

B.買大包裝實(shí)惠

C.賣3小包比賣1大包盈利多

D.賣1大包比賣3小包盈利多

【解析】選BD.大包裝300克8.4元,則等價(jià)為100克2.8元,小包裝100克3元,則買大包裝

實(shí)惠，故B正確,賣1大包盈利8.4-0.7-1.8X3=2.3（元），賣1小包盈利3-0.5T.8=0.7（元）,

則賣3小包盈利0.7X3=2.1（元），則賣1大包比賣3小包盈利多,故D正確.

6.某工廠8年來(lái)的產(chǎn)品年產(chǎn)量y與時(shí)間t（單位:年）的函數(shù)關(guān)系如圖所示,則下面四個(gè)結(jié)論,正

確的是（）

B.前3年的年產(chǎn)量增長(zhǎng)速度越來(lái)越慢

C.3年后,這種產(chǎn)品停止生產(chǎn)

D.3年后,這種產(chǎn)品年產(chǎn)量保持不變

【解析】選AD.由題干圖可知,前3年中,年產(chǎn)量的增長(zhǎng)速度越來(lái)越快,后5年的年產(chǎn)量是不變

的,所以AD正確.

三、填空題(每小題5分，共10分)

7.已知直角梯形ABCD,如圖⑴所示,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，由B-C-D-A沿邊運(yùn)動(dòng),設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)

的路程為x,AABP的面積為f(x).如果函數(shù)y=f(x)的圖象如圖⑵所示,則4ABC的面積

為.

【解析】由題中圖象可知BC=4,CD=5,DA=5,

所以AB=5+』52-42=5+3=8,所以SAABC=|X8X4=16.

答案：16

【補(bǔ)償訓(xùn)練】

生活經(jīng)驗(yàn)告訴我們，當(dāng)水注入容器(設(shè)單位時(shí)間內(nèi)進(jìn)水量相同)時(shí),水的高度隨著時(shí)間的變

化而變化,在下圖中請(qǐng)選擇與容器相匹配的圖象,A對(duì)應(yīng);B對(duì)應(yīng);C對(duì)

應(yīng);D對(duì)應(yīng).

°時(shí)間°時(shí)間°時(shí)間°時(shí)間

(1)(2)(3)(4)

【解析】A容器下粗上細(xì),水高度的變化先慢后快,故與(4)對(duì)應(yīng);B容器為球形,水高度變化為

快一慢一快,應(yīng)與(1)對(duì)應(yīng);C,D容器都是柱形的,水高度的變化速度都應(yīng)是直線型，但C容器

細(xì),D容器粗,故水高度的變化為:C容器快,與(3)對(duì)應(yīng),D容器慢,與(2)對(duì)應(yīng).

答案：⑷(1)(3)(2)

8.某商人將手機(jī)先按原價(jià)提高40%,然后“八折優(yōu)惠”，結(jié)果是每部手機(jī)比原價(jià)多賺144元,那

么每部手機(jī)原價(jià)是元,實(shí)際售價(jià)為元.

【解析】設(shè)每部手機(jī)原價(jià)是X元，由題意可得（1+40%）X-0.8-x=144,解得x=l200.實(shí)際售價(jià)為

1200+144=1344（元）.

答案:12001344

四、解答題（每小題10分，共20分）

9.某電信公司推出兩種手機(jī)收費(fèi)方式:A種方式是月租20元,B種方式是月租0元.一個(gè)月本地

網(wǎng)內(nèi)打出的電話時(shí)間t（分鐘）與打出電話費(fèi)s（元）的函數(shù)關(guān)系如圖所示,當(dāng)打出電話150分鐘

時(shí),這兩種方式話費(fèi)相差多少元？

【解析】設(shè)A種方式對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為s=k1t+20,B種方式對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為s=k2t.

1

當(dāng)t=100時(shí)，100ki+20=100k2,所以k2-ki=-.

1

當(dāng)t=150Ht,150k2-150k-20=150X-20=10.

5

答:這兩種方式話費(fèi)相差10元.

10.某地上年度電價(jià)為0.8元/度,年用電量為1億度.本年度計(jì)劃將電價(jià)調(diào)至0.55-0.75元/

度之間（包含0.55元/度和0.75元/度）,經(jīng)測(cè)算,若電價(jià)調(diào)至x元/度,則本年度新增用電量y（億

度）與（x-0.4）（元/度）成反比，且當(dāng)x=0.65時(shí),y=0.8.

（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）若每度電的成本為0.3元,則電價(jià)調(diào)至多少時(shí)，電力部門(mén)本年度的收益將比上一年增加20%?

［收益=用電量X（實(shí)際電價(jià)-成本價(jià)）］

k

【解析】⑴因?yàn)閥與（X-0.4）成反比,所以可設(shè)（^0）,把X=0.65,尸。.8代入上式,

k0.21

得°解得當(dāng)所以.所以y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為

1

y=-----(0.55WxW0.75).

5k2

(2)根據(jù)題意，得(1H———j(X-0.3)=1X(0.8-0.3)X(1+20%),整理得x2-l.lx+0.3=0,解

\5x-2)

得xi=0.5(舍去)或xz=0.6,所以當(dāng)電價(jià)調(diào)至0.6元/度時(shí)，電力部門(mén)本年度的收益將比上一年增

加20%.

4、用函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題

基礎(chǔ)練習(xí)

1.一等腰三角形的周長(zhǎng)為20,底邊y是關(guān)于腰長(zhǎng)x的函數(shù)，它的解析式為()

A.y=20-2x(xW10)

B.y=20-2x(x<10)

C.y=20-2x(5Wx(10)

D.y=20-2x(5<x<10)

【解析】選D.由y+2x=20得y=20-2x.

12%>y—20~2%,

又|得5<x<10.

(20-2%>0,

2.一個(gè)人以6米/秒的速度去追停在交通燈前的汽車,當(dāng)他離汽車25米時(shí),交通燈由紅變綠，汽

車以1米/秒2的加速度勻加速開(kāi)走,那么()

A.人可在7秒內(nèi)追上汽車

B.人可在10秒內(nèi)追上汽車

C.人追不上汽車,其間距最少為5米

D.人追不上汽車,其間距最少為7米

1

【解析】選D.設(shè)汽車經(jīng)過(guò)t秒行駛的路程為s米,則s=-t2,車與人的間距

2

11

d=(s+25)-6t=-t-6t+25=-(t-6)2+7,當(dāng)t=6時(shí)，d取得最小值7.

22

3.今有一組試驗(yàn)數(shù)據(jù)如表所示:

t1.993.04.05.16.12

u1.54.047.51218.01

則能體現(xiàn)這些數(shù)據(jù)關(guān)系的函數(shù)模型是（）

A.u=log2tB.u=2t-2

t2-l

C.u=-------D.u=2t-2

2

【解析】選C.可以先描出各點(diǎn)（如圖），并利用數(shù)據(jù)點(diǎn)直觀地認(rèn)識(shí)變量間的關(guān)系,選擇合適的函

數(shù)模型來(lái)刻畫(huà)它.

20?

15

10°

*

5

_____Q-*,.,「

°246______81

由圖可知，圖象不是直線上的點(diǎn),排除選項(xiàng)D;圖象不符合對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象特征,排除選項(xiàng)A;當(dāng)

t2-l32-1t2-i

t=3時(shí)21-2=23-2=6,-------=-------=4,由題干中表格知當(dāng)t=3時(shí),u=4.04,模型u=-------能較好地體

222

現(xiàn)這些數(shù)據(jù)關(guān)系.

4.某廠有許多形狀為直角梯形的鐵皮邊角料,如圖,為降低消耗,開(kāi)源節(jié)流,現(xiàn)要從這些邊角料

上截取矩形鐵皮（如圖中陰影部分）備用.當(dāng)截取的矩形面積最大時(shí),矩形的兩邊長(zhǎng)X,y分別

為.

24^yx55

【解析】由三角形相似，即----=—,得x=-X(24-y),所以S=xy=-一(y-12)2+180,

24-82044

故當(dāng)y=12時(shí)，S有最大值，此時(shí)x=15.

答案：15,12

5.某市居民生活用水收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下：

用水量x/t每噸收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)/元

不超過(guò)2t部分m

超過(guò)2t不超過(guò)4t部分3

超過(guò)4t部分n

已知某用戶1月份用水量為8t,繳納的水費(fèi)為33元;2月份用水量為6t,繳納的水費(fèi)為21元.

設(shè)用戶每月繳納的水費(fèi)為y元.

(1)寫(xiě)出y關(guān)于x的函數(shù)解析式；

(2)若某用戶3月份用水量為3.5t,則該用戶需繳納的水費(fèi)為多少元？

(3)若某用戶希望4月份繳納的水費(fèi)不超過(guò)24元,求該用戶最多可以用多少噸水.

【解析】(1)由題設(shè)可得

mx,0<x<2,

2m+3,2<x<4,

2m+6+n%>4.

當(dāng)x=8時(shí)，y=33;當(dāng)x=6時(shí)，y=21,

(2m+6+4九=33,5,

代入得

t2m+6+2n=21,解得｛；1

1.5%,0<x<2,

3%-3,2<%<4,

%>4.

(2)當(dāng)x=3.5時(shí),y=3X3.5-3=7.5.1

故該用戶3月份需繳納的水費(fèi)為7.5元.

⑶令6X-15W24,解得xW6.5.

故該用戶最多可以用6.5t水.

提升練習(xí)

一、單選題(每小題5分，共25分)

1.某廠原來(lái)月產(chǎn)量為a,一月份增產(chǎn)10%,二月份比一月份減產(chǎn)10%,設(shè)二月份產(chǎn)量為b,則

B.a>b

C.a<bD.無(wú)法比較a,b的大小

【解析】選B.因?yàn)閎=a(1+10%)(1-10%),

所以b=a：l-(10%)^a(l-烹)所以出義言,所以a>b.

2.用長(zhǎng)度為24的材料圍成一個(gè)矩形場(chǎng)地，中間有兩道隔墻,要使矩形的面積最大,則隔墻的長(zhǎng)

度為()

A.3B.4C.6D.12

【解析】選A.設(shè)隔墻長(zhǎng)度為x,如圖所示，

24-4x

則與隔墻垂直的邊長(zhǎng)為-----=12-2x,

2

所以矩形面積S=x?(12-2x)=-2X2+12X=-2(X-3)2+18,0<X<6,所以當(dāng)x=3時(shí),S則=18.

3.據(jù)調(diào)查，某自行車存車處在某星期日的存車量為2000輛次,其中變速車存車費(fèi)是每輛一次

0.8元,普通車存車費(fèi)是每輛一次0.5元,若普通車存車數(shù)為x輛次,存車費(fèi)總收入為y元，則y

關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是()

A.y=0.3x+800(0WxW2000)

B.y=0.3x+l600(0WxW2000)

C.y=-0.3x+800(0WxW2000)

D.y=-0.3x+l600(0WxW2000)

【解析】選D.依題意存車費(fèi)總收入:y=0.5x+0.8(2000-x)=-0.3x+l600.

4.我國(guó)工農(nóng)業(yè)總產(chǎn)值計(jì)劃從2000年到2020年翻兩番,設(shè)平均每年增長(zhǎng)率為x,則()

A.(1+X)19=4B.(1+X)20=3

C.(1+X)20=2D.(1+X)20=4

【解析】選D.翻兩番,即從1變成4,從2000年到2020年共經(jīng)過(guò)20年，即(l+x)為=4.

【誤區(qū)警示】翻番問(wèn)題,要特別注意翻一番是由1變?yōu)?,翻兩番是由1變?yōu)?.

5.(2020?全國(guó)卷III)Logistic模型是常用數(shù)學(xué)模型之一，可應(yīng)用于流行病學(xué)領(lǐng)域.有學(xué)者根據(jù)

公布數(shù)據(jù)建立了某地區(qū)新冠肺炎累計(jì)確診病例數(shù)I(t)(t的單位:天)的Logistic模

型:I(t)=---------------,其中K為最大確診病例數(shù).當(dāng)I(t*)=0.95K時(shí),標(biāo)志著已初步遏制疫

情，則t*約為(In19g3)()

A.60B.63C.66D.69

K

【解析】選C.因?yàn)镮(t)

1+/023(t-53>

K

所以I(t*)==0.95K,

l+g-O23.53)

則0°23t-S3'=I9,所以0.23(t*-53)=in19=3,

3

解得t-----+53^66.

023

二、多選題(共5分,全部選對(duì)的得5分,選對(duì)但不全對(duì)的得3分,有選錯(cuò)的得0分)

6.甲乙兩人在一次賽跑中,路程s與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系如圖所示,則下列說(shuō)法正確的是

A.甲比乙先出發(fā)

B.甲比乙跑得快

C.甲、乙兩人的速度相同

D.甲先到達(dá)終點(diǎn)

【解析】選BD.由題圖可知兩人跑的路程相同，甲比乙跑的時(shí)間少，甲比乙跑得要快，比乙先到

達(dá)終點(diǎn).

三、填空題（每小題5分，共10分）

7.四個(gè)變量yby2,y3>y”隨變量x變化的數(shù)據(jù)如表:

X151015202530

yi226101226401626901

1.053.361.07

Y2232102437768

X106X107X109

Y32102030405060

Y424.3225.3225.9076.3226.6446.907

關(guān)于x呈指數(shù)型函數(shù)變化的變量是.

【解析】以爆炸式增長(zhǎng)的變量呈指數(shù)函數(shù)變化.從表格中可以看出，四個(gè)變量yby2,y3）y,均是從

2開(kāi)始變化,且都是越來(lái)越大,但是增長(zhǎng)速度不同,其中變量y?的增長(zhǎng)速度最快,畫(huà)出它們的圖

象（圖略），可知變量yz關(guān)于x呈指數(shù)型函數(shù)變化.

答案:y2

8.（2019?北京高考）李明自主創(chuàng)業(yè)，在網(wǎng)上經(jīng)營(yíng)一家水果店，銷售的水果中有草莓、京白梨、

西瓜、桃，價(jià)格依次為60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.為增加銷量，李明對(duì)這四種水

果進(jìn)行促銷:一次購(gòu)買水果的總價(jià)達(dá)到120元,顧客就少付x元.每筆訂單顧客網(wǎng)上支付成功后,

李明會(huì)得到支付款的80%.

（1）當(dāng)x=10時(shí),顧客一次購(gòu)買草莓和西瓜各1盒,需要支付元；

（2）在促銷活動(dòng)中，為保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價(jià)的七折,則x的最大值

為.

【解析】（1）顧客一次購(gòu)買草莓和西瓜各1盒，原價(jià)應(yīng)為60+80=140（元），超過(guò)了120元可以優(yōu)

惠，所以當(dāng)x=10時(shí),顧客需要支付140-10=130（元）.

（2）由題意知,當(dāng)x確定后,顧客可以得到的優(yōu)惠金額是固定的,所以顧客支付的金額越少，優(yōu)惠

的比例越大.而顧客要想得到優(yōu)惠,最少要一次購(gòu)買2盒草莓,此時(shí)顧客支付的金額為（120-x）

元，所以（120-x）X80%>120X0.7,所以xW15.即x的最大值為15.

答案：（1）130（2）15

四、解答題（每小題10分，共20分）

9.某公司推出了一種高效環(huán)保型洗滌用品，年初上市后，公司經(jīng)歷了從虧損到盈利的過(guò)程,如

圖的二次函數(shù)圖象（部分）刻畫(huà)了該公司年初以來(lái)累積利潤(rùn)S（萬(wàn)元）與銷售時(shí)間t（月）之間的關(guān)

系（即前t個(gè)月的利潤(rùn)總和S與t之間的關(guān)系）.根據(jù)圖象提供的信息解答下列問(wèn)題：

（1）由已知圖象上的三點(diǎn)坐標(biāo),求累積利潤(rùn)S（萬(wàn)元）與時(shí)間t（月）之間的函數(shù)關(guān)系式;

（2）求截至第幾月末公司累積利潤(rùn)可達(dá)到30萬(wàn)元；

（3）求第八個(gè)月公司所獲得的利潤(rùn)是多少萬(wàn)元.

【解析】（1）可設(shè)S與t的函數(shù)關(guān)系式為S=at12+bt+c.由題意，

(a+b+c=5,(a+b+c=5,

得J4a+2b+c=-2,或J4a+2力+c=~2,

125a+5力+c=2.51c=0

(a+b+c=-1,5,

或J16a+4b+c=0,

(c=0.

1

無(wú)論哪個(gè)均可解得a=一,b=-2,c=0,

2

1

所以所求函數(shù)關(guān)系式為S=-t2-2t.

2

1

(2)把S=30代入,得30=-t-2t,

2

解得匕=10,t?=-6(舍去)，所以截至第10個(gè)月末公司累積利潤(rùn)可達(dá)到30萬(wàn)元.

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