八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)專項(xiàng)訓(xùn)練：待定系數(shù)法求解析式與幾何簡(jiǎn)單綜合（20題）（解析版）

待定系數(shù)法求解析式與幾何簡(jiǎn)單綜合專項(xiàng)訓(xùn)練（20題）1．已知與正比例，且時(shí)，(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)設(shè)點(diǎn)在（1）中函數(shù)的圖象上，求a的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)正比例的定義設(shè)出函數(shù)解析式，利用待定系數(shù)法求解即可；（2）把代入（1）所求解析式中進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：設(shè)函數(shù)解析式為，∵當(dāng)，∴，∴∴解析式為，即（2）解：∵在函數(shù)圖象上，∴，

∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了求一次函數(shù)解析式，求一次函數(shù)自變量的值，正確求出一次函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．2．平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn).(1)求的值；(2)求該一次函數(shù)圖象與軸交點(diǎn)坐標(biāo)；(3)將這個(gè)一次函數(shù)圖象向上平移兩個(gè)單位后得到的函數(shù)解析式是__________.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）把代入得到方程，解方程即可；（2）當(dāng)時(shí)計(jì)算的值，即可得到結(jié)果；（3）根據(jù)平移中“上加下減”進(jìn)行解題即可．【詳解】（1）解：把代入得：，解得，（2）解：由（1）得，當(dāng)時(shí)，，∴一次函數(shù)圖象與軸交點(diǎn)坐標(biāo)為；（3）解：將這個(gè)一次函數(shù)圖象向上平移兩個(gè)單位后得到的函數(shù)解析式是．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的解析式，交點(diǎn)坐標(biāo)和平移，掌握一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．一次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)和．(1)求這個(gè)一次函數(shù)表達(dá)；(2)若點(diǎn)在該一次函數(shù)的圖像上，且，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）待定系數(shù)求解析式即可求解；（2）根據(jù)解析式，隨的增大而減小，結(jié)合題意可得，解不等式即可求解．【詳解】（1）解：∵一次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)和．∴解得：∴這個(gè)一次函數(shù)表達(dá)為；（2）解：∵，，∴隨的增大而減小，∵點(diǎn)在該一次函數(shù)的圖像上，且，∴，解得：．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，一次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握一次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．已知y是x的一次函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．(1)求這個(gè)一次函數(shù)的表達(dá)式；(2)當(dāng)時(shí)，求出對(duì)應(yīng)y的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式即可；（2）把代入求出一次函數(shù)解析式，求出y的值即可．【詳解】（1）解：設(shè)一次函數(shù)解析式為，把，；，代入得：，解得：，∴一次函數(shù)的表達(dá)式為．（2）解：把代入得：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，求函數(shù)值，解題的關(guān)鍵是熟練掌握待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式的一般步驟，準(zhǔn)確計(jì)算．5．在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象由函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)．(1)求的值；(2)若這個(gè)一次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)，求的面積．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意，一次函數(shù)的圖象由函數(shù)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到，設(shè)一次函數(shù)的表達(dá)式為．代入，，即可求解；（2）由（1）得一次函數(shù)的表達(dá)式為，令，則，得出，，根據(jù)三角形面積公式即可求解．【詳解】（1）解：一次函數(shù)的圖象由函數(shù)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到，設(shè)一次函數(shù)的表達(dá)式為．一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，，解得；（2）由（1）得一次函數(shù)的表達(dá)式為，一次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)，令，則，，，∴，的面積為．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的平移，待定系數(shù)法求解析式，一次函數(shù)與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積，熟練掌握一次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．如圖，直線y＝x+1與x軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為A′，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A′和y軸上的點(diǎn)B（0，2）的直線設(shè)為y＝kx+b．(1)求點(diǎn)A′的坐標(biāo)；(2)確定直線A′B對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式．【答案】(1)A′（2，0）(2)y＝﹣x+2【分析】（1）利用直線解析式求得點(diǎn)A坐標(biāo)，利用關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)的特征解答即可；（2）利用待定系數(shù)法解答即可．【詳解】（1）解：令y＝0，則x+1＝0，∴x＝﹣2，∴A（﹣2，0）．∵點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為A′，∴A′（2，0）．（2）解：設(shè)直線A′B的函數(shù)表達(dá)式為y＝kx+b，∴，解得：，∴直線A′B對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y＝﹣x+2．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)圖象的性質(zhì)、一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征、待定系數(shù)法確定函數(shù)的解析式、關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)的特征等知識(shí)，利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．7．已知與成正比例，當(dāng)時(shí)，．(1)求y與x的函數(shù)表達(dá)式；(2)試判斷點(diǎn)是否在（1）中的函數(shù)圖像上，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)不在，理由見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)與成正比例，設(shè)出函數(shù)關(guān)系式，再把，代入求出k的值即可；（2）將點(diǎn)代入函數(shù)解析式，即可判斷該點(diǎn)是否在這條直線的圖象上．【詳解】（1）解：設(shè)，∵時(shí)，，∴，解得，∴y與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）∵，∴當(dāng)時(shí)，，∴點(diǎn)不在函數(shù)的圖象上．【點(diǎn)睛】本題考查了用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，熟練掌握一次函數(shù)圖像上的點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．8．已知一次函數(shù)．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．(1)求這個(gè)一次函數(shù)的表達(dá)式；(2)求這個(gè)一次函數(shù)的圖像與兩條坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積．【答案】(1)(2)4【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）先求出一次函數(shù)與x軸，y軸的交點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，進(jìn)而得到，再根據(jù)三角形面積公式求解即可．【詳解】（1）解：由題意得，，∴，∴這個(gè)一次函數(shù)的解析式為；（2）設(shè)一次函數(shù)與x軸，y軸分別交于A，B，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，求一次函數(shù)與坐標(biāo)軸圍成的圖形面積，正確求出一次函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．9．如圖，直線分別與軸、軸交于點(diǎn)、，把直線沿軸向下平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，得到直線，且直線分別與軸、軸交于點(diǎn)C、D．(1)求直線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；(2)求四邊形的面積．【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)直線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為：，將點(diǎn)、代入，待定系數(shù)法求解析式即可；（2）根據(jù)一次函數(shù)的平移規(guī)律得出直線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為：，求得，根據(jù)四邊形的面積為，即可求解．【詳解】（1）設(shè)直線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為：，將點(diǎn)、代入，得。，解得：?！嘀本€對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為（2）把直線：沿軸向下平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，得到直線，∴直線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為：，∵直線分別與軸、軸交于點(diǎn)C、D．令，得，令，得，∴?！嗨倪呅蔚拿娣e為．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求解析式，一次函數(shù)與坐標(biāo)軸交點(diǎn)問(wèn)題，一次函數(shù)的平移，掌握一次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)C（m+2，3m﹣1），直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2，2），B（1，3）．(1)求直線l的解析式；(2)若A，B，C三點(diǎn)共線，求m的值；(3)若將直線l先沿y軸向上平移2個(gè)單位，再沿x軸向右平移3個(gè)單位后經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．【答案】(1)直線的解析式為(2)(3)【分析】（1）利用待定系數(shù)法可求解析式；（2）將點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式可求的值；（3）根據(jù)題意得出平移后的解析式，將點(diǎn)坐標(biāo)代入可求解．【詳解】（1）解：設(shè)直線解析式為：，由題意可得：，解得：，直線的解析式為；（2）解：，，三點(diǎn)共線，，解得；（3）解：由直線l先沿y軸向上平移2個(gè)單位，再沿x軸向右平移3個(gè)單位后可得函數(shù)解析式為：，∴把點(diǎn)C（m+2，3m﹣1）代入得：，解得：，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為．【點(diǎn)睛】本題是一次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求解析式，一次函數(shù)的性質(zhì)，平移的性質(zhì)，利用參數(shù)解決問(wèn)題是本題的關(guān)鍵．11．已知y關(guān)于x的一次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．(1)求k、b的值；(2)若，是該一次函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)，求證：．【答案】(1)(2)見(jiàn)解析【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）把，代入解析式，得到，，計(jì)算即可證明結(jié)論．【詳解】（1）解：把，；，代入,得，解得；（2）解：由（1）可知：函數(shù)解析式為，把，代入解析式得：，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問(wèn)題需要的條件，利用函數(shù)的思想解答．12．已知函數(shù)．(1)若函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，求的值；(2)若函數(shù)的圖像與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，求方程的解．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）將代入函數(shù)解析式求解即可；（2）將代入函數(shù)解析式，求得，再將代入方程求解即可．【詳解】（1）解：∵該函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，∴可將代入，得：，解得：；（2）∵該函數(shù)的圖像與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，∴可將代入，得：，解得：．將代入，得：，解得：．【點(diǎn)睛】此題考查了一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，待定系數(shù)法求解析式，一元一次方程的求解，解題的關(guān)鍵是掌握一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，根據(jù)題意確定函數(shù)經(jīng)過(guò)的點(diǎn)．13．已知直線：經(jīng)過(guò)點(diǎn)，兩點(diǎn)，且與直線交于點(diǎn)，(1)求直線的解析式并求出點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)求出直線、直線及軸所圍成的三角形面積；(3)現(xiàn)有一點(diǎn)在直線上，過(guò)點(diǎn)作軸交直線于點(diǎn)，若線段的長(zhǎng)為4，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)；(2)(3)或【分析】（1）把分別代入，即可得出直線AB的解析式；聯(lián)立兩個(gè)函數(shù)解析式，再解方程組即可求出點(diǎn)C的坐標(biāo)（2）求出直線與軸的交點(diǎn)，直線與軸的交點(diǎn)，利用三角形面積公式即可求出答案；（3）設(shè)，分當(dāng)時(shí)及當(dāng)時(shí)，列出方程求解即可．【詳解】（1）解：把分別代入得：；解得：，所以直線解析式為；聯(lián)立得：，解得：，所以點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）解：對(duì)于，當(dāng)時(shí)，，∴直線交軸于，∵直線交軸于，∴，所以直線、直線及軸所圍成的三角形面積為；（3）解：設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，如圖，，解得：，∴點(diǎn)坐標(biāo)為；當(dāng)時(shí)，如圖，，解得：，∴點(diǎn)坐標(biāo)為；綜上所述，點(diǎn)坐標(biāo)為或．【點(diǎn)睛】此題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，兩直線交點(diǎn)的求法，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解題的關(guān)鍵是正確求出直線的解析式．14．如圖，直線y=x+4與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)A，B，點(diǎn)C（-3，m）在直線AB上，在y軸上找一點(diǎn)P，使PA＋PC的值最小，(1)找出點(diǎn)P的位置，在圖中標(biāo)出來(lái)（保留作圖痕跡）；(2)求這個(gè)最小值；(3)求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)這個(gè)最小值為5；(3)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，）．【分析】（1）作點(diǎn)C關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)D，連接AD交y軸于P，則此時(shí)PA+PC的值最小，據(jù)此得到點(diǎn)P的位置；（2）求出點(diǎn)A和點(diǎn)C的坐標(biāo)，根據(jù)一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的特征求出AD的長(zhǎng)，即可求得這個(gè)最小值；（3）用待定系數(shù)法求出直線AD的解析式，即可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)．【詳解】（1）解：作點(diǎn)C關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)D，連接AD交y軸于P，則此時(shí)PA+PC的值最小，如圖，點(diǎn)P即為所求作，；（2）解：∵點(diǎn)A在直線y=x+4上，∴點(diǎn)A（-4，0），∵點(diǎn)C（-3，m）在直線y=x+4上，∴m=1，則點(diǎn)C（-3，1），∵點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于y軸的對(duì)稱，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（3，1），PA+PC的值最小，最小值即為AD的長(zhǎng)，∴AD=；∴這個(gè)最小值為5；（3）解：設(shè)直線AD的解析式為y=kx+b，，解得：．∴直線AD的解析式為，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，）．【點(diǎn)睛】本題考查的是一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的特征和軸對(duì)稱－最短路線問(wèn)題，正確確定PA+PC的值最小時(shí)，點(diǎn)P的位置是解題的關(guān)鍵．15．如圖，在直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象與y軸交于點(diǎn)A，與x軸交于點(diǎn)B，在y軸上取一點(diǎn)C，，連接．(1)求點(diǎn)C的坐標(biāo)和直線的表達(dá)式；(2)在線段上取一點(diǎn)D，若點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為2，請(qǐng)你在x軸上找一點(diǎn)P，使得的值最小，并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】(1)，(2)點(diǎn)P的坐標(biāo)為【分析】（1）先求出點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，可得，，然后設(shè)，則，在中，根據(jù)勾股定理，可求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求出直線的表達(dá)式，即可求解；（2）作點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，則，求出直線的表達(dá)式，即可求解．【詳解】（1）解：把代入得：，∴把代入得：，∴，∴，，設(shè)，則，在中，，即，解得，∴，設(shè)直線的表達(dá)式為，把代入得，∴，∴直線的表達(dá)式為；（2）解：作點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，則；把代入得：，∴，設(shè)直線的表達(dá)式為，把代入得，∴，∴直線的表達(dá)式為，將代入得，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，勾股定理，熟練掌握一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合思想解答是解題的關(guān)鍵．16．如圖，已知的頂點(diǎn)分別為，，．(1)作出關(guān)于軸對(duì)稱的圖形．(2)點(diǎn)在軸上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)．(3)求的面積．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)(3)【分析】（1）根據(jù)題意，先畫(huà)出點(diǎn)A、B、C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，再一次連接即可；（2）連接，與x軸相交于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求，再用待定系數(shù)法求解直線的函數(shù)表達(dá)式，最后即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）用割補(bǔ)法即可求解．【詳解】（1）解：如圖，即為所求．（2）根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)及兩點(diǎn)之間線段最短可知連接，與x軸相交于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求；設(shè)直線的函數(shù)解析式為：，把，代入得：，解得：，∴直線的函數(shù)解析式為：，把代入得：，解得：，∴．（3）．【點(diǎn)睛】本題主要考查作圖—軸對(duì)稱變換，解題的關(guān)鍵是掌握軸對(duì)稱變換的定義與性質(zhì)．17．在平面直角坐標(biāo)系中，的位置如圖所示，，，，平行于y軸的直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)，與關(guān)于直線l對(duì)稱．(1)畫(huà)出，并寫(xiě)出三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)觀察圖中對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系，寫(xiě)出點(diǎn)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)______．(3)在直線l上找一點(diǎn)P，使最小，寫(xiě)出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】(1)畫(huà)圖見(jiàn)解析，，，(2)(3)【分析】（1）根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)作圖，即可得出答案．（2）由題意可知，點(diǎn)的縱坐標(biāo)與點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，橫坐標(biāo)為，即可得出答案．（3）連接，交直線于點(diǎn)，連接，此時(shí)最小，利用待定系數(shù)法求出直線的解析式，令，求出，即可得出答案．【詳解】（1）解：如圖，即為所求點(diǎn)，，．（2）由題意可知，點(diǎn)的縱坐標(biāo)與點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，橫坐標(biāo)為，的坐標(biāo)為．故答案為：．（3）如圖，點(diǎn)即為所求．設(shè)直線的解析式為，將，代入，得，解得，直線的解析式為，令，得，點(diǎn)的坐標(biāo)為．【點(diǎn)睛】本題考查作圖軸對(duì)稱變換、軸對(duì)稱最短路線問(wèn)題，求一次函數(shù)解析式，熟練掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．18．在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是、、、．(1)求的面積；(2)點(diǎn)是軸上一點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，求的坐標(biāo)．【答案】(1)10(2)【分析】（1）用所在的長(zhǎng)方形的面積減去其周圍的三個(gè)直角三角形的面積，即可求解；（2）作點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)F，連接交x軸于點(diǎn)E，則此時(shí)的值最小，再求出直線的解析式，即可求解．【詳解】（1）解：根據(jù)題意得：的面積為；（2）解：如圖，作點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)F，連接交x軸于點(diǎn)E，則此時(shí)的值最小，∵，∴點(diǎn)，設(shè)直線的解析式為，把點(diǎn)，代入得：，解得：，∴直線的解析式為，當(dāng)時(shí)，，解得：，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，根據(jù)題意得到點(diǎn)E的位置是解題的關(guān)鍵．19．如圖，把長(zhǎng)方形紙片OABC放入平面直角坐標(biāo)系中，使OA，OC分別落在x軸，y軸的正半軸上，連接AC，OA＝4，OA＝2OC．(1)根據(jù)題意，寫(xiě)出點(diǎn)A的坐標(biāo)，點(diǎn)C的坐標(biāo)；(2)將紙片OABC沿EF折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)C的位置，求CE所在直線的表達(dá)式．【答案】(1)（4，0），（0，2）(2)y＝﹣x+2【分析】（1）由OA＝4，OA＝2OC，得OC＝2，即可得出點(diǎn)A、C的坐標(biāo)；（2）由折疊的性質(zhì)得AE＝CE，設(shè)CE＝AE