行列式的性質(zhì)

行列式的性質(zhì)第一章行列式和線性方程組的求解§1.2n階行列式的概念

設(shè)D=稱DT為D的轉(zhuǎn)置行列式.a11a12…a1n

a21a22…a2n…………an1

an2…anna11

a21…an1

a12

a22

…an2…………a1n

a2n

…ann,DT==D.

定義令DT

=|bij|

n×n,則bij=aji,則DT一.行列式的基本性質(zhì)性質(zhì)1.(轉(zhuǎn)置)行列互換值不變,即DT=D.證第2頁,共31頁，2024年2月25日，星期天第一章行列式和線性方程組的求解§1.2n階行列式的概念

設(shè)D=稱DT為D的轉(zhuǎn)置行列式.a11a12…a1n

a21a22…a2n…………an1

an2…anna11

a21…an1

a12

a22

…an2…………a1n

a2n

…ann,DT=

定義一.行列式的基本性質(zhì)性質(zhì)1.(轉(zhuǎn)置)行列互換值不變,即DT=D.注：性質(zhì)1表明關(guān)于行的性質(zhì)對(duì)列也成立.第3頁,共31頁，2024年2月25日，星期天第一章行列式和線性方程組的求解§1.3行列式的性質(zhì)

性質(zhì)2.(換法)兩行(列)互換，行列式的值變號(hào).第4頁,共31頁，2024年2月25日，星期天第一章行列式和線性方程組的求解§1.3行列式的性質(zhì)

推論.兩行(列)相同，行列式值為零,即第5頁,共31頁，2024年2月25日，星期天第一章行列式和線性方程組的求解§1.3行列式的性質(zhì)

性質(zhì)3.(倍法)把行列式的某一行(列)的所有元素同乘以數(shù)k,等于用數(shù)k乘以這個(gè)行列式,即

推論.如果行列式有兩行(列)成比例，則該

行列式為零．第6頁,共31頁，2024年2月25日，星期天第一章行列式和線性方程組的求解§1.3行列式的性質(zhì)

性質(zhì)4.(分拆)如果行列式某行(列)的所有元素都是兩數(shù)之和，則該行列式為兩個(gè)行列式之和,即

第7頁,共31頁，2024年2月25日，星期天第一章行列式和線性方程組的求解§1.3行列式的性質(zhì)

性質(zhì)5.(消法)將行列式的某一行(列)的各元素乘以常數(shù)加到另一行(列)的對(duì)應(yīng)元素上去,則行列式的值不變,即

第8頁,共31頁，2024年2月25日，星期天第一章行列式和線性方程組的求解§1.3行列式的性質(zhì)

行列式性質(zhì)小結(jié)性質(zhì)2(換法)換行(列)變號(hào).推論兩行(列)同，值為零.性質(zhì)3(倍法)某行(列)乘數(shù)k,值變?yōu)閗D.推論兩行(列)成比例,值為零.性質(zhì)4(分拆)D可按某行(列)分拆成兩行列式之和.性質(zhì)5(消法)D的某行(列)乘數(shù)

k

加至另行

(列),行列式值不變.性質(zhì)1(轉(zhuǎn)置)

DT=D.第9頁,共31頁，2024年2月25日，星期天第一章行列式和線性方程組的求解§1.3行列式的性質(zhì)

例1.計(jì)算解

通過行變換將D化為上三角行列式第10頁,共31頁，2024年2月25日，星期天第一章行列式和線性方程組的求解§1.3行列式的性質(zhì)

小結(jié)任一行列式總可以通過行（或列）的“換法”、“倍法”、“消法”化成上（或下）三角形行列式.“三角形法”第11頁,共31頁，2024年2月25日，星期天第一章行列式和線性方程組的求解§1.3行列式的性質(zhì)

例2.設(shè)D=a11…a1m

am1…amm

D1

=……,證明:D=D1D2.b11…

b1nbn1…

bnnD2

=,……a11…

a1m

c11…

c1n

……………………,am1

…ammcm1…

cmn0…0b11…

b1n0…0bn1…

bnn第12頁,共31頁，2024年2月25日，星期天第一章行列式和線性方程組的求解§1.3行列式的性質(zhì)

a11…a1n

an1…ann

D1

=……,b11…

b1nbn1…

bnnD2

=,……問題c11…

c1ncn1…

cnnD3=,……d11…

d1ndn1…

dnnD4=,……a11…

a1n

c11…

c1n

……………………=an1

…anncn1…

cnn

d11…

d1nb11…

b1n

d11…

dnnbn1…

bnnD1D2

D3D4？×第13頁,共31頁，2024年2月25日，星期天第一章行列式和線性方程組的求解§1.3行列式的性質(zhì)

討論將n階行列式轉(zhuǎn)化為n-1階行列式計(jì)算的問題,即“降階”.二.行列式按行(列)展開定理定義：在n階行列式D=|aij|n×n

中,把元素aij所在的第i行和第j列的元素劃去,剩余元素構(gòu)成的n1階行列式稱為元素aij的余子式,記作Mij

.令A(yù)ij=(1)i+jMij,稱Aij為元素aij的代數(shù)余子式.第14頁,共31頁，2024年2月25日，星期天第一章行列式和線性方程組的求解§1.3行列式的性質(zhì)

第15頁,共31頁，2024年2月25日，星期天第一章行列式和線性方程組的求解§1.3行列式的性質(zhì)

例3.在行列式中第16頁,共31頁，2024年2月25日，星期天第一章行列式和線性方程組的求解§1.3行列式的性質(zhì)

定理1.2.n階行列式D=|aij|n×n等于它的任意一行(列)的所有元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和,即注2.可作為行列式的等價(jià)定義注1.將行列式“降階”Laplace行列式按行(列)展開定理第17頁,共31頁，2024年2月25日，星期天第一章行列式和線性方程組的求解§1.3行列式的性質(zhì)

證第18頁,共31頁，2024年2月25日，星期天第一章行列式和線性方程組的求解§1.3行列式的性質(zhì)

推論.n階行列式D=|aij|n×n中，有第19頁,共31頁，2024年2月25日，星期天第一章行列式和線性方程組的求解§1.3行列式的性質(zhì)

證由降階法,將G

按第j

行展開有第

i行第j行設(shè)第20頁,共31頁，2024年2月25日，星期天第一章行列式和線性方程組的求解§1.3行列式的性質(zhì)

(未寫出的元素都是0).例4.計(jì)算2n階行列式D2n=a

ba

bc

dc

d…………第21頁,共31頁，2024年2月25日，星期天第一章行列式和線性方程組的求解§1.3行列式的性質(zhì)

解:D2n==a............aabb0cc0dd00d

...…............0aabbc0cc0dd0...…+(1)2n+1b............a00aabcdd00d

...…0bb00cc0….........……第22頁,共31頁，2024年2月25日，星期天第一章行列式和線性方程組的求解§1.3行列式的性質(zhì)

=a............aabb0cc0dd00d

...…............0aabbc0cc0dd0...…+(1)2n+1b=adD2(n1)

bcD2(n1)=(ad

bc)D2(n1)=(ad

bc)2D2(n2)=(ad

bc)3D2(n3)=…=(ad

bc)n1

D2=(ad

bc)n.小結(jié)當(dāng)行列式的某一行(或列)含有較多的零，可考慮使用行列式的按行(列)展開定理，

達(dá)到“降階”的目的.第23頁,共31頁，2024年2月25日，星期天第一章行列式和線性方程組的求解§1.3行列式的性質(zhì)

1.定義法—利用n階行列式的定義計(jì)算;2.三角形法—利用性質(zhì)化為三角形行列式來

計(jì)算；3.降階法—利用行列式的按行(列)展開定理

對(duì)行列式進(jìn)行降階計(jì)算；4.遞推公式法；5.析因法；6.歸納法；7.加邊法(升階法)；n階行列式的計(jì)算方法總結(jié)第24頁,共31頁，2024年2月25日，星期天第一章行列式和線性方程組的求解§1.3行列式的性質(zhì)

例5.計(jì)算

n

階行列式(行和為常數(shù))第25頁,共31頁，2024年2月25日，星期天第一章行列式和線性方程組的求解§1.3行列式的性質(zhì)

解第26頁,共31頁，2024年2月25日，星期天第一章行列式和線性方程組的求解§1.3行列式的性質(zhì)

第27頁,共31頁，2024年2月25日，星期天第一章行列式和線性方程組的求解§1.3行列式的性質(zhì)

例6.計(jì)算n階行列式Dn=

a111…