專題15對數(shù)函數(shù)

20232024高一數(shù)學(xué)必修第一冊20232024高一數(shù)學(xué)必修第一冊專題15對數(shù)函數(shù)№考向解讀專題15對數(shù)函數(shù)№考向解讀?考點精析?真題精講?題型突破?專題精練第四章指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)專題15對數(shù)函數(shù)→?考點精析←1對數(shù)函數(shù)①對數(shù)函數(shù)的概念函數(shù)y=logax(a>0,a≠1)②圖像與性質(zhì)圖像a>10<a<1定義域(0,值域R過定點(1,0)奇偶性非奇非偶單調(diào)性在(0,+∞在(0,+∞變化對圖像的影響在第一象限內(nèi)，α越大圖象越靠低；在第四象限內(nèi)，α越大圖象越靠高．2底數(shù)變化與圖象變化的規(guī)律在同一坐標(biāo)系內(nèi)，當(dāng)時，隨a的增大，對數(shù)函數(shù)的圖像愈靠近x軸；當(dāng)時，對數(shù)函數(shù)的圖象隨a的增大而遠(yuǎn)離x軸．（見下圖）3反函數(shù)的定義設(shè)分別為函數(shù)的定義域和值域，如果由函數(shù)所解得的也是一個函數(shù)（即對任意的一個，都有唯一的與之對應(yīng)），那么就稱函數(shù)是函數(shù)的反函數(shù)，記作，在中，是自變量，是的函數(shù)，習(xí)慣上改寫成（）的形式．函數(shù)（）與函數(shù)（）為同一函數(shù)，因為自變量的取值范圍即定義域都是B，對應(yīng)法則都為．由定義可以看出，函數(shù)的定義域A正好是它的反函數(shù)的值域；函數(shù)的值域B正好是它的反函數(shù)的定義域．知識點詮釋：并不是每個函數(shù)都有反函數(shù)，有些函數(shù)沒有反函數(shù)，如．一般說來，單調(diào)函數(shù)有反函數(shù)．4反函數(shù)的性質(zhì)（1）互為反函數(shù)的兩個函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱．（2）若函數(shù)圖象上有一點，則必在其反函數(shù)圖象上，反之，若在反函數(shù)圖象上，則必在原函數(shù)圖象上．→?真題精講←1．（2023·江蘇常州·江蘇省前黃高級中學(xué)?？级＃┮阎?，且，則（

）.A．3 B．6 C．12 D．18【答案】B【分析】先由指數(shù)式化為對數(shù)式，利用換底公式得到，從而得到，計算出.【詳解】由得：，由換底公式可得：，則，所以，因為，所以故選：B2．（2023·江蘇·二模）設(shè)，，，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和指數(shù)以及對數(shù)的運(yùn)算，并借助中間量進(jìn)行比較，即得答案．【詳解】，，所以，由于，所以，即，而，所以，故選：D．3．（2023·江蘇南通·江蘇省如皋中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)f（x）的定義域為R，且，，當(dāng)時，，則）=（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由已知條件可得函數(shù)是奇函數(shù)也是周期函數(shù)，利用周期性和奇偶性，有，代入已知解析式求解即可.【詳解】由，有，可得，所以的周期為2.令，代，可得，所以，故函數(shù)為奇函數(shù)，所以因為，所以，所以.故選：B4．（2023·江蘇南京·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)，．下列說法正確的為（

）A．若，則函數(shù)與的圖象有兩個公共點B．若函數(shù)與的圖象有兩個公共點，則C．若，則函數(shù)有且僅有兩個零點D．若在和處的切線相互垂直，則【答案】BCD【分析】解方程得到A錯誤，解方程得到，解得B正確，計算零點個數(shù)為2得到C正確，根據(jù)斜率的關(guān)系得到，D正確，得到答案.【詳解】對選項A：，故（無解）或，，錯誤；對選項B：，故或，故，且，解得，正確；對選項C：取，則，，，則，設(shè)，在上恒成立，則在上單調(diào)遞增，則，故，，則，或，正確；對選項D：當(dāng)和同時為正或者同時為負(fù)時不成立，不妨設(shè)，，，，則，故，正確.故選：BCD5．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)?？级＃〆是自然對數(shù)的底數(shù)，，已知，則下列結(jié)論一定正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】BC【分析】構(gòu)建函數(shù)根據(jù)題意分析可得，對A、D：取特值分析判斷；對B、C：根據(jù)的單調(diào)性，分類討論分析判斷.【詳解】原式變形為，構(gòu)造函數(shù)，則，∵，當(dāng)時，，則，即；當(dāng)時，，則，即；故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，對于A：取，則∵在上單調(diào)遞增，故，即滿足題意，但，A錯誤；對于B：若，則有：當(dāng)，即時，則，即；當(dāng)，即時，由在時單調(diào)遞增，且，故，則；綜上所述：，B正確；對于C：若，則有：當(dāng)，即時，顯然成立；當(dāng)，即時，令，∵，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，∴當(dāng)時，所以，即，由可得，即又∵由在時單調(diào)遞增，且，∴，即；綜上所述：，C正確；對于D：取，，則，∵在上單調(diào)遞減，故，∴故，滿足題意，但，D錯誤.故選：BC.【點睛】結(jié)論點睛：指對同構(gòu)的常用形式：（1）積型：，①構(gòu)造形式為：，構(gòu)建函數(shù)；②構(gòu)造形式為：，構(gòu)建函數(shù)；③構(gòu)造形式為：，構(gòu)建函數(shù).（2）商型：，①構(gòu)造形式為：，構(gòu)建函數(shù)；②構(gòu)造形式為：，構(gòu)建函數(shù)；③構(gòu)造形式為：，構(gòu)建函數(shù).→?題型突破←【題型一】對數(shù)函數(shù)定義的判斷1.已知函數(shù)①；②；③；④；⑤；⑥.其中是對數(shù)函數(shù)的是（

）A．①②③ B．③④⑤C．③④ D．②④⑥【答案】C【解析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的定義，只有符合（且）形式的函數(shù)才是對數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，a是常數(shù).易知，①是指數(shù)函數(shù)；②中的自變量在對數(shù)的底數(shù)的位置，不是對數(shù)函數(shù)；③中，是對數(shù)函數(shù)；④中，是對數(shù)函數(shù)；⑤⑥中函數(shù)顯然不是對數(shù)函數(shù)，由此可知只有③④是對數(shù)函數(shù).故選：C.【題型二】利用對數(shù)函數(shù)的定義求參數(shù)2.已知對數(shù)函數(shù)，則______．【答案】2【解析】由對數(shù)函數(shù)的定義，可得，解得．故答案為．3.函數(shù)y=f(x)滿足；函數(shù)g(x)滿足，且，，則函數(shù)F(x)的表達(dá)式可以是_____【答案】【解析】因為不妨?。ㄇ遥┯?，所以，所以，所以；又，不妨取（且），又，所以，所以，所以，又因為所以故答案為：【題型三】對數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用4.函數(shù)的定義域是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】∵，∴，解得，且，所以函數(shù)的定義域為.故選：D.【題型四】對數(shù)函數(shù)的值域與最值5.已知函數(shù)的值域為，則實數(shù)的取值范圍是_________【答案】【解析】函數(shù)，所以當(dāng)時，，所以時，得取遍所有大于1的數(shù)，故其指數(shù)得取遍所有大于0的數(shù).因為，，當(dāng)時，不成立；當(dāng)時，其開口向下，有最大值，無法去到正無窮，舍去；當(dāng)時，其開口向上，對稱軸大于0，故需對稱軸對應(yīng)的值小于等于0，故有：且，綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.6.若(為自然對數(shù))，則函數(shù)的最小值為（

）A．3 B．2 C．0 D．6【答案】B【解析】由題意，所以，則，設(shè)，，又，而，所以時，，所以函數(shù)的最小值為．故選：B．【題型五】對數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用7.函數(shù)y=logA．B．C．D．【解析】方法1y=log因a>1，由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)易得選B.方法2函數(shù)圖象變換左移1個單位去掉y故選B．【點撥】涉及對數(shù)函數(shù)型的函數(shù)y=f(x)，往往需要得到其圖象，方法有①利用要相應(yīng)指數(shù)函數(shù)的圖象通過平移、對稱、翻轉(zhuǎn)變換得其圖象；②利用去掉絕對值得到分段函數(shù)得其圖象.8.函數(shù)的圖像大致為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】當(dāng)時，，在處取得最小值，排除C、D，當(dāng)時，為減函數(shù)，故選:A．【題型六】對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用角度1對數(shù)函數(shù)參數(shù)比較大小9.設(shè)冪函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)在同一坐標(biāo)系中的圖象如下圖所示，則它們之間的大小關(guān)系錯誤的是（

）.A． B．C． D．【答案】C【解析】對于A：要判斷的是冪函數(shù)的圖像，根據(jù)的圖像可以判斷，故A正確；對于B：要判斷的是指數(shù)函數(shù)的圖像，作出x=1，看交點，交點高，底數(shù)越大，所以，故B正確；對于C、D：要判斷的是對數(shù)函數(shù)的圖像，作出y=1，看交點，交點越靠由，底數(shù)越大，所以，故D正確，C錯誤；故選：C角度2對數(shù)型函數(shù)綜合問題10.已知函數(shù)，則______．【答案】2【解析】因為（），所以，所以，故答案為：211.函數(shù)y=log12【解析】∵t=x∴內(nèi)層函數(shù)的值域[8,+∞),而y=log12t在∴函數(shù)y=log12(【點撥】復(fù)合函數(shù)的值域先求內(nèi)層函數(shù)值域再求外層函數(shù).12.已知函數(shù)f(x)是R上的奇函數(shù)，且滿足fx+2=?f(x)，當(dāng)x∈(0,1]時，fx=2【解析】函數(shù)f(x)是R上的奇函數(shù)，f(0)=0，由fx+2=?f(x)，可得f(x+2)=f(?x)，∴f(x)的有條對稱軸由fx+2=?f(x)，可得f(x+4)=f(x)，∴f(x)的周期(注由以上已知，較容易畫出y=f(x)的圖象，作圖步驟如下①畫fx=2x－1,x∈(0,1)②④由周期T=4可得)作出在同一坐標(biāo)系中畫y=f(x)和g(x)=log注意到g(9)=1,g(?7)>1，(注意一些臨界的位置)從圖象不難看出，其交點個數(shù)7個．【點撥】①遇到函數(shù)綜合性質(zhì)問題(有單調(diào)性，對稱性，周期性等)，一般通過數(shù)形結(jié)合的方法處理；②fx+a=fx+bfx+a=ffx+a=?ffx+a=113.已知函數(shù)f(x)=log31?x(1)求函數(shù)f(x)的定義域；(2)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性；(3)當(dāng)x∈[?12,12【解析】(1)要使函數(shù)f(x)=log3自變量x須滿足1?x1+x>0，解得故函數(shù)f(x)的定義域為(－1,1)；(2)由(1)得函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱，且f?x故函數(shù)f(x)為奇函數(shù)；(3)當(dāng)x∈[－12，12(注函數(shù)圖象如右圖，由y=2故u(x)=1?x1+x在[?②求復(fù)合函數(shù)的值域，要分清楚內(nèi)層函數(shù)與外層函數(shù)，分別對它們的單調(diào)性進(jìn)行分析再求值域，函數(shù)的定義域優(yōu)先考慮.14.設(shè)D是函數(shù)y=f(x)定義域的一個子集，若存在x0∈D，使得則稱x0是f(x)的一個“準(zhǔn)不動點”，也稱f(x)在區(qū)間D已知f(x)=log12(1)若a=1，求函數(shù)f(x)的準(zhǔn)不動點；(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,1]上存在準(zhǔn)不動點，求實數(shù)a的取值范圍．【解析】(1)當(dāng)a=1時，可得fx=log可得4x+2x?1=當(dāng)a=1，函數(shù)f(x)的準(zhǔn)不動點為x0(2)方法1由定義可得方程log12即方程4x+a?2x?1=2令2x=t，x∈[0,1]，則那問題(?)轉(zhuǎn)化為方程t2+a?1t?1=0在令gt=t所以y=gt在[1,2]上與x則只需要g1g2(一元二次方程根的分布問題，注意數(shù)形結(jié)合分析)要使t2其對稱軸x=?a2，在1≤t≤2上是遞增的，當(dāng)t=1時最小值，可得綜上可得實數(shù)a的取值范圍是(0，方法2與方法1同樣得到方程t2+a?1t?1=0在即a=1?t+1t在t∈[1,2]上有解，且a>1由?t=1?t+1t在t∈[1,2]上顯然是減函數(shù)，其值域為由dt=1t?t在t∈[1,2]綜上可得實數(shù)a的取值范圍是(0,1]．【點撥】①在第二問中不要漏了4x②第二問的方法1是采取了“二次方程根的分布問題”的處理技巧，注意結(jié)合二次函數(shù)圖象進(jìn)行思考；方法2是采取分離參數(shù)法轉(zhuǎn)而求最值,→?專題精練←1．下列函數(shù)是對數(shù)函數(shù)的是A． B．C． D．【答案】C【解析】由對數(shù)函數(shù)定義可以，本題選C．2.下列函數(shù)中與函數(shù)值域相同的是()A． B．C． D．【答案】D【解析】函數(shù)定義域為R，值域是.A.值域為R；B.值域為；C.值域為；D.值域是，故選：D3．(2021·全國高一單元測試)已知對數(shù)式(Z)有意義，則的取值范圍為()A． B．C． D．【答案】C【解析】由題意可知:，解之得:且.∵Z，∴的取值范圍為.故選：C.4.已知函數(shù)的值域為，則實數(shù)的取值范圍是()A． B．C． D．【答案】D【解析】令，由于函數(shù)的值域為，所以，函數(shù)的值域包含.①當(dāng)時，函數(shù)的值域為，合乎題意；②當(dāng)時，若函數(shù)的值域包含，則，解得或.綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.故選：D.5．（2023·廣東佛山·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)（且），若對任意，，則實數(shù)a的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】當(dāng)時，，由圖可知，，此時若對任意，，只需，即，即.當(dāng)，，此時若對任意，，即，，所以只需.令，則，當(dāng)單調(diào)遞增，當(dāng)單調(diào)遞減，，.綜上，.故選:D.6．(2021·江西撫州·高一期末)下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞減的是()A． B．C． D．【答案】C【解析】在區(qū)間上單調(diào)遞增，A不符合題意；是奇函數(shù)，B不符合題意；在區(qū)間上單調(diào)遞增，D不符合題意；既是偶函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞減，C符合題意.故選：C7．（2023·廣東茂名·統(tǒng)考一模）e是自然對數(shù)的底數(shù)，，已知，則下列結(jié)論一定正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】BC【解析】原式變形為，構(gòu)造函數(shù)，則，∵，當(dāng)時，，則，即；當(dāng)時，，則，即；故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，對于A：取，則∵在上單調(diào)遞增，故，即滿足題意，但，A錯誤；對于B：若，則有：當(dāng)，即時，則，即；當(dāng)，即時，由在時單調(diào)遞增，且，故，則；綜上所述：，B正確；對于C：若，則有：當(dāng)，即時，顯然成立；當(dāng)，即時，令，∵，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，∴當(dāng)時，所以，即，由可得，即又∵由在時單調(diào)遞增，且，∴，即；綜上所述：，C正確；對于D：取，，則，∵在上單調(diào)遞減，故，∴故，滿足題意，但，D錯誤.故選：BC.8．（2023·廣東佛山·統(tǒng)考一模）若正實數(shù)，滿足，則下列不等式中可能成立的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【解析】因為，所以，因為，所以，則，令，，則，所以在上單調(diào)遞增，由，可得，令，則，所以當(dāng)時，當(dāng)時，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，則，即當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，即當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，當(dāng)時或，結(jié)合與的圖象也可得到所以或.故選：AC9．(2021·河南焦作·高一期末)已知函數(shù).若對于任意的，都有，則實數(shù)的取值范圍是()A． B． C． D．【答案】B【解析】本題考查對數(shù)型函數(shù)及其應(yīng)用，以及利用分離變量法求參數(shù)的取值范圍，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想.由整理得，所以，即，令，則.令，其圖像的對稱軸為，所以，則.故選：B．10．(2021·河北石家莊·高一期末)(多選)如圖是三個對數(shù)函數(shù)的圖象，則()A． B．C． D．【答案】ABC【解析】由對數(shù)函數(shù)圖象得，令，，由已知圖象得，；而是增函數(shù)，.故選：ABC．11．(2021·全國高一課時練習(xí))已知對數(shù)函數(shù)的圖象過點，則_________．【答案】【解析】設(shè)，因為函數(shù)的圖象過點，則，，，．故答案為：12．（2023·廣東江門·統(tǒng)考一模）已知，是方程（）的兩根，且，則的最大值是________．【答案】【解析】由題意是方程的兩根，且，則，，即，所以，()，令，()，，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減，則當(dāng)時，取最大值，所以的最大值是．故答案為：．13．(2021·全國高一專題練習(xí))函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是________．【答案】【解析】由得，因此函數(shù)的定義域為．，設(shè)，又是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，因此的單調(diào)遞減區(qū)間為．故答案為：14．(2021·上海高一期中)函數(shù)的圖象恒過定點，若點在直線上，其中、，則的最小值為____________.【答案】【解析】對于函數(shù)，令，可得，則，故函數(shù)的圖象恒過定點，因為點在直線上，則，可得，因為、，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故的最小值為.故答案為：.15.求下列函數(shù)的定義域(1)；(2)函數(shù)(3)【答案】(1)；(2)；(3)【解析】(1)若要使函數(shù)有意義，則，解得或且，所以該函數(shù)的定義域為；(2)若要使函數(shù)有意義，則，解得，所以該函數(shù)的定義域為；(3)若要使函數(shù)有意義，則，解得且，，所以該函數(shù)的定義域為.16.已知函數(shù)為偶函數(shù)．(1)求a的值，并證明在上單調(diào)遞增；(2)求滿足的x的取值范圍．【解析】（1）由題意函數(shù)為偶函數(shù)，∴，即∴對任意恒成立，解得．∴任取，則由，可得，∴，即，∴在上單調(diào)遞增．（2）由偶函數(shù)的對稱性可得在上單調(diào)遞減，∴，∴，解得，∴滿足的x的取值范圍是．17．已知函數(shù)是偶函數(shù).(1)當(dāng)，函數(shù)存在零點，求實數(shù)的取值范圍；(2)設(shè)函數(shù)，若函數(shù)與的圖象只有一個公共點，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【解析】（1）解：是偶函數(shù)，，即對任意恒成立，，．即，因為當(dāng)，函數(shù)有零點，即方程有實數(shù)根．令，則函數(shù)與直線有交點，，又，，所以的取值范圍是．（2）解：因為，又函數(shù)與的圖象只有一個公共點，則關(guān)于的方程只有一個解，所以，令，得，①當(dāng)，即時，此方程的解為，不滿足題意，②當(dāng)，即時，此時，又，，所以此方程有一正一負(fù)根，故滿足題意，③當(dāng)，即時，由方程只有一正根，則需，解得，綜合①②③得，實數(shù)的取值范圍為：．18.．已知函數(shù)，有意義時的取值范圍為，其中為實數(shù)．(1)求的值；(2)寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并求函數(shù)的最大值．【答案】(1)(2)增區(qū)間為，減區(qū)間為，最大值為【解析】（1）因為有意義時的取值范圍為，所以的解集為，所以和是方程的兩根．由韋達(dá)定理可得，解得．（2）由（1）知，，令，因為為增函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，取得最大值19．已知函數(shù)（且）在區(qū)間上的最大值