廣西壯族自治區(qū)貴港市港南區(qū)木格鎮(zhèn)高級中學高三數(shù)學理測試題含解析

廣西壯族自治區(qū)貴港市港南區(qū)木格鎮(zhèn)高級中學高三數(shù)學理測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.若是夾角為的單位向量，且,，則A.1

B.

C.

D.參考答案：C2.已知x∈R，i為虛數(shù)單位，若(1－2i)(x＋i)為純虛數(shù)，則x的值等于()A．－

B．－2

C．2

D．參考答案：B3.已知等差數(shù)列{an}的公差和首項都不為0，且、、成等比數(shù)列，則（）A.7 B.5 C.3 D.2參考答案：B【分析】根據(jù)三項成等比數(shù)列可構造出關于和的方程，解方程得到；根據(jù)等差數(shù)列通項公式，利用和表示出所求式子，化簡可得結果.【詳解】設等差數(shù)列公差為、、成等比數(shù)列

即，解得：本題正確選項：B4.給出下列命題：①直線與平面不平行，則與平面內的所有直線都不平行；②直線與平面不垂直，則與平面內的所有直線都不垂直；③異面直線，不垂直，則過的任何平面與都不垂直；④若直線和共面，直線和共面，則和共面.其中錯誤命題的個數(shù)為(

)A.0

B.1

C.2

D.3參考答案：D略5.執(zhí)行下面的程序框圖，如果輸入的N是6，那么輸出的p是()A．120

B．720C．1440

D．5040參考答案：B6.已知分別是定義在上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且，則()A．－3

B．－1

C．1

D．3參考答案：C略7.在平面直角坐標系中，圓C的方程為．若直線上存在一點，使過所作的圓的兩條切線相互垂直，則實數(shù)的取值范圍是（

）A．B．

C．

D．參考答案：B8.設拋物線的焦點為F，準線為l，點M在C上，點N在l上，且，若，則的值為（

）A. B.2 C. D.3參考答案：D過M向準線l作垂線，垂足為M′，根據(jù)已知條件，結合拋物線的定義得==，又∴|MM′|=4，又|FF′|=6，∴==，.故選：D．

9.已知棱長為1的正方體的俯視圖是一個面積為1的正方形,則該正方體的正視圖的面積不可能等于（）A．

B． C． D．參考答案：C10.下列函數(shù)中，與函數(shù)定義域相同的函數(shù)為A．

B.

C.

D.參考答案：C略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.曲線在點處的切線方程為___________；參考答案：略12.在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c．若a=1，，則A=

參考答案：60°13.若，其中是虛數(shù)單位，則實數(shù)的值是____________.

參考答案：由得，所以。14.已知向量均為單位向量，若它們的夾角是，則等于

.參考答案：略15.若存在正數(shù)使成立，則的取值范圍是參考答案：16.若雙曲線的漸近線方程為y=±x，則雙曲線的焦點坐標為_________參考答案：答案：

17.已知直線：,若直線與直線垂直，則的值為______動直線：被圓：截得的最短弦長為

.參考答案：或

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（14分）已知函數(shù)f（x）=x﹣﹣2lnx，a∈R．（1）討論函數(shù)f（x）的單調性；（2）若函數(shù)f（x）有兩個極值點x1，x2，且x1＜x2，求a的取值范圍；（3）在（2）的條件下，證明：f（x2）＜x2﹣1．參考答案：【考點】利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性；利用導數(shù)研究函數(shù)的極值．【分析】（1）求出函數(shù)的定義域為（0，+∞），函數(shù)的導數(shù)，令f′（x）=0，①當△≤0，②當△＞0，a＜1時，若a≤0，若a＞0，分別判斷導函數(shù)的符號，得到函數(shù)的單調性．當0＜a＜1時，（2）求出函數(shù)f（x）有兩個極值點x1，x2，等價于方程x2﹣2x+a=0在（0，+∞），直接推出結果．（3）通過（1），（2），推出0＜a＜1，構造新函數(shù)g（t）=t﹣2lnt﹣1，1＜t＜2，利用新函數(shù)的單調性證明求解即可．【解答】（本小題滿分14分）（1）解：函數(shù)的定義域為（0，+∞），，…（1分）令f′（x）=0，得x2﹣2x+a=0，其判別式△=4﹣4a，①當△≤0，即a≥1時，x2﹣2x+a≥0，f′（x）≥0，此時，f（x）在（0，+∞）上單調遞增；…（2分）②當△＞0，即a＜1時，方程x2﹣2x+a=0的兩根為，，…（3分）若a≤0，則x1≤0，則x∈（0，x2）時，f′（x）＜0，x∈（x2，+∞）時，f′（x）＞0，此時，f（x）在（0，x2）上單調遞減，在（x2，+∞）上單調遞增；…（4分）若a＞0，則x1＞0，則x∈（0，x1）時，f′（x）＞0，x∈（x1，x2）時，f′（x）＜0，x∈（x2，+∞）時，f′（x）＞0，此時，f（x）在（0，x1）上單調遞增，在（x1，x2）上單調遞減，在（x2，+∞）上單調遞增．…綜上所述，當a≤0時，函數(shù)f（x）在（0，x2）上單調遞減，在（x2，+∞）上單調遞增；當0＜a＜1時，函數(shù)f（x）在（0，x1）上單調遞增，在（x1，x2）上單調遞減，在（x2，+∞）上單調遞增；當a≥1時，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調遞增．…（6分）（2）解：由（1）可知，函數(shù)f（x）有兩個極值點x1，x2，等價于方程x2﹣2x+a=0在（0，+∞）有兩不等實根，故0＜a＜1．…（7分）（3）證明：由（1），（2）得0＜a＜1，，且1＜x2＜2，．…（8分），…（9分）令g（t）=t﹣2lnt﹣1，1＜t＜2，則，…（10分）由于1＜t＜2，則g′（t）＜0，故g（t）在（1，2）上單調遞減．…（11分）故g（t）＜g（1）=1﹣2ln1﹣1=0．…（12分）∴f（x2）﹣x2+1=g（x2）＜0．…（13分）∴f（x2）＜x2﹣1．…（14分）【點評】本題考查函數(shù)的導數(shù)的應用，函數(shù)的極值以及函數(shù)的單調性的應用，考查分析問題解決問題的能力，轉化思想的應用．19.(本題滿分12分)已知集合，實數(shù)使得集合滿足，求的取值范圍.參考答案：解：A=(3,4)…………………..2分

a5時，B=，滿足AB；…………………..6分

a<5時，B=，由AB，得a4，故4a<5，……………..10分

綜上，得實數(shù)a的取值范圍為a4.………12分20.（本小題滿分13分）已知橢圓:的四個頂點恰好是一邊長為2，一內角為的菱形的四個頂點.(Ⅰ)求橢圓的方程；(Ⅱ)若直線交橢圓于兩點，在直線上存在點,使得為等邊三角形,求的值.

參考答案：(Ⅰ)；(Ⅱ)或(Ⅰ)因為橢圓:的四個頂點恰好是一邊長為2，一內角為的菱形的四個頂點,

所以,橢圓的方程為………………4分(Ⅱ)設,則（i）當直線的斜率為0時，的垂直平分線就是軸，軸與直線的交點為,又，所以是等邊三角形,所以滿足條件；………………6分(ii)當直線的斜率存在且不為0時，設的方程為所以，化簡得

解得所以………………8分又的中垂線為，它的交點記為

由解得則………………10分因為為等邊三角形，所以應有代入得到，解得（舍），

綜上可知，或………………13分21.在直角坐標系xoy中，圓C的參數(shù)方程為（φ為參數(shù)），以O為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系．（1）求圓C的極坐標方程；（2）若直線（t為參數(shù)）與圓C交于A，B兩點，且，求m的值．參考答案：【考點】參數(shù)方程化成普通方程．【分析】（1）求出圓C的普通方程，可得圓C的極坐標方程；（2）求出直線l的普通方程，利用勾股定理，建立方程，即可求出m的值．【解答】解：（1）圓C的參數(shù)方程為（φ為參數(shù)），普通方程為（x﹣2）2+y2=4，極坐標方程為ρ=4cosθ；（2）直線（t為參數(shù)），消去參數(shù)可得y﹣x+m=0，圓心C到直線的距離d=，|AB|=2=，∴m=0或4．22.（本題滿分13分）已知函數(shù)在處的切線方程為.（Ⅰ）求實數(shù)的值；（Ⅱ）當時，恒成立，求整數(shù)的最大值；（Ⅲ）試證明：參考答案：（Ⅰ）

直線的斜率為2，且過點