【高中數(shù)學(xué)必修三】3.3.1幾何概型

3.3.1幾何概型復(fù)習(xí)古典概型的兩個(gè)根本特點(diǎn):〔1〕所有的根本領(lǐng)件只有有限個(gè);〔2〕每個(gè)根本領(lǐng)件發(fā)生都是等可能的.那么對(duì)于根本領(lǐng)件有無(wú)限個(gè)的情況，相應(yīng)的概率應(yīng)如何求呢?問(wèn)題1取一根長(zhǎng)度為30cm的繩子，拉直后在任意位置剪斷，那么剪得兩段的長(zhǎng)度都不小于10cm的概率有多大？〔1〕試驗(yàn)中的根本領(lǐng)件是什么？能用古典概型描述該事件的概率嗎？為什么？〔2〕每個(gè)根本領(lǐng)件的發(fā)生是等可能的嗎？等可能從每一個(gè)位置剪斷都是一個(gè)根本領(lǐng)件,剪斷位置可以是長(zhǎng)度為30cm的繩子上的任意一點(diǎn).事件發(fā)生的概率與構(gòu)成該事件區(qū)域的長(zhǎng)度有關(guān)問(wèn)題2奧運(yùn)會(huì)的比賽靶面直徑為122cm，靶心直徑為12.2cm，運(yùn)發(fā)動(dòng)在70m外射．假設(shè)射箭都能中靶，且射中靶面內(nèi)任意一點(diǎn)都是等可能的，那么射中靶心的概率有多大？122cm〔1〕試驗(yàn)中的根本領(lǐng)件是什么？能用古典概型描述該事件的概率嗎？為什么？〔2〕每個(gè)根本領(lǐng)件的發(fā)生是等可能的嗎？射中靶面上每一點(diǎn)都是一個(gè)根本領(lǐng)件,這一點(diǎn)可以是靶面直徑為122cm的大圓內(nèi)的任意一點(diǎn).等可能事件發(fā)生的概率與構(gòu)成該事件區(qū)域的面積有關(guān)問(wèn)題3有一杯1升的水，其中漂浮有1個(gè)微生物，用一個(gè)小杯從這杯水中取出0.1升，求小杯水中含有這個(gè)微生物的概率.〔1〕試驗(yàn)中的根本領(lǐng)件是什么？能用古典概型描述該事件的概率嗎？為什么？〔2〕每個(gè)根本領(lǐng)件的發(fā)生是等可能的嗎？等可能微生物出現(xiàn)的每一個(gè)位置都是一個(gè)根本領(lǐng)件,即微生物出現(xiàn)在1升水中的任意一點(diǎn).事件發(fā)生的概率與構(gòu)成該事件區(qū)域的體積有關(guān)(1)一次試驗(yàn)可能出現(xiàn)的結(jié)果有無(wú)限多個(gè)；(2)每個(gè)結(jié)果的發(fā)生都具有等可能性．上面三個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)有什么共同特點(diǎn)？如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長(zhǎng)度〔面積或體積〕成比例，那么稱這樣的概率模型為幾何概率模型(geometricmodelsofprobability)，簡(jiǎn)稱為幾何概型.數(shù)學(xué)理論：將古典概型中的有限性推廣到無(wú)限性，而保存等可能性，就得到幾何概型．古典概型的本質(zhì)特征：1、根本領(lǐng)件的個(gè)數(shù)有限，2、每一個(gè)根本領(lǐng)件都是等可能發(fā)生的．幾何概型的本質(zhì)特征：1、根本領(lǐng)件有無(wú)限多個(gè)；2、每一個(gè)根本領(lǐng)件都是等可能發(fā)生的。如何求幾何概型的概率？問(wèn)題1取一根長(zhǎng)度為30cm的繩子，拉直后在任意位置剪斷，那么剪得兩段的長(zhǎng)度都不小于10cm的概率有多大？從30cm的繩子上的任意一點(diǎn)剪斷.根本領(lǐng)件:記“剪得兩段繩長(zhǎng)都不小于10cm”為事件A.把繩子三等分,于是當(dāng)剪斷位置處在中間一段上時(shí),事件A發(fā)生.由于中間一段的長(zhǎng)度等于繩長(zhǎng)的1/3.問(wèn)題2奧運(yùn)會(huì)的比賽靶面直徑為122cm，靶心直徑為12.2cm，運(yùn)發(fā)動(dòng)在70m外射．假設(shè)射箭都能中靶，且射中靶面內(nèi)任意一點(diǎn)都是等可能的，那么射中靶心的概率有多大？122cm根本領(lǐng)件:射中靶面上的任意一點(diǎn)記“射中靶心”為事件A.靶心直徑12.2cm,于是射中靶心所在圓上任意一點(diǎn)時(shí),事件A發(fā)生.由于靶心圓的面積是整個(gè)靶面圓面積的1/100.問(wèn)題3有一杯1升的水，其中漂浮有1個(gè)微生物，用一個(gè)小杯從這杯水中取出0.1升，求小杯水中含有這個(gè)微生物的概率.根本領(lǐng)件:微生物出現(xiàn)在1升水中的任意一點(diǎn)記“小杯水中含有這個(gè)微生物”為事件A.小杯水的體積是0.1升，于是微生物出現(xiàn)在0.1升水中的任意一點(diǎn)時(shí)，事件A發(fā)生.由于小杯水的體積是整個(gè)水體積的1/10.在幾何概型中,事件A的概率的計(jì)算公式如下:數(shù)學(xué)運(yùn)用：例1：某人午覺(jué)醒來(lái),發(fā)現(xiàn)表停了,他翻開(kāi)收音機(jī),想聽(tīng)電臺(tái)報(bào)時(shí),求他等待的時(shí)間不多于10分鐘的概率.解：設(shè)A={等待的時(shí)間不多于10分鐘}.我們所關(guān)心的事件A恰好是打開(kāi)收音機(jī)的時(shí)刻位于[50,60]時(shí)間段內(nèi),因此由幾何概型的求概率的公式得答：“等待的時(shí)間不超過(guò)10分鐘”的概率為．例2：一海豚在水池中自由游弋，水池長(zhǎng)30m，寬20m的長(zhǎng)方形，求此刻海豚嘴尖離岸小于2m的概率．30m20m2m答:海豚嘴尖離岸小于2m的概率約為0.31.解：設(shè)事件A為“海豚嘴尖離岸邊小于2m”〔見(jiàn)陰影局部〕例3：取一個(gè)邊長(zhǎng)為2a的正方形及其內(nèi)切圓(如圖),隨機(jī)地向正方形內(nèi)丟一粒豆子,求豆子落入圓內(nèi)的概率.解:記“豆子落入圓內(nèi)”為事件A,那么P(A)=答:豆子落入圓內(nèi)的概率為練一練練習(xí)2.在1L高產(chǎn)小麥種子中混入一粒帶麥銹病的種子,從中隨機(jī)取出10mL,含有麥銹病種子的概率是多少?解:取出10mL種子,其中“含有病種子”這一事件高為A,那么P(A)=答:含有麥銹病種子的概率為0.01練習(xí)1.在數(shù)軸上，設(shè)點(diǎn)x∈[-3,3]中按均勻分布出現(xiàn)，記a∈(