江西省南昌市部分校聯(lián)考2023-2024學(xué)年八年級(jí)下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題(含解析)

2023－2024學(xué)年度八年級(jí)下學(xué)期期中綜合評(píng)估數(shù)學(xué)下冊(cè)第十六~十八章說(shuō)明：共有六個(gè)大題，23個(gè)小題，滿分120分，作答時(shí)間120分鐘．一、單項(xiàng)選擇題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）在每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是最符合題目要求的，請(qǐng)將其代碼填入題后括號(hào)內(nèi)．錯(cuò)選、多選或未選均不得分．1．如圖，在中，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．2．下列各式運(yùn)算正確的是（

）A． B．C． D．3．在四邊形中，，，加下列條件能使四邊形為菱形的是(

)A． B． C． D．4．如圖，數(shù)字代表所在正方形的面積，則所代表的正方形的面積為（

）A．5 B．25 C．27 D．5．如圖，在的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，的三個(gè)頂點(diǎn)A，B，C都在格點(diǎn)上，是邊上的中線，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．6．如圖，在矩形中，，點(diǎn)P，Q分別在上，，線段在上，且，連接，則的最小長(zhǎng)度為（

）A．8 B．10 C．12 D．16二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）7．寫(xiě)出一個(gè)正整數(shù)n，使是最簡(jiǎn)二次根式，則n可以是．8．如圖，在中，對(duì)角線，相交于點(diǎn)O，若，，則的周長(zhǎng)為．9．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為．10．如圖，在菱形中，，，為邊上的高，則的長(zhǎng)為．11．如圖，將矩形沿對(duì)角線折疊，點(diǎn)B落在點(diǎn)E處，若平分，則的長(zhǎng)為．12．如圖1，有一張三角形紙片，記為中，，D為邊的中點(diǎn)．將三角形紙片沿剪開(kāi)，得到兩個(gè)三角形，如圖2所示．若將這兩個(gè)三角形拼成一個(gè)平行四邊形，則該平行四邊形的較長(zhǎng)的對(duì)角線長(zhǎng)為．三、解答題（本大題共5小題每小題6分，共30分）13．（1）計(jì)算：．（2）在中，，求的長(zhǎng)．14．已知四邊形ABCD中，∠1=∠2，∠B=∠D，求證：四邊形ABCD是平行四邊形．15．《千里江山圖》被稱為中國(guó)十大傳世名畫(huà)之一，如圖，這是某畫(huà)家臨摹的部分畫(huà)，已知畫(huà)的形狀是一個(gè)矩形，長(zhǎng)為，寬為．現(xiàn)要裝裱該畫(huà)，裝裱后的畫(huà)的長(zhǎng)兩端分別增加，寬兩端分別增加，求裝裱后的畫(huà)的面積．16．如圖，某學(xué)校有一塊四邊形草坪，，，，為方便師生行走，現(xiàn)要修一條小路．(1)求小路的長(zhǎng)（結(jié)果保留根號(hào)）．(2)求的度數(shù)．17．如圖，四邊形為正方形，E為邊的中點(diǎn)，請(qǐng)僅用無(wú)刻度的直尺按要求完成以下作圖（保留作圖痕跡）．(1)在圖1中，作邊的中點(diǎn)F．(2)在圖2中，作線段的中點(diǎn)G．四、解答題（本大題共3小題，每小題8分，共24分）18．如圖，過(guò)道上有一梯子斜靠在墻上，，墻與地面垂直，由于梯子影響了行人的通行，工人師傅將梯子挪動(dòng)到的位置，且測(cè)得．若梯子的長(zhǎng)為6m，求的長(zhǎng)（結(jié)果保留根號(hào)）19．如圖，在中，對(duì)角線與相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)在對(duì)角線上，且，連接．(1)求證：．(2)當(dāng)，四邊形是什么特殊四邊形？請(qǐng)說(shuō)明理由．20．定義：若兩個(gè)二次根式a，b滿足，且c是有理數(shù)，則稱a，b是因子二次根式，c為因子．(1)請(qǐng)判斷和是否為因子二次根式．如果是，求出因子；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．(2)若與是因子二次根式，3為因子，求n的值．五、解答題（本大題共2小題，每小題9分，共18分）21．如圖，在中，，為中線，為的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接．(1)求證：四邊形為菱形．(2)給再添加一個(gè)條件，使得四邊形為正方形．請(qǐng)寫(xiě)出添加的條件并說(shuō)明理由．22．【課本再現(xiàn)】三角形的中位線定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的一半．【定理證明】如圖1，在中，D，E分別是邊的中點(diǎn)．求證：且．以下是小賢的證明思路：如圖2延長(zhǎng)到點(diǎn)F，使，連接．（1）請(qǐng)你根據(jù)小賢添加的輔助線，寫(xiě)出完整的證明步驟．【知識(shí)應(yīng)用】（2）如圖3，在四邊形中，E，F(xiàn)，G，H分別為各邊中點(diǎn)．求證：四邊形是平行四邊形．（3）如圖4，在四邊形中，對(duì)角線與相交于點(diǎn)H，E，F(xiàn)分別為邊的中點(diǎn)，連接，分別交于點(diǎn)M，N，且．求證：．六、解答題（本大題共12分）23．如圖在正方形中，E是對(duì)角線上的一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B，D重合），連接，過(guò)點(diǎn)E作交射線于點(diǎn)F，接．(1)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題：如圖1，當(dāng)點(diǎn)F落在邊上時(shí)，和的數(shù)量關(guān)系是．(2)探究問(wèn)題：如圖2當(dāng)點(diǎn)F落在邊的延長(zhǎng)線上時(shí)，（1）中的結(jié)論是否成立？請(qǐng)判斷并說(shuō)明理由．(3)拓展應(yīng)用：當(dāng)點(diǎn)E在射線上運(yùn)動(dòng)，且時(shí)，求的面積．

參考答案與解析

1．C【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)．根據(jù)平行四邊形的對(duì)角相等即可求解．【詳解】解：∵四邊形為平行四邊形，∴．故選：C．2．A【分析】本題考查了二次根式的運(yùn)算．根據(jù)二次根式的加減運(yùn)算、乘除運(yùn)算法則計(jì)算即可求解．【詳解】解：A、，本選項(xiàng)符合題意；B、，本選項(xiàng)不符合題意；C、，本選項(xiàng)不符合題意；D、，本選項(xiàng)不符合題意；故選：A．3．D【分析】本題考查了菱形的判定、矩形的判定、平行四邊形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，先證四邊形是平行四邊形，再由菱形的判定和矩形的判定分別對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：∵，，∴四邊形是平行四邊形，A、∵，∴平行四邊形為矩形，故選項(xiàng)A不符合題意；B、由，不能判定四邊形為菱形，故選項(xiàng)B不符合題意；C、∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，∵，∴，∴平行四邊形是矩形，故選項(xiàng)C不符合題意；D、∵，∴平行四邊形為菱形，故選項(xiàng)D符合題意；故選：D．4．B【分析】本題考查了勾股定理．三個(gè)正方形的邊長(zhǎng)正好構(gòu)成直角三角形的三邊，根據(jù)勾股定理得到字母A所代表的正方形的面積．【詳解】解：由題意可知，直角三角形中，一條直角邊的平方，另一條直角邊的平方為，由勾股定理可知：斜邊的平方，即A所代表的正方形的面積為．故選B．5．B【分析】本題主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，直角三角形的性質(zhì)，先利用勾股定理求出的長(zhǎng)，進(jìn)而利用勾股定理的逆定理證明，則由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得答案．【詳解】解：由網(wǎng)格的特點(diǎn)和勾股定理得，，，∴，∴是直角三角形，且，∵是邊上的中線，∴，故選：B．6．B【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)；在邊上取，連接，則得四邊形是平行四邊形，有，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求的最小長(zhǎng)度，當(dāng)點(diǎn)E在上時(shí)，取得最小值；由勾股定理即可求解．取，求的最小值轉(zhuǎn)化為求的最小值是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，在邊上取，連接，∵四邊形是矩形，∴，，∵，∴，∴四邊形是平行四邊形，∴，∴，即當(dāng)取最小值時(shí)，取得最小值；當(dāng)點(diǎn)E在上時(shí)，取得最小值，最小值為線段的長(zhǎng)；∵，，∴，由勾股定理得，即的最小長(zhǎng)度為10；故選：B．7．1（答案不唯一）【分析】本題考查最簡(jiǎn)二次根式的定義．掌握最簡(jiǎn)二次根式需滿足1、被開(kāi)方數(shù)中不含能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式；2、被開(kāi)方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式是解題關(guān)鍵．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，，是最簡(jiǎn)二次根式，故答案為：1（答案不唯一）．8．18【分析】本題考查平行四邊形的性質(zhì)．根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，三角形周長(zhǎng)的定義即可解決問(wèn)題．【詳解】解：四邊形是平行四邊形，，，，，，的周長(zhǎng)．故答案為：18．9．17【分析】此題考查了平面直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)間的距離．利用兩點(diǎn)間的距離公式進(jìn)行求解即可．【詳解】解：點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為：，故答案為：17．10．【分析】本題主要考查了菱形的性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是求出的長(zhǎng)度．首先根據(jù)菱形的對(duì)角線互相垂直平分，利用勾股定理，求出的長(zhǎng)度，然后結(jié)合菱形中的面積的求法，求出的長(zhǎng)即可．【詳解】解：∵四邊形是菱形，，，∴、互相垂直平分，∴，，在中，由勾股定理，可得，∵，∴，即，解得．故答案為：．11．【分析】本題考查了矩形與折疊，含30度直角三角形性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)；由折疊性質(zhì)及角平分線定義得到，由含30度直角三角形性質(zhì)得，由勾股定理即可求得．【詳解】解：在矩形中，；由折疊知：，∵平分，∴，∴，∴，∵，，∴，由勾股定理得：；故答案為：．12．【分析】此題主要考查了圖形的剪拼以及勾股定理和等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)．利用等腰三角形的性質(zhì)，進(jìn)而重新組合得出平行四邊形，進(jìn)而利用勾股定理求出對(duì)角線的長(zhǎng)．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)D，∵邊，D為邊的中點(diǎn)，∴，∴，如圖①所示：四邊形是矩形，則其對(duì)角線的長(zhǎng)為5；如圖②所示：，連接，過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)E，則，∴；如圖③所示：，由題意可得：，∴，∵其中最長(zhǎng)的對(duì)角線的值為．故答案為：．13．（1）；（2）【分析】本題主要考查了二次根式的混合計(jì)算，勾股定理：（1）先計(jì)算二次根式除法，再化簡(jiǎn)二次根式，最后計(jì)算二次根式加減法即可；（2）直接根據(jù)勾股定理求解即可．【詳解】解：（1）；（2）∵在中，，∴．14．證明見(jiàn)解析．【分析】證明，得，，再由平行四邊形的判定定理即可得出結(jié)論．【詳解】證明：在△ABD和△CDB中，∴，∴，，∴四邊形ABCD是平行四邊形．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定、全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的判定，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．15．【分析】本題考查了二次根式混合運(yùn)算的應(yīng)用；根據(jù)題意可分別得到裝裱后畫(huà)的長(zhǎng)與寬，由長(zhǎng)方形面積計(jì)算公式即可計(jì)算出裝裱后的畫(huà)的面積．【詳解】解：裝裱后的畫(huà)的長(zhǎng)為，寬為，則裝裱后的畫(huà)的面積為：．答：裝裱后的畫(huà)的面積為．16．(1)(2)【分析】本題主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理：（1）先求出，再利用勾股定理求解即可；（2）根據(jù)（1）所求得到，由勾股定理的逆定理可得，再求出即可得到答案．【詳解】（1）解：∵，，∴，∵，∴；（2）解：∵，，∴，∴是直角三角形，且，∵，，∴，∴．17．(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【分析】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，三角形中位線定理：（1）如圖所示，連接交于O，連接并延長(zhǎng)交于F，點(diǎn)F即為所求；（2）同理作出中點(diǎn)F，連接交于O，連接交于H，連接交于T，連接并延長(zhǎng)交于G，點(diǎn)G即為所求．【詳解】（1）解：如圖所示，連接交于O，連接并延長(zhǎng)交于F，點(diǎn)F即為所求；易證明，可推出，易證明，則；（2）解：同理作出中點(diǎn)F，連接交于O，連接交于H，連接交于T，連接并延長(zhǎng)交于G，點(diǎn)G即為所求．易證明點(diǎn)H為的中點(diǎn)，點(diǎn)T為中點(diǎn)，則，則可證明G為中點(diǎn)．18．．【分析】此題主要考查勾股定理解三角形，在直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方；也考查了含30度角直角三角形的性質(zhì)，在直角三角形中，30度角所對(duì)的直角邊長(zhǎng)度為斜邊的一半；根據(jù)勾股定理分別求出兩次梯子距墻根的距離，求差得解．【詳解】解：∵，，∴，，∴，∵，∴，∴則．19．(1)證明見(jiàn)解析(2)當(dāng)，四邊形是矩形，理由見(jiàn)解析【分析】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定，矩形的判定：（1）由平行四邊形的性質(zhì)得到，進(jìn)而得到，據(jù)此利用即可證明．（2）根據(jù)（1）所求可得，則四邊形是矩形．【詳解】（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，∵，∴，即，又∵，∴．（2）解：當(dāng)，四邊形是矩形，理由如下：由（1）可知，∵，∴，∴四邊形是矩形．20．(1)和是因子二次根式，因子為；(2)．【分析】本題考查二次根式的計(jì)算，分母有理化．理解并掌握因子二次根式的定義是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)因子二次根式的定義進(jìn)行計(jì)算即可；（2）根據(jù)因子二次根式的定義得到，進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：∵，∴和是因子二次根式，因子為；（2）解：由題意，得：，∴，∴．21．(1)見(jiàn)解析(2)當(dāng)時(shí)，四邊形是正方形，理由見(jiàn)解析【分析】（1）證明，由全等三角形的性質(zhì)可得，再根據(jù)“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”可得，進(jìn)而可知，可證明四邊形為平行四邊形，然后根據(jù)“一組鄰邊相等的平行四邊形為菱形”證明結(jié)論即可；（2）當(dāng)時(shí)，四邊形是正方形．因?yàn)楫?dāng)時(shí)，根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)可得，即，然后根據(jù)“有一個(gè)角為直角的菱形是正方形”即可證明四邊形是正方形．【詳解】（1）證明：∵為的中點(diǎn)，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∵，為中線，∴，∴，又∵，∴四邊形為平行四邊形，又∵，∴四邊形是菱形；（2）當(dāng)時(shí)（也可填或或），四邊形是正方形，理由如下：∵，為中線，∴，即，∵由（1）可知四邊形是菱形，∴四邊形是正方形．【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形得判定、正方形的判定、直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)并靈活運(yùn)用是解題關(guān)鍵．22．（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）見(jiàn)解析【分析】（1）先證四邊形是平行四邊形，則平行且等于，得平行且等于．再證四邊形是平行四邊形，得平行且等于，即可得出結(jié)論；（2）連接，由，分別是，的中點(diǎn)，得，，由，分別是，的中點(diǎn)，得，，故，，從而四邊形是平行四邊形；（3）取的中點(diǎn)，連接、，根據(jù)三角形中位線定理得到，，，，根據(jù)題意得到，根據(jù)平行線的性質(zhì)、等腰三角形的判定定理解答即可．【詳解】證明：（1）如圖，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接連接．，，四邊形是平行四邊形，平行且等于，平行且等于．四邊形是平行四邊形，平行且等于．又，∴且；（2）四邊形是平行四邊形；理由如下：連接，如圖：，分別是，的中點(diǎn)，∴，，，分別是，的中點(diǎn)，∴，，∴，，四邊形是平行四邊形；（3）取的中點(diǎn)，連接、，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，，，∴，同理，，，∴，∵，∴，∴，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、三角形中位線定理、等邊對(duì)等角等知識(shí)；熟練掌握三角形中位線定理是解題的關(guān)鍵．23．(1)(2)（1）中結(jié)論仍然成立，理由見(jiàn)解析(3)5或13【分析】本題主要考查了正方形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定等等：（1）過(guò)點(diǎn)E分別作的垂線，垂足分別為G、H，證明四邊形是正方形得到，進(jìn)而證明，即可得到（2）仿照（2）求解即可；（3）分點(diǎn)E在線段上和在線段的延長(zhǎng)線上兩種情況利用勾股定理求出即可得到答案．【詳