江西省南昌市一中教育集團2023-2024學年八年級下學期期中數學試題(含解析)

2023-2024學年第二學期期中階段性學習質量檢測初二數學試卷說明：1．本卷共有六個大題，23個小題，全卷滿分120分，考試時間100分鐘．2．本卷分為試題卷和答題卡，答案要求寫在答題卡上，寫在試卷上的答案無效．一、選擇題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）1．下列各式中，不是二次根式的是（

）A． B． C． D．2．下列二次根式中，能與合并的是（）A． B． C． D．3．以直角三角形的三邊為邊做正方形，三個正方形的面積如圖，正方形A的面積為（

）A．6 B．36 C．64 D．84．的三邊分別為，，，下列條件：①；②；③．其中能判斷是直角三角形的條件個數有．A．0個 B．1個 C．2個 D．3個5．□ABCD中，E、F是對角線BD上不同的兩點，下列條件中，不能得出四邊形AECF一定為平行四邊形的是（

）A．BE=DF B．AE=CF C．AF//CE D．∠BAE=∠DCF6．如圖，在矩形中，對角線交于點O，過點O作交于點E，交于點F．已知，的面積為5，則的長為（）A．2 B． C． D．3二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分．）7．要使式子有意義，則x的取值范圍是．8．如圖，在矩形中，，，在數軸上，若以點為圓心，對角線的長為半徑作弧交數軸于點，則點表示的數為．

9．《九章算術》“勾股”章有一題：“今有戶高多于廣六尺，兩隅相去適一丈，問戶高、廣各幾何？”大意是說：已知矩形門的高比寬多6尺，門的對角線長1丈，那么門的高和寬各是多少？（1丈=10尺），如果設門的寬為x尺，那么這個門的高為（x+6）尺，根據題意得方程：．10．如圖，在?ABCD中，對角線AC、BD相交于點O．如果AC=8，BD=14，AB=x，那么x的取值范圍是．11．如圖，一技術人員用刻度尺（單位：cm）測量某三角形部件的尺寸．已知，點D為邊的中點，點A、B對應的刻度為1、7，則cm．12．如圖，矩形中，，，連接，若點在圖中任意線段上，當，則的長為．

三、解答題（本大題共5小題，每小題6分，共30分）13．（1）計算：；（2）如圖，在中，A、C分別在、的延長線上，且．求證：四邊形是平行四邊形．14．已知，，．求值：(1)；(2)．15．如圖，正方形網格中小方格邊長為1，A，B，C都是小正方形的頂點，請你根據所學的知識解決下面問題．（1）求的周長；（2）判斷是不是直角三角形，并說明理由.16．如圖，小巷左右兩側是豎直的墻，已知小巷的寬度是2.2米．一架梯子斜靠在左墻時，梯子頂端與地面點距離是2.4米．如果保持梯子底端位置不動，將梯子斜靠在右墻時，梯子頂端與地面點距離是2米．求此時梯子底端到右墻角點的距離是多少米．17．如圖，在□ABCD中，點E在AD上，請僅用無刻度直尺按要求作圖（保留作圖痕跡，不寫作法）（1）在圖1中，過點E作直線EF將□ABCD分成兩個全等的圖形；（2）在圖2中，DE＝DC，請你作出∠BAD的平分線AM．四、解答題（本大題共3小題，每小題8分，共24分）18．如圖，在中，為邊上一點，且．（1）求證：．（2）若平分，，求的度數．19．正方形中對角線、相交于，為上一點，交于，交于．(1)說明的道理；(2)在（1）中，若為延長線上，交的延長線于，、的延長線交于，其他條件不變，如圖，則結論：“”還成立嗎？請說明理由．20．請你認真閱讀思考下面的材料，完成相關問題．【數學模型】如圖①，A，B是直線l同旁的兩個定點，在直線l上確定一點P，使的值最?。椒ǎ鹤鼽cA關于直線l的對稱點，連接交l于點P，則點P即為所求．此時，的值最小，且【模型應用】(1)如圖②，經測量得A，B兩點到河邊l的距離分別為米，米，且米．在l上確定一點P，則的最短路徑長為______米；(2)如圖③，在正方形中，，點E在邊上，且，點P是對角線上一個動點，求的最小值；(3)如圖④，在平面直角坐標系中，點，．請在x軸上確定一點P，使的值最小，并求出的最小值．五、解答題（本大題共2題，每題9分，共18分）21．【閱讀理解】愛思考的小名在解決問題：已知，求的值．他是這樣分析與解答的：，．，即．．．請你根據小名的分析過程，解決如下問題：(1)計算：______；(2)計算：______；(3)若，求的值．22．定義：有一個內角為，且對角線相等的四邊形稱為準矩形．(1)如圖1，準矩形中，，若，，求的長；(2)如圖2，正方形中，點E，F分別是邊，上的點，且四邊形是準矩形，求證：；(3)如圖3，準矩形中，，，，，求這個準矩形的面積．六、解答題（本大題滿分12分）23．（1）【探究發(fā)現】如圖①，已知矩形的對角線的垂直平分線與邊，分別交于點E，F．求證：四邊形是菱形；（2）【類比應用】如圖②，直線分別交矩形的邊，于點E，F，將矩形沿翻折，使點C的對稱點與點A重合，點D的對稱點為，若，，求四邊形的周長；（3）【拓展延伸】如圖③，直線分別交平行四邊形的邊，于點E，F，將平行四邊形沿翻折，使點C的對稱點與點A重合，點D的對稱點為，若，，，求的長．

參考答案與解析

1．B【分析】本題主要考查二次根式的定義，根據定義逐項判斷即可．【詳解】解：A、，是二次根式，故本選項不符合題意；B、被開方數為無意義，不是二次根式，故本選項符合題意；C、由于，是二次根式，故本選項不符合題意；D、，是二次根式，故本選項不符合題意；故選：B2．B【分析】本題重點考查了二次根式的加減法則，只有同類二次根式才能相加減，清楚同類二次根式的定義是解此題的關鍵，同類二次根式是化為最簡二次根式后，被開方數相同的二次根式稱為同類二次根式，把每個根式化簡即可確定．【詳解】解：A、=，故選項錯誤；B、，故選項正確；C、，故選項錯誤；D、，故選項錯誤；故選：B．3．A【分析】根據圖形知道所求的A的面積即為正方形中間的直角三角形的A所在直角邊的平方，然后根據勾股定理即可求解．【詳解】∵兩個正方形的面積分別為8和14，且它們分別是直角三角形的一直角邊和斜邊的平方，∴正方形A的面積=14-8=6．故選A．【點睛】本題主要考查勾股樹問題：以兩條直角邊為邊長的正方形的面積和等于以斜邊為邊長的正方形的面積．4．D【分析】根據三角形的內角和定理即可判斷①，根據勾股定理的逆定理即可判斷②和③，由此即得答案.【詳解】①∵∠A＝∠B﹣∠C，∴∠A+∠C＝∠B，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴2∠B＝180°，∴∠B＝90°，∴△ABC是直角三角形；②∵a2＝（b+c）（b﹣c），∴a2＝b2﹣c2，∴a2+c2＝b2，∴△BAC是直角三角形；③∵a：b：c＝3：4：5，∴設a＝3k，b＝4k，c＝5k，∵a2+b2＝25k2，c2＝25k2，∴a2+b2＝c2，∴△ABC是直角三角形；故選：D．【點睛】本題考查了勾股定理的逆定理和三角形的內角和定理的應用，屬于基礎題型，掌握直角三角形的判定方法是關鍵.5．B【分析】根據平行線的判定方法結合已知條件逐項進行分析即可得．【詳解】A、如圖，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA=OC，OB=OD，∵BE=DF，∴OE=OF，∴四邊形AECF是平行四邊形，故不符合題意；B、如圖所示，AE=CF，不能得到四邊形AECF是平行四邊形，故符合題意；C、如圖，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA=OC，∵AF//CE，∴∠FAO=∠ECO，又∵∠AOF=∠COE，∴△AOF≌△COE，∴AF=CE，∴四邊形AECF是平行四邊形，故不符合題意；D、如圖，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD，AB//CD，∴∠ABE=∠CDF，又∵∠BAE=∠DCF，∴△ABE≌△CDF，∴AE=CF，∠AEB=∠CFD，∴∠AEO=∠CFO，∴AE//CF，∴四邊形AECF是平行四邊形，故不符合題意，故選B．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質與判定，熟練掌握平行四邊形的判定定理與性質定理是解題的關鍵．6．D【分析】本題考查了矩形的性質、線段垂直平分線的性質、勾股定理以及三角形的面積問題．連接，由題意可得為對角線的垂直平分線，可得，，由三角形的面積則可求得的長，然后由勾股定理求得答案．【詳解】解：連接，如圖所示：

由題意可得，為對角線的垂直平分線，，，．，，，，在中，由勾股定理得，故選：D．7．【分析】題目主要考查二次根式有意義的條件，根據二次根式有意義的條件求解即可．【詳解】解：∵有意義，∴，∴，故答案為：．8．##【分析】本題考查了實數與數軸，數軸上兩點的距離，勾股定理，利用數形結合的思想解決問題是關鍵．由勾股定理得到，進而得到，再根據數軸上兩點間的距離，即可求出點表示的數．【詳解】解：在矩形中，，，由作法可知，點表示的數為，點表示的數為，故答案為：9．x2+（x+6）2=102【分析】直接利用勾股定理進而得出等式方程即可．【詳解】設門的寬為x尺，那么這個門的高為（x+6）尺，根據題意得方程：x2+（x+6）2=102故答案為x2+（x+6）2=102【點睛】本題考查了勾股定理的應用，正確應用勾股定理是解題的關鍵．10．3＜x＜11【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AO=CO，BO=DO，∵AC=8，BD=14，∴AO=4，BO=7，∵AB=x，∴7﹣4＜x＜7+4，解得3＜x＜11．故答案為：3＜x＜11．11．3【分析】先讀尺確定，再根據直角三角形的性質即可求出答案．【詳解】根據刻度尺可知．在中，點D是的中點，∴．故答案為：3．【點睛】本題主要考查了直角三角形的性質，理解“直角三角形的斜邊中線是斜邊的一半”是解題的關鍵．12．3或或【分析】根據矩形的性質可得，，，，當時，分情況討論：①當點P在邊上，②點P在的中點，③點P在邊上，分別求解即可．【詳解】解：在矩形中，，，，∵，，根據勾股定理，得，當時，分情況討論：①當點P在邊上，如圖所示：在圖1中，設，則，在中，根據勾股定理，得，解得，則；②點P在的中點，如圖所示：在圖2中，，③點P在邊上，如圖所示：在圖3中，設，則，在中，根據勾股定理，得，解得，則；在中，根據勾股定理，得；綜上所述：當，則的長為3或或，故答案為：3或或．

【點睛】本題考查了矩形的性質，勾股定理，熟練掌握矩形的性質是解題的關鍵，注意分情況討論．13．（1）；（2）見解析【分析】本題考查了平行四邊形的判定與性質和實數的加減運算，熟練掌握平行四邊形的判定與性質及二次根式的加減運算是解題的關鍵．（1）先將二次根式化簡，然后計算加減法即可；（2）由平行四邊形的性質得，再證，即可得出結論．【詳解】解：（1）；（2）證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，∵，∴，即，∵，∴四邊形是平行四邊形．14．(1)(2)3【分析】本題考查了完全平方公式，二次根式的乘法，平方差公式．熟練掌握完全平方公式，二次根式的乘法，平方差公式是解題的關鍵．（1）利用完全平方公式計算求解即可；（2）先通分，然后代值，利用平方差公式計算求解即可．【詳解】（1）解：∵，∴；（2）解：由題意知，．15．（1）△ABC的周長為；（2）△ABC不是直角三角形，理由見解析．【分析】（1）利用勾股定理求出AB，BC的長，然后可求周長；（2）利用勾股定理的逆定理判斷即可．【詳解】解：（1）如圖，根據題意由勾股定理，得，，∴△ABC的周長=AB+AC+BC=，（2）△ABC不是直角三角形，理由是：∵在△ABC中，AB2+BC2=13+45=58，AC2=64，即AB2+BC2≠AC2，∴△ABC不是直角三角形.【點睛】本題考查勾股定理以及勾股定理的逆定理，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．16．此時梯子底端到右墻角的距離是1.5米【分析】本題考查了勾股定理的應用，設此時梯子底端到右墻角的距離長是米，根據，結合勾股定理列出方程，解方程即可得出答案，熟練掌握勾股定理是解此題的關鍵．【詳解】解：設此時梯子底端到右墻角的距離長是米，由題意列方程為：，解方程得，答：此時梯子底端到右墻角的距離是1.5米．17．（1）詳見解析；（2）詳見解析【分析】（1）作?ABCD的對角線AC、BD，交于點O，作直線EO交BC于點F，直線EF即為所求；（2）由DE＝DC，在BC上取點M，且BM=DE，由等腰三角形的性質可得AB=BM，則∠AMB=BAM，又因為ABCD是平行四邊形，則根據平行線的性質可得∠AMB=DAM，由DE＝DC，作射線AM即可得．【詳解】（1）如圖1，直線EF即為所求；（2）因為DE＝DC，在BC上取點M，且BM=DE，則可得AB=BM，則∠AMB=BAM，又因為ABCD是平行四邊形，則根據平行線的性質可得∠AMB=DAM，故如圖2，射線AM即為所求．【點睛】本題考查作圖-基本作圖，熟練掌握平行四邊形的性質是解題的關鍵．18．（1）證明見解析（2）【分析】（1）△ABC和△EAD中已經有一條邊和一個角分別相等，根據平行的性質和等邊對等角得出∠B=∠DAE即可證明．（2）根據全等三角形的性質，利用平行四邊形的性質求解即可．【詳解】（1）四邊形為平行四邊形，．．．．．（2），．為等邊三角形．．．，.19．(1)證明見解析(2)仍然成立．理由見解析【分析】本題主要考查正方形的性質和全等三角形的判定與性質：（1）由同角的余角相等，可得，由正方形的性質知，，，則證得，可得；（2）思路與（1）相同，易得，可得；【詳解】（1）證明：在正方形中，，又∵，∴．∴．在和中，，∴．∴．（2）仍成立．證明：在正方形中，，又∵，∴．∴．在和中，，∴．∴．20．(1)1500(2)(3)P點坐標為；的最小值為【分析】本題考查了軸對稱-最短問題，垂線段最短，等腰三角形的性質，正方形的性質，勾股定理等知識，要靈活運用對稱性解決此類問題．找出P點位置是解題的關鍵．（1）作點A關于直線l的對稱點，連接，過點作并交線于點M，根據對稱的性質得出米，米，米，再由勾股定理求解即可；（2）連接，設與交于點P，根據正方形的性質及軸對稱得出P在與的交點上時，最小，為的長度，利用勾股定理求解即可；（3）作A點關于x軸的對稱點，連接交x軸于P點，P點即為所求，利用軸對稱的性質得出，則，的值最小，然后確定一次函數解析式即可得出結果，再由勾股定理求解即可．【詳解】（1）解：作點A關于直線l的對稱點，連接，過點作并交線于點M，∴米，在中，米，米，（米），∴“將軍飲馬”問題中的最短路徑長為1500米，故答案為：1500；（2）如圖，連接，設與交于點P，∵四邊形是正方形，∴點B與D關于對稱，∴，∴最?。碢在與的交點上時，最小，為的長度．∵直角中，，∴．∴的最小值為．（3）如圖，作A點關于x軸的對稱點，連接交x軸于P點，P點即為所求：利用對稱的性質得到，則，的值最??；A點關于x軸對稱的點的坐標為，設直線的解析式為，把代入得：，解得，∴直線的解析式為，當時，，解得，∴P點坐標為；的最小值為：．21．(1)(2)(3)2【分析】本題考查了二次根式的混合運算，求代數式的值，熟練掌握二次根式的分母有理化是解題關鍵；（1）仿照題的方法化簡即可；（2）把每項按照題中方法化簡，再相加減即可；（3）仿照題中方法求代數式值的方法求解即可．【詳解】（1）解：，故答