2024年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)題型歸類與強(qiáng)化測(cè)試專題22導(dǎo)數(shù)隱零點(diǎn)問題學(xué)生版

專題22導(dǎo)數(shù)隱零點(diǎn)問題一、【知識(shí)梳理】【方法技巧】1.在求解函數(shù)問題時(shí)，很多時(shí)候都需要求函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的零點(diǎn)，但所述情形都難以求出其準(zhǔn)確值，導(dǎo)致解題過程無法繼續(xù)進(jìn)行時(shí)，可這樣嘗試求解：先證明函數(shù)f(x)在區(qū)間I上存在唯一的零點(diǎn)(例如，函數(shù)f(x)在區(qū)間I上是單調(diào)函數(shù)且在區(qū)間I的兩個(gè)端點(diǎn)的函數(shù)值異號(hào)時(shí)就可證明存在唯一的零點(diǎn))，這時(shí)可設(shè)出其零點(diǎn)是x0.因?yàn)閤0不易求出(當(dāng)然，有時(shí)是可以求出但無需求出)，所以把零點(diǎn)x0叫做隱零點(diǎn)；若x0容易求出，就叫做顯零點(diǎn)，而后解答就可繼續(xù)進(jìn)行，實(shí)際上，此解法類似于解析幾何中“設(shè)而不求”的方法.2.當(dāng)分析導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)性時(shí)，可歸結(jié)為處理某個(gè)二次函數(shù)在給定區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)問題，但二次函數(shù)零點(diǎn)的求解又很復(fù)雜，此時(shí)一般要借助于韋達(dá)定理或極值的特性來對(duì)零點(diǎn)“設(shè)而不求”.3.當(dāng)分析導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)性時(shí)，需要?dú)w結(jié)為分析某個(gè)非二次函數(shù)的零點(diǎn)，我們處理問題的方法相對(duì)就比較有限，其常用的方法為：確定零點(diǎn)存在的前提下，虛設(shè)零點(diǎn)并借助該形式化零點(diǎn)進(jìn)行單調(diào)性分析及后續(xù)處理，或借助其滿足的恒等式(即導(dǎo)數(shù)值為0)，通過恒等代換將問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化.4.零點(diǎn)問題求解三步曲(1)用函數(shù)零點(diǎn)存在定理判定導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)的存在性，列出零點(diǎn)方程f′(x0)＝0，并結(jié)合f′(x)的單調(diào)性得到零點(diǎn)的取值范圍．(2)以零點(diǎn)為分界點(diǎn)，說明導(dǎo)函數(shù)f′(x)的正負(fù)，進(jìn)而得到f(x)的最值表達(dá)式．(3)將零點(diǎn)方程適當(dāng)變形，整體代入最值式子進(jìn)行化簡(jiǎn)證明，有時(shí)(1)中的零點(diǎn)范圍還可以適當(dāng)縮?。ⅰ绢}型歸類】【題型一】導(dǎo)函數(shù)中二次函數(shù)的隱零點(diǎn)問題【典例1】已知實(shí)數(shù)a滿足a≥eq\r(e)＋eq\f(1,\r(e))－2，且函數(shù)f(x)＝lnx＋eq\f(x2,2)－(a＋2)x恰有一個(gè)極小值m和極大值M，求m－M的最大值(其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).【典例2】已知函數(shù)f(x)＝x＋eq\f(1,x)＋alnx，a∈R.若對(duì)任意的x∈[1，e]，都有eq\f(2,e)≤f(x)≤2e恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍(其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).【題型二】導(dǎo)函數(shù)中非二次函數(shù)的隱零點(diǎn)問題【典例1】設(shè)函數(shù)f(x)＝ex－ax－2.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若a＝1，k為整數(shù)，且當(dāng)x>0時(shí)，(x－k)·f′(x)＋x＋1>0，求k的最大值.【典例2】已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1,a)x2＋lnx－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(1,a)))x(a≠0)．(1)當(dāng)a＝eq\f(1,2)時(shí)，求函數(shù)f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程；(2)令F(x)＝af(x)－x2，若F(x)<1－2ax在x∈(1，＋∞)上恒成立，求整數(shù)a的最大值eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(參考數(shù)據(jù)：ln3<\f(4,3)，ln4>\f(5,4))).【典例3】已知函數(shù)f((1)討論函數(shù)f(x(2)證明:xe三、【培優(yōu)訓(xùn)練】【訓(xùn)練一】已知函數(shù)f(x)＝lnx－ax(a∈R)．(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(2)證明不等式ex－2－ax>f(x)恒成立．【訓(xùn)練二】已知函數(shù)f(x)＝aex－2x，a∈R.(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(2)當(dāng)a＝1時(shí)，求證：f(x)＋x2－eq\f(21,8)x＋1>0.【訓(xùn)練三】已知函數(shù)f((1)若f(x)的最大值是0,求(2)若對(duì)其定義域內(nèi)任意x,f(x)?g【訓(xùn)練四】已知函數(shù)f((1)若函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增,求(2)若a=1,證明:當(dāng)x>0時(shí),參考數(shù)據(jù):e≈2.71828,ln?2≈0.69.【訓(xùn)練五】已知函數(shù)f((1)求曲線C:y=f(2)當(dāng)a=-2時(shí),設(shè)函數(shù)g(x)=f(x)x,若x0是g(x)在(-π【訓(xùn)練六】已知函數(shù)f(證明:f(x)存在唯一的極大值點(diǎn)x0四、【強(qiáng)化測(cè)試】【解答題】1.已知函數(shù)f(x)＝eq\f(lnx,x)＋eq\f(1,x)＋1.(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若對(duì)任意x∈(0，＋∞)都有aex≥f(x)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．2.已知函數(shù)f(x)＝eq\f(ln（x＋1）,x)＋eq\f(1,x)，若f(x)>eq\f(k,x＋1)在(0，＋∞)上恒成立，求整數(shù)k的最大值.3.若x(ex－2)－(lnx－kx)≥1恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.4.已知函數(shù)的最小值為．(1)求的值；(2)已知,,在上恒成立,求的最大值．（參考數(shù)據(jù)：,）5.已知函數(shù).（1）若,求的單調(diào)區(qū)間；（2）若對(duì)于任意的,恒成立,求的最小值.6.已知函數(shù),其中,且.(1)當(dāng)時(shí),求的單調(diào)區(qū)間；(2)若只有一個(gè)零點(diǎn),求的取值范圍.7.已知函數(shù)f(x)=ex-a8.設(shè)函數(shù)f((1)討論f(x)的導(dǎo)函數(shù)(2)證明:當(dāng)a>0時(shí),f9.已知函數(shù)f(x)＝ax2－xlnx＋eq\f(2,a)(a∈R且a≠0)，若不等式f(x)≤0對(duì)任意x∈(0，＋∞)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.10.證明：函數(shù)f(x)＝ex＋sinx，x∈(－π，＋∞)存在唯一極小值點(diǎn)x0，且－1＜f(x0)＜0.11.已知函數(shù)f(x)＝2x＋ln(2x－1).(1)求f(x)在x＝1處的切線方程；(2)求證：