2021年上半年教師資格考試《初中數(shù)學(xué)》真題

2021年上半年教師資格統(tǒng)考《數(shù)學(xué)學(xué)科（初中）》試題一、單項選擇題(本大題共15小題，每小題3分，共45分。)1.在空間直角坐標(biāo)系下，直線

x23

=

y114

=z11

與平面3x-2y-z+15=0的位置關(guān)系是()A.相交且垂直B.相交不垂直C.平行D.直線在平面上2.使得函數(shù)f（x）=1一致連續(xù)的x取值范圍是()xA.(0，1)B.(0，1]C.[-1，-1]∪[1，1]32D.(-∞,+∞)43A.0B.1C.2D.34.設(shè)函數(shù)y=f(x)在x的自變量的改變量為?x，相應(yīng)的函數(shù)改變量為?y,0(?x)表示?x的高階0無窮小。若函數(shù)y=f(x)在x可微,則下列表述不正確的是()0A.?y=f'(x)dx0B.dy=f'(x)dx0C.?y=f'(x)?x+0(?x)0D.?y=dy+0(?x)5.拋擲兩粒正方體骰子(每個面上的點數(shù)分別為1,2,....6)，假定每個面朝上的可能性相同,觀察向上的點數(shù),則點數(shù)之和等于5的概率為()A.

536B.19第1頁，共10頁

2/243.方程x-3x+6x-4=0的整數(shù)解的個數(shù)是()3.方程x-3x+6x-4=0的整數(shù)解的個數(shù)是()C.D.

1121186.對于mxn矩陣Α，存在nxs矩陣Β（Β≠0），使得ΑΒ=0成立的蟲咬條件是矩陣Α的秩rank（?。M足（）A.rank（?。糿B.rank（Α）≤nC.rank（?。緉D.rank（?。輓7.一個五邊形與其經(jīng)過位似變換后的對應(yīng)圖形之間不滿足下列關(guān)系的是()A.對應(yīng)線段成比例B.對應(yīng)點連線共點C.對應(yīng)角不相等D.面積的比等于對應(yīng)線段的比的平方8.設(shè)“

2

x1

，求當(dāng)x=2+

3

時，T的值”。要考查學(xué)生的()A.空間觀念B.運算能力C.數(shù)據(jù)分析觀念D.應(yīng)用意識二、簡答題(每題7分，共5題，共35分)9.已知平面上一橢圓，長半軸長為a，短半軸長為b，0＜b＜a，求橢圓繞著長軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體的體積。10.設(shè)顧客在某銀行窗口等待服務(wù)的時間X(min)的概率密度為

x,其他

，其他用變量Y表示顧客對銀行服務(wù)質(zhì)量的評價值，若顧客等待時間不超過5(min)，則評價值為Y=1;否則，評價值為y=-1，即(1)求X的分布函數(shù)。(2)求Y的分布律。

1，X＞51第2頁，共10頁

2/24x21T(x1)x23xx21T(x1)x23x21fx(x)2e2,x＞00,X5Yaxayazb111213121222323132333

①有惟一解當(dāng)且僅當(dāng)行列式

aaa111213212223313233

②

不等于零，請回答下列問題：(1)行列式②的幾何意義是什么?(2)上述結(jié)論的集合意義是什么?12.某教師在引領(lǐng)學(xué)生探究"圓周角定理”時，首先進行畫圖、測量等探究活動，獲得對圓周角和圓心角大小關(guān)系的猜想；進一步尋找證明猜想的思路并進行嚴(yán)格的證明；最后，教師又通過幾何軟件對兩類角的大小關(guān)系進行驗證。從推理的角度，請談?wù)勀銓處熯@樣處理的看法。13.數(shù)學(xué)課堂教學(xué)過程中，為了鼓勵學(xué)生獨立思考，深入理解問題，教師常常在呈現(xiàn)任務(wù)后，不是立刻講解，而是留給學(xué)生足夠的思考時間，這種教學(xué)方式可稱之為”課堂留白”，請你談?wù)務(wù)n堂留白的必要性及其意義。三、解答題(每題10分，共1題，共10分)根據(jù)所給材料回答問題。2123423412141234234(1)a為何值時，其對應(yīng)齊次線性方程組解空間的維數(shù)為2?(2)對于(1)中確定的a值，求該非齊次線性方程組的通解。四、論述題(共1題，每題15分，共15分)15.數(shù)學(xué)運算能力是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)需要培養(yǎng)的基本能力。學(xué)生的數(shù)學(xué)運算能力具體表現(xiàn)為哪些方面?請以整式運算為例予以說明。五、案例分析題(共1題，每題20分，共20分)16.案例：下面是初中"三角形的內(nèi)角和定理”的教學(xué)案例片段。教師請學(xué)生回憶小學(xué)學(xué)過的三角形內(nèi)角和是多少度?并讓學(xué)生用提前準(zhǔn)備好的三角形紙片進行剪拼并演示。下面是部分學(xué)生演示的圖形(如圖1、圖2):在圖1中，三角形的三個內(nèi)角拼在一起后，B、C、D在一條直線上，看似構(gòu)成一個平角。教師質(zhì)疑，看上去是平角就是平角了嗎?學(xué)生的回答是”不一定”。接著，教師利用圖1啟發(fā)學(xué)生第3頁，共10頁

2/24axayazb11.已知方程組：axayazbaaaaaaxxxxxxxaxayazb11.已知方程組：axayazbaaaaaaxxxxxxxxxxx14.已知非齊次線性方程組2xxxxa35814562259思考：①既然不能判定B、C、D是否一定在同一直線上(即組成平角)，可以換個角度，先構(gòu)造一個平角，引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合圖1思考如何作輔助線構(gòu)造平角。學(xué)生想到了作BC的延長線BD，如圖3所示。②圖1中，∠1與∠A是什么關(guān)系?啟發(fā)學(xué)生在∠ACD內(nèi)作∠1=∠A，或過點C作CE//AB，如圖4所示。③現(xiàn)在只要證明什么?(證明∠2=∠B)問題：(1)該教師讓學(xué)生回憶并用拼圖的方法感知三角形的內(nèi)角和，請簡述其教學(xué)意圖。(2)利用圖2設(shè)計問題串，使得這些問題能夠引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)三角形的內(nèi)角和定理的證法。(3)請再給出其他2種三角形紙片的拼法，并畫圖表示六、教學(xué)設(shè)計題(共1題，每題30分，共30分)17.平方差公式a2-b2=（a+b）（a-b）是初中乘法公式的內(nèi)容之一。某教師教學(xué)時，將引導(dǎo)學(xué)生歸納猜想平方差公式作為教學(xué)過程的環(huán)節(jié)之一，設(shè)計思路如下:假定b=1。問題簡化為：a2-1=?當(dāng)a=2，22-1=3=（2+1）（2-1）①當(dāng)a=3，32-1=8=（3+1）（3-1）②當(dāng)a=4，42-1=15=（4+1）（4-1）③觀察上面式子：猜測：a2-12=（a+1）（a-1）。取b=2,3,4，仿造上面，猜測等式左右兩邊的數(shù)之間的關(guān)系，進而猜想一般規(guī)律：a2-b2=（a+b）（a-b）。（證明過程略）(1)教學(xué)設(shè)計簡述該教師在該環(huán)節(jié)的教學(xué)設(shè)計意圖。(2)教學(xué)設(shè)計簡述平方差公式在初中數(shù)學(xué)中的地位。(3)教學(xué)設(shè)計請給出平方差公式的教學(xué)目標(biāo)，并設(shè)計教學(xué)流程。(4)教學(xué)設(shè)計請通過圖示給出平方差公式的幾何背景第4頁，共10頁

2/242021年上半年教師資格統(tǒng)考《數(shù)學(xué)學(xué)科(初中)》試題答案解析一、單項選擇題1.答案：D解析：本題考查空間直線與平面的位置關(guān)系。由題可知，直線的方向向量為n=（3，4,1），平面的法向量為m=（3，-2，-1）因為n.m.=3×3＋4*（-2）＋（-1）=0，所以直線的方向向x3t2341直線在平面上。故本題選D。2.答案：C解析：本題考查閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。根據(jù)一致連續(xù)性定理，如果函數(shù)在閉區(qū)間[A|B]上連續(xù)，那么，它在該區(qū)間上一致連續(xù)。可知，使得函數(shù)f（x）=1一致連續(xù)的x的取值范圍x[-1，-1]∪[1，1]，故本題選C。323.答案：C43

x

4x2

=0整理得（x2-

4x2

）-3（x-2）=0即（x+2）（x-2）-3（x-2）=0，所以x-2）（x+2-3）xxxxxx=0可得x-2=0或x+2-3，解得x=±xx

2

或x=1或x=2。所以，方程的整數(shù)解有2個。故本題選C。4.答案：A解析：本題考查微分的概念。根據(jù)微分的定義可得：dy=f'(x)dx函數(shù)的增量?y=dy+0(?x)=f'(x)00?x+0(?x)可知A選項錯誤。故本題選A。5.答案：B解析：不提考查事件的概率。設(shè)第一次拋擲的骰子點數(shù)為x，第二次用的y，用（x，y）表示投擲兩次的結(jié)果。其中1≤x≤6，1≤y≤6共有36種結(jié)果。其中點數(shù)之和為5的（1,4）（4.1）（2,3）（3,2）共四種結(jié)果，根據(jù)概率的公式

4P36

196.答案：A解析：本題考查矩陣的運算。必要性，有條件可設(shè)B=（β，β，，β）則AB=A（β，β，，β）=（Aβ，12···512···51第5頁，共10頁

2/24量與平面的法向垂直。設(shè)直線方程為x2=y11=z1=t，則y4t11代入平面方程中，可得zt量與平面的法向垂直。設(shè)直線方程為x2=y11=z1=t，則y4t11代入平面方程中，可得zt1解析：本題考查的高次方程的整數(shù)解。對x-3x+6x-4=0兩邊同時除以x2得x2-3x+6-，故本題選B。Aβ，

，Aβ），由題意可知B為非零向量，故中至少有一個非零向量。若AB=0，則2

···

5ABj

=0，（j=1,2,

，s），因此Ax=0有非零解，故r（A）＜n充分性；若r（A）＜n，···則方程組Ax=0有非零解，設(shè)非零解為β，β，12···

，β5即ABj=0，（j=1,2,

，s），···令B=（β，β，，β）則AB=0（B≠0）。故本題選A。12···57.答案：C解析:本題考查位似圖形的性質(zhì)。兩個圖形位似，那么任意一對對應(yīng)點到位似中心的距離之比都等于位似比，任意一組對應(yīng)邊都互相平行(或在一條直線上)。位似圖形面積的比等于相似比的平方。位似圖形對應(yīng)點連線的交點是位似中心，位似圖形對應(yīng)線段的比等于相似比。位似圖形高、周長的比都等于相似比。位似圖形的對應(yīng)角都相等。C選項不正確，故本題選C。8.答案：B解析：本題考查數(shù)學(xué)教學(xué)論的基本概念。帶入具體數(shù)值求解代數(shù)式，主要考查學(xué)生的運算能力。故本題選B。二、簡答題9.答案：4ab2π3詳解：本題考查旋轉(zhuǎn)體的體積計算。由題意知，無論長軸在x軸或y軸旋轉(zhuǎn)體的體積不變;不妨設(shè)長軸在x軸上，將橢圓

x2a2

y2

1

繞x軸旋轉(zhuǎn)一周，所得的旋轉(zhuǎn)體的體積為1-0310.答案：（1）

xFx(x)2,其他

是x服從參數(shù)γ=

12

的指數(shù)分布，指數(shù)分布ex,x＞0

的分布函數(shù)為

x

，則當(dāng)γ=

12

時，（2）

x1

。

-

x2，則P(X＞5)1-P(X5)e-52，所第6頁，共10頁

2/24b2v2b2πdxab2π。ax24a21e2,x＞00b2v2b2πdxab2π。ax24a21e2,x＞00f(x)0，其他F(x)e，x＞00，其他γγγ1F(x)e2，x＞00，其他-e-xP(X5)F（5）11e2x5以Y的分布規(guī)律為

2,k。11.答案：12.答案：推理是人們思維活動的過程，是根據(jù)一個或幾個已知的判斷來確定一個新的判斷的思維過程。在初中數(shù)學(xué)中經(jīng)常使用的兩種推理是:合情推理和演繹推理。合情推理是學(xué)生經(jīng)過觀察、分析、比較、聯(lián)想，再進行歸納、類紕，然后提出猜想的推理，這位老師引領(lǐng)學(xué)生探究“圓周角定理”時，首先進行畫圖、測量等探究活動，獲得對圓周角和圓心角大小關(guān)系的猜想;就是應(yīng)用了合情推理。合情推理融合了學(xué)生的各種思維和活動在中，對于培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，開發(fā)學(xué)生的智力，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力都是非常重要的。演繹推理是從已有的實(包括定義、公理、定理等)出發(fā)，按照規(guī)定的法則(包括邏輯和運算)證明結(jié)論。蓋老師在學(xué)生給出猜想后，引導(dǎo)學(xué)生進一步尋找證明猜想的思路并進行嚴(yán)格的證明;并通過幾何軟件對兩類角的大小關(guān)系進行驗證。應(yīng)用演繹推理體現(xiàn)是數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性。兩種方式相輔相成，更有利于學(xué)生掌握“圓周角定理"。13.答案：課堂的精彩不僅要關(guān)注教師講的多么精彩，更加關(guān)注學(xué)生學(xué)得多么主動，教師一個人講解的課堂不是精彩的課堂,只有當(dāng)學(xué)生通過自己的主動活動去建構(gòu)自己對知識的理解，從而展現(xiàn)自己的精彩時，這樣的課堂提精彩的，因為課堂留白是十分有必要的。第7頁，共10頁

2/24PKPK,kYe521“課堂留白”的意義:①課堂留白可以激發(fā)學(xué)生的求知欲和潛能;課堂中給學(xué)生留下活動的時間、思維的空間，使學(xué)生有所探索、有所思考，可放飛學(xué)生的思維。學(xué)生在開動學(xué)生的腦筋、利肥學(xué)知識解決留白問題的同時順利進行知識遷移、主動融合和構(gòu)建知識體系，容易激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、提高教學(xué)效率。②課堂留白能留給學(xué)生獨立思考的機會，有利于發(fā)揮學(xué)生的主體意識。合理運用教學(xué)留白,給學(xué)生留下獨立思考的時間，讓學(xué)生積極參與,自主體驗，真正成為學(xué)習(xí)的主人。③課堂留白可以促進學(xué)生的個性發(fā)展。④課堂留白激發(fā)學(xué)生的想象力，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造力。在教學(xué)中給學(xué)生留下更多的空間,正如畫家留白的道理一樣，可以讓學(xué)生有足夠的空間去充分地想想，可以自由自在地展開聯(lián)想或創(chuàng)造。三、解答題14.答案：(1)齊次方程組的解空間維數(shù)為2，可以得出齊次方程組的自由變量個數(shù)為2，對應(yīng)的齊次方程組系數(shù)矩陣的秩為2，可得系數(shù)矩陣為所以得到a=-7。（2）當(dāng)a=-7時得到增廣矩陣為可得到方程的通解為

。

，由此可得導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系ξ1=（2110）T，ξ2=（12），ξ=（-2-2）解。則非齊次方程組的通解為第8頁，共10頁

2/24四、論述題15.答案：數(shù)學(xué)運算主要表現(xiàn)為理解運算對象，掌握運算規(guī)則，探究運算思路，求得運算結(jié)果。例：計算整式算式中的一道因式分解問題a4-4=?首先,喲啊理解運算的算式特點，觀察到因式分解題目，得運到平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2的逆過程；同事要掌握平方差公式的算理，此處的a，b可以看成任何滿足該條件的代數(shù)式，而不僅僅是簡單的整式；其次,觀察題目算式，探究運算思路可以發(fā)現(xiàn)a4-1可以變形得到a4-1=（a2）2-1運用一次平方差公式的逆過程得到a4-1=（a2）2-1=（a2+1）（a2-1），此時，發(fā)現(xiàn)還有可以提出因式的算式，繼續(xù)運用一次平方差公式過程得到a4-1=（a2+1）（a+1）（a-1）得到最終的運算結(jié)果。五、案例分析題16.答案：(1)從學(xué)生已有的知識經(jīng)驗出發(fā)，利用物拼圖的方式引導(dǎo)學(xué)生通過動手實踐，從而建立知識聯(lián)系，體現(xiàn)學(xué)生才是學(xué)習(xí)的主體。(2)問題1：有同學(xué)把三角形的兩個底角撕下來拼到頂角上，你發(fā)現(xiàn)了什么?問題2：我們發(fā)現(xiàn)這樣可以把三角形的三個內(nèi)角湊到一起，可以湊成看似是一個平角。怎么確定他就是一個平角呢問題3：根據(jù)圖