2024年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識(shí)梳理與題型歸納第61講離散型隨機(jī)變量的均值與方差正態(tài)分布學(xué)生版

第61講離散型隨機(jī)變量的均值與方差、正態(tài)分布思維導(dǎo)圖知識(shí)梳理1．均值一般地，若離散型隨機(jī)變量X的分布列為：Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn則稱(chēng)E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望．它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平．2．方差設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為：Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn則(xi－E(X))2描述了xi(i＝1,2，…，n)相對(duì)于均值E(X)的偏離程度．而D(X)＝eq\i\su(i＝1,n,)(xi－E(X))2pi為這些偏離程度的加權(quán)平均，刻畫(huà)了隨機(jī)變量X與其均值E(X)的平均偏離程度．稱(chēng)D(X)為隨機(jī)變量X的方差，并稱(chēng)其算術(shù)平方根eq\r(DX)為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差．3．兩個(gè)特殊分布的期望與方差分布期望方差兩點(diǎn)分布E(X)＝pD(X)＝p(1－p)二項(xiàng)分布E(X)＝npD(X)＝np(1－p)4．正態(tài)分布(1)正態(tài)曲線(xiàn)的特點(diǎn)①曲線(xiàn)位于x軸上方，與x軸不相交；②曲線(xiàn)是單峰的，它關(guān)于直線(xiàn)x＝μ對(duì)稱(chēng)；③曲線(xiàn)在x＝μ處達(dá)到峰值eq\f(1,σ\r(2π))；④曲線(xiàn)與x軸之間的面積為1；⑤當(dāng)σ一定時(shí)，曲線(xiàn)的位置由μ確定，曲線(xiàn)隨著μ的變化而沿x軸平移；⑥當(dāng)μ一定時(shí)，曲線(xiàn)的形狀由σ確定，σ越小，曲線(xiàn)越“瘦高”，表示總體的分布越集中；σ越大，曲線(xiàn)越“矮胖”，表示總體的分布越分散．(2)正態(tài)分布的三個(gè)常用數(shù)據(jù)①P(μ－σ＜X≤μ＋σ)≈0.6826；②P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)≈0.9544；③P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)≈0.9974.題型歸納題型1離散型隨機(jī)變量的均值與方差【例1-1】為迎接2022年北京冬奧會(huì)，推廣滑雪運(yùn)動(dòng)，某滑雪場(chǎng)開(kāi)展滑雪促銷(xiāo)活動(dòng)．該滑雪場(chǎng)的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是：滑雪時(shí)間不超過(guò)1小時(shí)免費(fèi)，超過(guò)1小時(shí)的部分每小時(shí)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為40元(不足1小時(shí)的部分按1小時(shí)計(jì)算)．有甲、乙兩人相互獨(dú)立地來(lái)該滑雪場(chǎng)運(yùn)動(dòng)，設(shè)甲、乙不超過(guò)1小時(shí)離開(kāi)的概率分別為eq\f(1,4)，eq\f(1,6)；1小時(shí)以上且不超過(guò)2小時(shí)離開(kāi)的概率分別為eq\f(1,2)，eq\f(2,3)；兩人滑雪時(shí)間都不會(huì)超過(guò)3小時(shí)．(1)求甲、乙兩人所付滑雪費(fèi)用相同的概率；(2)設(shè)甲、乙兩人所付的滑雪費(fèi)用之和為隨機(jī)變量ξ(單位：元)，求ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望E(ξ)，方差D(ξ)．【跟蹤訓(xùn)練1-1】設(shè)0<a<1，隨機(jī)變量X的分布列是X0a1Peq\f(1,3)eq\f(1,3)eq\f(1,3)則當(dāng)a在(0,1)內(nèi)增大時(shí)，()A．D(X)增大 B．D(X)減小C．D(X)先增大后減小 D．D(X)先減小后增大【跟蹤訓(xùn)練1-2】為了研究一種新藥的療效，選100名患者隨機(jī)分成兩組，每組各50名，一組服藥，另一組不服藥．一段時(shí)間后，記錄了兩組患者的生理指標(biāo)x和y的數(shù)據(jù)，并制成下圖，其中“*”表示服藥者，“＋”表示未服藥者．(1)從服藥的50名患者中隨機(jī)選出一人，求此人指標(biāo)y的值小于60的概率；(2)從圖中A，B，C，D四人中隨機(jī)選出兩人，記ξ為選出的兩人中指標(biāo)x的值大于1.7的人數(shù)，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望E(ξ)；(3)試判斷這100名患者中服藥者指標(biāo)y數(shù)據(jù)的方差與未服藥者指標(biāo)y數(shù)據(jù)的方差的大?。?只需寫(xiě)出結(jié)論)題型2二項(xiàng)分布的均值與方差【例2-1】某部門(mén)為了解一企業(yè)在生產(chǎn)過(guò)程中的用水量情況，對(duì)其每天的用水量做了記錄，得到了大量該企業(yè)的日用水量的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，從這些統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取12天的數(shù)據(jù)作為樣本，得到如圖所示的莖葉圖(單位：噸)．若用水量不低于95噸，則稱(chēng)這一天的用水量超標(biāo)．(1)從這12天的數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取3個(gè)，求至多有1天的用水量超標(biāo)的概率；(2)以這12天的樣本數(shù)據(jù)中用水量超標(biāo)的頻率作為概率，估計(jì)該企業(yè)未來(lái)3天中用水量超標(biāo)的天數(shù)，記隨機(jī)變量X為未來(lái)這3天中用水量超標(biāo)的天數(shù)，求X的分布列、數(shù)學(xué)期望和方差．【跟蹤訓(xùn)練2-1】設(shè)X為隨機(jī)變量，且X～B(n，p)，若隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)＝4，D(X)＝eq\f(4,3)，則P(X＝2)＝________.(結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示)【跟蹤訓(xùn)練2-2】一個(gè)盒子中裝有大量形狀、大小一樣但重量不盡相同的小球，從中隨機(jī)抽取50個(gè)作為樣本，稱(chēng)出它們的重量(單位：克)，重量分組區(qū)間為[5,15]，(15,25]，(25,35]，(35,45]，由此得到樣本的重量頻率分布直方圖(如圖)．(1)求a的值，并根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，試估計(jì)盒子中小球重量的眾數(shù)與平均值；(2)從盒子中隨機(jī)抽取3個(gè)小球，其中重量在[5,15]內(nèi)的小球個(gè)數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望(以直方圖中的頻率作為概率)．【名師指導(dǎo)】二項(xiàng)分布的期望與方差(1)如果ξ～B(n，p)，則用公式E(ξ)＝np，D(ξ)＝np(1－p)求解，可大大減少計(jì)算量．(2)有些隨機(jī)變量雖不服從二項(xiàng)分布，但與之具有線(xiàn)性關(guān)系的另一隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，這時(shí)，可以綜合應(yīng)用E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b以及E(ξ)＝np求出E(aξ＋b)，同樣還可求出D(aξ＋b)．題型3均值與方差在決策中的應(yīng)用【例3-1】現(xiàn)有兩種投資方案，一年后投資盈虧的情況如下表：eq\a\vs4\al(投資股市：)投資結(jié)果獲利40%不賠不賺虧損20%概率eq\f(1,2)eq\f(1,8)eq\f(3,8)購(gòu)買(mǎi)基金：投資結(jié)果獲利20%不賠不賺虧損10%概率peq\f(1,3)q(1)當(dāng)p＝eq\f(1,4)時(shí)，求q的值；(2)已知甲、乙兩人分別選擇了“投資股市”和“購(gòu)買(mǎi)基金”進(jìn)行投資，如果一年后他們中至少有一人獲利的概率大于eq\f(4,5)，求p的取值范圍；(3)丙要將家中閑置的10萬(wàn)元錢(qián)進(jìn)行投資，決定在“投資股市”和“購(gòu)買(mǎi)基金”這兩種方案中選擇一種，已知p＝eq\f(1,2)，q＝eq\f(1,6)，那么丙選擇哪種投資方案，才能使得一年后投資收益的數(shù)學(xué)期望較大？請(qǐng)說(shuō)明理由．【跟蹤訓(xùn)練3-1】某工廠的檢驗(yàn)員為了檢測(cè)生產(chǎn)線(xiàn)上生產(chǎn)零件的情況，現(xiàn)從產(chǎn)品中隨機(jī)抽取了80個(gè)零件進(jìn)行測(cè)量，根據(jù)測(cè)量的數(shù)據(jù)作出如圖所示的頻率分布直方圖．注：尺寸數(shù)據(jù)在[63.0,64.5)內(nèi)的零件為合格品，頻率作為概率．(1)從產(chǎn)品中隨機(jī)抽取4個(gè)，記合格品的個(gè)數(shù)為ξ，求ξ的分布列與期望；(2)從產(chǎn)品中隨機(jī)抽取n個(gè)，全是合格品的概率不小于0.3，求n的最大值；(3)為了提高產(chǎn)品合格率，現(xiàn)提出A，B兩種不同的改進(jìn)方案進(jìn)行試驗(yàn)．若按A方案進(jìn)行試驗(yàn)后，隨機(jī)抽取15個(gè)產(chǎn)品，不合格品個(gè)數(shù)X的期望是2；若按B方案進(jìn)行試驗(yàn)后，隨機(jī)抽取25個(gè)產(chǎn)品，不合格品個(gè)數(shù)Y的期望是4.你會(huì)選擇哪種改進(jìn)方案？【跟蹤訓(xùn)練3-2】某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝，每箱200件，每一箱產(chǎn)品在交付用戶(hù)之前要對(duì)產(chǎn)品作檢驗(yàn)，如檢驗(yàn)出不合格品，則更換為合格品．檢驗(yàn)時(shí)，先從這箱產(chǎn)品中任取20件作檢驗(yàn)，再根據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果決定是否對(duì)余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)．設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為p(0<p<1)，且各件產(chǎn)品是否為不合格品相互獨(dú)立．(1)記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為f(p)，求f(p)的最大值點(diǎn)p0.(2)現(xiàn)對(duì)一箱產(chǎn)品檢驗(yàn)了20件，結(jié)果恰有2件不合格品，以(1)中確定的p0作為p的值．已知每件產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用為2元，若有不合格品進(jìn)入用戶(hù)手中，則工廠要對(duì)每件不合格品支付25元的賠償費(fèi)用．①若不對(duì)該箱余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn)，這一箱產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用的和記為X，求EX；②以檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用和的期望值為決策依據(jù)，是否該對(duì)這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)？【名師指導(dǎo)】離散型隨機(jī)變量的期望和方差應(yīng)用問(wèn)題的解題策略(1)求離散型隨機(jī)變量的期望與方差關(guān)鍵是確定隨機(jī)變量的所有可能值，寫(xiě)出隨機(jī)變量的分布列，正確運(yùn)用期望、方差公式進(jìn)行計(jì)算．(2)要注意觀察隨機(jī)變量的概率分布特征，若屬于二項(xiàng)分布，可用二項(xiàng)分布的期望與方差公式計(jì)算，則更為簡(jiǎn)單．(3)在實(shí)際問(wèn)題中，若兩個(gè)隨機(jī)變量ξ1，ξ2，有E(ξ1)＝E(ξ2)或E(ξ1)與E(ξ2)較為接近時(shí)，就需要用D(ξ1)與D(ξ2)來(lái)比較兩個(gè)隨機(jī)變量的穩(wěn)定程度．即一般地將期望最大(或最小)的方案作為最優(yōu)方案，若各方案的期望相同，則選擇方差最小(或最大)的方案作為最優(yōu)方案．題型4正態(tài)分布及其應(yīng)用【例4-1】為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線(xiàn)的生產(chǎn)過(guò)程，檢驗(yàn)員每天從該生產(chǎn)線(xiàn)上隨機(jī)抽取16個(gè)零件，并測(cè)量其尺寸(單位：cm)．根據(jù)長(zhǎng)期生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)，可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線(xiàn)正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布N(μ，σ2)．(1)假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，記X表示一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件中其尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件數(shù)，求P(X≥1)及X的數(shù)學(xué)期望；(2)一天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件，就認(rèn)為這條生產(chǎn)線(xiàn)在這一天的生產(chǎn)過(guò)程可能出現(xiàn)了異常情況，需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查．①試說(shuō)明上述監(jiān)控生產(chǎn)過(guò)程方法的合理性；②下面是檢驗(yàn)員在一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件的尺寸：9．9510.129.969.9610.019.929.9810.0410．269.9110.1310.029.2210.0410.059.95經(jīng)計(jì)算得eq\x\to(x)＝eq\f(1,16)eq\i\su(i＝1,16,x)i＝9.97，s＝eq\r(\f(1,16)\i\su(i＝1,16,)xi－\x\to(x)2)＝eq\r(\f(1,16)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\i\su(i＝1,16,x)\o\al(2,i)－16\x\to(x)2)))≈0.212，其中xi為抽取的第i個(gè)零件的尺寸，i＝1,2，…，16.用樣本平均數(shù)eq\x\to(x)作為μ的估計(jì)值eq\o(μ,\s\up6(^))，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s作為σ的估計(jì)值eq\o(σ,\s\up6(^))，利用估計(jì)值判斷是否需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查？剔除(eq\o(μ,\s\up6(^))－3eq\o(σ,\s\up6(^))，eq\o(μ,\s\up6(^))＋3eq\o(σ,\s\up6(^)))之外的數(shù)據(jù)，用剩下的數(shù)據(jù)估計(jì)μ和σ(精確到0.01)．附：若隨機(jī)變量Z服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，則P(μ－3σ<Z<μ＋3σ)＝0.9974,0.997416≈0.9592，eq\r(0.008)≈0.09.【跟蹤訓(xùn)練4-1】某商場(chǎng)經(jīng)營(yíng)的某種包裝的大米質(zhì)量ξ(單位：kg)服從正態(tài)分布N(10，σ2)，根據(jù)檢測(cè)結(jié)果可知P(9.9≤ξ≤10.1)＝0.96，某公司為每位職工購(gòu)買(mǎi)一袋這種包裝的大米作為福利，若該公司有1000名職工，則分發(fā)到的大米質(zhì)量在9.9kg以下的職工數(shù)大約為()A．10 B．20C．20 D．40【跟蹤訓(xùn)練4-2】某醫(yī)藥公司研發(fā)生產(chǎn)一種新的保健產(chǎn)品，從一批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取200盒作為樣本，測(cè)量產(chǎn)品的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值，該指標(biāo)值越高越好．由測(cè)量結(jié)果得到如下頻率分布直方圖：(1)求a，并試估計(jì)這200盒產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)值的平均值．(2)①由樣本估計(jì)總體，結(jié)合頻率分布直方圖認(rèn)為該產(chǎn)品的該項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值ξ服從正態(tài)分布N(μ，102)，計(jì)算該批產(chǎn)品該項(xiàng)指標(biāo)值落在(180,220]上的概率；②國(guó)家有關(guān)部門(mén)規(guī)定每盒產(chǎn)品該項(xiàng)指標(biāo)值不低于150均為合格，且按該項(xiàng)指標(biāo)值從低到高依次分為：合格、優(yōu)良、優(yōu)秀三個(gè)等級(jí)，其中(180,220]為優(yōu)良，不高于180為合格，高于200為優(yōu)秀，在①的條件下，設(shè)該公司生產(chǎn)該產(chǎn)品1萬(wàn)盒的成本為15萬(wàn)元，市場(chǎng)上各等級(jí)每盒該產(chǎn)品的售價(jià)(單位：元)如表，求該公司每萬(wàn)