安徽省銅陵市大通中學(xué)高三數(shù)學(xué)理測(cè)試題含解析

安徽省銅陵市大通中學(xué)高三數(shù)學(xué)理測(cè)試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知{an}是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，Sn是{an}的前n項(xiàng)和，且9S3=S6，則數(shù)列{}的前5項(xiàng)和為（）A． B． C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】數(shù)列的求和；等比數(shù)列的性質(zhì)．【分析】首先根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)和題干條件9S3=S6，求出等比數(shù)列{an}的公比，即可求出該數(shù)列的前五項(xiàng)，數(shù)列的前5項(xiàng)和也就易求出．【解答】解：∵等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式Sn=，而9S3=S6，∴列等式可知q=2，所以a1=1，a2=2，a3=4…其倒數(shù)列前五項(xiàng)為1、、、、，故前5項(xiàng)和為1++++=，故選B．2.參考答案：C3.設(shè)a，b，c∈R，則“1，a，b，c，16為等比數(shù)列”是“b=4”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：A【考點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【分析】先根據(jù)數(shù)列的第一項(xiàng)和第五項(xiàng)的值，求得公比q，進(jìn)而通過(guò)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求得第三項(xiàng)b，再根據(jù)充分必要的條件的定義判斷即可．【解答】解：依題意可知a1=1，a5=16，∴=q4=16，∴q2=4，∴b=a1q2=4，則“1，a，b，c，16為等比數(shù)列”可以推出“b=4”，但由b=4不能推出“1，a，b，c，16為等比數(shù)列”，故選：A．4.對(duì)于任意兩個(gè)正整數(shù)m，n，定義某種運(yùn)算“”如下：當(dāng)m，n都為正偶數(shù)或正奇數(shù)時(shí)，mn=m+n；當(dāng)m，n中一個(gè)為正偶數(shù)，另一個(gè)為正奇數(shù)時(shí)，mn=mn。則在此定義下，集合中的元素個(gè)數(shù)是

A．10個(gè)

B．15個(gè)

C．16個(gè)

D．18個(gè)參考答案：5.設(shè)是雙曲線的左右焦點(diǎn)，P是雙曲線C右支上一點(diǎn)，若，則雙曲線C的漸近線方程是A． B． C． D．參考答案：A解析：因?yàn)镻為右支上一點(diǎn)，由雙曲線的定義，可得，|PF1|－|PF2|＝2a，又|PF1|＋|PF2|＝6a，解得，|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，且|F1F2|＝2c，又∠PF1F2＝30°，由余弦定理，可得，cos30°＝＝＝.

則有c2＋3a2＝2ac，即c＝a，則b＝＝a，則雙曲線的漸近線方程為y＝±x，即為y＝±x，故選A.

6.已知,那么 （）A． B． C． D．參考答案：C略7.設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則A. B. C. D.參考答案：D略8.設(shè)向量，滿(mǎn)足|+|=，|﹣|=，則?=（）A．1 B．2 C．3 D．5參考答案：A考點(diǎn)： 平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．

專(zhuān)題： 平面向量及應(yīng)用．分析： 將等式進(jìn)行平方，相加即可得到結(jié)論．解答： 解：∵|+|=，|﹣|=，∴分別平方得+2?+=10，﹣2?+=6，兩式相減得4?=10﹣6=4，即?=1，故選：A．點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查向量的基本運(yùn)算，利用平方進(jìn)行相加是解決本題的關(guān)鍵，比較基礎(chǔ)．9.實(shí)數(shù)滿(mǎn)足,若的最大值為13,則實(shí)數(shù)的值為（

）A.2

B. C. D.5參考答案：C略10.設(shè)為的虛部，為的實(shí)部，則（

）A．-1

B．-2

C．-3

D．0參考答案：A因?yàn)?，所以；因?yàn)?，所以；因此，選A.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知函數(shù)，則方程的實(shí)根個(gè)數(shù)為

.參考答案：4

4．考點(diǎn)：函數(shù)與方程，函數(shù)的零點(diǎn)．【名師點(diǎn)睛】本題考查方程根的個(gè)數(shù)問(wèn)題，方程根的個(gè)數(shù)與函數(shù)的零點(diǎn)常常相互轉(zhuǎn)化，也常與函數(shù)的圖象聯(lián)系在一起，這樣通過(guò)數(shù)形結(jié)合思想得出結(jié)論．在函數(shù)的圖象不能簡(jiǎn)單表示出時(shí)，我們可能研究函數(shù)的性質(zhì)，研究函數(shù)的單調(diào)性，極值等，以確定函數(shù)圖象的變化趨勢(shì)，然后由數(shù)形結(jié)合思想得出結(jié)論．本題方程的實(shí)根個(gè)數(shù)可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)與兩條直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，因此要研究函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)其解析式，分類(lèi)討論，在，，三個(gè)范圍討論的性質(zhì)（這三個(gè)范圍內(nèi)都可以化云中的絕對(duì)值符號(hào)，從而可用易得出結(jié)論．12.已知；，若的充分不必要條件是，

則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________________參考答案：13.已知，，則

．參考答案：

14.計(jì)算__________________.參考答案：略15.設(shè)集合P={x|（3t2﹣10t+6）dt=0，x＞0}，則集合P的非空子集個(gè)數(shù)是

．參考答案：3考點(diǎn)：定積分；子集與真子集．專(zhuān)題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用．分析：根據(jù)積分公式，求出集合P，即可得到結(jié)論．解答： 解：（3t2﹣10t+6）dt=（t3﹣5t2t+6t）|=x3﹣5x2+6x=0，即x（x2﹣5x+6）=0，解得x=0（舍去）或x=2或x=3，即集合P={2，3}．∴集合P的非空子集為{2}，{3}，{2，3}．故答案為：3．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查積分的計(jì)算依據(jù)集合子集個(gè)數(shù)的判斷，比較基礎(chǔ)．16.已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F的直線與拋物線C相交于點(diǎn)M（點(diǎn)M位于第一象限），與它的準(zhǔn)線相交于點(diǎn)N，且點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為4，，則實(shí)數(shù)________．參考答案：設(shè)準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)M作MB⊥AN，垂足為B.設(shè)|MN|=3m,|FM|=|BM|=m,由題得故填.

17.某校有學(xué)生2000人，其中高三學(xué)生500人，為了解學(xué)生的身體素質(zhì)情況，采用按年級(jí)分層抽樣的方法，從該校學(xué)生中抽取一個(gè)200人的樣本，則樣本中高三學(xué)生的人數(shù)為

．參考答案：50三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知函數(shù)f（x）=xex﹣alnx，曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線平行于x軸．（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）證明：b≤e時(shí)，f（x）≥b（x2﹣2x+2）．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【分析】（Ⅰ）求得f（x）的導(dǎo)數(shù)，由題意可得f′（1）=0，解方程可得a，由導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合f′（1）=0，可得f（x）的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）討論①當(dāng)b≤0時(shí)，求得f（x）的最小值，可得結(jié)論成立；②當(dāng)0＜b≤e時(shí)，設(shè)g（x）=xex﹣2elnx﹣b（x2﹣2x+2），求出導(dǎo)數(shù)，構(gòu)造函數(shù)h（x）=（x+1）ex﹣﹣2b（x﹣1），x＞0，求得導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性，可得g（x）最小值，即可得證．【解答】解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=xex﹣alnx的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=（x+1）ex﹣，x＞0，依題意得f′（1）=0，即2e﹣a=0，解得a=2e．所以f′（x）=（x+1）ex﹣，顯然f′（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增且f′（1）=0，故當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f′（x）＜0；當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f′（x）＞0．所以f（x）的遞減區(qū)間為（0，1），遞增區(qū)間為（1，+∞）．（Ⅱ）證明：①當(dāng)b≤0時(shí)，由（Ⅰ）知，當(dāng)x=1時(shí)，f（x）取得最小值為e．又b（x2﹣2x+2）的最大值為b，故f（x）≥b（x2﹣2x+2）；②當(dāng)0＜b≤e時(shí)，設(shè)g（x）=xex﹣2elnx﹣b（x2﹣2x+2），所以g′（x）=（x+1）ex﹣﹣2b（x﹣1），令h（x）=（x+1）ex﹣﹣2b（x﹣1），x＞0，則h′（x）=（x+2）ex+﹣2b，當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，﹣2b≥0，（x+2）ex＞0，所以h′（x）＞0；當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，（x+2）ex﹣2b＞0，＞0，所以h′（x）＞0．所以當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，h′（x）＞0．，故h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，又h（1）=0，所以當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，g′（x）＜0；當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，g′（x）＞0．所以g（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增，所以當(dāng)x=1時(shí)，g（x）取得最小值g（1）=e﹣b≥0，所以g（x）≥0，即f（x）≥b（x2﹣2x+2）．綜上，當(dāng)b≤e時(shí)，f（x）≥b（x2﹣2x+2）．19.（14分）如圖所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=A1B1，AC1⊥平面A1BD，D為AC的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：B1C∥平面A1BD；（Ⅱ）求證：B1C1⊥平面ABB1A1；參考答案：【考點(diǎn)】：直線與平面平行的判定；直線與平面垂直的判定．【專(zhuān)題】：證明題．【分析】：（I）由中位線定理得到B1C∥MD，再由線面平行的判定理理得到B1C∥平面A1BD；（Ⅱ）先證明A1B⊥B1C1，BB1⊥B1C1求再由線面垂直的判定理得到B1C1⊥平面ABB1A1．（Ⅰ）證明：如圖，連接AB1與A1B相交于M，則M為A1B的中點(diǎn)，連接MD，D又為AC的中點(diǎn)，∴B1C∥MD．又B1C不包含于平面A1BD，MD?平面A1BD，B1C∥平面A1BD∴B1C∥平面A1BD．（5分）（Ⅱ）∵AB=B1B∴四邊形ABB1A1為正方形∴A1B⊥AB1又∵AC1⊥面A1BD，∴AC1⊥A1B，∴A1B⊥面AB1C1，∴A1B⊥B1C1，又在直棱柱ABC﹣A1B1C1中BB1⊥B1C1，∴B1C1⊥平面ABB1A1（9分）【點(diǎn)評(píng)】：本題主要考查線面平行和線面垂直的判定定理以及三角形中位線定理．20.（12分）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1=2，an+1=Sn+2．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）已知bn=log2an，求數(shù)列{}的前n項(xiàng)和Tn．參考答案：【考點(diǎn)】數(shù)列的求和；數(shù)列遞推式．【分析】（1）由題意和an=Sn﹣Sn﹣1化簡(jiǎn)已知的式子，由等比數(shù)列的定義判斷出數(shù)列{an}是等比數(shù)列，并求出公比和首項(xiàng)，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出an；（2）由（1）和對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)bn，代入化簡(jiǎn)后，利用裂項(xiàng)相消法求出前n項(xiàng)和Tn．【解答】解：（1）∵an+1=Sn+2，∴當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn﹣1+2，兩式相減得，an+1﹣an=Sn﹣Sn﹣1=an，則an+1=2an，所以（n≥2），∵a1=2，∴a2=S1+2=4，滿(mǎn)足，∴數(shù)列{an}是以2為公比、首項(xiàng)的等比數(shù)列，則an=2?2n﹣1=2n；（2）由（1）得，bn=log2an=log22n=n，∴==，∴Tn=（1﹣）+（）+（）+…+（）=1=．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式，數(shù)列的前n項(xiàng)和與通項(xiàng)之間關(guān)系，以及裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和，考查化簡(jiǎn)、變形能力．21.已知?jiǎng)訄AM在圓F1：（x+1）2+y2=外部且與圓F1相切，同時(shí)還在圓F2：（x﹣1）2+y2=內(nèi)部與圓F2相切．（1）求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程；（2）記（1）中求出的軌跡為C，C與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A1、A2，P是C上異于A1、A2的動(dòng)點(diǎn)，又直線l：x=與x軸交于點(diǎn)D，直線A1P、A2P分別交直線l于E、F兩點(diǎn)，求證：DE?DF為定值．參考答案：【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題；軌跡方程．【分析】（1）由直線與圓相切，則|MF1|+|MF2|=4＞|F1F2|，則M點(diǎn)的軌跡是以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的橢圓，即可求得橢圓方程；（2）方法一：分別求得直線PA1的方程，直線PA2的方程，分別求得E和F坐標(biāo)，則，即可求得DE?DF為定值；方法二：設(shè)E和F坐標(biāo)，聯(lián)立方程求得P的坐標(biāo)，將P代入橢圓方程，即可求得，則為定值．【解答】解：（1）設(shè)動(dòng)圓M的半徑為r，由已知得，|MF1|+|MF2|=4＞|F1F2|，∴M點(diǎn)的軌跡是以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的橢圓，設(shè)橢圓方程：（a＞b＞0），則a=2，c=1，則b2=a2﹣c2=3，方程為；（2）解法一：設(shè)P（x0，y0），由已知得A1（﹣2，0），A2（2，0），則，直線PA1的方程為：，，直線PA2的方程為：，當(dāng)時(shí)，，∴，又∵P（x0，y0）滿(mǎn)足，∴，∴為定值．（2）解法二：由已知得A1（﹣2，0），A2（2，0），設(shè)直線PA1的斜率為k1，直線PA2的斜率為k2，由已知得，k1，k2存在且不為零．∴l(xiāng)1的方程為：y=k1（x+2），l2的