人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)期中考試壓軸題復(fù)習(xí)題（含答案）

人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)期中考試壓軸題專題復(fù)習(xí)題

1、在aABC中，AB=BC,ZXABC絲△A1BC1,AiB交AC于點(diǎn)E,A?分別交AC、BC于D、F兩點(diǎn),

觀察并猜想線段EAi與FC有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論.

2、兩個(gè)大小不同的等腰直角三角形三角板如圖1所示放置，圖2是由它抽象出的幾何圖形，B,

C,E在同一條直線上，連接。C.求證：

(1)△ABEdACD；

(2)DC±BE.

3、如圖，在aABC中，AD±BC,EF垂直平分AC,交AC于點(diǎn)F,交BC于點(diǎn)E,且BD=DE.

(1)若NC=40°,求NBAD的度數(shù)；

(2)若AC=5,DC=4,求aABC的周長(zhǎng).

4、如圖，在△ABC中，AB=AC,DE是過(guò)點(diǎn)A的直線，BD1DETD,CE_LDE于點(diǎn)E；

(1)若B、C在DE的同側(cè)(如圖所示)且AD=CE.求證：AB±AC；

(2)若B、C在DE的兩側(cè)(如圖所示)，其他條件不變，AB與AC仍垂直嗎？若是請(qǐng)給出證明;

若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

5、如圖，在RtAABC中,5ACB=90°,NA=40。，△ABC的外角RCBD的平分線BE

交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.

(1)求NCBE的度數(shù)；

(2)過(guò)點(diǎn)D作DF〃BE,交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,求NF的度數(shù).

C

BD

6、如圖，AABC為等腰直角三角形，點(diǎn)D是邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，以AD為直角邊作等腰直角aADE,

分別過(guò)A、E點(diǎn)向BC邊作垂線，垂足分別為F、G.連接BE.

(1)證明：BG=FD；

(2)求/ABE的度數(shù).

7、如圖，正方形ABCD的對(duì)角線交于點(diǎn)0,點(diǎn)E、F分別在AB、BC上(AE<BE),且/E0F=90°,

0E、DA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M,OF、AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)N,連接MN.

(1)求證：OM=ON.

(2)若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,E為0M的中點(diǎn)，求MN的長(zhǎng).

8、如圖，ZkABC中，AB=AC,ZBAC=90°,點(diǎn)D是直線AB上的一動(dòng)點(diǎn)(不和A、B重合)，BE

_LCD于E,交直線AC于F.

(1)點(diǎn)D在邊AB上時(shí),證明：AB=FA+BD；

(2)點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線或反向延長(zhǎng)線上時(shí)，(1)中的結(jié)論是否成立？，若不成立，請(qǐng)畫(huà)出圖

形并直接寫(xiě)出正確結(jié)論.

A

E

D

備用圖

9、如圖，z^ABC中，ZACB=90°,AC=BC,將aABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角a.(0°<a<90°)

得到△ABC,連接BBi.設(shè)CB1交AB于D,AB分別交AB、AC■于E、F.

(1)在圖中不再添加其它任何線段的情況下，請(qǐng)你找出一對(duì)全等的三角形，并加以說(shuō)明(AABC

與△ABG全等除外)；

(2)當(dāng)△BBD是等腰三角形時(shí)，求a.

10、CD經(jīng)過(guò)/BCA頂點(diǎn)C的一條直線，CA=CB.E,F分別是直線CD上兩點(diǎn)，且/BEC=

ZCFA=Za.

(1)若直線CO經(jīng)過(guò)NBC4的內(nèi)部，且E,F在射線C。上，請(qǐng)解決下面兩個(gè)問(wèn)題：

①如圖1,若NBCA=90°,Za=90°,則BECF；(填或“=")；EF,

BE,AF三條線段的數(shù)量關(guān)系是：—.

②如圖2,若0°<NBC4<180°,請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)關(guān)于/a與N8CA關(guān)系的條件，使①中的

兩個(gè)結(jié)論仍然成立，并證明兩個(gè)結(jié)論成立.

(2)如圖3,若直線8經(jīng)過(guò)NBCA的外部，Za=ZBCA,請(qǐng)?zhí)岢鯡F,BE,AF三條線段數(shù)

量關(guān)系的合理猜想并證明.

11,在AABC中，AB=AC,點(diǎn)D是直線BC上一點(diǎn)（不與B、C重合），以AD為一邊在AD的有刎

作AADE,使AD=AE,NDAE=/BAC,連接CE.

（1）如圖1,當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上，如果NBAC=90°,則NBCE=°.

（2）設(shè)NBAC=a,ZBCE=P.

①如圖2,當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上移動(dòng)，則a、B之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由；

②當(dāng)點(diǎn)D在直線BC上移動(dòng)，則a、B之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)畫(huà)出圖形，并直接寫(xiě)出你

的結(jié)論.

圖1圖2

12、在aABC中，ZOZB,AE平分NBAC,F為射線AE上一點(diǎn)（不與點(diǎn)E重合），且FD_LBC

于D；

（1）如果點(diǎn)F與點(diǎn)A重合，且NC=50。，NB=30。，如圖1,求/EFD的度數(shù)；

（2）如果點(diǎn)F在線段AE上（不與點(diǎn)A重合），如圖2,問(wèn)NEFD與NC-NB有怎樣的數(shù)量關(guān)

系？并說(shuō)明理由.

（3）如果點(diǎn)F在aABC外部，如圖3,此時(shí)NEFD與NC-NB的數(shù)量關(guān)系是否會(huì)發(fā)生變化？請(qǐng)

說(shuō)明理由.

圖1圖2圖3

13、如圖，aABC是等邊三角形，AB=6,P是AC邊上一動(dòng)點(diǎn)，由A向C運(yùn)動(dòng)(與A、C不重合)，

Q是CB延長(zhǎng)線上一動(dòng)點(diǎn)，與點(diǎn)P同時(shí)以相同的速度由B向CB延長(zhǎng)線方向運(yùn)動(dòng)(Q不與B重合)，

過(guò)P作PE±AB于E,連接PQ交AB于D.

(1)當(dāng)NBQD=30°時(shí)，求AP的長(zhǎng);

(2)證明：在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)D是線段PQ的中點(diǎn)；

(3)當(dāng)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中線段ED的長(zhǎng)是否發(fā)生變化？如果不變，求出線段ED的長(zhǎng)；如果變化請(qǐng)說(shuō)明

理由.

14、問(wèn)題背景：

如圖1:在四邊形ABC中45=AO,NA4O=120。,ZB=ZADC=90-.E,F分別是BC,CD上的

點(diǎn)。且NE4尸=60。.探究圖中線段BE,EF,口)之間的數(shù)量關(guān)系。小王同學(xué)探究此問(wèn)題的

方法是，延長(zhǎng)尸。到點(diǎn)G,使OG=BE,連結(jié)AG,先證明△ABE絲ZUOG,再證明

△AE尸名△AGF,可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是；

探索延伸：

如圖2,若在四邊形ABCD中》A8=AO,NB+/O=180。.E］分別是BC,CD上的點(diǎn)，且

ZEAF=12ZBAD,上述結(jié)論是否仍然成立，并說(shuō)明理由；實(shí)

際應(yīng)用：

如圖3,在某次軍事演習(xí)中，艦艇甲在指揮中心（0處）北偏西30。的A處，艦艇乙在指揮中心

南偏東70。的B處,并且兩艦艇到指揮中心的距離相等，接到行動(dòng)指令后，艦艇甲向正東方

向以

60海里/小時(shí)的速度前進(jìn)，艦艇乙沿北偏東50。的方向以80海里〃J、時(shí)的速度前進(jìn)1.5小時(shí)

后，指揮中心觀測(cè)到甲、乙兩艦艇分別到達(dá)E,尸處，且兩艦艇之間的夾角為70。，試求此時(shí)

兩艦艇之間的距離。

參考答案

1、在AABC中，AB=BC,AABC^AAIBCI,AIB交AC于點(diǎn)E,AiG分別交AC、BC于D、F兩點(diǎn),

觀察并猜想線段EAi與FC有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論.

【解答】解:EAi=FC.理由如下:

VAB=BC,

；.NA=/C,

VAABC^AAiBCi

/.ZA=ZAi=ZC=ZCi

AAB=AiB=BC=BCi

ZABC=ZAiBCi,

ZABC-ZAiBC=ZAiBCi-ZAiBC

AZABE=ZCiBF

在AABE與△CiBF中，

2A=NCI

，AB=BC]

ZABE=ZC1BF

.?.△ABE絲△C1BF,

BE=BF；

AAiB-BE=BC-BF

AEAi=FC

2、兩個(gè)大小不同的等腰直角三角形三角板如圖1所示放置，圖2是由它抽象出的幾何圖形，B,

C,E在同一條直線上，連接QC.求證：

(1)/\ABE^/\ACD,

(2)DCLBE.

【解答】證明：(1):△ABC與均為等腰直角三角形,

：.AB=AC,AE=AD,ZBAC=ZEAD=90°.

：.ZBAC+ZCAE^ZEAD+ZCAE.

即N54E=NCA。,

在△A8E與△ACO中,

'AB=AC

???,NBAE=NCAD，

AE=AD

，△ABEdACD.

(2)VAABE^AACD,

AZACD=ZABE=45°.

又NACB=45°,

AZBCD=ZACB+ZACD=90°.

:.DC工BE.

3、如圖，在△ABC中，AD±BC,EF垂直平分AC,交AC于點(diǎn)F,交BC于點(diǎn)E,且BD=DE.

(1)若NC=40°,求NBAD的度數(shù)；

(2)若AC=5,DC=4,求aABC的周長(zhǎng).

解：???EF垂直平分AC,

AAE=CE,

AZC=ZEAC=40°,

VAD±BC,BD=DE,

AAB=AE,

???NB=NBEA=2NC=80°,

AZBAD=90°-80°=10°；

(2)由(1)知：AE=EC=AB,

VBD=DE,

:.AB+BD=DE+AE=DE+CE=DC,

X4+5=13..

C&ABC=AB+BC+AC=2DC+AC=2

4、如圖，在aABC中，AB=AC,DE是過(guò)點(diǎn)A的直線，BD_LDE于D,CE_LDE于點(diǎn)E；

（1）若B、C在DE的同側(cè)（如圖所示）且AD=CE.求證：AB1AC；

（2）若B、C在DE的兩側(cè)（如圖所示），其他條件不變，AB與AC仍垂直嗎？若是請(qǐng)給出證明;

若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【解答】(1)證明：VBD±DE,CE1DE,

...NADB=NAEC=90°,

在RtAABD和RtAACE中，

..[AB=AC

,1AD=CE'

...RtAABD^RtACAE.

NDAB=NECA,ZDBA=ZACE.

VZDAB+ZDBA=90",ZEAC+ZACE=90°,

/BAD+NCAE=90°.

ZBAC=180°-(ZBAD+ZCAE)=90°.

.\AB±AC.

(2)AB1AC.理由如下:

同(1)一樣可證得RtZXABD絲RtZiACE.

，NDAB=NECA,ZDBA=ZEAC,

VZCAE+ZECA=90°,

/CAE+NBAD=90°,即NBAC=90°,

AABIAC.

5、如圖，在RtZkABC中，ZACB=90°,ZA=40°,△ABC的外角NCBD的平分線BE

交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.

(1)求NCBE的度數(shù)；

(2)過(guò)點(diǎn)D作DF〃BE,交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,求NF的度數(shù).

解：⑴.在RSABC中,NACB=90°,NA=40°,NABC=90°-NA=50°,

.\ZCBD=130°.VBE是/CBD的平分線，.".ZCBE=-ZCBD=65°；

2

(2)VZACB=90°,ZCBE=65°,/.ZCEB=90°-65°=25°.

VDF/7BE,；.NF=/CEB=25°.

6、如圖，4ABC為等腰直角三角形，點(diǎn)D是邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，以AD為直角邊作等腰直角aADE,

分別過(guò)A、E點(diǎn)向BC邊作垂線，垂足分別為F、G.連接BE.

(1)證明：BG=FD；

(2)求NABE的度數(shù).

【解答】(1)證明：:?△ADE為等腰直角三角形,

；.AD=DE,ZADE=90°,

VAF1BC,EG1BC,

ZAFD=ZDGE=90°,

ZDAF+ZADF=ZADF+ZEDG=90°,

NFAD=NGDE,

rZAFD=ZDGE

在AADF與ADEG中，＜NDAF=NEDG，

AD=DE

.,.△ADF^ADEG,

...DG=AF,

???△ABC是等腰直角三角形，

；.AF=BF,

，BF=DG,

BG=DF；

(2)解：:△ABC是等腰直角三角形，

，NABC=45°,

VAADF^ADEG,

；.DF=EG,

BG=EG,

*.?BG±EG,

???△BGE是等腰直角三角形,

AZGBE=45°,

:.ZABE=90°.

7、如圖，正方形ABCD的對(duì)角線交于點(diǎn)0,點(diǎn)E、F分別在AB、BC上(AE<BE)且NE0F=90°，

0E、DA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M,OF、AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)N,連接MN.

(1)求證：OM=ON.

(2)若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,E為0M的中點(diǎn)，求MN的長(zhǎng).

解：(1),?,四邊形ABCD是正方形,

A0A=0B,ZDA0=45°,Z0BA=45°,

AZ0AM=Z0BN=135°,

VZE0F=90°,ZA0B=90°,

???ZA0M=ZB0N,

AAOAM^AOBN(ASA),

AOM=ON；

(2)如圖，過(guò)點(diǎn)。作OH_LAD于點(diǎn)H,

；正方形的邊長(zhǎng)為4,

.*.0H=HA=2,

為0M的中點(diǎn)，

，昨4,

則0M={22+4

.*.MN=V2OM=2V10-

8、如圖，Z^ABC中，AB=AC,ZBAC=90°,點(diǎn)D是直線AB上的一動(dòng)點(diǎn)(不和A、B重合)，BE

_LCD于E,交直線AC于F.

(1)點(diǎn)D在邊AB上時(shí)，證明:AB=FA+BD；

(2)點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線或反向延長(zhǎng)線上時(shí)，(1)中的結(jié)論是否成立？，若不成立，請(qǐng)畫(huà)出圖

形并直接寫(xiě)出正確結(jié)論.

(1)證明：如圖1,VBE1CD,即NBEC=90°,NBAG=90°,

.，?ZF+ZFBA=90°,ZF+ZFCE=90°.

AZFBA=ZFCEVZFAB=1800-ZDAC=90°,

.\ZFAB=ZDAC.

VAB=AC,

???AFAB^ADAC/.FA=DAAB=AD+BD=FA+BD.

(2)如圖2,當(dāng)D在AB延長(zhǎng)線上時(shí)，AF=AB+BD,理由是：同理得：△FABgZ\DAC,

：.AF=AD=AB+BD；

9、如圖，ZSABC中，NACB=90°,AC=BC,將AABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角a.(0°VQ<90°)

得到△ABC”連接BBi.設(shè)CB1交AB于D,AB分別交AB、AC?于E、F.

(1)在圖中不再添加其它任何線段的情況下，請(qǐng)你找出一對(duì)全等的三角形，并加以說(shuō)明(AABC

與△ABG全等除外)；

(2)當(dāng)△BBJ)是等腰三角形時(shí)，求a.

解：（1）全等的三角形有：△CBDZ^CAF或△AEF4Z\B]ED或△ACD^^BCF；工

證明：???NACBi+NACF=NACBi+NBCD=90°

???NACF二NBCD

VAiC=BC

???NA產(chǎn)NCBD=45°

AACBD^ACAiF；

.*.CF=CD,

VCA=CBi,

???AF=BD

VZA=ZEB）D,ZAEF=ZB]ED,

AAAEF^ABiED,

VAC=B(C,ZACD=ZBiCF,NA=NCBF,

AAACD^A^AB^F.

(2)在ZiCBB］中

VCB=CB1

NCBB產(chǎn)NCBB4(180°-a)

又△ABC是等腰直角三角形

:.ZABC=45°

①若BiB=BD則/BQB=/BiBD

VZBiDB=45°+a

1a

ZBBD=ZCBB,-45°=—*(1800-a)-45°=45°----，

I22

a

.*.45°+a=45°----,

2

...a=o。(舍去)；

②：NBB￡=NBiBC>/BBD,.\BD>B,D,即BDWBJ)；

③若BB產(chǎn)BD,貝IJNBDB產(chǎn)NBBD即45°+a=-1-(180°-a),a=30°

由①②③可知，當(dāng)△BBiD為等腰三角形時(shí)，a=30°；

10、CD經(jīng)過(guò)NBCA頂點(diǎn)C的一條直線，CA=CB.E,F分別是直線CD上兩點(diǎn)，且NBEC=

ZCFA=Za.

(1)若直線C￡(經(jīng)過(guò)NBCA的內(nèi)部，且E,尸在射線C。上，請(qǐng)解決下面兩個(gè)問(wèn)題:

①如圖1,若NBC4=90°,Za=90°,則BE=CF；(填“>”，或"=")；

EF,BE,A尸三條線段的數(shù)量關(guān)系是：EF=|BE-4fl.

②如圖2,若0°<NBCA<180°,請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)關(guān)于/a與NBC4關(guān)系的條件Na+美4cB=

180。.，使①中的兩個(gè)結(jié)論仍然成立，并證明兩個(gè)結(jié)論成立.

(2)如圖3,若直線8經(jīng)過(guò)NBC4的外部，Za=ZBCA,請(qǐng)?zhí)岢鯡F,BE,4尸三條線段數(shù)

量關(guān)系的合理猜想并證明.

圖1

E點(diǎn)在尸點(diǎn)的左側(cè)，

'：BELCD,AF1CD,/ACB=90°,

:.NBEC=NAFC=90°,

：.ZBCE+ZACF=90a,NCBE+NBCE=9Q°,

:./CBE=/ACF,

在△BCE和△C4F中，

fZEBC=ZACF

<NBEC=NAFC，

BC=AC

:.△BCEQACAF(A4S),

:.BE=CF,CE=AF,

EF=CF-CE=BE-AF,

當(dāng)E在尸的右側(cè)時(shí)，同理可證EF=AF-BE,

：.EF=\BE-AF\；

故答案為=,EF=\BE-AF\.

②Na+NACB=180°時(shí)，①中兩個(gè)結(jié)論仍然成立;

證明：如圖2中，

■:NBEC=/CFA=/a,/a+/AC8=180°,

NCBE=ZACF,

在△BCE和△CAF中，

"ZEBC=ZACF

-ZBEC=ZAFC)

BC=AC

:./\BCE馬t\CAF(A4S),

：.BE=CF,CE=-AF,

：.EF=CF-CE=BE-AF,

當(dāng)￡在尸的右側(cè)時(shí)，同理可證EF=AF-BE,

：.EF=\BE-AF\;

故答案為Na+/ACB=180°.

(2)結(jié)論：EF=BE+AF.

理由：如圖3中,

C、/

圖3

■:/BEC=/CFA=/a,Na=NBCA,

又砂C+/8CE+NBEC=180",ZBCE+ZACF+ZACB=180°,

NEBC+NBCE=NBCE+NACF,

：.ZEBC=ZACF,

在△BEC和中，

"ZEBC=ZFCA

<NBEC=NCFA，

BC=CA

.".△B￡C^ACE4(A45),

：.AF=CE,BE=CF,

\'EF=CE+CF,

；.EF=BE+AF.

n、在aABC中，AB=AC,點(diǎn)D是直線BC上一點(diǎn)(不與B、C重合)，以AD為一邊在AD的有側(cè)

作使AD=AE,ZDAE=ZBAC,連接CE.

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上，如果ZBAC=90°,則ZBCE=0.

(2)設(shè)NBAC=a,ZBCE=P.

①如圖2,當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上移動(dòng)，則a、B之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由；

②當(dāng)點(diǎn)D在直線BC上移動(dòng)，則a、6之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)畫(huà)出圖形，并直接寫(xiě)出你

的結(jié)論.

BD

B

圖1圖2

解答：(1)90°.

(2)①a+B=180°,

理由：

VZBAC=-ZDAE,

AZBAC-ZDAC=ZDAE'-ZDAC.

即NBAD=NCAE.

，但AC

在4ABD與4ACE中，，ZBAD=ZCAE

AD=AE

.,.△ABD^AACE(SAS)

-,.ZB=ZACE.

AZB+ZACB=ZACE+ZACB.

.?.NB+NACB邛，

，a+ZB+ZACB=180°,

.*.a+P=180"

②當(dāng)點(diǎn)D在射線BC上時(shí)，a+p=180°；當(dāng)點(diǎn)D在射線BC的反向延長(zhǎng)線上時(shí)，a=B

12、在aABC中，ZOZB,AE平分/BAC,F為射線AE上一點(diǎn)（不與點(diǎn)E重合），且FD_LBC

于D；

(1)如果點(diǎn)F與點(diǎn)A重合，且NC=50。，ZB=30°,如圖1,求/EFD的度數(shù)；

(2)如果點(diǎn)F在線段AE上(不與點(diǎn)A重合)，如圖2,問(wèn)NEFD與NC-NB有怎樣的數(shù)量關(guān)

系？并說(shuō)明理由.

(3)如果點(diǎn)F在AABC外部，如圖3,此時(shí)/EFD與/C-NB的數(shù)量關(guān)系是否會(huì)發(fā)生變化？請(qǐng)

說(shuō)明理由.

圖1圖2圖3

【解答】(1)解：VZC=50°,ZB=30°,

二ZBAC=180°-50°-30°=100°.

；AE平分NBAC,

/.ZCAE=50°.

在AACE中NAEC=80°,

在RtAADE中NEFD=90°-80°=10°.

(2)ZEFD=-(ZC-ZB)

2

證明：；AE平分NBAC,

180°-ZB-ZC1/、

..ZBAE=--------------------------=90°-—(ZC+ZB)

22

VZAEC為"BE的外角,

.\ZAEC=ZB+90°--(ZC+ZB)=90°+-(ZB-ZC)

22

VFD1BC,

；./FDE=90°.

ZEFD=90°-90°--(ZB-ZC)

2

AZEFD=-(ZC-ZB)

2

(3)ZEFD=-(ZC-ZB).

2

如圖,

VZDEF為ZkABE的外角，

180°-ZB+ZC1,/、

..ZDEF=ZB+---------------------------=90°+-(ZB-ZC),

22

VFD1BC,

.".ZFDE=90".

/.ZEFD=900-90°--(ZB-ZC)

2

AZEFD=-(ZC-ZB).

2

13、如圖，^ABC是等邊三角形，AB=6,P是AC邊上一動(dòng)點(diǎn)，由A向C運(yùn)動(dòng)(與A、C不重合)，

Q是CB延長(zhǎng)線上一動(dòng)點(diǎn)，與點(diǎn)P同時(shí)以相同的速度由B向CB延長(zhǎng)線方向運(yùn)動(dòng)(Q不與B重合)，

過(guò)P作PE1AB于E,連接PQ交AB于D.

(1)當(dāng)NBQD=30°時(shí)，求AP的長(zhǎng);

(2)證明：在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)D是線段PQ的中點(diǎn)；

(3)當(dāng)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中線段ED的長(zhǎng)是否發(fā)生變化？如果不變，求出線段ED的長(zhǎng)；如果變化請(qǐng)說(shuō)明

理由.

解：(1)設(shè)AB=x,則BQ=x

VZBQD=30°,NC=60°

ZQPC=90°

.\QC=2PC

即x+6=2(6-x)

解得x=2即AP=2

(2)證明：如圖.，過(guò)p點(diǎn)作PF〃BC,交AB于點(diǎn)F.

VAABC是等邊三角形

...△APF是等邊三角形

ZPFA=60°,PF=AP

；./DBQ=/DFP=60°,PF=BQ

,/ZBDQ=ZPDF,

.".△DQBsADPF

ADQ=DP即點(diǎn)D是線段PQ的中點(diǎn)

(3)解：運(yùn)動(dòng)過(guò)程中線段ED長(zhǎng)不發(fā)生變化，定值為3.

理由：如圖，由(2)得4APF是等邊三角形

?/PE±AF,AEF=-AF

2

n

由(2)得△DQB=Z\DPF

.".DF=DB,即DF=-BF

2

.\ED=FE+DF=-(AF+BF)=-AB=3

22

14、問(wèn)題背景：

如圖1:在四邊形ABC中5A5=AO,NBAD=120。,ZB=ZADC=90°.E,F分別是BC,CD上的

點(diǎn)。且/E4尸=60。.探究圖中線段BE,EF,之間的數(shù)量關(guān)系。小王同學(xué)探究此問(wèn)題的

方法是，延長(zhǎng)尸。到點(diǎn)G,使Z）G=BE,連結(jié)AG,先證明AABE四△AOG,再證明

/\AEF^