新教材高中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)練12基本不等式含解析新人教A版必修第一冊

基本不等式

>基礎(chǔ)練一水平一

(30分鐘60分)

一、選擇題(每小題5分，共30分)

1.下列不等式中，正確的是()

4

A.a+—24B.才+/?224a6

a

C.y[ab2；〃D.六十號(hào)22g§

4

【解析】選D.水0,則a+-24不成立，故A錯(cuò)；a=l,6=1,&<4ab,故B錯(cuò)，a=4,

a

6=16,則西〈哈，故C錯(cuò)：由基本不等式可知D項(xiàng)正確.

2.若0Wx<6,則f(x)=yjx(8—x)的最大值為()

164mr

A.-B.4C.~~~D.yj5

oo

________x+(8—x)

【解析】選B.因?yàn)?這x<6,所以8—x>0,所以F(x)=3(8—x)---------=4,

當(dāng)且僅當(dāng)x=8—%即x=4時(shí)，等號(hào)成立.故代才)的最大值為4.

3.若/U)=x+U(x>2)在處取得最小值，則〃=()

X—乙

5八7

A.-B.3C.-D.4

【解析】選B.由f(x)—x+—^—z—(x—2)4―+224,當(dāng)且僅當(dāng)x—2——^—z>0,即x

x—2x—2x—2

=3時(shí);取得等號(hào).

4.若a>0,b>0,貝ij“a+8W4”是“a6W4”的()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充分必要條件

D.既不充分又不必要條件

【解析】選A.當(dāng)a>0,b>0時(shí)，a+b^2y[ab,則當(dāng)a+AW4時(shí)有2，^Wa+6W4,解得

abW4,充分性成立.當(dāng)a=l,6=4時(shí)滿足a6W4,但此時(shí)a+6=5〉4,必要性不成立，綜

上所述，“a+6W4”是“abW4”的充分不必要條件.

5.(2021?玉溪高一檢測)若實(shí)數(shù)a,6滿足一+T=4幾，則助的最小值為()

ab'

A.yj2B.2C.2y/2D.4

2/212

>2/得-

【解析】選C.由J/=:-\益-

6/aA

6.已知x,y為正實(shí)數(shù)，且燈=4,則x+4y的最小值是（）

A.4B.8C.16D.32

4

【解析】選B.由題意，正實(shí)數(shù)％y且盯=4,可得曠=一，

則x+4y=x+—22、/xX—=8,當(dāng)且僅當(dāng)x=—時(shí)，即x=4時(shí)等號(hào)成立，

x\1xx

所以x+4y的最小值是8.

二、填空題（每小題5分，共10分）

9Q

7.設(shè)x>0,則函數(shù)夕=/+若百--的最小值為.

【解析】y=x+存9-23=,卜1+?、+-1T-2》

嗎

2.一彳—2=0,當(dāng)且僅當(dāng)A-+1=一片，即x=T時(shí)等號(hào)成立.所以函數(shù)的

x+2x+2

最小值為0.

答案：0

19

8.若a,8是正實(shí)數(shù)且a+6=1,則-+~的最小值為

ab

【解析】因?yàn)閍+Z?=l,所以，+7=（-+y）（a+b）=-+與+322、?與+3=3

ababab\1ab

+2y[2,

a+b=l

當(dāng)且僅當(dāng)《2=在，

l=~b

即@=斕-1,b=2-木時(shí)，等號(hào)成立.

答案：3+2短

三、解答題（每小題10分，共20分）

9.設(shè)a,b,c,都是正數(shù)，求證上+-7+—2a+6+c.

abc

【證明】因?yàn)閍,6,c都是正數(shù)，所以:，了，丁也都是正數(shù)，所以:+了R，了

、ab、?be、ab、…

+—22a,—十—226,

cac

三式相加得2(?+?+勺22(a+0+c).

即"+半+—2a+6+c,當(dāng)且僅當(dāng)a=6=c時(shí)取等號(hào).

abc

10.⑴已知x>0,y>0,且2x+3y=6,求燈的最大值.

19

(2)已知x>0,y>0,-+-=1,求x+y的最小值.

【解析】⑴因?yàn)閤>0,Q0,2x+3y=6,

22

所以(2x?3°〈上?(2八；")=|?(3=|)當(dāng)且僅當(dāng)2x=3y,即,y

3

=1時(shí)，燈取到最大值鼻.

(2)因?yàn)橐?-=1,所以x+y=(x+y)?匕+方

xyyj

QFVyQy

=1+—+=+9=-+—+10,又因?yàn)閤>0,y>0,

yxxy

所以2+—+10^2A/-?—+10=16,

xyxy

yQv

當(dāng)且僅當(dāng)乙=—,即尸3x時(shí)，等號(hào)成立.

xy

'y=3x,,

\x—4,

由V1,9得°

^+尸，〔尸⑵

即當(dāng)x=4,y=12時(shí)，x+y取得最小值16.

用提.升...練.???一???????水???????平??????二???????????????????????????????????????

（35分鐘70分）

一、選擇題（每小題5分，共20分）

1.已知x>0,y>0,則“xy=l”是“x+y22”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【解析】選A.若xy=l,由基本不等式，知不+了》2^^=2；反之，取x=3,y=l,貝ij滿

足x+y22,但孫=3W1,所以“燈=1”是“x+y22”的充分不必要條件.

2x

2.當(dāng)x>0時(shí)，函數(shù)f（x）=在j有（）

A.最小值1B.最大值1

C.最小值2D.最大值2

2

【解析】選B.因?yàn)閤>0,所以/"（4）=-pW1.

x+一

X

3.《幾何原本》卷2的幾何代數(shù)法（以兒何方法研究代數(shù)問題）成了后世西方數(shù)學(xué)家處理問題

的重要依據(jù)，通過這一原理，很多的代數(shù)的公理或定理都能夠通過圖形實(shí)現(xiàn)證明，也稱之為

無字證明.現(xiàn)有如圖所示圖形，點(diǎn)尸在半圓。上，點(diǎn)。在直徑的上，且0U/8,設(shè)/C=a,

BC=b,則該圖形可以完成的無字證明為（）

A.(a>0,6>0)

B.a+^^2y[ab(a>0,6>0)

2abi—.

C.—r-7(a>0,b>0)

a-rbv

a+b/la+l}/,、

D.亍(a>0,6>0)

【解析】選D.由於=&仁。,可得圓。的半徑r=嚶，又OC=OB—Bg號(hào)-b=平,

則稱=%+辦=工巧2―+>丐-2一：=且尹，再根據(jù)題圖知FO^FC,即審

缺巨,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào).

W

4.（多選題）規(guī)定：“③”表示一種運(yùn)算，即3（8）6=次+&+6（8人為正實(shí)數(shù)）.若1<8）“

依x

=3,函數(shù)/"（分二〒,1WXW4,則下列說法正確的是（)

A.f（x）的最小值為3

B.f（x）的最小值為2

7

c.f（x）的最大值為5

3

D.f（x）的最大值為]

【解析】選AC.由題意得l?k=y[k+1+4=3,即k+由-2=0,解得=1或5=

一2（舍去），故衣的值為1.

10X

又4)=萬=與±1=1+5++

21+2=3,當(dāng)且僅當(dāng)爪——F=,即x

yjx

1。工

=1時(shí)取等號(hào),故函數(shù)f(x)的最小值為3.由函數(shù)單調(diào)性知：f(x)=

7

在x=4時(shí)有最大值為5.

二、填空題(每小題5分，共20分)

5.函數(shù)y=2x+二-j"(x>l)的最小值為.

【解析】因?yàn)閥=2x+—^—r(x〉l),所以y=2x+-^—=2(x—l)+'y+222+

x—1x—1x—1

2(x—1)J_]=2y^2+2.

當(dāng)且僅當(dāng)x=l+￥時(shí)取等號(hào)，故函數(shù)尸2X+￡(x>D的最小值為次「+2.

答案：24+2

八病

6.定義運(yùn)算”":x?y=一逐一(x,yGR,犯￥0).當(dāng)x>0,y>0時(shí)，x?y+(2y)0x

的最小值為.

【解析】因?yàn)閤>0,y>0,所以x0y+(2y)九戶丁J+多J=4|督_用

》也，當(dāng)且僅當(dāng)乙=—,即/=隹y時(shí)取等號(hào).故x(8)y+(2y)<g)x的最小值為也.

yx

答案：^2

7.己知正數(shù)a,方滿足2a2+^=3,則八產(chǎn)I的最大值為.

【解析】a\jtf+l=乎X/冷/爐+1W*X；(Za'+Z^+l)=平X(3+1)—y/2,當(dāng)

且僅當(dāng)小a—y]/J+1,且2a°+籽=3,

即a?=l,Z/=i時(shí)，等號(hào)成立.故爾/WT的最大值為也.

答案：小

8.已知x,y^R,且2x+y=4,則孫的最大值是______.

【解析】因?yàn)閤,由基本不等式可得4=2才+夕22m春，得xjW2,

當(dāng)且僅當(dāng)2x=y,即x=l,y=2時(shí)，等號(hào)成立.

因此燈的最大值是2.

答案：2

三、解答題（共30分）

9.（10分）若正數(shù)金。滿足a6=a+6+3,

求：（1）助的取值范圍.

（2）a+6的取值范圍.

【解析】（1）因?yàn)?3,

令t=y[ab>0,所以d—2t—320所以（/-3）（Z+D20.所以-23即迎23,所以助29,

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=3時(shí)取等號(hào).

（2）因?yàn)閍6=a+6+3,所以a+6+3W（，^’.令t=a+Z?>0,所以t2—4^—12^0,所

以（￡-6）（1+2）20.所以CN6即a+626,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=3時(shí)取等號(hào).

4

10.（10分）（1）若x>0,求函數(shù)的最小值，并求此時(shí)x的值.

3

⑵設(shè)0<x貨,求函數(shù)y=4x（3—2x）的最大值.

4

（3）已知x>2,求x+—-的最小值.

x一乙

4/4

【解析】（1）當(dāng)x〉0時(shí)，x+;22\x?3=4,

4

當(dāng)且僅當(dāng)牙=一，即V=4,x=2時(shí)取等號(hào).

x

4

所以函數(shù)尸x+-（x〉0）在x=2時(shí)取得最小值4.

x

（2）因?yàn)?<x<|,所以3—2x>0,

所以y=4x（3—2x）

3

當(dāng)且僅當(dāng)2x=3—2x,即時(shí)，等號(hào)成立.

所以函數(shù)尸4X（3-2X）（0〈K|）的最大值為?.

44/4

（3）因?yàn)閤>2,所以萬一2〉0,所以x+—;=*-2+—-+222、/（入-2）-----+2

x—2x—2\1x—2

=6,

4

當(dāng)且僅當(dāng)x—2=--,即x=4時(shí),等號(hào)成立.

X—L

4

所以x+—-的最小值為6.

x—2

11.（10分）己知a>0,b>0,a+b—1,求證：

111

-+-+-2&

力

a

11111

1-