導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用 高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第二冊

高二數(shù)學(xué)高二數(shù)學(xué)第頁導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用一、函數(shù)的單調(diào)性1.函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系：問題1：圖1是跳水運動員的重心相對于水面的高度隨時間變化的函數(shù)的圖象,圖2是跳水運動員的速度隨時間變化的函數(shù)的圖象,,是函數(shù)的零點.運動員從起跳到最高點,以及從最高點到入水這兩段時間的運動狀態(tài)有什么區(qū)別？如何從數(shù)學(xué)角度刻畫這種區(qū)別？圖1圖2問題2：觀察下面一些函數(shù)的圖象，探討函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)正負(fù)的關(guān)系。一般地，設(shè)函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，則在區(qū)間(a，b)內(nèi)，（1）如果，則f(x)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；（2）如果，則f(x)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．方法總結(jié)利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性的一般步驟：（1）確定函數(shù)y＝f(x)的定義域；（2）求導(dǎo)數(shù)y′＝f′(x)的零點；（3）用的零點將f(x)的定義域劃分為若干個區(qū)間，列表給出在各個區(qū)間上的正負(fù)，由此得出函數(shù)函數(shù)y＝f(x)在定義域內(nèi)的單調(diào)性。特別提醒：①若在某區(qū)間上有有限個點使f′(x)＝0，其余的點恒有f′(x)>0，則f(x)仍為增函數(shù)(減函數(shù)的情形完全類似)．②f(x)為增函數(shù)的充要條件是對任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)內(nèi)的任一非空子區(qū)間上f′(x)不恒為0.2.函數(shù)圖象的變化趨勢與導(dǎo)數(shù)值大小的關(guān)系：一般地，設(shè)函數(shù)y＝f(x)，在區(qū)間(a，b)上函數(shù)值變化函數(shù)的圖象越大快比較“陡峭”(向上或向下)越小慢比較“平緩”(向上或向下)【例1】利用導(dǎo)數(shù)判斷下列函數(shù)的單調(diào)性（1）（2）（3）【例2】已知函數(shù)（1）求函數(shù)在處的切線方程；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．【練習(xí)1】判斷下列函數(shù)的單調(diào)性（2）【練習(xí)2】求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間【練習(xí)3】判斷下列函數(shù)的單調(diào)性，并求出單調(diào)區(qū)間（1）（2）【例3】已知導(dǎo)函數(shù)的下列信息：①當(dāng)時，；②當(dāng)或時，；③當(dāng)或時，，試畫出函數(shù)圖象的大致形狀.【練習(xí)4】已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)有下列信息：①時，；②時，或；③時，或．則函數(shù)的大致圖像是圖中的（）．A．B．C．D．【例4】設(shè)函數(shù)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，的圖象如圖所示，則導(dǎo)函數(shù)的圖象可能為()【例5】已知是的導(dǎo)函數(shù)，的圖象如圖所示，則的圖象只可能是()【練習(xí)5】已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則下列選項中是函數(shù)的圖象的是（）A．B．C．D．【練習(xí)6】已知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的圖象如圖,那么函數(shù)的圖象最有可能是 ()B.C. D.二、函數(shù)的極值與最大（?。┲?.函數(shù)的極值問題1：觀察圖，我們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)時，高臺跳水運動員距水面的高度最大．那么，函數(shù)在此點的導(dǎo)數(shù)是多少呢？此點附近的圖象有什么特點？相應(yīng)地，導(dǎo)數(shù)的正負(fù)性有什么變換規(guī)律？可以看出，；當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)，；當(dāng)時，函數(shù)QUOTEh??單調(diào)，QUOTE?'??<0．這就是說，在附近，函數(shù)值先（當(dāng)QUOTE??<??時，QUOTE?'??>0）后（當(dāng)QUOTE??>??時，QUOTE?'??<0）．這樣，當(dāng)在附近從小到大經(jīng)過QUOTE??時，先后，且QUOTE?'??連續(xù)變化，于是有QUOTE?'??=0．問題2：觀察下圖，函數(shù)y=f(x)在x=a，b，c，d，e等點的函數(shù)值與這些點附近的函數(shù)值有什么關(guān)系？y=f(x)在這些點的導(dǎo)數(shù)值是多少？在這些點附近，y=f(x)的導(dǎo)數(shù)的正負(fù)性有什么規(guī)律？以x=a，b兩點為例，可以發(fā)現(xiàn)，函數(shù)y=f(x)在點x=a的函數(shù)值f(a)比它在點x=a附近其他點的函數(shù)值都______，f'(a)___0；而且在點x=a附近的左側(cè)f'(x)____0，右側(cè)f'(x)____0.函數(shù)y=f(x)在點x=b的函數(shù)值f(b)比它在點x=b附近其他點的函數(shù)值都____，f'(b)___0；而且在點x=b附近的左側(cè)f'(x)___0，右側(cè)f'(x)___0.我們把a叫做函數(shù)y=f(x)的極小值點，f(a)叫做函數(shù)y=f(x)的極小值；b叫做函數(shù)y=f(x)的極大值點，f(b)叫做函數(shù)y=f(x)的極大值，極小值點、極大值點統(tǒng)稱為極值點，極小值和極大值統(tǒng)稱為極值。方法總結(jié)如何區(qū)分極大值與極小值呢？一般地，可按如下方法求函數(shù)的極值，解方程，當(dāng)時：（1）如果在附近的左側(cè)，右側(cè)，那么是極大值；（2）如果在附近的左側(cè)，右側(cè)，那么是極小值．【例1】函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，試找出函數(shù)的極值點，并指出哪些是極大值點，哪些是極小值點．【例2】求函數(shù)的極值.【練習(xí)1】求下列函數(shù)的極值：； （2）；； （4）．【練習(xí)2】已知函數(shù)f(x)的定義域為R，它的導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的部分圖象如圖所示，則下列結(jié)論錯誤的是()A．函數(shù)f(x)在(1,2)上單調(diào)遞增B．函數(shù)f(x)在(3,4)上單調(diào)遞減C．函數(shù)f(x)在(1,3)上有極大值D．x＝3是函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,5]上的極小值點【練習(xí)3】若函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3)x3－4x＋4的圖象與直線y＝a恰有三個不同的交點，則實數(shù)a的取值范圍是________．2.函數(shù)的最大（?。┲祮栴}1：觀察圖5.3-13，它是函數(shù)QUOTEy=????的圖象，你能找出它的極小值，極大值嗎？觀察圖象，我們發(fā)現(xiàn)是函數(shù)QUOTEy=????的極小值，QUOTE????6是函數(shù)QUOTEy=????的極大值．問題2:進(jìn)一步地，你能找出函數(shù)在區(qū)間上的最小值、最大值嗎？從圖可以看出，函數(shù)在區(qū)間上的最小值是，最大值是．問題3：在圖1、圖2中，觀察上的函數(shù)和的圖象，它們在上有最大值、最小值嗎？如果有，最大值和最小值分別是什么？問題4：從上面三個圖中，你是如何判斷有沒有最大最小值的？你又是如何判斷最大最小值？一般地，如果在區(qū)間上函數(shù)的圖象是一條的曲線，那么它必有最大值和最小值．不難看出，只要把函數(shù)的所有連同進(jìn)行比較，就可以求出函數(shù)的最大值與最小值．方法總結(jié)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)y=f(x)最值的步驟：第1步，求出函數(shù)的極值。第2步，求定義域內(nèi)端點值，并將其與極值一一比較即可求得最值?！纠?】求函數(shù)在區(qū)間的最大值與最小值【練習(xí)1】求下列函數(shù)在給